CC BY
16
УДК 536.21; 27.35; 25
ПРИБЛИЖЕННЫЙ СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ БЕСПИЛОТНЫМ САМОЛЕТОМ НА ОСНОВЕ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ ЛОГИКО-ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Е.А. Пегачкова, Е.Л. Кузнецова
Исследуется задача управления беспилотным самолетом, которому необходимо выполнить полет на заданную дальность с минимальными затратами топлива. Оптимальными в смысле экономии топлива являются переключательные режимы, приводящие к мгновенным многократным переключениям логической части. Рассматривая задачу в классе логико-динамических систем, возможно учитывать неэффективные затраты топлива при частых включениях и выключениях двигателя, поэтому синтезируется управление, реализуемое на практике и позволяющее сэкономить топливо.
Ключевые слова: оптимальное управление, необходимые условия оптимальности, логико-динамические системы, беспилотный летательный аппарат.
Введение
Рассматриваются различные постановки задачи полета беспилотного самолета на заданную дальность: в классе непрерывных детерминированных систем; в классе логико-динамических систем, учитывая невозможность разгона поршневого двигателя при включении на малое время, а также неэффективные затраты топлива при частых включениях/выключениях двигателя. Дальность полета определяется условием полного расхода топлива при непрерывной работе двигателя с постоянной максимальной тягой. Задача полета летательного аппарата с минимальным расходом топлива носит прикладной характер. Для нахождения оптимального управления к поставленным задачам применяются необходимые условия оптимальности [1]. Полученные решения сравниваются с реальным запуском беспилотного самолета Aerosonde [4] при крейсерском режиме, делаются выводы об экономичности и целесообразности применения полученного в работе управления. Решение всех задач производится с использованием разработанного программного комплекса, позволяющего строить траектории движения самолета и вычислять расход топлива на выполнение заданного маневра для различных моделей и параметров беспилотных самолетов.
Общая постановка задачи
Рассматривается задача поиска оптимального управления беспилотным самолетом (Aerosonde) [2,4]. Это небольшой беспилотный летательный аппарат (БПЛА), предназначенный, для сбора данных о погоде (температура, атмосферное давление, влажность и параметры изменения ветра над отдельными районами суши и над океаном). БПЛА Aerosonde оснащен экономичным бензиновым двигателем. Постановка задачи схожа с поставленной В.И. Гурманом [3], но исследуется полет с минимальным
277
расходом топлива на заданную дальность, определяемую условием полного расхода топлива при непрерывной работе двигателя с постоянной максимальной тягой. Горизонтальный полет происходит в канале тангажа, управление производится по тяге двигателя, что влечет за собой изменение скорости полета и подъемной силы, которая компенсируется изменением угла атаки. Рассмотрим полную нелинейную модель полета самолета:
л
х 0
+
(^ - ^ 0 У
peAR
+с%5/ + сХа5а + с/т/е + с/5г + cM М
'у
:у су0
+^а+с%5г + с/е5е + (с°°° + с( щ) + cmм;
= сЬ ь + с5а5 +с55 +
2У
(с(х (
. + с у
(оу) + смМ;
ч-
ГУ2 2
где р динат
плотность атмосферы; V - скорость ЛА в связанной системе коор-а - угол атаки; сх - коэффициент лобового сопротивления; с у 0 -
коэффициент подъемной силы при нулевом угле атаки; с°° - коэффициент
производной первого порядка по углу атаки; сХ0- коэффициент лобового
5а
сопротивления при нулевом угле атаки; с х - коэффициент производной по управлению рулем высоты; е - коэффициент Освальда; М - число Маха; а, Ь - углы атаки и скольжения.
Анализируется упрощенная модель полета, рассматриваются только первое приближение, причем задача решается для конкретной модели БПЛА со следующими техническими характеристиками: размах крыла -2,9 м; длина - 1,7 м; высота - 0,6 м; площадь крыла - 0,57 кв. м.; максимальная скорость - 140 км/ч; максимальная высота полета - 4500 м; максимальная взлетная масса - 13,5 кг; максимальная дальность полета - 3000 км; бензиновый двигатель Епуа Я120 мощностью 1280 Вт; продолжительность полета до 48 ч; расход топлива от 283 до 122 г/ч. В 2001 году Аеговопёе находился в воздухе 26 ч 45 мин, потратив всего 5,7 л бензина, полет происходил автономно, без внешнего контроля и на высоте 1680 м.
Учитывая допущения и технические характеристики, движение центра масс летательного аппарата можно описывать системой уравнений
х = v;
/ г
V =
т
сх0 +
5а
а
'у
тё
- с
у0
Бр(И)
Бр(Н) — + Т
(1)
т = —ш,
с
х
с
z
2
1
2
где p(h) = 1.1455 кг/м3 - плотность атмосферы; m = 13,5 кг - масса ЛА;
2 2 g = 9.8 м/с - ускорение свободного падения; S = 0.55 м - площадь крыла; v - скорость ЛА; a - угол атаки; cx - коэффициент лобового сопротивления; cx = -0.23 - коэффициент подъемной силы при нулевом угле
атаки; cay = 5.6106 - коэффициент производной первого порядка по углу
атаки; cxo = 0.0434- коэффициент лобового сопротивления при нулевом
А/у
угле атаки; c x = 0.0302 - коэффициент производной по управлению рулем высоты; b = 0.00007 кг/с - расход рабочего тела через двигатель в единицу времени (секундный расход); U = 22 H - тяга двигателя.
Рассмотрим крейсерский режим полета. Для приближенного решения задачи был создан программный комплекс в среде Delphi, позволяющий моделировать реальный режим запуска БПЛА. На рис.1 показана зависимость скорости от времени. Максимальная скорость, дальность полета, значение минимальной и максимальной скоростей характеризуются техническими характеристиками БПЛА. При скорости менее 10 м/с происходит "сваливание".
36 *..............................................................................
34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12
10 ^^
О 50 100 150 200 250 300 350
Рис 1. Полет с максимальной скоростью
Отметим, что рассматривая задачу с учетом того, что двигатель во время полета можно включать и выключать, т.е. переключаться между максимальной тягой и пассивным участком, когда двигатель не работает, можно получить экономию топлива по сравнению с полетом с постоянной скоростью. Сравнение переключательного режима полета и полета с постоянной тягой приведено в табл. 1.
Таблица 1
Сравнение переключательного режима полета и полета
с постоянной тягой
Переключательный режим Режим с постоянной тягой
Vсредняя = 30,75 м/с, общее время t = 3 158 с (дальность 100 км)
Тяга двигателя Ц/тах = 22 Н ^тах = 39,1 м/с Количество включений 877 Расход топлива 1,467 усл.ед. Включение 2,5 с / планирование 1,5 с Расход за 1 такт: 2,5 • 1,467 = 3,668 у.е. Общие затраты топлива: 4,022 кг Тяга двигателя и = 14 Н Количество включений 1 Расход топлива 1 усл. ед. Включение 4 с Расход за 1 такт: 4 • 1 = 4 у. е. Общие затраты топлива: 4,305 кг
Рассмотрим, например, режим со средней тягой 14Н из расчета фиксированной средней скорости и фиксированной дальности, он даёт приблизительно 7 % экономии топлива по сравнению с крейсерским режимом, хотя этот переключательный режим был выбран произвольно без применения условий оптимальности.
Моделирование полета в классе непрерывных систем
Учитывая возможность экономии топлива при переключательных режимах управления, рассмотрим задачу в классе непрерывных систем. Горизонтальный полет описывается системой дифференциальных уравнений (1). Требуется найти оптимальный процесс, минимизирующий расход топлива:
I = | ¿ш^Л.
¿0
Для решения поставленной задачи используем необходимые условия оптим альн о сти не прерывных систем.
Применяя принцип максимума к поставленной задаче, получаем, что оптимальное движение БПЛА состоит из чередующихся участков активного и пассивного движения, т.е. на активных участках двигатель включается с максимальной тягой, в остальное время двигатель выключен. Минимизация функционала, отвечающего за расход топлива, приводит к бесконечной последовательности импульсных включений двигателя с максимальной тягой. Таким образом, двигатель включается с максимальной тягой на минимальное время, но этих импульсов нужно делать как можно больше, за счет чего общее время полета неограниченно возрастает. При нахождении оптимального управления движением БПЛА оптимизация ведется по количеству запусков двигателя (переключений). На рис. 2 показана зависимость скорости летательного аппарата от времени.
280
Рис. 2. Изменение скорости при переключательном режиме полета
В результате минимизации получен процесс с 19 196 включениями двигателя. Общее время полета БПЛА составляет 229 606 с (63,7 ч). Расход топлива равен 1,906 кг.
Моделирование задачи в классе ЛДС
Учитывая невозможность разгона двигателя при включении на малое время, а также неэффективные затраты топлива при включениях двигателя было решено рассматривать задачу в классе ЛДС. При запуске двигателя максимальная тяга достигается не сразу, часть топлива тратится на переходный процесс, поэтому будем учитывать перерасход топлива при включении и выключении двигателя от его запуска до достижения заданной тяги.
Поведение модели ЛДС описывается уравнениями
X = V,
V =
m
aSv
2
Л
с х0 + СГ aSr— + yU max
(2)
m = -b,
a
1
a
mg
- c
y0
Sp
2
где y(t) e Y - состояние автоматной(логической) части системы, Y е [0;1] -множество возможных состояний автоматной части. Кусочно-постоянная непрерывная справа функция y( ): [to, tj ® Y задает траекторию автоматной части ЛДС. Она связана с тягой п(-) двигателя в модели (1) равенством
u(t) = Umaxy(t), to £ t £ tb 281
1
2
V
j
к
т.е. значение _у(/) определяет рабочее состояние двигателя: у = 0 - двигатель выключен, уф0 - двигатель включен. Требуется найти допустимый процесс, минимизирующий функционал
I = I Ми max У(* + £1, (3)
ч т
где Л > 0 — штраф за включение двигателя. Суммирование в функционале происходит по всем моментам времени твключения двигателя.
Для нахождения оптимального режима полета к задаче (2), (3) применялись необходимые условия [1], причем найденное управление равносильно управлению, полученному при помощи принципа максимума в классической постановке задачи (для непрерывной системы) [3]. Таким образом, используя оптимальную структуру автоматной части, задача в классе ЛДС сводится к конечномерной оптимизации - поиску оптимальных моментов включения и выключения двигателя.
Использовалась величина штрафа 1 = 0,01, учитывающая, что приблизительно 5-10 % топлива при включении и выключении двигателя расходуется неэффективно. Зависимость скорости от времени приведена на рис. 3.
40 35 30 25 20 15 10
1 у' 1
f 1
■- 1 1 1 1 1 1
50 100 150 200 250 300 350
Рис.3. Оптимальный режим для ЛДС
В результате оптимизации получен процесс с 1165 включениями двигателя, общее время полета БПЛА составило 106 641 с (приблизительно 29,6 ч). Наименьшее и наибольшее допустимые значения скорости соответственно равны V = 10 м/с, Утах = 39,15 м/с.
Сравнительный анализ полученных режимов
На основе полученных результатов можно произвести сравнительный анализ режимов с одинаковой дальностью полета, результаты которого приведены в табл. 2.
Таблица 2
Сравнительный анализ режимов с одинаковой дальностью полета
Режим полета Полет с максимальной скоростью Переключательный режим с минимальным временем Моделирование полета в классе непрерывных систем Моделирование полета в классе ЛДС
Расход топлива 5 кг 4,822 кг 1,906 кг 3,64 кг
Экономия топлива 0 % 3,56 % 61,88 % 27,2 %
Количество включений 1 9 000 19 196 1 165
Продолжительность включений (начало/конец) 64 516 с (17,9 ч) 9,3 с 5,1 с 0,7 с 0,4 с 48,2 с 33,65 с
Продолжительность планирования (начало/конец) 0 с 0,65 с 0,4 с 6 с 3,8 с 58,4 с 44,7 с
Общее время полета 64 516 с (17,9 ч) 67 060 с (18,6 ч) 229 606 с (63,7 ч) 106 641 с (29,6 ч)
Максимальная / минимальная скорость (м/с) v min = 10 vmax _ 39,15 ^ min = 37 vmax = 38 vmin = 10 vmax = 11 vmin = 10 vmax = 38
Переключательный режим с минимальным временем показывает результаты лучше, чем крейсерский режим, в классе непрерывных систем получаем предельно возможную экономию топлива 61,88 %, но время полета сильно возрастает (приблизительно на 255 %) и необходимо выполнить больше 19 тысяч переключений, что гораздо больше по сравнению с предыдущими режимами и не позволяет реализовать этот режим на практике, т.к. задача ограничена техническими характеристиками БПЛА. Поэтому задача была рассмотрена в классе ЛДС. Этот режим можно реализовать и он дает 27,2 % экономии топлива по сравнению с крейсерским режимом. Таким образом, можно прийти к выводу, что наиболее эффективный режим - режим в классе логико-динамических систем.
283
Заключение
Составлена упрощенная модель полета беспилотного самолета с поршневым двигателем. Получено решение прикладной задачи полета с минимальным расходом топлива на заданную дальность, которая определяется условием полного расхода топлива при непрерывной работе двигателя с постоянной тягой в классе непрерывных и в классе логико-динамических систем. Применены необходимые условия оптимальности. Разработан программный комплекс, позволяющий находить приближенное решение задачи для различных БПЛА в классе непрерывных систем и в классе ЛДС. Произведен сравнительный анализ, полученных результатов, показано, что оптимальным в смысле экономии топлива является режим с множественными переключениями, который невозможно реализовать на практике, поэтому, учитывая технические особенности летательного аппарата, наиболее экономичным является управление, полученное в классе логико-динамических систем. В статье произведено исследование задачи в рамках скоростных режимов, аналогично [3]. При этих режимах продолжительность работы двигателя разная за счет переменной массы БПЛА, включения происходят при достижении минимальной скорости (10 м/с), а выключению при достижении максимальной (по техническим характеристикам это около 40 м/с, но при разных режимах полета и в процессе оптимизации этот параметр меняется), также в качестве параметра оптимизации можно использовать время активных участков и именно по их продолжительности проводить оптимизацию.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации МК-1664.2017.8, МД-3 98.2017.8.
Список литературы
1. Бортаковский А.С. Необходимые условия оптимальности управления логико-динамическими системами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. №6. С. 16-33.
2. Пегачкова Е.А., Кузнецова Е.Л., Горбунова Ю.А. Управление беспилотным самолетом методом динамического программирования в теории графов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2016. Вып. 11. Ч. 2. С. 352-359.
3. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. М.: Наука, 1977.
4. Авторский сайт Андрея Миронова про беспилотную технику и др. [Электронный ресурс] URL: http://bespilotie.ru/aerosonde/ (дата обращения: 10.09.2017).
5. N Non-stationary heat transfer in anisotropic bodies with general ani-sotropy and given distributed heat sources/ V.F.Formalev, Ek.L.Kuznetsova, S.A.Kolesnik, E.A.Pegachkova // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2017. Vol. 115. No. 3. P. 585-597.
284
Пегачкова Елена Александровна, канд. физ.-мат. наук, доц., pegachko-va@mail.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),
Кузнецова Екатерина Львовна, д-р физ.-мат. наук, проф., lareyna@mail.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
APPROXIMATE CONTROL SYNTHESIS OF UNMANNED FLYING VEHICLE ON THE BACKGROUND OF NECESSARY CONDITIONS OF THE OPTIMALITY OF LOGICAL-DYNAMICAL SYSTEMS
E.A. Pegachkova, Ek.L.Kuznetsova
The flight control and fuel consumption minimization problem is studied for an unmanned flying vehicle with prescribed flight range. The optimum fuel saving control consists in switching regimes leading to instantaneous switching of the logical part. Considering this problem as a logical-dynamical system allows one to take into account for the inefficient fuel consumption resulted by frequent engine pull-ins and pull-outs. Thus, the synthesis of the practicable control leading to fuel economy can be performed.
Key words: optimal control, necessary conditions of optimality, logical-dynamical systems, unmannedflying vehicles.
Pegachkova Elena Aleksandrovna, candidate of physical and mathematical sciences, docent, pegachkova@mail.ru, Moscow, Russian Federation, Moscow Aviation Institute (National research university),
Kuznetsova Ekaterina Lvovna, doctor of physical and mathematical sciences, professor, lareyna@mail.ru, Moscow, Russian Federation, Moscow Aviation Institute (National research university)
