CC BY
92010
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика Вып.2(2)
УДК 539.3
Приближенная оценка глубины проникания сваи в грунт при многократном ударе
1 2 В. Н. Аптуков , А. В. Фонарев
'Пермский государственный университет, Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 aptukov@psu.ru; (342) 239-68-19
2Институт механики сплошных сред УрО РАН, Россия, 614013, Пермь, ул. Академика Королева, 1 afonarev@icmm.ru; (342) 237-83-08
При полной постановке и решении задачи проникания недеформируемого тела при ударе по нормали в грунт возникают значительные вычислительные затруднения. Статья посвящена приближенному подходу к описанию этого процесса. В качестве параметров математической модели используются данные стандартных испытаний грунтов. Приведено сравнение расчетных данных, полученных по приближенной методике, с результатами численного моделирования на основе явной лагранжевой конечно-разностной схемы. Полученные результаты могут быть использованы при оценивании параметров оборудования, применяемого при ударном вытрамбовывании котлованов и погружении свай.
Ключевые слова: грунт; свая; проникание; методика.
1. Динамическое проникание твердого тела в грунт
Уравнение динамического проникания твердого тела с осью симметрии в грунт [1, 2] имеет вид
(1)
где т - масса тела; о - скорость; ¥с - сила сопротивления прониканию.
Пусть на каждую точку тела, соприкасающуюся с грунтом, действует удельное усилие <Ус, направленное по нормали, и удельное
усилие Т , направленное по касательной к поверхности в этой точке (рис. 1). Введем две системы координат: фиксированную Ох, связанную с поверхностью грунта, и локальную Юх2, связанную с движущимся телом.
Тогда сила сопротивления примет вид
¥с = -| (тс сох а + ас хіп а$5 ,
(2)
где 5 - площадь поверхности тела, соприкасающаяся с грунтом; tga = /(2); /(2) - переменный радиус образующей тела.
Выражение (2) преобразуем к виду
х(г)
рс =-2^\ (*с + °с!' )№ •
(3)
Рис. 1. Схема удельных усилий сопротивления грунта, фиксированная и локальная системы координат
Отметим, что уравнение (1) с правой частью (3) является практически точным, здесь не было сделано пока никаких предпо-
© В. Н. Аптуков, А. В. Фонарев, 2010
0
ложений. Основной проблемой является задание удельных усилий т и а с.
2. Простейшая модель проникания тела в грунт
Максимально простой вариант выражения (3) заключается в следующем: пренебрегаем трением т = 0, а сопротивление грунта прониканию полагаем постоянным:
а =const.
c
Тогда уравнение (1) преобразуется к
виду
m (x)a = —nf2 (x)a , (4)
dt m c c
где Sm - площадь миделевого сечения (поперечного сечения тела на уровне поверхности грунта).
В данном варианте текущая сила сопротивления грунта определяется средним давлением а и площадью миделя, и она не зависит от формы поверхности тела, уже внедренного в грунт.
Представив ускорение в виде
dv = 1 d(^2), уравнение (4) можно проин-dt 2 dx тегрировать:
1 m(v2 (x) — vl) = —aV (x),
x , (5)
V (x) = J Sm (x)dx
0
где V(x) - текущий объем кратера (котлована) (рис.2); V0 - начальная скорость удара.
Пусть тело достигло глубины L и остановилось: v( L) = 0, тогда
I mvl = W (L) = aV (L), (6)
где W(L) - работа, совершенная силой сопротивления грунта при образовании кратера (котлована) глубиной L.
Соотношение (6) представляет собой энергетическое равенство начальной кинетической энергии тела работе по образованию кратера. В этом смысле удельная величина сопротивления грунта прониканию а является энергией, затраченной на образование единицы объема кратера W / V.
Очевидно, что соотношение (6) дает завышенные значения глубины проникания, так как при оценке сопротивления грунта не учитывались трение и инерционные силы.
Рис. 2. Схема проникания тела при постоянном сопротивлении грунта без учета трения
3. Учет динамического сопротивления
Более точный подход к решению задачи проникания твердого тела в грунт должен
учитывать трение Т и более сложный закон
сопротивления а . Представим удельное сопротивление прониканию в виде суммы собственного (статического) ао и инерционного (динамического) сопротивления [3]:
ac =а0 + kpv2, (7)
где k = sin2 а - коэффициент формы; p -
плотность грунта.
В этом случае уравнение движения примет вид 1 d x
-m—(Ь2) = -2я\[Т + іао + kPvT)f']fdz (8)
2 dx о
Уравнение (8) интегрируется в конеч-
ном виде для тел с простой геометрией, например для конуса или цилиндра с конической головкой. Если рассматривается задача об ударном вытрамбовывании котлована, то трением можно пренебречь, что еще больше упрощает анализ.
4. Задача о забивке сваи в грунт при многократном ударе
Рассмотрим задачу о забивке дизель-молотом длинной сваи в грунт при многократном ударе (рис.З). Задается масса сваи m и молота M, при n-м ударе задается высота падения молота H . В ходе решения требует-
ся определить общую глубину погружения сваи и погружение ее за один удар Ь .
Рис. 3. Схема динамической забивки длинной сваи (параметры - слева) и разностная сетка для расчета процесса проникания численным методом [4, 5] (справа)
Скорость падения молота в момент соприкосновения со сваей без учета сил трения в системе при и-м ударе определяется по высоте его падения:
и; =,Щнп • (9)
Из закона сохранения импульса (предполагается, что коэффициент восстановления удара равен нулю - неупругий удар) следует начальная скорость внедрения сваи при и-м ударе составляет
Т тп я Л'
(10)
u;m
0 (т + М)
Будем полагать удельное усилие трения постоянным, х = сот1, а головную часть сваи
- конической с углом 2а . Тогда закон движения сваи (8) можно записать в форме линейного неоднородного дифференциального уравнения относительно квадрата скорости:
ё
dx
(v ) = A + Bx + Cv
(11)
. 4^R2CTn 4nRc
A =-----------0, B = -- '
m + M
m + M
C = 4лИ2к:р , (12) m + M
где Я - радиус цилиндрической части сваи.
Решение уравнения (11) с начальными условиями и(Х = х"а) = о"а имеет вид
V2 = (А + В + -Хп0 + (V )2) ехр(С(Х - Хп0 )) —
С С2 С 0 0 0 (13)
А В В
— (—+—V +— х)
С С2 С
откуда с учетом условия остановки сваи v(х = хпк) = 0 можно получить соотношение
для определения положения сваи Хк после п-го удара:
(АС + В + ВСхП + С2^ )2)ехр(С(хП — хП)) =
= АС + В + ВСх;
Соотношение (14) не позволяет полу-
-к-п
чить конечное выражение для Хк , поэтому
упростим уравнение (11), учитывая влияние инерционной составляющей сопротивления в среднем,
ё (V1) = А + Вх +1 С>П )2. (15)
ах 2
Уравнение (15) легко интегрируется, что позволяет получить достаточно простое и физически ясное решение для приращения глубины проникания сваи при п-м ударе:
г = xn - xn =
Ln xk Л0
іщ+m )vn0 )2
4^R(R(a0 + - Mv0n )2) + x0Tc )
(16)
При первых ударах для малых значений x^ (xj = 0) основное сопротивление оказывает лобовая коническая часть сваи. С ростом глубины проникания основную роль начинает играть сопротивление трения на боковой поверхности сваи, которое для длинных свай может на порядок превышать лобовое сопротивление.
Очевидно, что для одинаковых начальных скоростей сваи v"a = const с ростом глубины ее
проникания x n (увеличением количества ударов п) приращение глубины проникания Ln при n-м ударе падает по гиперболическому закону.
5. Примеры расчета
Рассмотрим некоторые численные примеры расчета по предлагаемой методике. На рис. 4 (группа кривых 2) показаны зависимости общей осадки сваи от количества ударов для следующих параметров задачи: R = 10 см;
а = 30°; m + M = 30 кН; сг0 = 0,5 МПа;
= 2,0 г/см .
Там же показаны зависимости осадки сваи за один удар от номера удара (группа кривых 1).
Полученные зависимости качественно хорошо согласуются с результатами расчетов по программному комплексу [4, 5].
|ударов
Рис. 4. Зависимость параметров осадки сваи от количества ударов: Тс = 0,05 МПа (квадрат); Тс = 0,1 МПа (треугольник)
40 60 80 100
Общее число ударов N Рис. 5. Зависимость общей осадки сваи от количества ударов: численное решение двухмерной динамической задачи (квадрат); приближенная методика (линия)
Постановка задачи численного моделирования в рамках двумерной нестационарной упругопластической контактной задачи приведена в [4], численная схема реализована в виде пакета прикладных программ PILE GROUND [5].
На рис. 5 показаны сравнительные результаты расчета по предлагаемой прибли-
женнои методике с результатами численного моделирования, требующего больших вычислительных затрат.
Параметры расчета по приближенной методике: вес сваи 20 кН; вес копра 10 кН; диаметр сваи 40 см; удельный вес грунта 1,8 гс/см3; начальная скорость удара 3 м/с; удельное сопротивление грунта (статическое) (Г =
0,17 МПа; удельное трение Тс = 0,065 МПа.
Для расчетов по программе PILE GROUND были приняты следующие параметры грунта: сцепление с0 = 2 кгс/см2; угол внутреннего трения р = 150; коэффициент Пуассона /и = 0,33; начальный объемный модуль К0 = 59 кгс/см2.
6. Заключение
Предложена инженерная методика расчета проникания сваи в грунт при многократном ударе, позволяющая с минимальными затратами оценить влияние основных параметров процесса на динамику ударного погружения.
При глубинах более 3-4 м величина осадки сваи за один удар сильно уменьшается и не превышает 5-10 см. Показано значительное влияние трения на затраты энергии при ударной забивке длинных свай на глубину 510 м, когда количество ударов может достигать нескольких сотен.
Список литературы
1. Аптуков В.Н., Мурзакаев Р.Т., Фонарев А.В. Прикладная теория проникания. М.: Наука. 1992.104 а
2.Аптуков В.Н., Бартоломей А.А., Фонарев А.В., Ирундин С.В. Моделирование процесса ударного вытрамбовывания котлованов // Основания, фундаменты и механика грунтов. 2000. № 3. С. 11-15.
3. Баллистические установки и их применение в экспериментальных исследованиях / под ред. Н.А.Златина и Г.И.Мишина. М.: Наука. 1974. 344 с.
4.Аптуков В.Н., Фонарев А.В. Численное моделирование процессов ударного и взрывного деформирования элементов конструкций и грунтов: учеб. пос. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2009. 221 с.
5.Бартоломей А.А. Омельчак И.М., Фо- междунар. конф. по проблемам свайно-
нарев А.В. Математическое моделиро- го фундаментостроения. М., 1989.
вание динамики погружения свай // Тр. С.28-36.
The approached estimation of penetration depth of the pile in a ground under multiply impact
V. N. Aptukov A. V. Fonarev2
1Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15 aptukov@psu.ru; (342) 239-68-19
2ICMM of Ural Branch RAS, Russia , 614013, Perm, Ac. Koroleva st., 1 afonarev@icmm.ru; (342) 237-83-08
From the computational point of view, the statement and solution of the problem on rigid body immersion into the ground under normal impact conditions present essential difficulties. In this paper, we develop an approximation approach to the model describing the processes of impact consolidation of foundation pits and immersion of piles. The data of standard tests are used as mathematical model parameters. A comparison is made between the results of calculation obtained by the proposed approximation method and the results of numerical modeling calculated using an explicit finite difference scheme. The results obtained in this study can be used to evaluate the parameters of equipment for impact consolidation of foundation pits and immersion of piles.
Key words: ground; pile; penetration; method.
