ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМБИНАТОРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И T-МОДЕЛИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.11

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМБИНАТОРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И Г-МОДЕЛИ

Бондаренко Леонид Николаевич,

канд. техн. наук, доцент, заведующий кафедрой гуманитарных и естественно-научных дисциплин,

e-mail: [email protected], Московский университет им. С.Ю. Витте, филиал в г. Сергиевом Посаде

Эта статья продолжает рассмотрение вопросов, связанных с моделированием, классификацией и стандартизацией комбинаторных последовательностей. Для этого используются T-модели и T-диаграммы. T-модель является последовательностью таблиц специального вида, составленных из целых положительных чисел. Она получается с помощью простого алгоритма, а ей легко ставится в соответствие комбинаторная последовательность. В ряде случаев по T-модели можно построить T-диаграмму. Она является диаграммой Хассе частично упорядоченного множества, просто связанного с T-моделью. Для T-диаграммы вводятся две двухиндексные последовательности, тесно связанные с соответствующей комбинаторной последовательностью. Это дает возможность исследования многих как одноиндексных, так и двухиндексных последовательностей. В данной работе с помощью некоторых преобразований комбинаторных последовательностей вводятся классы T-моделей. Эти классы в ряде случаев упрощают методы моделирования и классификации комбинаторных последовательностей. Рассмотрена задача применения таких классов T-моделей для получения новых комбинаторных результатов.

Ключевые слова: комбинаторная последовательность, преобразования последовательностей, производящая функция, T-модель, посет, T-диаграмма

TRANSFORMATIONS OF COMBINATORIAL SEQUENCES

AND T-MODELS

Bondarenko L.N.,

candidate of technical sciences, associate professor, head of the sub-department of humanities and natural

science disciplines, e-mail: [email protected], Moscow Witte University, a branch in the city of Sergiev Posad

This article continues the discussion of issues related to the modeling, classification and standardization of combinatorial sequences. T-models and T-diagrams are used for this. The T-model is a sequence of tables of a special kind made up of positive integers. It is obtained using a simple algorithm, and easily corresponded to a combinatorial sequence. In some cases, the T-model can be used to build a T-diagram, which is a Hasse diagram of a partially ordered set simply associated with a T-model. For a T-diagram, two two-index sequences are introduced, closely related to the corresponding combinatorial sequence. This makes it possible to study as single-index but double-index sequences. In this paper, using some transformations of combinatorial sequences, classes of T-models are introduced. In some cases, these classes simplify methods of modeling and classification for combinatorial sequences. The problem of using such classes of T-models to obtain new combinatorial results is considered.

Keywords: combinatorial sequence, sequence transformations, generating function, T-model, poset, T-diagram

DOI 10.21777/2500-2112-2020-3-89-97

Введение

Целочисленные последовательности естественно возникают при рассмотрении многих задач информатики, математической статистики и ряда других прикладных дисциплин. Получение таких последовательностей и исследование их свойств базируется на использовании мощных методов перечислительной комбинаторики, которая является бурно развивающейся областью прикладной математики.

В настоящее время эта область оказывает существенное воздействие на преобразование и развитие многих классических разделов математики, что прекрасно прослеживается по основополагающим работам Ричарда Стенли [7; 8], а ее роль в информатике можно легко оценить по замечательной монографии Дональда Кнута [5] и другим его многочисленным работам.

Для описания и классификации огромного числа целочисленных последовательностей, возникающих в различных приложениях, Нилом Слоуном была создана уникальная "The on-line encyclopedia of integer sequences" (OEIS) [11]. Объем этой энциклопедии постоянно возрастает, и она уже содержит более 330 000 статей по целочисленным последовательностям, встречающимся в комбинаторике, теории графов и т.д.

Каждая статья OEIS нумеруется буквой A с шестизначным цифровым кодом и содержит, кроме ссылок на источники, также основные формулы, включающие рекуррентные соотношения, производящие функции и т.п.

Подавляющая часть статей в OEIS посвящена описанию возрастающих последовательностей целых положительных чисел, которые удобно называть комбинаторными последовательностями [3].

Ряд комбинаторных последовательностей из OEIS может быть связан между собой специальными преобразованиями, описанию и исследованию которых посвящена многочисленная литература, например, [9].

Эти преобразования позволяют получать из известных новые комбинаторные последовательности, изучать их свойства, а также упростить классификацию и систематизацию комбинаторных последовательностей.

Для моделирования, классификации и стандартизации комбинаторных последовательностей в [2; 3] были успешно использованы их Г-модели, являющиеся последовательностями специального вида таблиц целых положительных чисел. Этому значительно способствовала простота построения с помощью Г-модели комбинаторной последовательности некоторых связанных с ней двухиндексных последовательностей, которые также обычно встречаются в OEIS.

С помощью применения некоторых преобразований комбинаторных последовательностей можно построить определенные классы Г-моделей, что приводит к упрощению классификации и стандартизации ряда комбинаторных последовательностей, а также получению новых их свойств.

Постановка задачи

Целочисленную последовательность a = {al,a2,...} также можно задавать с помощью описания ее общего члена an, где индекс n е N = {1,2,...}. Выбор в a начального значения индекса, равного единице, позволяет рассматривать и тривиальное продолжение этой последовательности {a0, аг, a2,...}.

Обычная F (и) и экспоненциальная G(u) производящие функции последовательности a = {al, a2,...} записываются выражениями [4; 7; 8]

т т иП

F(—) = Z an+Un, G(—) = Z an+i .

n=0 n=0 n!

Эти производящие функции ^как формальные ряды могут быть связаны интегральным преобразованием Лапласа^(иX 2} = 2- р (2- ) > свойства которого и подробные таблицы для нахождения прямого и обратного преобразования Лапласа можно найти в [1].

Биномиальное преобразование В последовательности а = {а1, а2,...} в последовательность Ь = {Ь1, Ь2,...}, иначе Ь = Ва, задается соотношением [9]

,Г п - Л

bn = Z

k=1

k -1

ak, n

N,

итерирование которого т е N раз дает последовательность Ь = В(т)а (B(1) = B), члены которой вычисляются по формуле [12]

п -Л

Ъп = У

т

к=1

Vк - Ъ

ак, т, п е N.

(1)

Очевидно, что при т = 0 соотношение (1) дает последовательность Ь = а.

Особенно просто преобразование Ь = В(т)а описывается с помощью экспоненциальных производящих функций последовательностей а и Ь : если а отвечает G(и), то Ь имеет производящую функцию emuG (и) [9; 12].

Еще одно важное преобразование последовательности а = {а1, а2,...} можно получить на основе рассмотрения определителей Ганкеля [10; 12]

Н(т) =

ат а„

ат+1 ат+2

а

т+п-1

а

т+ п

ат+п-1 ат+п ... ат+2п-2

т, п е N,

которые находят многочисленные применения в различных разделах современной математики и ее приложений. Даже для последовательности а целых положительных чисел определители Н(т) могут

п

принимать также целые неположительные значения.

Определение 1. Преобразованием Ганкеля последовательности а называется последовательно)

ность Нп при п е N.

Преобразование Ганкеля Н определения 1 дает последовательность Ь = На, а его свойства и применения рассматриваются в работах [10; 12].

Далее в основном будут рассматриваться только комбинаторные последовательности а = {а1, а2,...} , для которых а1 < а2 < ...и а1 = 1. Тривиальное их продолжение достигается добавлением а0 = 1, а применение к а и ее продолжению в(т) при т е N приводит к различным результатам.

Ряд комбинаторных последовательностей можно задавать и исследовать с помощью специальных комбинаторных конфигураций - Т-моделей [2; 3].

Определение 2. Т-модель комбинаторной последовательности а - это тройка (£, 0, Т1) с алфавитом S е N, дискретным многозначным отображением 0 : в ^ 11 ... у , где в,

Г' /-ч «-'1«-'2 в

1 ^ т ^ у ^ ... ^ у , ^ ^^^ 1 = (а2), причем 0 отображает каждый элемент

в е Т в неубывающую последовательность (строку) 71 у2... длины 0 (в) = в следующей таблицы Т , которая находится рекурсивно по формуле Т п+1 = 0 (Г,), п е N.

п+1

Так как веса (число элементов) таблиц 1 п \ при п е N определяют некоторую комбинаторную последовательность а, то Т-модели отвечает эта последовательность, но заданной а обычно соответствует много Т-моделей.

Каждой таблице Тп Т-модели определения 2 сопоставляется ее производящий многочлен У. еТ ^ или его модификация ип(^), полученная с помощью преобразований, сохраняющих его значение при I = 1, например, умножение на степень I или замена I некоторой ее степенью [2; 3].

Поэтому каждой Т-модели отвечает комбинаторная последовательность ип (1) = Тп при п е N, а нахождение соотношений между многочленами ип (^) часто позволяет легко исследовать свойства этой последовательности.

Таким образом, при задании Т-модели тройкой (S 0 Т,), которой соответствует комбинаторная

4 ' ' (Ч* с* т*\

последовательность а, возникает естественная задача нахождения новой Т-модели ^ , 0 , Т1 ) , которой отвечает другая комбинаторная последовательность Ь , а последовательности Ь и а связаны некоторым преобразованием. Решение этой задачи рассмотрим для некоторых простых преобразований комбинаторных последовательностей.

Степенное преобразование D и классы ^моделей

Элементарное преобразование комбинаторной последовательности а = {а1, а2,...} вида Ь = D(г)а, задаваемое при г, п е N соотношением Ьп = г" ап, назовем степенным преобразованием D с параметром г . В частности, результат такого преобразования последовательности чисел Каталана

1 Г 2" ^

при п е N [11, А000108] рассматривается в [11, А003645] при г = 2.

п +1

V п У

Теорема 1. Пусть Г-модели , 0, Г1) определения 2 соответствует комбинаторная последовательность а = {а1,а2,...}. Тогда Г-модели (S , 0 , Т1 ), в которой гsе S*, если s е S, 0 : гs ^ (г./1}г (г/2У ...(гjs)г и Т1 = (га2Х, отвечает последовательность Ь = D(гха при г е N , а тройка , 0 , Т1 х определяет однопараметрический класс Г-моделей.

Доказательство. Результат теоремы 1 непосредственно следует из определения 1, построения производящих многочленов для рассматриваемых Г-моделей и задания степенного преобразования D с параметром г .

Если отображение 0 : s ^ j1 j2... js, играющее существенную роль в определении 2, является регулярным, т. е. все столбцы таблицы

"1 ^ j11 ./12 ... j1s1 S2 ^ j21 j22 ... j2 "2

являются неубывающими числовыми последовательностями для символов < "2 <... алфавита S , то Г-модели ^, 0, Г1) , кроме ип (^), можно сопоставить также многочлены Vn (х), коэффициенты которых задают двухиндексную последовательность, связанную с последовательностью а = {а1, а2,...} [3].

Для построения этих многочленов рекурсивно вводится нумерация всех элементов таблиц рассматриваемой Г-модели [2; 3]:

- единственному элементу а2 таблицы Г1 присваивается номер = 1,

- если п > 2 и " е Гп-1 имеет номер v1...Уп-1, то элементу " е Гп строки 0(") присваивается номер (слово) V = V .. V ! V с суффиксом vn, совпадающим с порядковым номером из N элемента " ' в строке 0(").

Затем на множестве номеров рп таблицы Гп вводится частичный порядок: номер е рп покрывает vе рп, если вектор V ' -V имеет все нулевые координаты, кроме одной, равной единице. Диаграмма Хассе полученного частично упорядоченного множества (посета) рп является дистрибутивной решеткой, обозначается Гп и называется Г-диаграммой таблицы Гп [2; 3].

Число частей Г-диаграммы Гп таблицы Гп, изоморфных булеву кубу размерности к, обозначается рп,к, и вводится многочлен

Rn (х) = 1 RnЛxk, (2)

к=0

а число вершин этой Г-диаграммы, имеющих положительную валентность (степень) к, обозначается Уп, к и вводится многочлен

V (х) = 2 VnЛxk. (3)

к=0

Степень многочленов (2) и (3) в отличие от ип (^) всегда равна п - 1, = 1 ип (1) = Vn (1) также выполняется простое равенство [3]

Rn (х) = Vn (х +1). (4)

Теорема 2. Пусть при п е N для Г-диаграммы Г п таблицы Г п Г-модели определения

2 с регулярным отображением 0 найден многочлен ^ (х). Г п Г п

Г-модели (S , 0 , Г1 ) из теоремы 1 многочлен У„(х) имеет следующий вид:

х) = ((г -1)х +1)^

гх

(г -1) х + 1

(5)

Доказательство. Выражение (5) приводит к простой связи между коэффициентами многочленов К (х) и (3)

л Гп -1 -ЛГ 1чк-г

С=2

V к i У

. г у

V.

а равенство (4) дает соотношение

К п, к = 2

^к Г п -1 - i ^

V,

п, п-1-г *

Полученные формулы показывают, что равенство (5) несложно интерпретировать с использованием определения многочленов (2), иначе рассматривается преобразование Г-диаграммы Г п в Г п с учетом их частей, изоморфных соответствующим булевым кубам, инициированное условиями теоремы 1 и проверяемое индукцией по п, что и завершает доказательство.

Для пояснения результатов теорем 1 и 2 рассмотрим класс Г-моделей (S , 0 , Г1 ) на базе последовательности известных чисел Каталана, имеющих многочисленные интерпретации в литературе [8; 11, А000108] и степенного преобразования D с параметром г е N .

Пример 1. При S * = {2 г, 3г,...}, 0 * :" * ^ (2г)г(3г)г...(" * + г)г, где " * е S *, и Г* = (2г) легко находится рекуррентное соотношение

Ц*(г) = г, (1 -ОииО + геи*п(1) = гги*(1), п е N

в котором и* (г) являются модификацией производящих многочленов для (S , 0 , Г1 ), полученной их

умножением на г г и последующей заменой г на г17 г.

Поэтому для р(г,и) = 2 _0и*п+1(г)ип несложно находится соотношение

р(г,и) = '(1 -'+""О-и)),

1-г+гг и

с помощью которого методом, описанном в [2; 3], получаем функцию

1 - 2 ги 1 - 4 ги

р(1,и) =

2 г 2и2

являющуюся производящей при г = 1 для чисел Каталана

1 Г 2п ^

п+1

V п у

при п е N, а при г = 2 для чисел из [11, А003645]. При г = 1 V„(х) являются известными многочленами Нараяны [8] и задаются производящей функцией [3]

ш 1 - (х +1)и((х +1)и -1)2 - 4хи2

2V„+l( х) ип =

п=0

2 и2 х

а теорема 2 приводит к следующему обобщению этой производящей функции:

2 V* (х)и" = 1 - ((2г -1)х +1)и-у] (х-1)2и2 - 2((2г -1)х +1)и +1 2 и = 2 ги2 х ((г -1) х +1)

причем применение обратного преобразования Лапласа дает

,п е

20 х)и-=

п!

((2г-1)х+1)И ^ ( 2 и ^ гх((г -1)х +1) )

п=0

и^/гх((г -1)х + 1)

где 11 (z) - модифицированная функция Бесселя первого рода порядка 1.

Классы ^моделей и преобразования R, B

Определение 3. Аналогично теореме 1 по Т-модели ^, 0, Т1) образуем при класс

Т-моделей (S , 0 , Т1 ), в котором г (в -1) +1 е S*, если в е S ,

0*: г (в -1) +1 ^ (г (/ -1) +1)г... (г (/-1 -1) +1)г (г (Л -1) +1)

и Т1 = (га2). Т-модели из класса (S , 0 , Т1 ) отвечает комбинаторная последовательность Ь = {Ь1, ь 2,...}, а равенство Ь = R(г)а определяет преобразование ^ с параметром г .

В условиях определения 3, теорема 2 заменяется утверждением, в котором вместо выражения (5) записывается равенство V„ (х) = Vn (rx), что полностью согласуется с результатами статьи [3].

Для класса Т-моделей , 0 Т1) алфавит S = {г +1, 2 г +1, ...} при г е N подходит под определение 3, так как г(в -1) +1 е S, если в е N - {1}, а Т1 = (г +1) .

Прит е Nи{0} по классу ^, 0, Т) построим класс Т-моделей (S , 0 , Т1 ) с алфавитом S* = {т + г +1, т + 2 г +1, ...}, таблицей Т1 = (т + г +1) и отображением 0 *, которое задается определением 2, при т = 0 совпадает с 0 , а также дополнительно в неубывающей строке-образе 0 (в ) перед последним символом из S* присутствует ровно т раз непосредственно предшествующий ему в S * символ.

Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Если при фиксированном г е N Т-модели из класса ^, 0 Т1) отвечает а = {а1,а2,...}, а Т-модели из класса (S , 0 , Т1 ) отвечает Ь = {Ь1,Ь2,...}, то при т е N и{0} имеем Ь = В(т)а, где биномиальное преобразование в порядка т задается равенством (1), а теорема 2 заменяется утверждением, в котором вместо выражения (5) применяется аналог формулы (1)

А п - 1^1

У*(х) = £ (тх)п-к Ук(х), т,пе N. (6)

к=1 Vк V

В поясняющих теорему 3 примерах рассматриваются классы (S , 0 , Т1 ), в которых S * = {т + г +1, т + 2 г +1, ...}, Т* = (т + г +1) при т е N и {0} и г е N .

ТТ ТГ А * * ( *\т ( * у'-т * *

Пример 2. При 0 : в в II в + г I , где в е S , легко находится рекуррентное соотношение

Ц*(0 = tr, и*+1(Г) = (Г + т)Ц*(/) + Г1 ^и*(0, п е N,

т

в котором и* (t) являются модификацией производящих многочленов для , полученной их

умножением на t- (т+1), и поэтому

ад п ,г ти

ЕЦ» ^ = te

п=0 п! ~ ^

1

(1 - гГи) Щ

Экспоненциальная производящая функция для многочленов V* (х) находится с помощью теоремы 3 и результатов из [3]

ЕС^ ^ =

ип етхи

п! 1+—

(1 - гхи)

Таким образом, в этом примере двухпараметрический класс (S , 0 , Т1 ) Т-моделей отвечает одноиндексным и двухиндексным последовательностям, получаемым на базе комбинаторной последовательности факториалов [11, А000142] и последовательности многочленов Уп (х) = П "к 1(кх +1) [11, А094638, А130534], которые соответствуют значениям параметров т = 0, г = 1.

Пример 3. При 0 : " ^ (/ )т+г ( / + г )" -, где " е S , также легко находится рекуррентное соотношение

и*(г) = г, ип+1 (г) = (т+г)и*(г) + гг+1 аи*(г), пе N,

аг

в котором ип (г) являются модификацией производящих многочленов для (S , 0 , Г1 ), полученной их умножением на гт+г), и поэтому

2 ип+1 (г =

ип ге( т+г )и

п!

■ (1 - ггги) г

Экспоненциальная производящая функция для многочленов V* ( х) также находится с помощью

ип

20 х)и-=

теоремы 3 и результатов из [3]

А * -1 ^ п (т+г)хи

и _ е

п = (7)

п=0 ~ ч гх

(1 - г хи)

Таким образом, в этом примере двухпараметрический класс (S , 0 , Г1 ) Г-моделей отвечает одноиндексным и двухиндексным последовательностям, получаемым на базе комбинаторной последовательности [11, А000522] и многочленов V* (х) , соответствующих , а V* (х) являются частным случаем многочленов Пуассона - Шарлье [11, А046716, А094816].

Положим в выражении (7) х = 1 и г = 1. Тогда (7) при значении параметра т = -1 определяет производящую функцию продолжения комбинаторной последовательности факториалов [11, А000142], а при т = -2 получается известная производящая функция для чисел беспорядков [6; 11, А000166].

Пример 4. При 0 * : " * ^ (" *) (" * + г) , где " * е S*, как и в примере 2 несложно находится рекуррентное соотношение [3]

и*(г) = гт+г, ип+1 (г) = гги*(г) + гаи*(г), пеN

аг

в котором и* (г) являются модификацией производящих многочленов для (S , 0 , Г1 ), полученной их умножением на г-, и поэтому

ип Г гг (еги -1) ^ 2 и*+1(г) — = гт+ге(т+г)и ехр ^-1) .

п=0 п! V г у

Экспоненциальная производящая функция для многочленов V* ( х) также находится с помощью теоремы 3 и результатов из [3]

ш ип Г егхи - 1 ^

2С(г) ^ = е(т+г)х" ехр е-1 .

п=0 п! V гх у

Таким образом, в этом примере двухпараметрический класс (S , 0 , Г1 ) Г-моделей отвечает одноиндексным и двухиндексным последовательностям, получаемым на базе комбинаторной последовательности чисел Белла [11, А000110] и многочленов ^ (х) [11, А008278], соответствующих значениям т = 0, г = 1. Коэффициенты многочленов ^ (х) тесно связаны с двухиндексной последовательностью чисел Стирлинга второго рода [11, А008277].

Пример 5. При0 *: " * ^ (т + г + 1)г (т + 2г + 1)г...(" *)т+г (" * + г), где " * е S * легко как и в примере 1 находится рекуррентное соотношение

и*(г) = 1, (1 - г)и*+1(г) + (г2 + (т+г -1) г - т) и*(г) = ги*(1), пе N,

в котором и* (г) являются модификацией производящих многочленов для (S , 0 , Г1 ), полученной их умножением на г-(т+г+1) и последующей заменой г на г11 г. Аналогично примеру 1 находятся следующие соотношения:

У и* (1)ип - 1 -(т + г +1)и -У ((т + г +1)и -1)2 -4Гй^

п=о п+1 2 ги2

п е( т+г+1) и/( 2^Ти)

и

п-0 п! л[ги

У К* (х)ип = 1 - ((т + г)X +1)и(((т + г)х +1)и -1)2 - 4гхи2

п=о 2 гхи

((т+г)х+1)и ;

ип е ))

I (2Л/гхи)

^ * , ч и 1 \ V /

Кп+1( х)— =--'-. (8)

п-о п! ^гхи

Таким образом, в этом примере двухпараметрический класс (^ , 0 , Т1 ) Т-моделей отвечает од-ноиндексным и двухиндексным последовательностям, получаемым на базе комбинаторной последовательности чисел Каталана [11, А000110] и многочленов Нараяны ^п (х) [8; 11, А001263], соответствующим значениям параметров т — 0, г — 1.

Аналогично примеру 3 положим в выражении (8) х = 1 и г = 1. Тогда (8) при значении параметра т = -1 определит производящую функцию известной последовательности чисел Моцкина [8; 11, А001006], для которой существует Т-модель с нерегулярным отображением 0 [2].

Заключение

Полученные результаты описывают методы применения классов Т-моделей, построенных на базе некоторых преобразований комбинаторных последовательностей, для моделирования и классификации не только одноиндексных последовательностей, но также и соответствующих двухиндексных, получающихся использованием Т-диаграмм.

Поэтому рассматриваемые классы Т-моделей дают возможность проводить исследование не только свойств различных комбинаторных последовательностей, но также и расширять свойства их преобразований.

В частности, для преобразования п с параметром г последовательности а - {а1, а2,...} соотношение (5) теоремы 2 позволяет для соответствующей двухиндексной последовательности при г - 1 находить двухиндексные последовательности, отвечающие Ь - П(г)а . Аналогично для многочленов формула (6) теоремы 3 задает применение биномиального преобразования в с параметром т , определенного выражением (1) для последовательностей.

В [10; 12] для последовательности а доказано свойство преобразования Ганкеля н определения 1: НВа - На . Его можно обобщить для многочленов, аналогичных многочленам . Доказатель-

ство этого утверждения планируется рассмотреть в следующей статье, а также использовать для выявления связи между Т-моделями и комбинаторикой путей [4].

Список литературы

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина: пер. с англ. - М.: Наука, 1968. - 344 с. - (Серия «Справочная математическая библиотека»).

2. Бондаренко Л.Н. Модели комбинаторного анализа: монография. - М.: изд. «МУ им. С.Ю. Витте», 2019. - 248 с.

3. Бондаренко Л.Н. Систематизация комбинаторных последовательностей с использованием Т-моделей и Т-диаграмм // Образовательные ресурсы и технологии: электронный научный журнал. - 2020. - № 2 (31). - С. 58-68.

4. Гульден Я., Джексон Д. Перечислительная комбинаторика: пер. с англ. - М.: Наука, 1990. - 504 с.

5. Кнут Д.Э. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 4. Комбинаторные алгоритмы: пер. с англ. -М.: Вильямс, 2013. - 960 с.

6. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ: пер. с англ. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. - 288 s.

7. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика: пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - Т. 1. - 440 с.

8. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика: пер. с англ. - М.: Мир, 2009. - Т. 2. - 768 с.

9. Bernstein M., Sloane N.J.A. Some Canonical Sequences of Integers // Linear Algebra Applications. -1995. - Vol. 226-228. - P. 57-72.

10. . Layman J.W. The Hankel transform and some of its properties // Journal of integer sequences. - 2001. -Vol. 4, article 01.1.5. - 11 p.

11. Sloane N.J.A. The on-line encyclopedia of integer sequences [Электронный ресурс]. - URL: http://www. oeis.org (date of access: 01.09.2020).

12. Spivey M.Z., Steil L.L. The k-binomial transforms and the Hankel transform // Journal of integer sequences. - 2006. - Vol. 9, article 06.1.1. - 19 p.

References

1. Bejtmen G., Erdeji A. Tablicy integral'nyh preobrazovanij. Preobrazovaniya Fur'e, Laplasa, Mellina: per. s angl. - M.: Nauka, 1968. - 344 s. - (Seriya «Spravochnaya matematicheskaya biblioteka»).

2. Bondarenko L.N. Modeli kombinatornogo analiza: monografiya. - M.: izd. «MU im. S.Yu. Vitte», 2019. -248 s.

3. Bondarenko L.N. Sistematizaciya kombinatornyh posledovatel'nostej s ispol'zovaniem T-modelej i T-diagramm // Obrazovatel'nye resursy i tekhnologii: elektronnyj nauchnyj zhurnal. - 2020. - № 2 (31). -S. 58-68.

4. G—l'den YA., Dzhekson D. Perechislitel'naya kombinatorika: per. s angl. - M.: Nauka, 1990. - 504 s.

5. Kn—t D.E. Iskusstvo programmirovaniya dlya EVM. T. 4. Kombinatornye algoritmy: per. s angl. - M.: Vil'yams, 2013. - 960 s.

6. RiordanDzh. Vvedenie v kombinatornyj analiz: per. s angl. - M.: Izd-vo inostrannoj literatury, 1963. - 288 s.

7. Stenli R. Perechislitel'naya kombinatorika: per. s angl. - M.: Mir, 1990. - T. 1. - 440 s.

8. Stenli R. Perechislitel'naya kombinatorika: per. s angl. - M.: Mir, 2009. - T. 2. - 768 s.

9. Bernstein M., Sloane N.J.A. Some Canonical Sequences of Integers // Linear Algebra Applications. -1995. - Vol. 226-228. - P. 57-72.

10. Layman J.W. The Hankel transform and some of its properties // Journal of integer sequences. - 2001. -Vol. 4, article 01.1.5. - 11 p.

11. Sloane N.J.A. The on-line encyclopedia of integer sequences [Elektronnyj resurs]. - URL: http://www. oeis.org (date of access: 01.09.2020).

12. Spivey M.Z., Steil L.L. The k-binomial transforms and the Hankel transform // Journal of integer sequences. - 2006. - Vol. 9, article 06.1.1. - 19 p.