Научная статья на тему 'Асимптотика последовательности чисел Белла'

Асимптотика последовательности чисел Белла Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
633
42
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Чебышевский сборник
Scopus
ВАК
RSCI
Область наук
Ключевые слова
ЧИСЛА БЕЛЛА / ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ / МЕТОД ПЕРЕВАЛА / ЧИСЛА СТИРЛИНГА / АСИМПТОТИКА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ / BELL''S NUMBERS / COURSE OF VALUE FUNCTION / SADDLE-POINT METHOD / STIRLIG S NUMBERS / ASYMPTOTIC SEQUENCE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Фирстов Виктор Егорович

Числа Белла B(s), как известно, определяют количество разбиений s-элементного множества на классы и с увеличением s имеют экспоненциальный рост. Поэтому становится актуальным исследование асимптотики s >> 1 последовательности {B (s)} чисел Белла B (s), например, в связи с решением следующей комбинаторной задачи. Пусть имеется дискретное пространство элементарных событий, содержащее s точек с заданным законом распределения вероятностей p i;...;p s, p i +... + p s = 1. На конфигурациях разбиений следует определить такое разбиение, при котором достигается минимум информационной энтропии по К. Шеннону. С этой задачей сталкиваются при оптимизации блочного управления сложными кибернетическими системами самого разного назначения. В представленной работе установлены некоторые асимптотические свойства последовательности чисел Белла {B(s)}. Основной результат работы представляет соотношение: lim + 2) _ ^ где B(s); B(s + 1); s-s-oo B 2(s + 1) B(s + 2) числа Белла с номерами s; s + 1; s + 2. Этот результат показывает, что асимптотически последовательность чисел Белла ведет себя как геометрическая прогрессия со знаменателем ж* = B(s + 1)/B(s). В рамках аддитивного представления чисел Белла с помощью чисел Стир-линга установлена асимптотика B(s) St(s;n*) (n*) s/(n*)!, где n* = [ж*]. Таким образом, установлен новый класс последовательностей, топология которых характеризуется асимптотикой в виде геометрической прогрессии. Этот фактор используется для оптимизации управления системными объектами.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Bell's numbers B(s) defines the amount partitions of s-element set and with growth s they have an exponentiale growth. That's why the asymptotic's investigation s >> 1 of sequence {B(s)} of Bell's numbers B(s) becomes actual, for example, if do the following combinatorial sum. Let's take a discrete space of elementary event containing s points with given law of probability distribution p 1;...;p s, pi +... + p s = 1. On configurations of partitions one should define such a partition at which minimum of informational Shanon's entropy is gained. One can face with this problem when the optimization of block-control of difficult cybernetic systems is present. In this work some asymptotic properties of sequence of Bell's numbers are considered. The main result of work represents the correlation: lim B^ 0B+ = 1, where B(s); B(s + 1); B(s + 2) Bell's numbers s-s-oo B 2(s + 1) with numerals s; s + 1; s + 2. This result shows that asymptotical sequence of Bell's numbers behaved themselves geometrical progression with denominator x* = B(s + 1)/B(s). In the frames of additive presentation of Bell's numbers with the help of Stirling's numders the asymptotics is set up B(s) St(s; n*) (n*) s/(n*)!, where n* = [x*]. Thus, a new class of sequences is up, the topology of which is characterized by the asymptotics in the form of the geometrical progression. Thus, a new class of sequences is established, the topology of wich is characterized by asymptotics in the form of geometrical progression.

Текст научной работы на тему «Асимптотика последовательности чисел Белла»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 15 Выпуск 1 (2014)

УДК 519.6

АСИМПТОТИКА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ БЕЛЛА

В. Е. Фирстов (г. Саратов)

Аннотация

Числа Белла B(s), как известно, определяют количество разбиений s-элементного множества на классы и с увеличением s имеют экспоненциальный рост. Поэтому становится актуальным исследование асимптотики s >> 1 последовательности {B(s)} чисел Белла B(s), например, в связи с решением следующей комбинаторной задачи. Пусть имеется дискретное пространство элементарных событий, содержащее s точек с заданным законом распределения вероятностей p1;...; ps, p1 + ... + ps = 1. На конфигурациях разбиений следует определить такое разбиение, при котором достигается минимум информационной энтропии по К. Шеннону. С этой задачей сталкиваются при оптимизации блочного управления сложными кибернетическими системами самого разного назначения.

В представленной работе установлены некоторые асимптотические свойства последовательности чисел Белла {B(s)}. Основной результат работы представляет соотношение: lim где B(s)] B(s +1);

s^ro B2(s + 1)

B(s + 2) — числа Белла с номерами s; s + 1; s + 2. Этот результат показывает, что асимптотически последовательность чисел Белла ведет себя как геометрическая прогрессия со знаменателем x* = B(s + 1)/B(s). В рамках аддитивного представления чисел Белла с помощью чисел Стирлинга установлена асимптотика B(s) St(s; и*) (n*)s/(n*)!, где и* = [x*]. Таким образом, установлен новый класс последовательностей, топология которых характеризуется асимптотикой в виде геометрической прогрессии. Этот фактор используется для оптимизации управления системными объектами.

Ключевые слова: числа Белла, производящая функция, метод перевала, числа Стирлинга, асимптотика последовательности

ТНЕ ASYMPTOTIC OF THE BELL‘S NUMBERS SEQUENCE

V. Е. Firstov (Saratov)

Abstract

Bell‘s numbers B(s) defines the amount partitions of s-element set and with growth s they have an exponentiale growth. That‘s why the asymptotic‘s investigation s >> 1 of sequence {B(s)} of Bell‘s numbers B(s) becomes actual, for example, if do the following combinatorial sum. Let‘s take a discrete space of elementary event containing s points with given law of probability distribution pi;...;ps, p1 + ... + ps = 1. On configurations of partitions one should define such a partition at which minimum of informational Shanon‘s entropy is gained. One can face with this problem when the optimization of block-control of difficult cybernetic systems is present.

In this work some asymptotic properties of sequence of Bell‘s numbers are considered. The main result of work represents the correlation:

lim = 1, where B(s); B(s + 1); B(s + 2) — BelPs numbers

s^ro B 2(s + 1)

with numerals s; s + 1; s + 2. This result shows that asymptotical sequence of Bell‘s numbers behaved themselves geometrical progression with denominator x* = B(s + 1)/B(s). In the frames of additive presentation of Bell‘s numbers with the help of Stirling‘s numders the asymptotics is set up

B(s) St(s; n*) (n*)s/(n*)!, where n* = [x*]. Thus, a new class of sequences is up, the topology of which is characterized by the asymptotics in the form of the geometrical progression. Thus, a new class of sequences is established, the topology of wich is characterized by asymptotics in the form of geometrical progression.

Keywords: Bell‘s numbers, course of value function, saddle-point method, Stirlig‘s numbers, asymptotic sequence.

1. НАВОДЯЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ

Как известно [1], числа Белла определяют количество разбиений конечного множества на классы, которое выражается посредством рекуррентного соотношения:

s

B(s + 1) = £ C“B(i), B(0)=1, (1)

i=0

где s — мощность разбиваемого множества. При увеличении s числа Белла растут очень быстро, что иллюстрируется данными табл. 1.

Таблица 1

Числа Белла B(s) при значениях s от 0 до 20

S 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B(s) 1 1 2 5 15 52 203 877 4140 21147 115975 678570 4212597

S 13 14 15 16 17

B(s) 27644437 190899322 1382958545 10480142147 82864869804

s 18 19 20

B(s) 682076806159 5832742205057 517241582353355372

Анализ табл. 1 обнаруживает интересный факт, связанный с поведением функции В(в) = В (в) В (в + 2)/В2(в + 1) в табл. 2.

Таблица 2

Поведение функции В(в) с ростом в

8 0 1 2 3 4 5 6 7 8

т 1.2 1.156 1.126 1.107 1.093 1.082 1.074 1.067 1.061

в 9 10 11 12 13 14 20 21

т 2 1.25 1.057 1.053 1.049 1.046 1.034 1.032

в 30 38 68 98 198

т 1.023 1.019 1.011 1.0078 1.0040

Данные табл. 2 показывают, что с ростом т функция В(в) ^ 1. Цель работы — показать, что на самом деле имеет место

Теорема 1. Имеет место соотношение:

Иш В(в) = 1. (2)

2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ

Доказательство (2) использует экспоненциальное представление производящей функции (в смысле [2]) для чисел Белла В (в) в комплексной плоскости вида [1]:

ГО 5

ехр(ег - 1) =

8=0 в'

которое, после обращения с помощью формулы Коши, дает равенство:

2піВ(в)

s!

= exp(ez — !)z (s+1) dz, (3)

Для реализации интересующей асимптотической оценки к интегралу (3) применяется метод перевала и, как легко видеть, точками перевала являются корни уравнения:

гег = в + 1. (4)

Известно [4], что для уравнения (4) всегда можно найти такой контур Ь, на котором содержится единственный положительный корень, определяемый методом итераций, и, таким образом, после шести итераций для В (в) получается следующее асимптотическое представление:

1п В(в) , , , 1п1п в 1 1 ( 1п1п в\2 ^ ( 1п1п в \

^=1п5_Ып5_1 + _ + _+_(_^ +0^], 8^оо. (5)

Исследуя последовательность итераций в (5), обнаруживаем интересное свойство данного представления.

На I итерации получается

В/(в) - в5, В/(в) = В/(в)В/(в + 2)/В2(в + 1) = 11ш [в5(в + 2)5+2/(в + 1)2(5+1)] = 1;

на II итерации:

В// (в) - В/ (в) /(1п в)в, Вп (в) = Иш [В/ (в) 1п2(5+1) (в + 1)/(Ш в 1п(5+2) (в+2))] = 1; на III итерации:

В///(в) — В//(в)/ 1п е =^ В///(в) = 1 ...;

на VI итерации:

. . 1 / 1п 1п в \

Ву/(в) = 1іш

- . . 1п1п в 1 / /1п1п(в + 1)

ІП5 1п1п(5 + 2) П^+ V ( 1п(5 + 1)

1,

т. е. на всех шести итерациях условие (2) выполняется. Окончательное доказательство теоремы получается из следующих соображений. Согласно [4], асимптотическое представление (5) продолжает ряд:

1п В(в)

ОО ОО

1п в — 1п 1п в + Сы(1п 1п в)1+1(1п в)

(6)

к=0 1=0

где Сы — постоянные коэффициенты двойного ряда, который абсолютно сходится для всех достаточно больших значений в.Фактически, надо показать, что всякий член двойного ряда (6) обладает свойством (2). Имеем:

1іш

8^ГО

1іш

8^ГО

(1п1п в)1+1 / (1п(в + 1))к+1+1 \2 (1п1п(в + 2))1+1

(1п в)к+1+1 \ (1п1п(в + 1)У+1/ (1п(в + 2))к+1+1

(1п 1пв)(1п 1п(в + 2))\ 1+1 / (1п(^ + I))2 4 к+1+1 (1п1п(з + 1))2 ) \1п1п(з + 2))

Теорема доказана. Следствие 1.

1іш(В(в)В(в + 2А)/В2(в + А)) = 1, А Є N.

(7)

В связи с доказательством теоремы отметим следующее. В выражениях (5), (6) члены рядов имеют вид 1п$(в), где функция д(в) обладает свойством Иш ^(в)^(в + 2)/д2(в + 1) = 1, которое транслируется на последующие члены ряда с помощью логарифма, так как в промежутке (0; то) логарифмическая функция представляет единственное решение уравнения Коши и’(иг') = и>(и) + и’(г')

[5].

2

2

1

3. НАИБОЛЬШЕЕ ЧИСЛО СТИРЛИНГА В

АДДИТИВНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЧИСЕЛ БЕЛЛА

Посредством чисел Стирлинга 2-го рода ^(з; п) [2] числа Белла В(т) определяются суммой:

В(з) = ^(з; п), 5^(0; 0) = 5Ч(з; з) = 1. (8)

п=0

В представлении (8) выделим наибольшее слагаемое и установим его единственность. Из формулы для чисел Стирлинга 5Ч(з; п) [2]:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 п

«(»;») = г?Е(-1)‘с^("-')'

' г=0

при з ^ 1 имеет место асимптотика:

5^(3; гг) ~ —. (9)

п!

С учетом (9) для ж Е (0; s) рассмотрим функцию fix) = — = —---------------, и

x! i(x + 1)

найдем ее экстремум. Мы имеем:

xs-1

/М = ц^Груу[5-^(х + 1)], (10)

где перед квадратной скобкой стоит положительный множитель; <^(ж + 1) — логарифмическая производная гамма-функции Г(ж + 1). Учитывая свойства <^(ж + 1) [3], для ж ^ 0.5 имеет место неравенство 0 < ж^(ж + 1) < з^(з + 1), в котором при з ^ 1 значения ^(з + 1) > 1 Поэтому, в силу монотонного возрастания <^(ж + 1), на интервале (0; з) найдется единственная точка х = ж*, в которой производная /(ж*) = 0 и при переходе ж* меняет знак с «+» на «-», т. е. тах /(ж) = /(ж*). Как следует из (10), конкретное значение ж* определяется решением уравнения:

ж^(ж + 1) = з. (11)

Для решения уравнения (11) в случае з ^ 1 используем асимптотическое равенство <^(ж + 1) = 1п(ж + 1) — 0(1/(2(ж + 1))) [3] так, что уравнение (11) преобразуется к виду:

ж 1п ж = з. (12)

Полагая в (12) ж = еу, получаем уравнение уеу = з, которое имеет вид (4) так, что искомый корень ж* выражается посредством двойного ряда, аналогичного (6). Поэтому при з ^ 1, в силу (8), также должно быть ж* ^ 1 так, что отношение ж*/[ж*] как угодно близко к 1 ив дальнейшем [ж*] = п* выражает номер наибольшего числа 5Ч(з; п*) в аддитивном представлении (8).

Замечание 1. Поскольку определение (1) для В(в) и уравнение (12) в рассматриваемой асимптотике в ^ 1 представляют взаимно однозначные соответствия, то всякому такому в отвечает единственное значение х, для

которого справедливо равенство В(в + 1) = хВ(в). С другой стороны, х является единственным корнем уравнения (12), и, таким образом, получается замечательное соотношение:

х = х* = В(в + 1)/В(в). (13)

4. АСИМПТОТИКА НАИБОЛЬШЕГО ЧИСЛА СТИРЛИНГА п*)

Номера п чисел $і(в; п) в представлении (8) удовлетворяют неравенству [4]:

\п — п*\ < у/в. (14)

Используя уравнение (12), неравенство (14) преобразуется к виду:

х* — л/X* 1п X* < п < X* + л/ж* ІІ1 X*,

что равносильно:

/In x* n / ln x*

у ~Ж* < ~Х* < у ~~Х* ' ( )

При неограниченном возрастании х* радикалы в (15) становятся как угодно малыми и тогда, по принципу сжатой переменной, отношение n/x* ^ 1, т. е. n ^ n*. Таким образом, при s ^ 1 имеет место асимптотика

(n*)s

(i6)

Насколько эффективна асимптотика, установленная в рамках (12)—(16), можно судить по табл. 3, которые показывают хорошее совпадение точных и асимптотических данных для n*. Что касается B(s), то при s > 20, соотношение (16) дает совпадение только по порядку величины. Причина в том, что величина n* в табл. 3 вычислена с помощью уравнения (12), однако, в реальности, вклад дает интервал номеров в левой части неравенства (14). При его учете получается картина, представленная в табл. 4, откуда видно, что для s ^ 10 величина отношения St(As)/B(s) близка к 1, т. е. в рассмотренной области s сумма Г 5^(Аз)близка к B(s). При этом, с ростом s отношение As/s медленно уменьшается, что указывает на медленную сходимость ряда (6), но асимптотика (16) улучшается. Как следует из неравенства (14), 0 < As/s < 2/yfs, что

СО

при s ^ то дает As/s ^ 0 и тогда J ^(x — n*)f (x) dx = f (n*), где £(x — n*) —

0

дельта-функция Дирака.

Таблица 3

Сравнение точных и асимптотических значений п* и В(в)

8 10 20 50 100

п* Точно 5 8 17 28

Асимпт. 5 9 17 29

В(8) Точно 115975 5.17- 1013 1.86 • 1047 4.76 • 10115

Асимпт. 88270 3.37 • 101а 9.36 • 104Ь 1.97 • 10пь

150 180 200*)

п* Точно 39 46 50

Асимпт. 40 46 50

В(8) Точно 6.82 • 10192 1.0565 • 10242 6.25 • 10275

Асимпт. 2.5 • 10192 0.36 • 10242 2.05 • 102УЬ

*)При в > 200 требуется оптимизация мощности процессора.

Таблица 4

Сравнение значений В (в) и

8 10 20 50 100

д5 5 6 10 14

114667 50.45 • 1014 184.3 • 1045 474.1 • 10113

В(з) 115975 51.72 • 1014 185.7 • 1045 475.7- 10113

£5і(Дв)/-В(в) 0.9887 0.9754 0.9925 0.9966

Ав/в 0.5 0.3 0.2 0.14

в 150 180 200

Аз 17 17 18

Е^(А«) 680.7 • Ю190 1.052 • 10242 622.8 • 10273

В(з) 682.1 • Ю190 1.056 • 10242 624.7 • 10273

£5і(Дв)/-В(в) 0.9979 0.9962 0.997

Ав/в 0.113 0.094 0.09

Дв — количество номеров на интервале в левой части неравенства (14);

Е ££(Дв) — сумма чисел Стирлинга с номерами из Дв.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты работы устанавливают новый класс последовательностей, топология которых характеризуется асимптотикой в виде геометрической прогрессии. Конкретизируя результаты, отметим следующее:

1. Доказанная теорема и ее следствие (формулы (2) и (7)), по сути, говорят о том, что последовательность чисел Белла {В(в)} асимптотически ведет себя как геометрическая прогрессия со знаменателем ж*, согласно соотношению (13).

2. Насколько это выполняется в реальности, можно судить по табл. 5.

Таблица 5

Асимптотическая геометрическая прогрессия в последова-

тельности чисел Белла {13(8)} при в = 190,200, £о = 190, х* = Б(191)/Б(190) = 48.82

8 190 191 192 193

Г 0 1 2 3

В(з) 6.6 • 10258 3.22 • Ю260 1.58 • 10262 7.82 • 10263

ВЫ(х*У 6.6 • 10258 3.21 • Ю260 1.57- 10262 7.67 • 10263

Погреши. - 1.003 1.006 1.019

195 196 197 200

Г 5 6 7 10

В(з) 1.93 • 10267 9.63 • 10268 4.83 • Ю270 6.25 • 10275

ВЫ(х*У 1.83 • 10267 8.92 • 10268 4.36 • Ю270 5.07 • 10275

Погреши. 1.055 1.079 1.108 1.232

Как видим, в диапазоне 190 ^ в ^ 197 последовательность {В(в)} с погрешностью ^ 10% мажорирует геометрическую прогрессию В(в0)(ж*)г и с ростом в мажорируемый диапозон {В(в)} неограниченно увеличивается.

3. Данный результат с помощью (7) реализует экстраполяцию, так как по

данным B(s) и B(s + А),Л ^ s можно получить оценку B(s + 2А).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Эндрюс Г. Теория разбиений. М. : Наука, 1982. 256 с.

2. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. М. : ИЛ, 1963. 288 с.

3. Янке Е. , Эмде Ф. , Лёш Ф. Специальные функции. М. : Наука, 1977. 343 с.

4. Д‘Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. М. : ИЛ, 1961. 247 с.

5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : в 3 т. Т. 1. М. : Наука, 1966. 607 с.

REFERENCES

1. Andrews G. E. The Theory of Partitions. Encyclopedia of Mathematics and his Applications. Vol. 2 / Editor G.-C. Rota. London; Amsterdam, Don Mills, Ontario; Sydney; Tokio, Addison-Wesley Publishing Company, 1976, 255 pp.

2. Riordan J. An Introduction to Combinatorial Analysis. New York, Wiley&Sons, Inc.; London, Chapman& Hall, Ltd. , 1958, 287 pp.

3. Janke E., Emde F. Losch F. Taffeln hoherer Funktionen. Stuttgart, B. G. Teubner Verlagsgesselschaft, 1960, 342 pp.

4. D‘Bruijn N. G. Asymptotic Methods in Analysis. Amsterdam; Groningen, North-Holland Publishing Co.; P. Noordhoff Ltd., 1958, 247 pp.

5. Fikhtengol’ts G. M. Kurs differentsial’nogo i integral’nogo ischisleniia [A Course of Differential and Integral Calculus]. Vol. 1. Moscow, Nauka, 1966, 607 pp. (in Russian).

Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского

Поступило 9.02.2014

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.