CC BY
23
УДК 519.14
МОДЕЛИРОВАНИЕ КОМБИНАТОРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Бондаренко Леонид Николаевич,
канд. техн. наук, доцент, зав. кафедрой гуманитарных и естественно-научных дисциплин, e-mail: leobond5@mail.ru, Московский университет им. С.Ю. Витте, филиал в г. Сергиевом Посаде
Рассматривается метод моделирования комбинаторных последовательностей с использованием особых последовательностей таблиц, состоящих из целых положительных чисел. Эти последовательности называются T-моделями и строятся рекурсивно с помощью специальных отображений. Для T-моделей вводятся q-аналоги, позволяющие моделировать отвечающие им q-аналоги комбинаторных последовательностей. Также определяются частично упорядоченные множества и соответствующие им T-диаграммы. С помощью этих частично упорядоченных множеств и T-диаграмм рассматриваются многочисленные дополнительные свойства моделируемых комбинаторных последовательностей. Приводятся примеры T-моделей последовательностей обобщенных факториалов, чисел Каталана и чисел Белла. Строятся их q-аналоги и T-диаграммы. Это дает возможность исследовать также свойства баллотировочных чисел, чисел Стирлинга второго рода и их q-аналогов. Строение T-моделей комбинаторных последовательностей позволяет применять при их моделировании известные пакеты аналитических вычислений Mathematica и Maple. Поэтому T-модели можно использовать при обучении студентов отдельным разделам дискретной математики и информатики, а также получать с их помощью комбинаторные результаты.
Ключевые слова: T-модель, 7^)-модель, посет, T-диаграмма, дистрибутивная решетка, обобщенные факториалы, числа Каталана, числа Белла, коды Лемера, RG-слова
MODELING OF COMBINATOR SEQUENCES
Bondarenko L.N.,
candidate of engineering sciences, Associate Professor, head of the sub-department of humanities and natural science disciplines, e-mail: leobond5@mail.ru, Moscow Witte University, a branch in the city of Sergiev Posad
The method of modeling combinatorial sequences using special sequences of tables consisting ofpositive integers is considered. These sequences are called T-models and are constructed recursively using special mappings. For T-models, q-analogues are introduced, which allow modeling the q-analogs of combinatorial sequences corresponding to them. Partially ordered sets and the corresponding T-diagrams are also defined. With the help of these partially ordered sets and T-diagrams, numerous additional properties of the simulated combinatorial sequences are considered.
Examples of T-models of sequences of generalized factorials, Catalan numbers and Bell numbers are given. Their q-analogues and T-diagrams are constructed. This makes it possible to investigate also the properties of balloting numbers, Stirling numbers of the second kind and their q-analogues.
The structure of T-models of combinatorial sequences makes it possible to use the well-known analytical calculation packages Mathematica and Maple in their modeling. Therefore, T-models can be used in teaching students to separate sections of discrete mathematics and computer science, as well as to obtain with their help combinatorial results.
Keywords: T-model, T(q)-model, poset, T-diagram, distributive lattice, generalized factorials, Catalan numbers, Bell numbers, Lehmer codes, RG-words
DOI 10.21777/2500-2112-2019-2-64-73
Введение
Разнообразные комбинаторные проблемы возникают во многих областях современной математики и ее приложений к практическим задачам структуризации, классификации, оптимизации и т.п.
Перечислительная комбинаторика является одним из основных разделов комбинаторного анализа и занимается подсчетом числа элементов в конечном множестве. Благодаря огромным усилиям ряда выдающихся математиков, многие задачи теории перечислений удалось описать на единой основе и превратить комбинаторику в составную часть магистрального направления современной математики [6, 7].
К важнейшим областям практической применимости полученных в теории перечислений результатов традиционно относятся математическая статистика и информатика, а уникальная «The on-line encyclopedia of integer sequences» (OEIS) [12], основанная Нилом Слоуном в 1964 г., содержит в настоящее время около 300000 статей по числовым последовательностям, встречающимся в комбинаторике, теории графов и т.д.
В статьях OEIS имеются ссылки на самые разнообразные комбинаторные методы, используемые для изучения свойств и классификации этих последовательностей, среди которых следует особо выделить классические подходы, базирующиеся на применении рекуррентных соотношений и мощнейшего аппарата производящих функций.
Для моделирования ряда числовых последовательностей, описываемых в OEIS, в [1] было введено понятие T-модели как рекурсивно генерируемой последовательности таблиц T T ... состоящих из целых положительных чисел. Это понятие часто позволяет при анализе Г-модели получать простые рекуррентные соотношения и находить естественные ее связи с другими комбинаторными моделями.
J-модели и их свойства
При рекурсивном описании последовательности таблиц Т Т ..., состоящих из целых положительных чисел, необходимо иметь первый член этой последовательности, правило преобразования ее членов и ограничения на элементы генерируемых таблиц.
Определение 1. Зададим Т-модель тройкой (S, 0, Т1) с алфавитом S С N = {1,2,...}, отображением 0 : 5 ^ ]1 j2... js, где символ 5 е S, и выполнены неравенства 1 < j\ < j2 < ... < js, а также фиксированной начальной таблицей Т1. Отображение 0 преобразует каждый элемент 5 е Т в числовую неубывающую последовательность (строку) j1 j2... js длины |0 (5) | = 5 последующей таблицы Тп+1. вычисляемой рекурсивно по формуле:
тп+1 = e(T), nen
(1)
Для описания свойств Т-модели степени образов 0г (5) элементов 5 е Тп при 7 > 0 названы в [1] блоками 7-го ранга таблиц Т+ . Также введен вес 0г (5) каждого блока 0г (5) 7 > 1 содержащихся в нем блоков (7 - 1)-го ранга, а | 0 (5) | = 5. Эти понятия и соотношение (1) позволяют определить 7-й вес таблицы Т ■ выражением:
T . =
П+1 ■
ег (Г) =X|e< (s)
■ > 0, n e N
SETn
07 (5) = 5 при 7 > 0 для всех П е N несложно получить Т I , характеризующее последовательность весов таблиц
n 10
с помощью которого и простого равенства важное свойство инвариантности \ т I =
I п+7
Т-модели.
В частности, веса | Тп \ при П > 7, где 7 = 0,1,..., равны, соответственно, сумме элементов, числу элементов, числу строк и т.д. таблицы Т .
п
Веса таблиц Т-модели образуют возрастающую последовательность целых положительных чисел, которая соответствует этой Т-модели. Поэтому удобно называть Т-модель по имени отвечающей ей числовой последовательности, и появляется возможность моделирования с помощью Т-моделей многих комбинаторных последовательностей из OEIS.
С каждой таблицей Т-модели также несложно связать двухиндексную числовую последовательность. Для этого необходимо ввести соответствующий многочлен, являющийся производящей функцией данной двухиндексной последовательности. s
Определение 2. Сопоставим каждой таблице Г данной Т-модели многочлен ^^ s(_T t и с помощью равенства 0(Ys) = tJ + tJ2 +... + tJs перенесем на него действие 0 из определения 1 по следующему правилу: , \
I ts = е|Х ts =Se(ts).
ssT„+1 ^ ssT„ у ssT„
Очевидно, что при t = 1 значения введенных в определении 2 многочленов и их производных совпадают с \Tn li и, соответственно, с \Т„ 1о . Запись этих многочленов рационально модифицировать путем умножения на фиксированную степень t (чаще других применяется умножение на t-1), а также при n = 0 ввести многочлен, равный единице.
В качестве примеров использования введенных понятий рассмотрим три типовые числовые последовательности, описываемые при n £ N следующими формулами:
а) последовательность обобщенных факториалов ((r —1)(n — 1) + 1)!(r 1), где параметр r G N;
б) последовательность чисел Каталана Cn [12; A000108], а также
n
n
в) последовательность чисел Белла ^^ 1 ^ | [12; А000110], где числа 1 ^ | являются числами Стирлинга второго рода. к=1 ^I
Для записи семейства последовательностей а), зависящего от параметра г € N, использовано обобщение символа факториала [5].
(гт +1)!(г} = 1 • (г +1) • (2г +1)...(гт +1), т € N и {0},
дающее возможность записывать аналоги факториалов с шагом г € N .
Последовательность б) чисел Каталана Сп в комбинаторике может рассматриваться как «лакму-сова бумажка», так как для нее известно огромное число комбинаторных моделей [3, 7, 11], а ее члены
имеют вид:
C =■
1
n +1
n
где круглые скобки, как обычно, использованы для обозначения часто используемых в комбинаторике биномиальных коэффициентов [3, 6].
При обозначении часто применяемых чисел Стирлинга второго рода [12; А008277] во многих современных работах по аналогии с биномиальными коэффициентами применяются фигурные скобки [3].
Пример 1. (Г-модели обобщенных факториалов) Рассмотрим параметризованное семейство Г-моделей, задаваемое тройкой (£(г^, 0г, 1|(г^) с алфавитом 5(г^ из символов вида (Г — 1)П +1 при п € N и элементами 0 ; ^ —^ (^ + г — 1) *, Г(Г^ = (г), зависящими от параметра г € N.
В частности, случай г = 1 тривиален, при г = 2 получаем последовательность таблиц
Г (2) Г (2) Г (2) Г (2)
Г , 12 , ±3 , Г4 ,... следующего вида;
^5555 5555л
(2), (33),
а444л 444
5555 5555
5555 5555
а при Г = 3, соответственно, последовательность Т(3),
Г
(3)
/
Т (3) 3
(3), (555),
/77777л
77777 77777
^9999999 9999999 9999999 9999999 9999999
9999999 9999999 9999999 9999999 9999999
Т (3) 4
9999999 9999999 9999999 9999999 9999999
По определению 2 (при выборе множителя г) этому семейству отвечает последовательность одночленов ((г — 1)(п — 1) + 1)!(Г-1) г(Г-1)п , а последовательность весов таблиц этого семейства |Т(г) ^ = ((Г —1)(п — 1) + 1)!(г—1) соответствует последовательности а) обобщенных факториалов, зависящей от параметра Г е N . Такие последовательности при Г = 2,3,4,5,6,... имеются в OEIS [12; A000142, A001147, A007559, A007696, A008548 и т.д.].
Пример 2. (Т-модель Каталана) При алфавите S = N — {1}, отображении 0:5 ^ 23... 5 +1 и начальной таблице Т1 = (2) по определению 1 получаем Т-модель, состоящую из таблиц
ГТ7 ГТ7 ГТ7 ГТ7 ГТ7
Т1, Т 2, Т3, Т4, Т 5 ,...:
(2), (23),
^23 Л 234
в которой
Т
132, Т = 42, Т
23 23 234 234 2345
= 14 Т
2 ' 5
23 23 23 23 23 234 234 234 234 234
2345
5, Т
2, а \Т
' I 1Л
2345 2345 23456
= 1.
Для этой Т-модели по определению 2 строятся многочлены:
Б0«) = 1, Вп(г) = Г1 XГ = £БпЛГк, п еN,
*еТп к=0
для которых из таблиц Т-модели легко вычисляются выражения:
В1(г) = г, В2(г) = г2 + г, В3(г) = г3 + 2г2 + 2г, В4(г) = г4 + 3?3 + 5г2 + 5г,...,
в которых Вп 0 = 1 при п е N. Также при 5 е S c использованием простого тождества (1 — г)0(г**) = г2(1 — г**) находится рекуррентное соотношение:
В0(г) = 1, (1 — г) Вп (г) + г2 Вп_,(г) = гВп_1(\), п еN.
(2)
С помощью формулы (2) в [1] доказано, что коэффициенты Вп к многочлена Вп (г) совпадают с известными баллотировочными числами [8]:
В
п, к
п — к п + к
п + к
п
к = 0,...,п — 1, п е N
которые имеются в OEIS [12; A009766], а их сумма Вп(1) = Тп 1 равна числу Каталана Сп, т.е. Т-модели отвечает последовательность чисел Каталана.
Анализ Т-модели Каталана позволил на базе соотношений вида (2) разработать новый метод нахождения производящей функции числовой последовательности, отвечающей рассматриваемой Т-модели [1]. В частности, для Т-модели Калана выражение (2) приводит к известной формуле:
= 1 — у/1 — 4и 2и
Пример 3. (Т-модель Белла) При алфавите S = N — {1} отображении 0 : 5 ^ 1(5 + 1) и начальной таблице Т1 = (2) по определению 1 получаем Т-модель, состоящую из таблиц
ГТ7 ГТ7 ГТ7 ГТ7 ГТ7
Т1, Т 2, Т3, Т4, Т 5 ,...
X Сп
п=0
и
(2), (23),
23 334
23 334 334 334 4445
23 334 334 334 4445 334 334 334 334 4445 4445 4445 4445 4445
55556
П
в которой | Г5 |0 = 203, \ Г5\1 = 52, | Г5 |2 = 15, I Г5 |3 = 5 | Г5 |4 = 2 •
Т = 1.
Для этой Г-модели по определению 2 строятся многочлены;
Ео (t) = 1, Еп (t) = t-1 I ^ = IЕ, ^, п € N,
х€Тп к=1
для которых из таблиц Г-модели легко вычисляются выражения;
Е^) = t, Ег(г) = t2 +1, E3(t) = t3 + 3t2 +1, E4(t) = t4 + 613 + 712 +1,...,
а также непосредственно по таблицам Г-модели получаются равенства Еп 1 = Еп = 1, и по индукции за счет простоты отображения 0 легко находится рекуррентное соотношение для коэффициентов этих многочленов;
Е0,к =5о, к , Еп,к =кЕп—1,к +Еп—1,к—1, к€2, n€N '
(3)
в котором символ Кронекера 5о,к = 1 при к = 0 и ^о,к = 0 , в противном случае, а индекс к пробегает все целые числа Z.
Так как выражение (3) совпадает с формулой, определяющей числа Стирлинга второго рода [3, 6],
то имеем ^п, к
[к]
а для экспоненциальных многочленов Еп (t) справедлива рекуррентная формула;
^) = 1, Еп^) = t(Еп—l(t) + Е'п_()), п €N,
с помощью которой просто находится производящая функция;
I Еп ^)
и
л(еи—1)
п=0
^-аналоги Г-моделей и их свойства
Естественное получение ^-аналогов Г-моделей основано на замене натурального числа п € N его я-аналогом [п] = 1 + q + ... + qn , где q - параметр, причем [п]! = [1] • [2] •••[п] является q-аналогом факториала п!.
Определение 3. Тройка (5, 0^, Г(я)) , задающая последовательность таблиц !1(я), ^(я), — аналогично формуле (1) по правилу;
Тn+l(q) = 0д (Г (q)), п €N,
где 5 С N, Г(я) - фиксированная начальная таблица, а отображение;
09; як^] — як[л]..4к+'—1[], к > 0, 1 < л <... < л,
называется Г(я)-моделью или я-аналогом Г-модели определения 1 [1].
Степени отображения 0 легко связать с блоками таблиц Г (я) , что при п € N и 7 > 0 приводит
к равенству
Гп+7 (я), = Г (я)
, в котором
тп (я) означает сумму элементов таблицы Гп (я) . Соответственно, я-аналоги многочленов, введенных в определении 2, получаются заменой я-чисел в таблицах Гп (я) на ts и суммированием полученных элементов таблиц, что дает при t = 1
веса |Гп(я) [.
Пример 4. По определению 3 я-аналогом семейства Г-моделей примера 1 служит тройка (5(г), 0г (я), Г/г) (я)) с Г/г) (я) = ([г]),
отображением 0г(д) : дк[5] ^ дк[5 + Г — 1] дк+1[^ + Г — 1] ... qk+s 1[5 + Г — где к > 0: имеем при п е N последовательность (г, д) -полиномов [((г — 1)(п — 1) +1)]!(Г 1) г(Г 1)" .
Пример 5. д-аналог Т-модели Каталана при Т|(д) = ([2]) , отображении 0 : дк[5] ^ дк[2] дк+1[3] ... дк+* 1[5 + 1], где к > 0, имеет следующий вид:
' [2] д[3] д[2]д2[3]
д[2] д2[3] д3[4] д2[2] д3[3] д4[4]
д 3[2] д 4[3] д5[4] д 6[5]
( [2] д [3] Л ([2]), ([2]д[3]), 2 3
Iд[2]д2[3]д [4]у
многочлены В0(г,д) = 1, Вп(г,д) = Хп=0Вп,к(д)гп—к при Вп0(д) = ди п еN являются д-аналогами соответствующих многочленов примера 2, причем:
Вх(г,д) = г, В2(г,д) = дг2 + г, В3(г,д) = дЗг3 + (д2 + д)г2 + (д +1)г,
В4(г,д) = д6г4 + (д5 + д4 + д3)г3 + (д4 + д3 + 2д2 + д)г2 + (д3 + д2 + 2д +1)г,...,
а д-обобщением выражения (2) служит рекуррентная формула:
В0(г, д) = 1, (1 — дг) Вп (г, д) + дг2 Вп _х(дг, д) = В—Д д), п е N,
проверяемая с помощью равенства (1 — дг) 0 () = г 2(1 — д^ ) .
Таким образом, числа С (д) = В (1, д) являются д-аналогами чисел Каталана [1], которые также описаны в [8].
Пример 6. Т(д)-модели Белла при п е N отвечает последовательность весов соответствующих таблиц Тп (д) = Еп (1, д), в которой числа Е (1, д) являются д-аналогами чисел Белла. Вычисление чисел Е (1, д) производится с помощью д-аналогов экспоненциальных многочленов:
Е0(г, д) = 1, Еп (г, д) = Х {^ гк, п е N,
коэффициентами которых служат д-аналоги чисел Стирлинга второго рода [9], вычисляемые по рекуррентной формуле:
=[к ] 1[+дк{к—1[ •к п
7-диаграммы и их свойства
Для приложения мощного аппарата частично упорядоченных множеств [6] к Т-модели определения 1 следует сопоставить каждой ее таблице Тп локально конечное частично упорядоченное множество (посет) Р
Будем считать, что начальная таблица Т-модели (S, 0, Т ) содержит только один элемент, больший единицы. При этом условии рекурсивно зададим нумерацию элементов таблиц этой Т-модели следующим образом: положим номер V единственного элемента Т|, равным 1; считая 5,5 е S и п > 2, сопоставим элементу е Т строки 0(5) номер (слово) V = V V V с префиксом
п гр V / 1 • • • п—1 п
V!...Vп—1, равным номеру элемента ^ е Тп—1, и суффиксом Vп , равным порядковому номеру элемента в строке 0(5).
Определение 4. На множестве номеров Рп таблицы Т рассматриваемых как векторы, определим частичный порядок, полагая, что номер V е Рп покрывает V е Р , если вектор V — V имеет все нулевые координаты, кроме одной, равной единице. Диаграмму Хассе посета Рп обозначим Ьп и назовем ее Т-диаграммой таблицы Т .
и
Обозначая р(V) = ("У1 — 1) + ... + (Vn — 1) ранг номера V е Р , получим р(V) = 0 для наименьшего номера V е Рп, р(V ) — р(V) = 1 для номеров V, V е Рп, где V' покрывает V .
Также введем для посета Рп рангово-производящий многочлен ^^ уер .
Теорема 1. Ранг р( V) номера "V е рп таблицы Тп совпадает со степенью k параметра q соответствующего элемента q [] ] таблицы Тп .
Теорема 1 позволяет вычислять рангово-производящие многочлены посетов Рп с помощью Т^) -модели. Ее справедливость легко проверяется с помощью индукции. Действительно, при п = 1 утверждение теоремы 1 верно, а, предполагая его справедливость при п е N, по записи отображения 0 в определении 3 сразу получаем его правильность и для п + 1.
Для Т-модели ($, 0, Т|) отображение 0 ; $ —> у у ... j назовем регулярным, если для всех 5*1, $2,... е $ , где $1 < $2 <..., все столбцы таблицы;
$1— Л1Л2... Л* $2 — у21 у22 ...
являются неубывающими числовыми последовательностями.
В частности, легко проверить, что в примерах 1 - 3 все отображения 0 являются регулярными.
Теорема 2. Для Т-модели ($, 0, Т) с регулярным отображением 0 все посеты Рп при п > 2 являются дистрибутивными решетками.
Требование регулярности отображения 0 Т-модели ($, 0, Т|) приводит к тому, что все посеты Рп при п > 2 являются решетками, содержащими наименьший и наибольший элементы. Поэтому справедливость теоремы 2 следует из того, что вследствие определения 1 эти решетки не могут содержать подре-шеток в форме диаманта и пентагона, т.е. они являются дистрибутивными решетками по теореме [4, с. 87].
Важность теоремы 2 состоит в том, что класс дистрибутивных решеток наиболее важен с комбинаторной точки зрения [6].
Применение теоремы 2 приводит к постановке ряда интересных, связанных с топологией комбинаторных задач, для описания которых необходимы дополнительные понятия. Для Т-модели ($, 0, Т|) число п — k + 1, где k номер единичной координаты вектора V — у, а V, V' е Р , назовем весом ориентированного ребра (V, V ) Т-диаграммы 1п .
Определение 5. Сопоставим каждой максимальной цепи решетки Рп при прохождении ее от наименьшего до наибольшего элемента Г-диаграммы 1п последовательность п весов ее ребер. Тогда число максимальных цепей е(Рп ) совпадает с мощностью множества всех таких последовательностей Пп , т.е е(Рп) = |п п |.
Число е( Рп) является важной характеристикой, легко вычисляемой при небольшом п , а определение 5 позволяет в ряде случаев упростить нахождение формулы для е(Рп ) .
Пример 7. Для семейства Т-моделей примера 1 Г-диаграммы 1(2) и 1(3), соответственно, посе-Р(2) Р (3) 4 3
тов Р4 и Р3 изображены на рисунке 1.
Номера вершин Т-диаграмм семейства Т-моделей примера 1 находятся довольно просто вследствие прямоугольной формы всех блоков таблиц этого семейства. Также легко определяются веса ребер
Т-диаграмм 1!п), и находится формула;
е( Рг)) =
Г (п\\
(Г — 1) 2 V V 2J J
П(( г—1) о!
2 = 1
Дополнительно отметим, что вершины Т-диаграмм I}2 являются кодами Лемера перестановок множества {1,2,...,п} (кодом Лемера перестановки О = О называется слово
1 11 12 ... 1 п
в котором 11 = #У ; <О2,0 < j < 2 — 1, О0 = 0}, где 2 = 1,..., п [2]).
Рисунок 1 - Г-диаграммы: а) ; б) Г-моделей примера 1
Пример 8. Для Т-модели Каталана Г-диаграммы и ^, соответственно, посетов Р и Р изображены на рисунке 2.
Рисунок 2 - Г-диаграммы: а) Ь3; б) Ь4 Г-модели Каталана
На рисунке 2, кроме номеров вершин Г-диаграмм и ^, изображены также веса их ребер. Эти дистрибутивные решетки, связанные с числами Каталана, были получены другим способом в статье [10], в которой также приводится следующая формула ^
V. 2/
е( Рп) = —
П (2 7 — 1)п—
7=1
Также, как и в примере 8, для Т-модели Каталана алгоритм получения посетов Рп можно связать с кодами Лемера некоторых перестановок.
Теорема 3. Для T-модели Каталана множество кодов Лемера всех 213-избегающих перестановок совпадает с посетом Pn .
Теорема 3 несложно доказывается на основе результатов для 312-избегающих перестановок, полученных в [2], а также простой связи между 213-избегающими и 312-избегающими перестановками.
Пример 9. Для T-модели Белла вследствие простоты отображения e несложно находятся по-сеты Pn и их T-диаграммы Ln .
Теорема 4. При фиксированном n Е N посет Pn всех номеров V = V^.. Vn элементов таблицы Tn T-модели Белла совпадает с множеством слов ограниченного роста (RG-слов) длины n, т.е. слов, введенных С. Милном [9] и определяемых условием: V является RG-словом, если Vi < max(0,Vp...,Vi_1) + 1 для всех i = 1,...,n.
Доказательство теоремы 4 проводится методом математической индукции с использованием определения T-модели Белла в примере 2.
Отметим, что теорема 4 позволяет описать элементарный алгоритм перехода от посета Pn, задаваемого множеством RG-слов длины n, к соответствующей таблице Tn T-модели Белла.
Простота рекурсивного построения множеств RG-слов дает возможность при фиксированном n Е N вычислять число максимальных цепей e(Pn), но вид общей формулы для этого числа неизвестен.
Так как имеется биекция между RG-словом длины n и упорядоченным разбиением множества {1,2,..., n} на блоки [9], то многие результаты работы [9] могут быть получены с помощью T-модели Белла.
Заключение
При построении T-модели по заданной комбинаторной последовательности необходимо решить соответствующую задачу идентификации, а полученная T-модель приводит к постановке ряда комбинаторных задач.
Структура введенных T-моделей комбинаторных последовательностей позволяет легко применять при их моделировании известные пакеты аналитических вычислений Mathematica и Maple. Поэтому T-модели можно успешно использовать при обучении студентов отдельным разделам дискретной математики и информатики, а также с их помощью получать новые комбинаторные результаты.
Перечислим некоторые достоинства применения T-моделей:
— T-модели унифицируют решение ряда комбинаторных задач;
— введение в T-модель целочисленных параметров позволяет получить семейство T-моделей, что приводит к соответствующему классу комбинаторных последовательностей;
— T-модели и отвечающие им комбинаторные последовательности удобно классифицировать по типу используемого в T-модели отображения;
— элементарный переход от T-модели к ее ^-аналогу дает простой метод нахождения ^-аналогов ряда комбинаторных последовательностей;
— построение для T-модели соответствующей T-диаграммы делает возможным применение мощных топологических методов для исследования комбинаторных последовательностей.
Литература
1. Бондаренко Л.Н., Шарапова М.Л. T-модели Фусса-Каталана и их ^-аналоги // Дискретные модели в теории управляющих систем: X Международная конференция, Москва и Подмосковье, 22-25 мая 2018 г.: Труды. - М.: МАКС Пресс, 2018. - С. 35-38.
2. Бондаренко Л.Н., Шарапова М.Л. Обобщенные 312-избегающие перестановки и преобразование Лемера // Прикладная дискретная математика. Приложение. - 2017. - № 10. - С. 7-9.
3. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики / пер. с англ. -М.: Мир, 1998. - 703 с.
4. Гретцер Г. Общая теория решеток / пер. с англ. - М.: Мир, 1981. - 456 с.
5. Ониши Ё. Обобщенные числа Бернулли-Гурвица и универсальные числа Бернулли // Успехи математических наук. - 2011. - Т. 66. - Вып. 5 (401). - С. 47-108.
6. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика / пер. с англ. Т. 1. - М.: Мир, 1990. - 440 с.
7. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика / пер. с англ. Т. 2. - М.: Мир, 2009. - 768 с.
8. CarlitzL. Sequences, paths, ballot numbers // Fibonacci quarterly. -1972. - Vol. 10. - P. 531-549.
9. Cai Y., Readdy M.A. q-Stirling numbers: A new view // Advances in applied mathematics. - 2017. - 86. -P. 50-80.
10. StanleyR.P. The Fibonacci lattice // Fibonacci quarterly. - 1975. - Vol. 13. - P. 215-232.
11. Stanley R.P. Catalan numbers. - New York: Cambridge university press, 2015. - 215 p.
12. Sloane N.J.A. The on-line encyclopedia of integer sequences. - 2019. - http://oeis.org.
References
1. Bondarenko L.N., Sharapova M.L. T-modeli Fussa-Katalana i ih q-analogi // Diskretnye modeli v teorii upravlyayushchih sistem: X Mezhdunarodnaya konferenciya, Moskva i Podmoskov'e, 22-25 maya 2018 g.: Trudy. - M.: MAKS Press, 2018. - S. 35-38.
2. Bondarenko L.N., Sharapova M.L. Obobshchennye 312-izbegayushchie perestanovki i preobrazovanie Lemera // Prikladnaya diskretnaya matematika. Prilozhenie. - 2017. - № 10. - S. 7-9.
3. Grekhem R., KnutD., Patashnik O. Konkretnaya matematika. Osnovanie informatiki / per. s angl. - M.: Mir, 1998. - 703 s.
4. Gretcer G. Obshchaya teoriya reshetok / per. s angl. - M.: Mir, 1981. - 456 s.
5. Onishi Yo. Obobshchennye chisla Bernulli-Gurvica i universal'nye chisla Bernulli // Uspekhi matematicheskih nauk. - 2011. - T. 66. - Vyp. 5 (401). — S. 47-108.
6. Stenli R. Perechislitel'naya kombinatorika / per. s angl. T. 1. - M.: Mir, 1990. - 440 s.
7. Stenli R. Perechislitel'naya kombinatorika / per. s angl. T. 2. - M.: Mir, 2009. - 768 s.
8. CarlitzL. Sequences, paths, ballot numbers // Fibonacci quarterly. -1972. - Vol. 10. - P. 531-549.
9. Cai Y., Readdy M.A. q-Stirling numbers: A new view // Advances in applied mathematics. - 2017. - 86. -P. 50-80.
10. StanleyR.P. The Fibonacci lattice // Fibonacci quarterly. - 1975. - Vol. 13. - P. 215-232.
11. Stanley R.P. Catalan numbers. - New York: Cambridge university press, 2015. - 215 p.
12. Sloane N.J.A. The on-line encyclopedia of integer sequences. - 2019. - http://oeis.org.
