CC BY
156
УДК: 533.72
ПРИБЛИЖЁННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО ПО СКОРОСТИ УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА В СФЕРОИДАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ6)
Н.Н. Миронова
Белгородский государственный университет ул.Студенческая, 14, г.Белгород, 308007, Россия, e-mail: [email protected]
Получено решение линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса в сфероидальной системе координат со степенным видом зависимости коэффициента динамической вязкости от температуры.
Ключевые слова: обтекание, сфероид, уравнение Навье-Стокса.
1. Система уравнений Навье-Стокса, представляющая собой систему дифференциальных уравнений в частных производных, описывает движение вязкой ньютоновской среды (газ, жидкость). Она состоит из уравнения движения и уравнения непрерывности. Система уравнений Навье-Стокса является одним из важнейших объектов изучения в математической физике и она применяется для описания многих природных явлений и технических задач [1-3]. К числу очень важных математических вопросов, связанных с системой Навье-Стокса относятся: доказательство существования у неё глобальных гладких решений трёхмерных начально-краевах задач, нахождение общего аналитического решения системы Навье-Стокса для пространственного или плоского потока и т.д. Влоть до настоящего времени решения системы уравнений Навье-Стокса найдены лишь для некоторых весьма частных случаев [1-3].
При описании движения частиц в разнотемпературных каналах, при зондировании атмосферы лазерным излучением и т.п. средняя температура поверхности частиц может существенно отличаться от температуры окружающей среды вдали от них. В этом случае система уравнений Навье-Стокса решается совместно с уравнениями тепло- и массопере-носа. Это связано с тем, что коэффициенты молекулярного переноса (вязкости, теплопроводности и диффузии) в указанных случаях уже нельзя считать постоянными величинами. В результате получается довольно сложная начально-краевая задача.
При рассмотрении многих прикладных задач газовой динамики общая сила, действующая на рассматриваемую систему, равна нулю, т.е. система движется равномерно и прямолинейно. Например, термофоретическое движение частиц возникает во внешнем поле градиента температуры относительно неподвижного газа. Под действием термофоретической силы и силы вязкого сопротивления среды частицы приобретают постоянную скорость, называемую скоростью термофореза. В таких задачах начало системы отсчёта координат связывают с центром массы частицы (системы). Это удобно, поскольку в этом случае задача, по существу, сводится к задаче обтекания неподвижной частицы (системы) плоскопараллельным потоком газа со скоростью, равной по величине характерной скорости задачи и направленной в противоположную сторону. Таким образом, при математическом
6Работа выполнена в рамках реализации ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009 - 2013 годы (Государственный контракт №П29 от 25 марта 2010 г.)
описании движения частиц в вязкой неизотермической газообразной среде природа сил, вызывающих это движение, в общем случае не конкретизируется. Она может быть магнитной, электрофоретической, термофоретической, гравитационной и т.д., что позволяет распространять математические методы решения линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса, разработанные для узкой физической задачи, на очень широкий класс физических задач.
Частицы, входящие в состав реальных систем (газ, жидкость), могут иметь форму поверхности, отличную от сферической, например, сфероидальную (вытянутый или сплюснутый эллипсоид вращения). В настоящее время движение аэрозольных частиц несферической формы достаточно подробно изучено лишь при малых относительных перепадах температуры в их окрестности, в так называемом изотермическом случае, когда пренебрегают зависимостью коэффициентов молекулярного переноса (вязкости, теплопроводности) и плотности газообразной среды от температуры. При этом влияние нагрева поверхности на движение аэрозолей было изучено лишь в случае сферической формы.
Нами было получено аналитическое решение линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса в сфероидальной системе координат (т, ц, <£>) [2]. При этом предполагалось, что имеют место степенные зависимости коэффициентов вязкости ßg = ßx , теплопроводности Хд = Хдх t^, Хр = Хрх tY и плотности pg = pgx/tg газообразной среды от
температуры (ßx ßg (Тех)); Хдх Хд (^cx))? рgx pg tg Tg/Tx, 0) 5 ^ ß ^ 1,
— 1 < Y < 1). Здесь и далее, индексы "g" и "p" будем относить соответственно к газообразной среде и частице; индексом "то" обозначены параметры газообразной среды на бесконечности в невозмущенном потоке.
Проведенное исследование показало, что при поиске решений в виде выражений для компонент массовой скорости газа в виде
Ug (т,П) = cH°chT G (т) COS V) Un (т,П) = — CH 9 (т) sin V)
где G (т) и 9 (т) - некоторые произвольные функции, зависящие от радиальной координаты т; Нт - коэффициент Ламе [2]; Ux - величина скорости набегающего потока, линеаризованную по скорости систему уравнений Навье-Стокса можно свести к обыкновенному неоднородному дифференциальному уравнению третьего порядка для функции G (т) с изолированной особой точкой, решение которого можно получить в виде обобщенных степенных рядов [4-7]. При этом радиус сходимости степенных рядов, определяющих решения полученного уравнения, равен единице.
Литература
1. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. - М.: Наука, 1970. - 288 с.
2. Хаппель Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хаппель, Г. Бреннер. - М.: Мир, 1976. - 630 с.
3. Ландау Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифтттиц. - М. : Наука, 1986.
4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. - М.: Наука, 1961. - 704 с.
5. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Код-дингтон, Н. Левинсон. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. - 474 с.
6. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И.И. Привалов. - М.: Наука, 1967. - 444 с.
7. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б. Двайт. -М.: Наука. 1978. - 224 с.
APPROXIMATED ANALYTIC SOLUTION OF VELOCITY LINEARIZED STOKES EQUATION IN SPHEROIDAL COORDINATE SYSTEM
N.N. Mironova
Belgorod State University Studencheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: [email protected]
The solution of velocity linearized Stokes equation in spheroidal coordinate system is obtained. It is used the power-type form of the dynamical viscousity dependence on temperature.
Key words: flow around, spheroid, Stokes equation.
