Приближённый метод оценки показателей обслуживания заявок в иерархических сетях доступа с учётом влияния поведения пользователя Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Приближённый метод оценки показателей обслуживания заявок в иерархических сетях доступа с учётом влияния поведения пользователя

Построена модель иерархической сети доступа, в которой абонент, получив отказ в обслуживании, с некоторой вероятостъю повторяет попытку соединения через случайный промежуток времени. Наличие потоков повторных вызовов существенно усложняет численный анализ модели и оценку значений показателей обслуживания поступающих заявок. Для расчёта характеристик качества обслуживания абонентов предлагается заменить потоки повторных вызовов на пуассоновские с неизвестной интенсивностью, рассчитываемой из решения системы неявных уравнений. Построена указанная система и предложен алгоритм её решения, основанный на методе последовательных подстановок. В основе алгоритма лежит использование метода свёрток индивидуальных распределений вероятностей занятия канального ресурса отдельными поступающими потоками заявок. Разработанную модель и метод оценки её вероятностных характеристик предлагается использовать для определения скорости передачи информации звеньев иерархических сетей доступа при обслуживании мультисервисного трафика современных коммуникационных приложений.

Ключевые слова: мультисервисные модели, повторные вызовы, алгоритм свертки, приближенный расчет, неявные уравнения.

Степанов С.Н., 2. Описание модели

ОАО Интеллект Телеком Обратимся к мультисервисной модели Эрланга [3] и вне-

Осия Д.Л сём в неё изменения, ограничивающие доступ заявок к обслу-

/' , живанию и возможность повторения заблокированной заявки.

аспирант МТУСИ _ ^

Вначале напомним основные параметры модели Эрланга.

1. Введение

Информационные потоки, использующие канальный ресурс звена мультисервисной сети, обычно поступают по линиям, имеющим меньшую скорость, чем предоставляет анализируемое звено. Такая ситуация часто наблюдается на уровне доступа в местах концентрации абонентского трафика [1-5]. Эту особенность передачи информации можно учесть выбором величины доступности vk, которая в данном контексте получает интерпретацию ресурса линии доступа, используемой к-м потоком для достижения высокоскоростной линии. Анализируемые особенности приёма заявки к обслуживанию показаны на рис. 1.

Отличительной особенностью линий доступа является наличие потоков повторных вызовов. В ситуации перегрузки они могут заблокировать доступ информационных потоков по отдельным входящим линиям. Учет влияния повторных вызовов приводит к достаточно сложным моделям. Их точный численный анализ возможен только в частных случаях. Обычно значения показателей обслуживания заявок находятся с использованием приближенных процедур. Один из самых простых способов основан на гипотезе о пуассоновском характере поступления потоков повторных вызовов. Интенсивность потока находится из решения специальным образом составленных неявных уравнений [3]. Рассмотрим реализацию сформулированной идеи на примере мультисервисной модели Эрланга с ограниченным доступом поступающих информационных потоков, в которой абонент, получив отказ в обслуживании, с некоторой вероятностью повторяет попытку соединения через случайный промежуток времени.

Рис. 1. Мультисервисная линия с ограниченным доступом

Пусть; V— с корость линии, выраженная в канальных единицах; п - число поступающих потоков заявок; Хк и ц, соответственно, параметры экспоненциально распределённого интервала времени между последовательными поступлениями заявок А-го потока и длительности их обслуживания; Ьк - число единиц ресурса линии, необходимых для обслуживания заявки ¿-го потока, к = 1, 2,. . . , п. Учёт ограниченности доступа приводит к следующим изменениям. Если заявке £-го потока не хватает канального ресурса линии или на обслуживании уже находится ск заявок к-го потока, то

она получает отказ и не возобновляется, к = 1,2,... , п. Здесь с - максимально возможное число заявок к-го потока, которые одновременно могут находиться на обслуживании. Последняя из упомянутых причин отказа может привести к потере поступившей заявки, несмотря на наличие ресурса, достаточного для её обслуживания. Если поступившая заявка А-го потока получает отказ по означенным выше причинам, то абонент, участвующий в создании к-го информационного потока, с вероятностью нк повторяет попытку соединения через случайный промежуток времени, имеющий экспоненциальное распределение с параметром равным

к = 1,2,... , п. Будем предполагать, что длительность обслуживания заявки независимо от её типа имеет среднее значение равное единице. Схема функционирования анализируемой модели показана па рис. 2.

Линия концентрации со скоростью V

Нп

Линия доступа ограничивает скорость передачи абонентского трафика

Повторные вызовы изменяют структуру входного потока, делая интервалы между поступлениями вызовов зависимыми

Рис. 2. Структура и свойства модели мул ЬТИ сер в и с н ОЙ линии с ограниченным доступом заявок к канальному ресурсу и возможностью повторения заблокированной заявки

Если умножить значение с, на Ьк, то получаем величину

объёма канального ресурса, максимально доступного заявкам £-го потока. Скорость доступа ^ определяется из равенства ул =скЬк • Понятно, что выбор у( ограничен неравенством = с,6, < V. Если выполняется равенство — V, к = 1,

2,..., п, то модель с ограниченным доступом переходит в мультисервисную модель Эрланга [3]. Выпишем формальные условия приёма заявки. Пусть / — число заявок к-го

потока, находящихся па обслуживании, а г - общее число единиц ресурса мультисервисной линии, занятого заявками всех типов. Значение г определяется из следующего выражения I = V" ¿1 / , Заявка А-го потока принимается к обслуживанию, если одновременно выполняются два условия: 4 + 1 <,ск и / + Ь. < у ■ Пусть ¡к(/) - число заявок &-го потока,

находящихся в момент времени / на обслуживании, а ]к(/) -

число абонентов ¿-го потока, находящихся в момент времени г в состоянии повторения заявки. Функционирование модели во времени описывается многомерным марковским процессом г(0 = (/,(*).--.Л(0Л(0.»-Л(0). определённым на конечном пространстве состояний 5. В пего входят состояния исследуемой моделиц,...,_/'л,г,,..гл) > удовлетворяющие

условиям

{(^■■-^.^■■-Л)65!0^'* * = 1,...,», +■■■',А ^ Дадим формальное определение множеству состояний ик, где заявка А-го потока получает отказ в обслуживании.

Во множество ик входят состояния (/......у^л*,...,^)е5с

компонентами, удовлетворяющими соотношениям

{0.....= или 0)

3. Характеристики функционирования модели

Для оценки потребности в канальном ресурсе линии и определения степени её загрузки введём соответствующие показатели качества обслуживания заявок к-го потока, к =1, 2,..., п. К ним относятся: доля я. потерянных заявок и средняя величина тк занятого канального ресурса. Пусть р(1j Л,...,г) — стационарная вероятность пребывания на обслуживании ¡^ заявок к-го потока, к = 1, 2,..., п. Она

имеет интерпретацию доли времени нахождения линии в состоянии (л,...,у ,/....../ }. Приведённая интерпретация значения р('/,.....¡л...../) позволяет оценить величины я. и

тк,к= 1, 2,...,п, из следующих формальных выражений

X ри1>->м>->о

и,.....

тк= X КЛ.-.Л.4.-. ол

(Л.....л>.'1.....'я)®-*

Пусть у - среднее число заявок А'-го потока, находящихся на обслуживании. Понятно, что у _ тк . Обозначим через

Ьк

Лгк - интенсивность потока повторных заявок в ¿-ом информационном потоке. Величина Хгк определяется из соотношения

гк

Обозначим через X — интенсивность потока заблокированных повторных заявок в ¿-ом информационном потоке. Величина А, определяется из соотношения

Л* = £ РСЛ.-.ЛЛ.....>ОЛу*

и.-.;-',.....

Введённые характеристики к-го потока связаны законами сохранения, которые в исследуемом случае имеют такой вид:

4, Приближённая оценка характеристик

Предположим, что поступления повторных заявок ¿-го потока подчиняется пуассоновской гипотезе [3] и имеет интенсивность д-(. Из данного соотношения и выражения (3)

получаем неявное уравнение для оценки^. Оно имеет вид

х, -

к = 1,2.....п.

(4)

\-пк{х,)Нк

В обозначениях лк(хк) указана их зависимость от неизвестных значений г. ■ Значения х, определяются итерационным методом. Рекурсивная формула имеет вид

-V = ■

к = 1,2.....п.

(5)

Обозначим через />(/) ненормированные значения вероятности занятости | канальных единиц линии в ситуации, когда для обслуживания предлагаются только заявки к-го потока.

Ясно, что величина / принимает значения / = 0,1,...,еД ■ Пусть рк (0) = 1. Тогда

4=0.1.....ск.

Введём векторы р с компонентами Рк =(Рк(0),Рк(1),...,Рк(скЬк), определяемыми из раве!ютв

1(0 =

Ч'

(7)

\-лк{х?)Нк

В (5) величина я принимает значения 5 = 0, 1,... Начальные величины = ОД = 1,.„, п.

Вычислительная сложность оценки характеристик модели с учетом повторных вызовов равна вычислительной сложности многократной оценки характеристик системы, без учета повторных вызовов. Приведём алгоритм оценки характеристик исследуемой модели без учета повторных вызовов. Для этого в анализируемой модели достаточно положить значение нк =(),к — ],...,», Назовем этот частный

случай базовой модель ¡о.

Метод вычисления характеристик базовой модели состоит в выполнении последовательности свёрток векторов вероятностей числа обслуживаемых заявок при отдельном использовании ресурса линии каждым из входных потоков. Возможность реализации алгоритма основана на свойстве мультипликативности. Приведём необходимые определения. Результатом свёртки вектора х с компонентами х(0},...,(*(«,)) и вектора у с компонентами _у(0),...:(>'(яг))

будет вектор г с компонентами ¿(0),.,.,(г(«.)), вычисляемыми по формулам

■У

г{з) = ^ ах,$-и й ах), я = 0,1(6)

Здесь 1(*) - индикаторная функция, принимающая значение единица, если выполнено требуемое условие и равная нулю в противном случае. Результат выполнения свёртки двух векторов хи^по установленным выше правилам будем обозначать символом ®. Отсюда г = х ® у. Для значения я-й компоненты вектора г будем также использовать обозначение 2(Л') = [х ® >'](л ).

0, в противном случае.

Будем называть вектор Р вектором индивидуального

распределения ненормированных значений вероятностей занятости канального ресурса линии на обслуживание заявок к-го потока. Наличие свойства мультипликативности, даёт возможность построить эффективный алгоритм расчёта значений стационарных вероятностей и характеристик качества совместного обслуживания всех поступающих заявок як и тк, к - 1,2, .,,, п. Этот алгоритм носит название

алгоритма свёртки и заключается в выполнении следующих трёх шагов.

1. В результате реализации рекурсивных соотношений (7) для всех к — 1, 2,..., и находятся компоненты

вектора Рк индивидуального распределения ненормированных значений вероятностей занятости канальных единиц линии на обслуживание заявок ¿-го потока.

2. В произвольном порядке (в последующих выражениях в порядке нумерации входных потоков) выполняется свёртка всех п ненормированных индивидуальных распределений р. Обозначим через р{,) = р^ ®р ®..МР. вектор,

полученный в результате свёртки первых / векторов Рк,к = 1,2,...,/.

3. После реализации последней свёртки находятся ненормированные значения стационарных вероятностей

= 0,1,,..,V

Л(г) = Ря(к>Рс"-,>(| - и)1(и <.с„Ьп)1-и<. н^)

о=0

Величина м>п , показывает максимальный объём канального

ресурса, который может быть занят заявками первых п — 1 потоков. Обычно величина и- V. В процессе выполнения

последней свёртки также находятся и ненормированные значения показателей качества обслуживания заявок гс-го потока яп и тп - Значение лп складывается из доли времени

I т

пребывания модели в состояниях, когда свободного ресурса линии не достаточно для приёма поступившей заявки, и доли времени

р„{с,А)Х р{'"])а-с„ь„)

гк

пребывания модели в состояниях, когда свободного ресурса достаточно для приёма заявки, по па обслуживании уже находится сп заявок ¿7-го потока (Наличие данного слагаемого

предполагает выполнение неравенства спЬпйу-Ьа- В противном случае потерь из-за ограничения по доступу для заявки и-ого потока нет и это слагаемое в расчётном выражении для отсутствует), В результате получаем

Величина щ рассчитывается по формуле

1=1 и=Л

Истинные значения ял,тл и вероятностей р([) находятся

после нормировки. Величина нормировочной константы определяется из выражения

(=0

Для оценки показателей качества обслуживания каждого из п потоков заявок необходимо выполнить указанную выше последовательность действий п раз. Причем каждый раз последняя свёртка должна происходить с индивидуальным распределением того потока, чьи характеристики определяются в данный момент. Численные исследования показали, что предложенный метод отличается легкостью реализации и имеет неплохую точность.

5. Заключение

Построена модель мультисервисной линии с ограниченным доступом и возможностью повторения заблокированной заявки. Даны определения основным характеристикам качества обслуживания заявок, Для оценки характеристик качества обслуживания абонентов предлагается заменить потоки повторных вызовов на нуассоновские с неизвестной интенсивностью, рассчитываемой из решения системы неявных уравнений. На основе законов сохранения, связывающих значения интенсивностей поступающих и обслуженных линией информационных потоков, построена система неявных уравнений и предложен алгоритм её решения с помощью метода последовательных подстановок. Алгоритм основан на реализации процедуры свёрток индивидуальных распределений вероятностей занятия канального ресурса отдельными информационными потоками. Построенную модель и алгоритм оценки её вероятностных характеристик можно использовать для определения скорости передачи информации звеньев иерархических сетей доступа при обслуживании мульти с ер в иен о го трафика современных коммуникационных приложений.

1. Корны шее ЮН., Пшени чников А.П., Харкеви ч А.Д. Теория телетрафика. - М.: Радио и связь, 1996.

2. Степанов С.Н.. Осия Д.Л. Алгоритм оценки показателей обслуживания заявок в иерархических сетях доступа // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт, 2012. - №7. - С. 193-195.

3. Степанов С.Н. Основы теле графика мультисервисных сетей - М.: Эко-Трсндз, 2010,

4. Iversen V.В. Teletraffic Engineering Handbook. - ITU-D, Nov 2002.

5. Ross K.W., Multiservice Loss Networks for broadband Telecommunications Networks.-London: Springer, 1995.

The approximate method of performance measures estimation for hierarchical access networks with taking into account the subscriber behavior

Stepanov S.N., OJSC Intellect Telecom, Director of information and analytical group, [email protected] Osiya D.L., aspirant, Moscow Technical Unversity of Communications and Informatics, [email protected]

Abstract

The model of hierarchical access network where subscriber after blocking with some probability repeats his attempt is constructed. Flows of repeated attempts make serious problems for numerical analysis of the model and estimation of it's performance measures. For solving the formulated problem it is suggested to change the flows of repeated calls to poissonian with some unknown intensities that can be found from implicit system of equations. This system is constructed in the paper and an algorithm for it's solving is suggested based on the method of successive substitutions and convolution of individual distributions of probabilities of channel occupation by separate flows of calls. The elaborated model and algorithm of it's performance measures estimation can be used for calculation of the speed of information transfer of separate lines in hierarchical access network in serving the multiservice traffic of modern communication applications.

Keywords: multiservice models, repeated attempts, convolution algortim, the approximate calculation, implicit equations.

References

1. Kornyshev Yu.N., PshenthnikovA.P., Kharkevich A.D. Teletraffic Theory. M .: Radio and Communication, 1996.

2. Stepanov S.N., Osiya D.L. Algorithm for estimating the parameters of service requests in hierarchical access networks / T-Comm, 2012. No7. Pp.193-195.

3. Stepanov S.N. Fundamentals of Teletraffc multi se-children. Moscow: Eco-Trendz, 2010.

4. Iversen V.B. Teletraffc Engineering Handbook. ITU-D, Nov 2002.

5. Ross K.W., Multiservice Loss Networks for Broadband Tele-communications Networks.-London: Springer, 1995.

rk

Литература