CC BY
38
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 15 Выпуск 1 (2014)
УДК 519.6
АСИМПТОТИКА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ БЕЛЛА
В. Е. Фирстов (г. Саратов)
Аннотация
Числа Белла B(s), как известно, определяют количество разбиений s-элементного множества на классы и с увеличением s имеют экспоненциальный рост. Поэтому становится актуальным исследование асимптотики s >> 1 последовательности {B(s)} чисел Белла B(s), например, в связи с решением следующей комбинаторной задачи. Пусть имеется дискретное пространство элементарных событий, содержащее s точек с заданным законом распределения вероятностей p1;...; ps, p1 + ... + ps = 1. На конфигурациях разбиений следует определить такое разбиение, при котором достигается минимум информационной энтропии по К. Шеннону. С этой задачей сталкиваются при оптимизации блочного управления сложными кибернетическими системами самого разного назначения.
В представленной работе установлены некоторые асимптотические свойства последовательности чисел Белла {B(s)}. Основной результат работы представляет соотношение: lim где B(s)] B(s +1);
s^ro B2(s + 1)
B(s + 2) — числа Белла с номерами s; s + 1; s + 2. Этот результат показывает, что асимптотически последовательность чисел Белла ведет себя как геометрическая прогрессия со знаменателем x* = B(s + 1)/B(s). В рамках аддитивного представления чисел Белла с помощью чисел Стирлинга установлена асимптотика B(s) St(s; и*) (n*)s/(n*)!, где и* = [x*]. Таким образом, установлен новый класс последовательностей, топология которых характеризуется асимптотикой в виде геометрической прогрессии. Этот фактор используется для оптимизации управления системными объектами.
Ключевые слова: числа Белла, производящая функция, метод перевала, числа Стирлинга, асимптотика последовательности
ТНЕ ASYMPTOTIC OF THE BELL‘S NUMBERS SEQUENCE
V. Е. Firstov (Saratov)
Abstract
Bell‘s numbers B(s) defines the amount partitions of s-element set and with growth s they have an exponentiale growth. That‘s why the asymptotic‘s investigation s >> 1 of sequence {B(s)} of Bell‘s numbers B(s) becomes actual, for example, if do the following combinatorial sum. Let‘s take a discrete space of elementary event containing s points with given law of probability distribution pi;...;ps, p1 + ... + ps = 1. On configurations of partitions one should define such a partition at which minimum of informational Shanon‘s entropy is gained. One can face with this problem when the optimization of block-control of difficult cybernetic systems is present.
In this work some asymptotic properties of sequence of Bell‘s numbers are considered. The main result of work represents the correlation:
lim = 1, where B(s); B(s + 1); B(s + 2) — BelPs numbers
s^ro B 2(s + 1)
with numerals s; s + 1; s + 2. This result shows that asymptotical sequence of Bell‘s numbers behaved themselves geometrical progression with denominator x* = B(s + 1)/B(s). In the frames of additive presentation of Bell‘s numbers with the help of Stirling‘s numders the asymptotics is set up
B(s) St(s; n*) (n*)s/(n*)!, where n* = [x*]. Thus, a new class of sequences is up, the topology of which is characterized by the asymptotics in the form of the geometrical progression. Thus, a new class of sequences is established, the topology of wich is characterized by asymptotics in the form of geometrical progression.
Keywords: Bell‘s numbers, course of value function, saddle-point method, Stirlig‘s numbers, asymptotic sequence.
1. НАВОДЯЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Как известно [1], числа Белла определяют количество разбиений конечного множества на классы, которое выражается посредством рекуррентного соотношения:
s
B(s + 1) = £ C“B(i), B(0)=1, (1)
i=0
где s — мощность разбиваемого множества. При увеличении s числа Белла растут очень быстро, что иллюстрируется данными табл. 1.
Таблица 1
Числа Белла B(s) при значениях s от 0 до 20
S 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B(s) 1 1 2 5 15 52 203 877 4140 21147 115975 678570 4212597
S 13 14 15 16 17
B(s) 27644437 190899322 1382958545 10480142147 82864869804
s 18 19 20
B(s) 682076806159 5832742205057 517241582353355372
Анализ табл. 1 обнаруживает интересный факт, связанный с поведением функции В(в) = В (в) В (в + 2)/В2(в + 1) в табл. 2.
Таблица 2
Поведение функции В(в) с ростом в
8 0 1 2 3 4 5 6 7 8
т 1.2 1.156 1.126 1.107 1.093 1.082 1.074 1.067 1.061
в 9 10 11 12 13 14 20 21
т 2 1.25 1.057 1.053 1.049 1.046 1.034 1.032
в 30 38 68 98 198
т 1.023 1.019 1.011 1.0078 1.0040
Данные табл. 2 показывают, что с ростом т функция В(в) ^ 1. Цель работы — показать, что на самом деле имеет место
Теорема 1. Имеет место соотношение:
Иш В(в) = 1. (2)
2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ
Доказательство (2) использует экспоненциальное представление производящей функции (в смысле [2]) для чисел Белла В (в) в комплексной плоскости вида [1]:
ГО 5
ехр(ег - 1) =
8=0 в'
которое, после обращения с помощью формулы Коши, дает равенство:
2піВ(в)
s!
= exp(ez — !)z (s+1) dz, (3)
Для реализации интересующей асимптотической оценки к интегралу (3) применяется метод перевала и, как легко видеть, точками перевала являются корни уравнения:
гег = в + 1. (4)
Известно [4], что для уравнения (4) всегда можно найти такой контур Ь, на котором содержится единственный положительный корень, определяемый методом итераций, и, таким образом, после шести итераций для В (в) получается следующее асимптотическое представление:
1п В(в) , , , 1п1п в 1 1 ( 1п1п в\2 ^ ( 1п1п в \
^=1п5_Ып5_1 + _ + _+_(_^ +0^], 8^оо. (5)
Исследуя последовательность итераций в (5), обнаруживаем интересное свойство данного представления.
На I итерации получается
В/(в) - в5, В/(в) = В/(в)В/(в + 2)/В2(в + 1) = 11ш [в5(в + 2)5+2/(в + 1)2(5+1)] = 1;
на II итерации:
В// (в) - В/ (в) /(1п в)в, Вп (в) = Иш [В/ (в) 1п2(5+1) (в + 1)/(Ш в 1п(5+2) (в+2))] = 1; на III итерации:
В///(в) — В//(в)/ 1п е =^ В///(в) = 1 ...;
на VI итерации:
. . 1 / 1п 1п в \
Ву/(в) = 1іш
- . . 1п1п в 1 / /1п1п(в + 1)
ІП5 1п1п(5 + 2) П^+ V ( 1п(5 + 1)
1,
т. е. на всех шести итерациях условие (2) выполняется. Окончательное доказательство теоремы получается из следующих соображений. Согласно [4], асимптотическое представление (5) продолжает ряд:
1п В(в)
ОО ОО
1п в — 1п 1п в + Сы(1п 1п в)1+1(1п в)
(6)
к=0 1=0
где Сы — постоянные коэффициенты двойного ряда, который абсолютно сходится для всех достаточно больших значений в.Фактически, надо показать, что всякий член двойного ряда (6) обладает свойством (2). Имеем:
1іш
8^ГО
1іш
8^ГО
(1п1п в)1+1 / (1п(в + 1))к+1+1 \2 (1п1п(в + 2))1+1
(1п в)к+1+1 \ (1п1п(в + 1)У+1/ (1п(в + 2))к+1+1
(1п 1пв)(1п 1п(в + 2))\ 1+1 / (1п(^ + I))2 4 к+1+1 (1п1п(з + 1))2 ) \1п1п(з + 2))
Теорема доказана. Следствие 1.
1іш(В(в)В(в + 2А)/В2(в + А)) = 1, А Є N.
(7)
В связи с доказательством теоремы отметим следующее. В выражениях (5), (6) члены рядов имеют вид 1п$(в), где функция д(в) обладает свойством Иш ^(в)^(в + 2)/д2(в + 1) = 1, которое транслируется на последующие члены ряда с помощью логарифма, так как в промежутке (0; то) логарифмическая функция представляет единственное решение уравнения Коши и’(иг') = и>(и) + и’(г')
[5].
2
2
1
3. НАИБОЛЬШЕЕ ЧИСЛО СТИРЛИНГА В
АДДИТИВНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЧИСЕЛ БЕЛЛА
Посредством чисел Стирлинга 2-го рода ^(з; п) [2] числа Белла В(т) определяются суммой:
В(з) = ^(з; п), 5^(0; 0) = 5Ч(з; з) = 1. (8)
п=0
В представлении (8) выделим наибольшее слагаемое и установим его единственность. Из формулы для чисел Стирлинга 5Ч(з; п) [2]:
1 п
«(»;») = г?Е(-1)‘с^("-')'
' г=0
при з ^ 1 имеет место асимптотика:
5^(3; гг) ~ —. (9)
п!
С учетом (9) для ж Е (0; s) рассмотрим функцию fix) = — = —---------------, и
x! i(x + 1)
найдем ее экстремум. Мы имеем:
xs-1
/М = ц^Груу[5-^(х + 1)], (10)
где перед квадратной скобкой стоит положительный множитель; <^(ж + 1) — логарифмическая производная гамма-функции Г(ж + 1). Учитывая свойства <^(ж + 1) [3], для ж ^ 0.5 имеет место неравенство 0 < ж^(ж + 1) < з^(з + 1), в котором при з ^ 1 значения ^(з + 1) > 1 Поэтому, в силу монотонного возрастания <^(ж + 1), на интервале (0; з) найдется единственная точка х = ж*, в которой производная /(ж*) = 0 и при переходе ж* меняет знак с «+» на «-», т. е. тах /(ж) = /(ж*). Как следует из (10), конкретное значение ж* определяется решением уравнения:
ж^(ж + 1) = з. (11)
Для решения уравнения (11) в случае з ^ 1 используем асимптотическое равенство <^(ж + 1) = 1п(ж + 1) — 0(1/(2(ж + 1))) [3] так, что уравнение (11) преобразуется к виду:
ж 1п ж = з. (12)
Полагая в (12) ж = еу, получаем уравнение уеу = з, которое имеет вид (4) так, что искомый корень ж* выражается посредством двойного ряда, аналогичного (6). Поэтому при з ^ 1, в силу (8), также должно быть ж* ^ 1 так, что отношение ж*/[ж*] как угодно близко к 1 ив дальнейшем [ж*] = п* выражает номер наибольшего числа 5Ч(з; п*) в аддитивном представлении (8).
Замечание 1. Поскольку определение (1) для В(в) и уравнение (12) в рассматриваемой асимптотике в ^ 1 представляют взаимно однозначные соответствия, то всякому такому в отвечает единственное значение х, для
которого справедливо равенство В(в + 1) = хВ(в). С другой стороны, х является единственным корнем уравнения (12), и, таким образом, получается замечательное соотношение:
х = х* = В(в + 1)/В(в). (13)
4. АСИМПТОТИКА НАИБОЛЬШЕГО ЧИСЛА СТИРЛИНГА п*)
Номера п чисел $і(в; п) в представлении (8) удовлетворяют неравенству [4]:
\п — п*\ < у/в. (14)
Используя уравнение (12), неравенство (14) преобразуется к виду:
х* — л/X* 1п X* < п < X* + л/ж* ІІ1 X*,
что равносильно:
/In x* n / ln x*
у ~Ж* < ~Х* < у ~~Х* ' ( )
При неограниченном возрастании х* радикалы в (15) становятся как угодно малыми и тогда, по принципу сжатой переменной, отношение n/x* ^ 1, т. е. n ^ n*. Таким образом, при s ^ 1 имеет место асимптотика
(n*)s
(i6)
Насколько эффективна асимптотика, установленная в рамках (12)—(16), можно судить по табл. 3, которые показывают хорошее совпадение точных и асимптотических данных для n*. Что касается B(s), то при s > 20, соотношение (16) дает совпадение только по порядку величины. Причина в том, что величина n* в табл. 3 вычислена с помощью уравнения (12), однако, в реальности, вклад дает интервал номеров в левой части неравенства (14). При его учете получается картина, представленная в табл. 4, откуда видно, что для s ^ 10 величина отношения St(As)/B(s) близка к 1, т. е. в рассмотренной области s сумма Г 5^(Аз)близка к B(s). При этом, с ростом s отношение As/s медленно уменьшается, что указывает на медленную сходимость ряда (6), но асимптотика (16) улучшается. Как следует из неравенства (14), 0 < As/s < 2/yfs, что
СО
при s ^ то дает As/s ^ 0 и тогда J ^(x — n*)f (x) dx = f (n*), где £(x — n*) —
0
дельта-функция Дирака.
Таблица 3
Сравнение точных и асимптотических значений п* и В(в)
8 10 20 50 100
п* Точно 5 8 17 28
Асимпт. 5 9 17 29
В(8) Точно 115975 5.17- 1013 1.86 • 1047 4.76 • 10115
Асимпт. 88270 3.37 • 101а 9.36 • 104Ь 1.97 • 10пь
150 180 200*)
п* Точно 39 46 50
Асимпт. 40 46 50
В(8) Точно 6.82 • 10192 1.0565 • 10242 6.25 • 10275
Асимпт. 2.5 • 10192 0.36 • 10242 2.05 • 102УЬ
*)При в > 200 требуется оптимизация мощности процессора.
Таблица 4
Сравнение значений В (в) и
8 10 20 50 100
д5 5 6 10 14
114667 50.45 • 1014 184.3 • 1045 474.1 • 10113
В(з) 115975 51.72 • 1014 185.7 • 1045 475.7- 10113
£5і(Дв)/-В(в) 0.9887 0.9754 0.9925 0.9966
Ав/в 0.5 0.3 0.2 0.14
в 150 180 200
Аз 17 17 18
Е^(А«) 680.7 • Ю190 1.052 • 10242 622.8 • 10273
В(з) 682.1 • Ю190 1.056 • 10242 624.7 • 10273
£5і(Дв)/-В(в) 0.9979 0.9962 0.997
Ав/в 0.113 0.094 0.09
Дв — количество номеров на интервале в левой части неравенства (14);
Е ££(Дв) — сумма чисел Стирлинга с номерами из Дв.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Результаты работы устанавливают новый класс последовательностей, топология которых характеризуется асимптотикой в виде геометрической прогрессии. Конкретизируя результаты, отметим следующее:
1. Доказанная теорема и ее следствие (формулы (2) и (7)), по сути, говорят о том, что последовательность чисел Белла {В(в)} асимптотически ведет себя как геометрическая прогрессия со знаменателем ж*, согласно соотношению (13).
2. Насколько это выполняется в реальности, можно судить по табл. 5.
Таблица 5
Асимптотическая геометрическая прогрессия в последова-
тельности чисел Белла {13(8)} при в = 190,200, £о = 190, х* = Б(191)/Б(190) = 48.82
8 190 191 192 193
Г 0 1 2 3
В(з) 6.6 • 10258 3.22 • Ю260 1.58 • 10262 7.82 • 10263
ВЫ(х*У 6.6 • 10258 3.21 • Ю260 1.57- 10262 7.67 • 10263
Погреши. - 1.003 1.006 1.019
195 196 197 200
Г 5 6 7 10
В(з) 1.93 • 10267 9.63 • 10268 4.83 • Ю270 6.25 • 10275
ВЫ(х*У 1.83 • 10267 8.92 • 10268 4.36 • Ю270 5.07 • 10275
Погреши. 1.055 1.079 1.108 1.232
Как видим, в диапазоне 190 ^ в ^ 197 последовательность {В(в)} с погрешностью ^ 10% мажорирует геометрическую прогрессию В(в0)(ж*)г и с ростом в мажорируемый диапозон {В(в)} неограниченно увеличивается.
3. Данный результат с помощью (7) реализует экстраполяцию, так как по
данным B(s) и B(s + А),Л ^ s можно получить оценку B(s + 2А).
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Эндрюс Г. Теория разбиений. М. : Наука, 1982. 256 с.
2. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. М. : ИЛ, 1963. 288 с.
3. Янке Е. , Эмде Ф. , Лёш Ф. Специальные функции. М. : Наука, 1977. 343 с.
4. Д‘Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. М. : ИЛ, 1961. 247 с.
5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : в 3 т. Т. 1. М. : Наука, 1966. 607 с.
REFERENCES
1. Andrews G. E. The Theory of Partitions. Encyclopedia of Mathematics and his Applications. Vol. 2 / Editor G.-C. Rota. London; Amsterdam, Don Mills, Ontario; Sydney; Tokio, Addison-Wesley Publishing Company, 1976, 255 pp.
2. Riordan J. An Introduction to Combinatorial Analysis. New York, Wiley&Sons, Inc.; London, Chapman& Hall, Ltd. , 1958, 287 pp.
3. Janke E., Emde F. Losch F. Taffeln hoherer Funktionen. Stuttgart, B. G. Teubner Verlagsgesselschaft, 1960, 342 pp.
4. D‘Bruijn N. G. Asymptotic Methods in Analysis. Amsterdam; Groningen, North-Holland Publishing Co.; P. Noordhoff Ltd., 1958, 247 pp.
5. Fikhtengol’ts G. M. Kurs differentsial’nogo i integral’nogo ischisleniia [A Course of Differential and Integral Calculus]. Vol. 1. Moscow, Nauka, 1966, 607 pp. (in Russian).
Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского
Поступило 9.02.2014
