Тепловая конвекция в замкнутой емкости, заполненной компонентом в трехфазовых состояниях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.246:532.517.2

Тепловая конвекция в замкнутой емкости, заполненной компонентом в трехфазовых состояниях

© Г.Н. Товарных МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Предложена математическая модель расчета давления в замкнутой вертикальной цилиндрической емкости, частично заполненной криогенным компонентом в трех фазовых состояниях при бездренажном хранении. Рассмотрена сопряженная задача о нахождении температурных и гидродинамических полей в области пара и жидкости с учетом тепловых потоков по стенкам при наличии подвижной границы раздела между жидкостью и шугой и неподвижной границы раздела между паром и жидкостью, на которой происходит испарение жидкой фазы. Принято, что пар подчиняется уравнению состояния идеального газа, область шуги изотермична и имеет температуру плавления твердой фазы, в начальный момент времени пар и жидкость неподвижны и имеют температуру и давление тройной точки. Поле температур и скоростей в области пара и чистой жидкости определено из уравнений Навье — Стокса, записанных в приближении Бус-синеска с использованием переменных вихрь — функция тока. Задача решена численно с применением метода сеток по явной схеме расчета.

Ключевые слова: криогенная жидкость, криопродукт, бездренажное хранение, пар, жидкость, шуга, плавление, испарение, вихрь, функция тока.

Криогенные жидкости находят широкое применение в различных областях науки и техники. Особый интерес представляет собой криогенная техника, работающая в области водородных и гелиевых температур. При этом очень важными становятся вопросы охлаждения, хранения и транспортировки криопродуктов в неустановившихся режимах при наличии внешних теплопритоков, фазовых переходов и вибрационных нагрузок [1].

Одним из перспективных способов уменьшения потерь криопро-дуктов является их хранение в предварительно охлажденном [2] или шугообразном состоянии, т. е. в виде смеси твердой и жидкой фаз [3]. Выигрыш в этом случае получается в увеличении запаса холода и плотности криопродукта, а также в уменьшении давления насыщенных паров. Нагрев шугообразного продукта при его постоянном перемешивании вызывает в основном плавление твердой фазы и незначительное повышение давления паров над жидкостью. Управляя притоком теплоты к емкости, можно своевременно перевести шугу в жидкое состояние.

При длительном хранении криогенной жидкости возникает ее температурное расслоение, а при наличии на дне емкости шуги расслоение может стать значительным. Образуется верхний нагретый слой вблизи свободной поверхности, в котором температура и давле-

ние насыщенных паров выше, а плотность ниже, чем в основном объеме компонента. Это расслоение может оказать существенное влияние на процессы испарения и конденсации на границе между жидкостью и паром, а следовательно, и на давление в емкости [4].

Рассмотрим случай бездренажного хранения шуги в вертикальной цилиндрической емкости радиусом Я и высотой Н (рис.1). В исследуемой области имеем следующие характерные зоны: слой теплоизоляции 1; металлическая стенка 2; область пара 3; область чистой жидкости 4, образованная в результате плавления твердой фазы в шуге; слой шуги 5.

Теплота из внешней среды поступает через слой теплоизоляции и металлическую стенку в рассматриваемую область, распространяется путем теплопроводности и конвекции в паре и жидкости, вызывает испарение жидкости и плавление Рис. 1. Общий вид емкости, частич- твердой фазы в шуге. Вследствие но заполненной криопродуктом: нагрева пара, испарения жидкости,

1 — слой теплоттолщищ 2 — метал- плавления твердой фазы и теплово-лическая стенка; 3 — область пара;

4 — область чистой жидкости; 5 —

го расширения жидкости происхо-

область шугообразного продукта; 6 — дит рост давления в емкости. граница между паром и жидкостью При решении задачи предпола-(Г1); 7 — граница между жидк°стью и гаем, что пар подчиняется уравне-шугой (Г2) нию состояния идеального газа,

область шуги изотермична и имеет температуру плавления твердой фазы, поверхность раздела пар — чистая жидкость неподвижная, а поверхность раздела шуга — чистая жидкость подвижная, плоская и параллельная границе пар — жидкость. Считаем, что температура наружной поверхности теплоизоляции известна, а внутри теплоизоляции по нормали к внешним границам температура распределена по линейному закону. Градиентом температуры в металлической стенке в поперечном направлении пренебрегаем.

Таким образом, сформулирована сопряженная задача о нахождении температурных и гидродинамических полей в области пара и жидкости с учетом теплопереноса по стенкам при наличии подвижной границы раздела между жидкостью и шугой и неподвижной границы — между паром и жидкостью, на которой происходит испарение жидкой фазы.

Численные методы решения задач тепловой конвекции рассмотрены в работах [5-10], а методика расчета положения подвижной границы с учетом плавления твердой фазы — в работах [11, 12]. В работе [13] приведены результаты численного решения задачи о росте давления в одномерной замкнутой области, частично заполненной шугообразным продуктом.

Используя приближение Буссинеска и переменные вихрь — функция тока, запишем систему дифференциальных уравнений энергии и движения в области жидкости и пара в безразмерном виде:

дТж

1 ду ж дТж + 1 дуж дТж

1 д

(

дFo г д г д г г д г д г г д г

•дТж

д г

Л

д 2ТЖ д 22

дшж 1 дуж дшж 1 дуж дшж

д Fo

+Pr

г д г д г

, д2с

г д г д г

^ ж0 Prж0 дТж

г д г

-2 " 3г —

д г д г

1 дшж

ч г д г J

д 2ш„ ~д!2

юж = ■

д ( 1 ду ж ^

д г

г д г

1 д!уж г д г2

дТп

1 ду п дТп+1 дТп=к

дFo г дг дг г дг дг

1

Т д г

- дТп

г

дг

Л дТ +

J

д г

2

дшГ

1 ду п д®п. + ^ ду п дС

дFo г д 2 д г г д г д 2

= к1 ] к1

Ra п0 Prп0 дТп

д г

п + Prт

п0

4 % - 3г 4 д г д г

(1 дЮл ^

г д г

д сог

"дР

Сп =3

г

д ( 1 ду п л

д г

г д г

.1 д!у

г д г2

Здесь Т = (Т - Ттт )/б0; Ттт — температура тройной точки; 90 = Т0 - Тж; Т0 — начальная температура; Тж — температура жидкости; Fo — число Фурье, Fo = (аж01)/Я2; г = г/Я; у — функция тока; у = у/Ra0; 2 = г/Я; ш = шЯУа0; сс — вихрь; Ra0 — число Рэлея, Ra0 = = g0 Р0 90 Я У (V 0 а0); Pr — число Прандтля, Pr = у 0/ а0; V — вязкость;

а

температуропроводность; Тп — температура пара; к1 = ап0/

а

ж0 •

Уравнение состояния пара имеет вид

(

Рп = к6 Рп

к7 +

1 г^ „т

Уп

газовая постоянная;

где Р = Рп1 Рп 0 ; к6 = Япг 00 Р п0 / РпО ; Япг

рп =Р п/ Рп о; Рп — плотность пара; к7 = гтт/ 0о; уп = уп/я3); уп

объем области пара.

Текущую массу пара определим из условия

1 г дТ дТ л

>|к 2

д 2 д 2

; г

таг = к3 нп ^, а Бо

где к2 = ^0/^ж0; ^0 — теплопроводность; к3 = ¿Жп Рп>/(00 Сж0 Рж0); Ьисп — теплота испарения; с0 — теплоемкость; Нп = Нп/Я; Ип — высота области пара.

Изменение высоты слоя чистой жидкости в результате плавления шуги найдем из условия Стефана:

таг+к5 Твн (1+2 Нш)

= -к4

ак

Оо

где к5 = ^изЯ/(ж05из); 5из — толщина слоя теплоизоляции; к4 = = ¿плртвф/(00сж0 рж0); Ьпя — теплота плавления; Ртв — плотность твердой фазы; ф — объемная концентрация твердой фазы в шуге; Гвн — температура внешней среды; Нш — высота области шуги.

Второе слагаемое в левой части этого уравнения представляет собой поток теплоты, поступающий к шуге через донную и боковую поверхности, которые имеют с ней непосредственный контакт.

На свободной поверхности зависимость температуры испарения жидкости от давления имеет вид

Тисп = А1 Р п + А2 Рп + А3->

где А1 — коэффициенты, индивидуальные для каждого криопродукта. Уравнения для определения температуры стенки имеют вид

^ дТ.т

к8 ^ст

д Бо

= кс

5ст д Т д т

— дТст

д г

— — дТ

+ к5 ( Твн - Тст ) - к2 ;

4 ' д 2

— дТ — д 2Т — — дТ

к8 5ст = к9 5ст - _2 + к5 ( Твн - Тст ) — к2 ;

д Бо д 2 4 д г

— ОТ — Я 2Т — — ОТ

к 5СТ = к9 5СТ ^ + к5 (Твн - Тст )- °ж о Бо 4 у

_2 5 \ вн ст / ^ _

г 4 'о г

ГДе к8 = сст Рст/( Рж0 ); Тст — темпеРатУРа стенки; к9 = Л,„/^ж0-

В начальный момент времени пар и жидкость считаем неподвижными и имеющими температуру и давление тройной точки. Тепловые граничные условия известны из постановки задачи. Граничные условия для функции тока получаем из граничных условий для скоростей: на твердых поверхностях — из условия «прилипания», на границе пар — жидкость — из равенства нормальных и касательных напряжений, на оси — из условия симметрии. Граничные условия для вихря задаем на вспомогательных поверхностях, отстоящих на один узел сетки от внешних границ, по методике, предложенной в работе [14].

Задачу решаем численно с применением метода сеток по явной схеме расчета. В целях улучшения консервативных свойств разностной схемы, а также для выяснения особенностей пограничного течения жидкой и паровой фаз используем неравномерную сетку с минимальными пространственными шагами вблизи боковой и свободной поверхностей.

Вопросы устойчивости и консервативности применяемой разностной схемы рассмотрены в работе [10]. Уравнения Пуассона для определения вихря решаем итерационным методом переменных направлений. В области жидкости в вертикальном направлении используем растягивающуюся во времени сетку 32 х 21 (одинаковую для областей пара и жидкости).

Расчеты проводим при следующих значениях основных параметров (для шугообразного азота):

К = 0,3; ИЖ0= 0,3; ИЫ) = 0,4; р = 0,125; Твн = 16,7; РГп0= 0,89;

РгЖ0 = 2,28; Яа Л = 2,65 • 108; Яа Ж0= 108; к, = 16,7; к2 = 0,056; кз = 0,04; к 4 = 0,5; к5 = 0,01; к6 = 0,194; к7 = 4,45; к8 = 0,8;

к9= 64; Д = -0,36; А2 =1,54; А3 = -0,187.

На рис. 2 видно, что зависимость дав- 0,4 ления от времени близка к линейной.

оз

Наличие шугообразного продукта и значительного вертикального градиента температуры в жидкости и паре приводит к существенному снижению интенсивности конвективного движения (рис. 3 и 4). Влияние конвекции на температурное поле Рис. 2. Изменение давле-проявляется в узкой зоне, прилегающей к ния в емкости во времени

-0,5

Рис. 3. Распределение функции тока в областях, занятых паром (а) и жидкостью (б) в момент времени Fo = 0,06

IVmaxl

40 30 20 10 0

0,005 0,01 Fo

Рис. 4. Изменение максимального значения функции тока во времени в областях, занятых паром (1) и жидкостью (2)

боковой поверхности. Следует отметить, что на боковой поверхности, в области жидкости и вблизи свободной поверхности имеет место перегрев жидкости выше температуры испарения, который составляет около 8 % от температуры Тисп. С течением времени перегрев уменьшается.

Полученные данные позволяют сделать вывод о том, что конвективное движение в процессе хранения шугообразных компонентов развито слабо. Этот вывод справедлив для чисел Raп0 < 2,65 • 10 и Ra ж0 < 108, т. е. для малых сосудов в условиях Земли или для больших емкостей в условиях микрогравитации.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Филин Н.В., Буланов А.Б. Жидкостные криогенные системы. Ленинград, Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1985, 247 с.

[2] Александров А.А., Денисов О.Е., Золин А.В., Чугунков В.В. Охлаждение ракетного топлива стартовым оборудованием с применением жидкого азота. Изв. вузов. Машиностроение, 2013, № 4, с. 24-29.

[3] Качура В.П., Ганичев А.И. Неустановившиеся процессы в криогенных системах. Труды МВТУ. Москва, 1979, № 293, с. 4-6.

[4] Хабеев Н.С., Шаганов В.Ш., Юмагулова Ю.А. Снижение давления пара в замкнутом объеме вследствие конденсации на границе контакта с холодной жидкостью. Прикладная математика и механика, 2013, т. 77, вып. 1, с. 49-55.

[5] Андерсон Д., Таниехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и тепломассообмен. Москва, Мир, 1990, 325 с.

[6] Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008, 511 с.

[7] Полежаев В.И., Бунэ А.В., Веризуб Н.А. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье — Стокса. Москва, Наука, 1987, 248 с.

[8] Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. Москва, Едиториал УРСС, 2003, 782 с.

[9] Лоханский Я.К. Основы вычислительной гидромеханики и тепломассообмена. Москва, МГИУ, 2008, 80 с.

[10] Товарных Г.Н. Тепловая конвекция в цилиндрической замкнутой полости при смешанных тепловых граничных условиях. Труды МВТУ. Москва 1979, № 293, с. 25-49.

[11] Домашенко А.М., Качура В.П. Товарных Г.Н. Плавление шугообразного азота в вертикальном цилиндрическом сосуде. Исследование криогенных установок и технологических процессов в криогенном машиностроении. Балашиха, НПО Криогенмаш, 1977, с. 42- 51.

[12] Кувыркин Г.Н., Ломохова А.В. Математическое моделирование процесса кристаллизации в установках для выращивания монокристаллов. Изв. вузов. Машиностроение, 2007, № 4, с. 37-44.

[13] Кошкин Г.Д. Рост давления в замкнутой полости, частично заполненной шугообразным продуктом. Труды МВТУ. Москва, 1979, № 293, с. 7-24.

[14] Полежаев В.И., Грязнов В.Л. Метод расчета граничных условий для уравнений Навье — Стокса в переменных вихрь — функция тока. Докл. АН СССР, Москва, 1974, № 2, т. 219, с. 65-71.

Статья поступила в редакцию 06.07.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Товарных Г.Н. Тепловая конвекция в замкнутой емкости, заполненной компонентом в трехфазовых состояниях. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 7. URL: http://engjournal.ru/catalog/machin/rocket/861.html

Товарных Геннадий Николаевич окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1970 г. Канд. техн. наук, доцент кафедры «Космические аппараты и ракеты-носители» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 22 научных работ в области механики жидкости и газа, тепломассопереноса. e-mail: tovarnjx@yandex.ru