CC BY
46
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том VIII 1977 № 4
УДК 629.7.631.37:656.7.002(022)
ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ И ДВИЖЕНИЯ ВИХРЕЙ ЗА НИЗКОЛЕТЯЩИМ БИПЛАНОМ
Ю. Е. Кузнецов, Я■ Ш. Флаксман
Приведен приближенный расчет поля скоростей на некотором удалении за бипланом, летящим на относительно небольшой нысоте над поверхностью Земли. Вихревой след за бипланом заменялся системой из четырех бесконечных свободных вихрей. Экранирующее влияние поверхности Земли учитывалось введением дополнительных четырех зеркально отображенных вихрей. Исследован характер движения вихрей в зависимости от высоты полета.
При обтекании крыла конечного размаха возникает разрыв скоростей в касательном к задней кромке направлении вниз по потоку. Поверхность разрыва можно представить в виде серии вихрей бесконечно малой циркуляции йТ, распределенных вдоль размаха и сбегающих с крыла. Такая система называется вихревой пеленой. Вихревая пелена неустойчива и при дальнейшем перемещении вниз по потоку свертывается в два концевых вихря. Это дает возможность на некотором удалении от крыла самолета рассматривать систему двух бесконечных вихрей. Скорость биплана значительно превышает характерную скорость вихревого движения в следе за самолетом. Это приводит к тому, что через короткое время самолет оказывается на значительном расстоянии от точки пространства, в которой определяется поле скоростей, а следовательно, предположение о том, что пелена свернулась и что вихри можно считать бесконечными, становится оправданным.
При полете на относительно небольших высотах экранирующее действие поверхности Земли оказывается значительным. Его влияние учитывалось с помощью фиктивной вихревой системы, зеркально отображенной относительно экрана. Таким образом, летящий на относительно небольшой высоте биплан можно заменить системой из восьми бесконечных вихрей (фиг. ]). По аналогии с молекулярной диффузией вихря [1,2] считалось, что по мере удаления от крыла циркуляция свободного вихря уменьшается в результате турбулентной диффузии и определяется выражением [3]:
Г (,)_ Г (0)[1_еч, (I)
Здесь: Г (0) — начальная циркуляция свободного вихря; г - расстояние от оси свободного вихря; к—коэффициент диффузии; I — время диффузии вихря.
Коэффициент диффузии к при различных атмосферных условиях может изменяться ОТ 0,2 см2/с (для молекулярной диффузии) ДО 103—101 см2/с (для турбулентной диффузии). В рассматриваемом случае к принимался равным коэффициенту турбулентной диффузии Шмидта [3] (&*=3,2-103 см2/с). Вихри считались прямолинейными и параллельными оси ОХ. Допустимость этого предположения будет обсуждаться ниже. С учетом (1), поле скоростей, индуцируемое
системой из восьми бесконечных прямолинейных вихрей в некоторой точке пространства /4 (см. фиг. 1), в выбранной скоростной системе координат можно рассчитать по следующим формулам:
у*
7 і
2л/-?
Кгг = .
2я г]
(У,
1 -
ехр
1 — ехр
Ш
О
п
Г,=
Гь і = 1,8
-Г„ г = 2,7
Га, і = 3,6
-г*. і = 4,5
, г2 _ г,
^ = 2 Ъь І—1
4
V,
8
2 V* /=1
(2)
(3>
(4)
(5)
(6)
где У и
'ус
— циркуляция г-го свободного вихря; г/ — координаты центра /-го вихря в плоскости
г,- = [(у — у/)2 + (г — г;)3]^2 — расстояние от точки Л (у, г) до центра г-го вихря;
Кг; — компоненты скорости индуцируемой 1-м вихрем в точке А (у, г);
Г1; Г2—циркуляция в корневом сечении верхнего и нижнего крыльев соответственно;
Уг, К2—подъемная сила, создаваемая верхним и нижним крылом соответственно;
Ь2—полный размах верхнего и нижнего крыльев соответственно; р — плотность воздуха на высоте полета; и0 — скорость полета;
Уу. Уг — компоненты скорости, индуцируемой в точке А всей системой из восьми свободных вихрей.
Таким образом, с помощью соотношений (1)—(6) можно определить поле скоростей за летящим бипланом в любой момент времени. Перемещение вихрей
Фиг.
1 и 3 в плоскости У2 описывается следующими уравнениями (положение остальных 6 вихрей определяется в любой момент времени в силу осевой симметрии):
Здесь у\, Z[ — координаты центра 1-го вихря в плоскости YZ\ у3, z3 — координаты центра 3-го вихря в плоскости Y2\
у* г — компоненты суммарной индуктивной скорости, создаваемой на оси 1-го вихря остальными семью вихрями;
V3y, V3Z—компоненты суммарной индуктивной скорости, создаваемой на оси 3-го вихря остальными семью вихрями.
Выражение для у, Vlz, V3y, V3 г получаются суммированием соотношений <2)—(3), в которых вместо координат произвольной точки плоскости YZ подставлены координаты центра соответствующего вихря.
Начальные условия для уравнений движения (7) имеют вид:
Здесь Л — высота биплана.
При расчете поля скоростей за бипланом все линейные размеры были отнесены к некоторому характерному размеру, за который был принят полный размах верхнего крыла время было отнесено к характерному времени /ц, а все скорости — к характерной скорости вихревого движения У0, которые определяются соотношениями:
где Г0 = —г.—ту—т ; — вес биплана.
и ж/4р{У0М
Система дифференциальных уравнений (7) с учетом начальных условий интегрировалась методом Рунге — Кутта с автоматическим выбором шага на ЭЦВМ БЭСМ-6.
В качестве примера приводится расчет поля скоростей за бипланом, обладающим следующими относительными параметрами: полный размах нижнего крыла £2 =0,75 2,!, высота биплана Л = 0,11 относительная скорость полета Щ( У0 = 13,5 (число Струхаля). Кроме того, предполагалось, что нижнее крыло биплана несет 30% суммарной нагрузки, т. е. К2/^ = 0,3.
При расчете поля индуктивных скоростей были сделаны следующие допущения:
1. Для определения связи между циркуляцией в корневом сечении крыла {т. е. циркуляцией вокруг присоединенного вихря) и подъемной силой, создаваемой этим крылом, принималось предположение об эллиптическом законе распределения циркуляции по размаху крыла:
2. Считалось, что свободные вихри на протяжении рассматриваемого промежутка времени остаются параллельными оси ОХ (направлению скорости полета £/0) и не учитывалась пространственная деформация вихря. Это давало возможность для расчета индуктивных скоростей воспользоваться относительно простыми формулами вида (2)—(3). Такое предположение легло в основу многих теоретических работ по расчету вихревого следа за самолетом [3—7]. Как показывает оценка, ошибка в расчете индуктивной скорости в результате применения формул (2), (3) не превышает 20%.
Траектории центров вихрей 1 и 3 в плоскости У2 для полетов на различных высотах Н от 0,23/■! до 1,36 Ь1 приведены на фиг. 2. Цифрами вдоль траектории обозначены моменты безразмерного времени т (отнесенного к характерному времени ^0), соответствующие данному положению центра вихря в плоскости YZ. Изображенные траектории иллюстрируют существенное влияние высоты полета
(0) = 0,5 h, zx (0) = 0,5 Lu Уз (0) = - 0,5 h, z3 (0) = 0,5 U.
-0,2
—г Л \ ?
1 [7 V
ПоВерхность; Л=0,231,
О 0,2 0,4 0,6 0,8 гЦ1
1 0
[ '
I . и/ 2 45
0\
4^
Поберхность ;Я=0,6811
^л^лаллАчлллЛях ххх'аллллллх
О 0,2 ол 0,6 0,8 г/1, 0,8
Фиг. 2
^6,15
^Поверхность ;Н-1,36Ь1 О 0,2 0,4 0,6 г/£,
на характер движения вихрей. При полете на небольшой высоте // = 0,23 1.! центры вихрей перемещаются в боковом направлении (по оси ОТ) без значительных перемещений вниз. При полете на большой высоте // = 1,36 центры вихрей постепенно опускаются по направлению к Земле, смещаясь в боковом направлении лишь в незначительной степени. При полете на высоте // = 0,681! ясно виден промежуточный случай: вихри перемещаются в боковом направлении, постепенно при этом опускаясь.
Такое поведение центров вихрей объясняется тем, что основной вклад в их движение вносит скорость, индуцируемая ближайшей системой вихрей. При полете на небольшой высоте ближайшими являются зеркально отображенные вихри (т. е. расположенные за экраном, см. фиг. 1). Скорость, индуцируемая ими, направлена горизонтально в боковом направлении, соответственно движутся и центры вихрей. Однако при полете на большей высоте ближайшими являются вихри, сходящие с противоположного конца крыла, индуцируемая ими скорость направлена вниз, что приводит к перемещению центров вихрей вниз.
Движение свободных вихрей в боковом направлении при полете вблизи экранирующей поверхности было экспериментально исследовано в работах [8, 9]. На основе методики, изложенной в настоящей работе, была сделана попытка расчета бокового смещения вихрей для модели и условий эксперимента, описанного в работе [9]. Результаты расчета угла отклонения вихря в горизонтальной плоскости приведены в таблице. Соответствие расчетных и экспериментальных
Таблица
Относительная высота крыла над экраном [9] 0,05 0,075 0,1 оо
Относительная циркуляция, фиг. 5. [9] 0,155 0,135 0,125 0,075
Расчет угла отклонения вихря по методике настоящей работы 7,5° 5,3° 4,6° 0
Измеренный угол отклонения вихря в горизонтальной плоскости [9] 9,3° 8° 6,5° 0
данных с точностью до 20% следует считать удовлетворительным, учитывая как неточность определения величины циркуляции в эксперименте, так и приближенный характер методики расчета.
В заключение отметим, что описанный выше прием расчета поля скоростей за самолетом можно рассматривать как следующее приближение по сравнению с линейной теорией, когда вихри располагаются по линиям тока невозмущенного движения. Метод может быть использован, например, при анализе движения частиц и капель в вихревом следе низколетящего биплана.
Авторы благодарят Р. И. Штейнберга за полезное обсуждение работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., „Наука",
1973.
2. К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, ч. 2. М., Физматгиз, 1963.
3. Деревянко В. С. Влияние аэродинамических возмущений на процессы авиационного опыливания и опрыскивания. М., „Транспорт”, 1974.
4. Spreiter J. R., Sachs А. Н. The rolling up of the trailing vortex sheet and its effect on the downwash behind wings. J. of the Aeronautic Sci., vol. 18, N 1, 1951.
5. Rosso w V. T. Theoretical study of lift — generated vortex wake designed to-avoid roll up. AIAA J. vol. 13, N 4, 1975.
6. Ross о w V. T. Convective merging of vortex cores in lift — generated wakes. AIAA Paper, N 76—415, 1976.
7. В r a s h e a r s M. R., H a 1 1 о с k T. N., Logan N. A. Analysis of predicted aircraft wake vortex transport and comparison with experiment. AIAA Paper, N 74-506, 1974.
8. В и з e л ь E. П. Исследование свободных вихрей крыла малого удлинения с концевыми шайбами вблизи экрана. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 2, № 3, 1971.
9. В изель Е. П. Исследование особенностей обтекания прямоугольных крыльев малого удлинения, движущихся вблизи экрана. Труды ЦАГИ, вып. 1621, 1974.
Рукопись поступила 19/XI 1975
