Преобразования Дарбу для обобщённого уравнения Шрёдингера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.145; 517.958; 537.311.322.

Преобразования Дарбу для обобщённого уравнения

Шрёдингера

А. А. Сузько1, Е. П. Величева^

1 Лаборатория информационных технологий Объединённый институт ядерных исследований ул. Жолио-Кюри, д.6, Дубна, 141980, Россия Объединённый институт энергетических и ядерных исследований НАН Р. Беларусь ул. акад. А.К. Красина, 99, Минск, 220109, Республика Беларусь ^ Лаборатория ядерных проблем Объединённый институт ядерных исследований ул. Жолио-Кюри, д.6, Дубна, 141980, Россия

Преобразования Дарбу n-го порядка разрабатываются для обобщённого уравнения Шрёдингера, обладающего помимо обычного потенциала эффективной массой, зависящей от координаты, и дополнительным потенциалом, линейно зависящим от энергии. Приведён интегральный вид преобразований Дарбу и установлена их связь с преобразованиями в дифференциальной форме. Проанализированы преобразования второго порядка как при разных энергиях, так и при одной и той же энергии преобразования. Метод проиллюстрирован конкретными примерами конструирования квантовых потенциальных ям с заданным спектром.

Ключевые слова: обобщённые уравнения Шрёдингера, преобразования Дарбу.

1. Введение

В настоящее время вызывает большой интерес исследования квантово- механических систем с эффективной массой, зависящей от координатной переменной, вследствие их применения в различных областях физики. Концепция эффективной массы широко используется в физике твёрдого тела, в атомной и ядерной физике [1-5] и в других смежных областях (например, для изучения кластеров Не и металлических кластеров [6-9]).

С развитием низкоразмерных наноструктур, базисными элементами которых являются квантовые ямы, квантовые точки, нити, суперрешётки сейчас связывают возможности создания новых квантовых устройств для опто- и наноэлек-троники, информационных технологий нового поколения, измерительной техники. К настоящему времени технологи научились контролируемо создавать неоднородные наноструктуры (гетероструктуры) различной формы, выращивая на поверхности кристаллов одних полупроводников слои других полупроводников толщиной в несколько атомов. Такие слои характеризуются различными эффективными электронными массами. Для теоретического исследования квантовоме-ханических свойств полупроводниковых гетероструктур используют обобщённое уравнение Шрёдингера с эффективной массой, зависящей от пространственной переменной [10-18].

Конструирование разнообразных наноструктур, обладающих нужными спектральными свойствами, — одна из наиболее важных проблем квантовой инженерии [19,20]. Поэтому проблема восстановления квантовых потенциальных ям с предписанным энергетическим спектром очень важна для исследования низкоразмерных структур. Метод преобразований Дарбу, предложенный ещё в конце 19 столетия [21] и активно разрабатываемый в последние десятилетия (см. обзоры [22,23]), позволяет решать задачи восстановления квантовых потенциалов с заданным спектром.

Статья поступила в редакцию 17 декабря 2010 г.

Эта работа частично поддержана грантом РФФИ 09-01-00770.

В работе [24] техника преобразований Дарбу разрабатывалась для обобщённого уравнения Шрёдингера

ср(х) + ь(х)<р(х) = Н(х)£ <р(х), (1)

содержащего помимо обычного потенциала ь(х) эффективную массу т(х), зависящую от пространственной переменой, и дополнительный потенциал И(х) при энергетическом слагаемом. Для этого уравнения были построены преобразования Дарбу первого порядка, получены формулы алгебры суперсимметрии. В данной работе мы обобщаем результаты [24] на преобразования Дарбу п-го порядка, приводим интегральный вид преобразований, устанавливаем их связь с преобразованиями в дифференциальной форме, приводим несколько конкретных примеров конструирования потенциальных ям, которым соответствует заранее заданный спектр. Полученные обобщённые преобразования Дарбу корректно сводятся к частным случаям преобразований для уравнения Шрёдингера с эффективной массой [17], не содержащего весовую энергию, для уравнения Шрёдингера с потенциалом и с весовой энергией [25,26], а также к хорошо известным преобразованиям для обычного уравнения Шрёдингера.

dx

(-4

\т(х) I

dx

2. Обобщённые преобразования Дарбу первого порядка

В целях упрощения изложения и для лучшего понимания используемой здесь техники соотношений сплетения [17,22,26]) в данном параграфе мы вкратце повторим вывод преобразований Дарбу первого порядка, представленный в [24]. Дополнительно в этом параграфе мы решаем проблему получения решений при энергии преобразования, устанавливая тем самым соответствие между пространствами решений исходного и преобразованного уравнений.

Рассмотрим два обобщённых уравнения Шрёдингера

Нр = £ р, Чхух = £ рх,

=

1

нх

Ь,(х) 1

к(х)

dx dx

1

т(х) 1

т(х)

dx dx

+

+

у(х) к(х)'

У\(х) к(х) '

(2) (3)

где гамильтонианы Н и Нх отличаются только потенциалами V и VI. Предполагаем, что решения уравнения (2) с гамильтонианом Н известны. Будем конструировать гамильтониан Н\, спектр которого отличается от спектра уравнения с гамильтонианом Н только одним связанным состоянием, на основе техники соотношений сплетения

С.\Н — Н\£\,

рх = Схр.

(4)

(5)

Сплетающий оператор Сх ищем в виде линейного дифференциального оператора первого порядка Сх = В (К + дх), где В = В(х) и К = К(х) определяем из первого соотношения сплетения (4). Подставляя Сх и явный вид гамильтонианов Н и Н1 в (4), а также предполагая линейную независимость р и её производных, после преобразований получим систему уравнений для определения В, К и потенциала Ух:

В =

¡3

\Zhrn'

(6)

V - V — 2(ВК) ' В_

^ тВ тВ \ т) В

Ъ \т

1 2 Ът Ът V Ъ

+

Г—)

\hrnj

к2 - к -

Ъ П'к

Ъ \т/

0,

(7)

(8)

где /3 — произвольная константа, которую без потери общности можно положить равной единице, штрих обозначает производную по ж. С учётом (6) соотношение для нового потенциала (7) преобразуется к виду

VI = V + 2

ъ к

'т Ах

Ъ А

т Ах

1_А_ Ъ Ах

(9)

Потенциал будет окончательно определён после нахождения функции К. Чтобы вычислить К, перепишем уравнение (8) в виде

_А_ Ах

т— ( —К + К2 Ът

А — А

Ах \Ъ) Ах

Ъ (1У *

Ъ \т/

0,

из которого следует уравнение Риккати

Ът ( ^ + ^ ) Ъ Ъ (т) ^ ^,

(10)

где Л — произвольная константа интегрирования. Уравнение Риккати можно линеаризовать, если ввести новую функцию Ы = Ы(х):

К = — ^.

Л и

(11)

Подставляя К в (10), получим уравнение для и

1 '' /1 V '

— и — - и + уЫ = юи,

т \т/

(12)

которое тождественно начальному уравнению (2) при £ = А. Поскольку решения (2) известны при всех энергиях, то известно и решение и при энергии преобразования £ = Л. Как и для обычного уравнения Шрёдингера назовём функцию и функцией преобразования, поскольку она определяет преобразованные потенциал и решения. Действительно, как только и задана, находим функцию К, новый потенциал г>1, дифференциальный оператор С\, преобразующий решения одного уравнения в решения другого и, наконец, решения нового преобразованного уравнения

2 I Ъ А

^ т Ах

" и ' -\[Ъ— 1 А

\A\fmh у т Ах Ъ Ах

1=

1

\frnh

щ =

(— /Л = 1 ( А и\

^Ас + К) = Ах - и)

1

\frnh

Ах

Ы_ И

Ч>.

(13)

(14)

(15)

Из анализа соотношений (13)-(15) следует, что новый потенциал VI и решения зависят не только от исходных известных потенциала V и решений Ы и но и

от дополнительных потенциалов т и И. Отметим, соотношение (15) связывает решения для двух уравнений (2) и (3) при произвольной энергии £ = А. Очевидно, что при £ = \ действие преобразования Дарбу (14) на функцию и и на решения, линейно зависимые к и, даёт СхЫ = 0. Решение уравнения (3) при энергии преобразования £ = А можно получить, если использовать вместо и решение и линейно независимое к и. Такое линейно независимое решение можно построить следующим образом: домножим уравнение (12) для и, слева на функцию, сопряжённую

к и. Далее используем уравнение для и сопряжённого, домноженное на и справа. Вычитая результаты и предполагая, что т, И и и — действительные функции, ё

получим:

dx

— (UU' -U'U)

0. Интегрирование последнего уравнения даёт

(ии - U'iPj = С, (16)

где С — произвольная константа, которая может быть выбрана равной единице. Из (16) получим аналог формулы Лиувилля для определения второго линейно независимого решения

х

й = uj dx' . (17)

Х0

Пределы интегрирования зависят от выбора граничных условий. Нетрудно проверить, что U удовлетворяет (16). Прямая подстановка U в (2) показывает, что U действительно есть решение обобщённого уравнения Шрёдингера, если U является его решением. Действие L на функцию U даёт нам решение преобразованного уравнения (3) с новым потенциалом v\ при энергии преобразования Л

^ = = VI * . (18)

Как только найдено 'q, можно, используя ещё раз обобщённую формулу Лиувилля (17), получить второе решение rf уравнения (3) при энергии Л. Для этого в (17) заменим U функцией 'ц и с учётом (18) получим

X X

rf = v Jdx' = \[jf й Jdx'h(x')\U(x')|2. (19)

X0 X0

В заключение отметим, что знание всех решений первоначального уравнения (2) обеспечивает знание всех решений преобразованного уравнения (3), включая решения при энергии Л. Анализ полученных соотношений показывает, что в частном случае постоянной массы т(х) = то обобщённое уравнение Шрёдингера (2) переходит в уравнение Шрёдингера с весовой энергией, а обобщённые формулы преобразований Дарбу первого порядка (13)-(15) и (18), (19) переходят в формулы преобразований Дарбу, полученные в [25,26]. В случае, когда h(x) = 1 и т(х) = const, соотношения для потенциала и решений (13)-(15) и (18), (19) переходят в аналогичные соотношения для уравнения с эффективной массой [14,17], наконец, если т(х) = т0 и h(x) = 1, соотношения (13)-(19) дают преобразования Дарбу 1-го порядка для стандартного уравнения Шрёдингера (см., например, [22]). Отметим, что если функция U отвечает связанному состоянию ~Н, то функция 'q, определяемая (18) при энергии преобразования, не может быть нормирована (предполагается, что h не обращается в нуль на заданном интервале изменения ж). В этом состоит причина того, что Л не принадлежит дискретному

спектру преобразованного гамильтониана Н1 и два гамильтониана Н и Н1 имеют спектры, отличающиеся на одно связанное состояние при £ = А.

3. Преобразования Дарбу второго порядка и цепь

преобразований

Преобразования Дарбу первого порядка связывают два гамильтониана Н и Н1 и отвечающие им решения <р и ^1. Если исходный гамильтониан был точно решаем, то и преобразованный гамильтониан Н1 будет допускать точные решения. Полученный преобразованный гамильтониан Н1 может играть роль начального гамильтониана для следующего преобразования. При этом получим новый точно решаемый гамильтониан Н2. Повторяя процедуру п раз, получаем цепь точно решаемых гамильтонианов для обобщённого уравнения Шрёдингера с потенциалами У1,1)2,... ,уп подобно тому, как это имеет место для стандартного уравнения Шрёдингера.

Определим преобразования Дарбу 2-го порядка как последовательность двух преобразований

С = С2С1, (20)

где ¿1 дано как в (14) с той разницей, что К заменяем на К1, и на 1Л1 и Л на Л1; оператор ¿2 определим следующим образом:

2=

V тЪ

( 5 +

К,_ = — ^

Х1

(21)

Здесь Х1 = Х1(х,^2) — решение (3) при энергии А2, полученное при применении преобразования первого порядка к решению Ы2 уравнения (2) с энергией Л2

Х1 = ¿1^2 =

/^(А + кЛ и2, К1 =

у/т Ъ V Аж 141

(22)

Ясно, что Х1 — решение преобразованного уравнения с потенциалом г>1, определённым как в (9), и Х1 можно выбрать в качестве новой функции преобразования для гамильтониана Н1, чтобы генерировать новый потенциал

^ = + 2 и соответствующие решения = ¿2^1 =

Ъ А К2

'т /тЪ,

Ъ А

т Ах

1А

Ъ Ах

<Р1 = ¿1 <р.

(23)

(24)

Функция определяется как в (15) и является собственной функцией гамильтониана Н1. Другими словами, действие оператора второго порядка (20) на решения <р приводит к решениям обобщённого уравнения с гамильтонианом Н2: <р2 = ¿<р = ¿2С1<р. Повторение этой процедуры п раз по отношению к исходному оператору Н приводит к оператору Нп, который удовлетворяет соотношению сплетения ¿Н = НпС. В результате имеем

уп = уп-1 + 2

Ъ А

т Ах /шЬ,

Ъ А

т Ах

1А

Ъ Ах

(25)

<Рп = ¿V = ¿п'Рп-1 = ¿пСп-1 . . . ¿1'Р,

(26)

1

1

где L — дифференциальный оператор n-го порядка:

-... ,

Vmh

(зХ + ><•■)

Кп — -х'п-lXn-1.

(27)

Таким образом, цепь, состоящая из п преобразований Дарбу первого порядка, даёт в итоге цепь точно решаемых гамильтонианов Н ^ Н- ^ ■ ■ ■ ^ Нп. Обобщённые преобразования (25)—(27) сводятся в частных случаях к уже известным преобразованиям Дарбу. Например, когда h(x) — 1 из соотношений (25)-(27) следуют преобразованиями Дарбу для уравнения Шрёдингера с эффективной массой [17]. При m(x) — т0 — const и h(x) — 1 формулы (25)-(27) становятся преобразованиями Дарбу для уравнения Шрёдингера с весовой энергией [25,26]. В частном случае постоянной массы m(x) — то и h(x) — 1 соотношения (25)-(27) переходят в хорошо известные преобразования Дарбу для стандартного уравнения Шрёдингера.

Окончательные формулы для потенциала и решений любого порядка могут быть получены через начальные гамильтониан и решения без использования промежуточных выражений для потенциалов и решений, если они нас не интересуют. Рассмотрим преобразования второго порядка более детально. Подставим явный вид для потенциала , полученный в результате преобразования первого порядка (9), в формулу (23) для потенциала v2

V2 — V + 2

h d JA _2J h А

т dx Jmh V т Зх

l_d_ h dx

( fh

т

К — К +К2.

(28)

Преобразуем теперь К — —U[ /U\ — Xi/Xi, представляя Xi в виде

1 Wi,2

X —

Vmh Ui '

(29)

где W\,2 — U\U'2 — U' 1U2 вронскиан функций U\ and U2. Подставляя (29) в соотношение (21) для К2, получим

К — — - —

2 Xi dx

In

( 1 WM \ Vmh Ui

(30)

и, учитывая выражение для К, найдём К —--

dx

ln

W

1,2

. С учётом последне-

\fmh_

го выражения после некоторых преобразований потенциал п2 можно представить в виде:

V2 — V — 2\! — -d-т d x

т -tw^lmml

W1.2

(31)

Получим теперь выражение для соответствующих решений р2 • Для этого преобразуем соотношение (24). По аналогии с XI функцию представим в виде:

Pi

1 Wl,£

Vmh Ui '

где W\ £ — — U'tp. Вычислим производную функции

^ — — ( jm—ui)

Wl ,£ + jL^"

mh

1

Vmh Ui

-<p.

1

Подставляя последнее выражение и соотношение (30) в (24), после ряда преобразований получим

1 ( " и"1 \ а Ли/ ^ 1

= ^ - ИТV) - аД1пт>2)■ (33)

Из соотношений (31) и (33) видно, что потенциал и решения, полученные в результате преобразований Дарбу второго порядка, выражаются через потенциалы и решения исходного уравнения без использования соотношений для и найденных на промежуточной стадии с помощью преобразований Дарбу первого порядка. Очевидно, что следующий этап преобразования можно выполнить, выбрав в качестве новой функции преобразования вспомогательную функцию, соответствующую потенциалу Её можно найти посредством действия оператора С = С2С1 на решения Ы3 уравнения (2), взятую при энергии преобразования Аз:

%2 = — (и? - ^иЛ - С (1п W12)^-.

тЪ ^ их 3) аД У 1'2) тЪ Щ

Эту вспомогательную функцию можно использовать для получения нового оператора преобразования С3 = + К3, К3 = —х'2X-1, с помощью которого можно генерировать новые потенциал 1)3 и решения <р3 в аналитическом виде, и так далее в соответствии с (25)—(27).

4. Интегральная форма преобразований Дарбу

В этом разделе преобразования Дарбу в дифференциальной форме представим в интегральном виде, что бывает важно, например, при определении граничных условий, для конструирования точно-решаемых моделей при энергии преобразования А, а также при построении фазово-эквивалентных гамильтонианов.

Получим интегральный вид преобразованных решений первого (32) и второго (33) порядков. Домножая уравнение (2) для функции р на Ы1, и, вычитая из полученного выражения уравнение (12) для функции Ы1, умноженное на р, имеем

^ (^£) =(Д1 -£(34)

Проинтегрируем последнее выражение

Wl>£ = т ^ -£) !Н(х')Ы1(х')<р(х')ёж' + С) . (35)

Здесь С и Хо — константы интегрирования. Подставляя вронскиан (35) в формулу (32) для решений <р1, получим преобразованные решения 1-го порядка в интегральном виде

= V?Ш + (Д1 -£) / ь,(х>)и1 (х')ч>(х')ёж') . (36)

Это же справедливо для вспомогательных решений Х1, взятых при энергии £ = \2

Х1 = ^г! Iе + (Д1 - х2)/н(х')и1(х')и2(х')ёж') . (37)

Здесь было использовано

/ X 1

Wl,2 = т I (Ах - А2) У Кх')1А\(х')и2(х')&х' + С

(38)

Хо

По аналогии, применяя эту технику к преобразованным решениям 2-го порядка, получим их интегральное представление. Например, соотношение (24) для решений ^2, записанное в терминах преобразованных решений первого порядка рх и XI, подобно (36), представим в виде

Х

<Р2 = ( С + (а2 -£) / Н(Х')Х1(хх)(Р1(х'№х'

(39)

В принципе решения р2 мы уже определили, поскольку рх и Х1 выражены в терминах известных решений исходной задачи (см. (36) и (37)). Очевидно, что решения 2-го порядка можно выразить непосредственно через решения исходного уравнения. Для этого преобразуем соотношение (33) к виду

Р2 = (Ах - £-

и2( А1 -ХзЩг ,£

т[С + (А1 - А2) К(х')их (х')Ы2 (х')Ах']

и2

(Ах - £-

гх

С + А -£) Н(хХ)их (хХ)р(х')(1х'

л Хо

С + Н(х' )их (х' )Ы2(х' )(1х'

•1 хо

где Сх = С/(Ах - А2). Включая не зависящий от координаты фактор (Ах - £) в р, окончательно получим

1А2

ф2 = Р

ГХ

С + Н(х! )Ы\ (х' )р(х! )&х!

Л Хо

С + Цх' )и1 (х' )Ы2(х' )(1х'

(40)

Пределы интегрирования зависят от граничных условий. В частности, для регулярных решений, удовлетворяющих условиям р(х = 0) = 0, р(х)|Х=о = 1, нижний предел хо равен нулю, а верхний равен х. Используя интегральное представление для вронскиана (38) в соотношении (28), преобразованный потенциал 2 представим в виде

Ь2 = V - 2\! —

" т ах

(

—и1Ы2

\Zrnh

Сг + ах'—(х' )иг (х' )Ы2(х') •I хо

(41)

Хо

X

1

X

Итак, мы получили интегральный вид преобразований Дарбу первого и второго порядка для потенциалов и решений. При этом спектр для гамильтониана Н2 с потенциалом г>2 на два связанных состояния отличается от спектра гамильтониана Н. Рассмотрим теперь преобразования второго порядка при энергии, при которой осуществлялось преобразование первого порядка, Ах = А2 = А. Преобразование второго порядка можно сделать, построив вспомогательное решение из линейной комбинации решений г] и г/, полученных в рамках процедуры первого

порядка (18) и (19)

Х1 = С1V + V = ¿4 I С1 + ^ &х'к(х')и2(х')

(42)

Хо

Очевидно, что решение Х1 удовлетворяет уравнению (3), поскольку ^ и г) являются его решениями. Чтобы найти новые потенциал и решения вычислим с этим х1 операторы преобразований К2 и К

К2 = ^ -и

£ у/Т (С1 + ¡х] ах'—(х')и2(*))

^ (а Х Ах'Н(х')и2 (х'^

(ш ^)

к = - ъ (1Ч — ] -

■у? и+г

\ ■/хо

^ [С! + / Ах'—(х')и2(х') хо /

Подставляя последнее выражение в формулу для потенциала (28), найдём

/

Ь2 = V - 2\/ —

т ах

—2

V

\Jrnh

с! + Ах'—(х' )ТЛ 2(х')

■! хо

(43)

Подействуем оператором С2 с функцией преобразования %1, определённой в (37), на функцию р1, представленную в интегральном виде (36). После ряда преобразований получим

и

ф2 = У

рх

с1 + / —(х')Ы2 (х')Ах'

хо

С + к(х' )и (х' )р(х' )&х'

(44)

Соотношения для потенциала У2 и решений р2 можно получить непосредственно из соотношений (41) и (40), если учесть, что Ы1 = Ы2 = 1Л, С1 = С1. Без потери общности можно переопределить вспомогательную функцию Х1 следующим образом: Х1 = V+Гг), где Г — константа. Тогда потенциал У2 и решения р2 перепишутся

в виде /

/ \

Ь2 = V - 2\/ — -а-т ах

1

— Ш2

\fmhh

ф2 = У

ш

1 + Г Н(х' )и 2(х' )Ах'

1 + Г Ах'—(х' )Ы 2(х') •1x0

X

С + J Н(х' )и (х' )р(х' )&х'

(45)

(46)

где Г = (1/с{). Постоянная Г теперь может выступать в роли нормировочной константы для связанного состояния Л или разницы между нормировочными константами для потенциалов У2 и V, соответственно. В первом случае спектры двух гамильтонианов Н2 и Н отличаются на одно связанное состояние. Во втором случае два гамильтониана Н2 и Н отличаются только нормировками и являются фазово-эквивалентными. Решения (46) построены при произвольной энергии

1

X

X

X

X

Хо

£ = Л. Решение обобщённого уравнения с потенциалом (45) при энергии преобразования Л получим, действуя оператором преобразования С2 на решения 1] (18)

1 ( d У^ 1т 1

уравнения (3) с потенциалом vir]2 = С2Г]

Vmh

dx

XL

Xi

лагается, что Xi определено как в (37). Окончательно имеем

или

2=

2

U

С!+ dx'h(x' )U 2(x')

J х0

TU

1 + Г dx'h(x' )U 2(x')

h

где предпо-

(47)

Отметим, что выбор произвольных констант хо и ci или Г позволяет избежать проблем, связанных с сингулярностью знаменателя. Другими словами, можно строить преобразования на произвольных связанных состояниях, не только на основном, и конструировать потенциалы без дополнительных сингулярностей, если потенциальные функции т(х) и h(x) не приводят к сингулярностям. Предполагается, что m(x) и h(x) дважды непрерывно дифференцируемые функции. Если предположить, что функция преобразования U взята при энергии связанного состояния А, которое мы хотим добавить в начальный спектр, и Г = N2 есть соответствующая нормировочная константа, то формулы (45)-(47) дают возможность конструировать потенциал с новым связанным состоянием при £ = А. Если спектры для потенциалов 2 и совпадают и отличаются только нормировками одного из связанных состояний Г = N2 — N2, например А, то эти соотношения позволяют строить семейства фазово-эквивалентных гамильтонианов. Отметим, что соответствующие фазово-эквивалентные потенциалы имеют разную форму, они могут быть глубже и уже или более мелкими и широкими, и в то же время обладают одинаковыми спектральными свойствами, за исключением нормировок выбранного состояния. Последовательно применяя преобразования Дарбу, можно конструировать гамильтонианы с заранее заданными спектральными свойствами.

х

х

5. Приложение

В качестве примера рассмотрим задачу конструирования потенциалов и решений в рамках преобразований Дарбу первого и второго порядка. Для исходного уравнения (2) выберем следующие потенциальные функции: v(x) = 1/4х, m(x) = 1/х, h(x) = х. Уравнение (2) с такими потенциалами решается точно.

Ci sin(kx) С2 cos(kx)

Общее решение имеет вид: р(х) = -^--I--^—. Выбирая в качестве

ky/x k^x

, , C sin(kx)

начального решения частное решение р{х) = — _—, а в качестве функции

k^jx

преобразования U = C cOf5Sh(Kx^, из соотношений преобразований Дарбу первого

x

порядка (13) и (15) получим потенциал и решения в аналитическом виде

2, л , , C cos(kx) C\k sin(kx) th(nx)

vi(x) = — 2xk2 i1 — th (Kx))' ^i(x) = —

kV~x

На рис. 1(а) приведены примеры нескольких разных потенциалов и\, отличающихся от исходного V одним связанным состоянием, взятым при разных энергиях. На рис. 1(б) представлено несколько точных решений рассчитанных для соответствующих гамильтонианов с полученными потенциалами и\. Функция г] при

энергии преобразования Л = -к2 определяется с использованием (18) следующим

(а) (б)

Рис. 1. (а) потенциалы у1(х); (б) соответствующие решения '■р1(х) и начальное

решение ^р(х)

Рис. 2. (а) потенциалы ь2(х); (б) соответствующие решения '-р2(х) при к = 3 и

начальное решение ^р(х)

Построим потенциалы У2 и аналитические решения ^2 в рамках второго пре-

9 А2

образования Дарбу. Из соотношений (31) и (33) получим у2 = — - 2х ^^, 1п ^1,2, где х х

С2 ( \

Ш1)2 = К ¡2 х ук2 совЬ(к1ж) СОвЬ(к2Х) - к1 вшЬ(к2ж) ВшЬ^Ж^

и

^2 = С К1г( .(аЖ1,£ - О- Ы Wl,2)wlЛ,

С2 оо8П(к:1х) V ах ' ах V ' ) !

где = ^ ^ (к совЪ^кхх) сов(кх) — к в'тЪ^кхх) вт(кх)^.

На рис. 2(а) приведены примеры потенциалов и2, отличающиеся от исходного V двумя связанными состояниями Л1 = —к1, Л2 = —к2. Соответствующие точные решения р2 даны на рис. 2(б). Таким образом, получены новые точно решаемые модели в рамках первого и второго преобразований Дарбу.

6. Заключение

Техника преобразований Дарбу произвольного порядка обобщена на уравнение Шрёдингера с эффективной массой, зависящей от пространственной переменной, и с потенциалом, линейно зависящим от энергии. Выведена интегральная форма преобразований Дарбу. На конкретных примерах показано, как полученные преобразования Дарбу можно применять для конструирования потенциалов с заданным спектром. Эта техника может быть использована для моделирования нано-структур с заранее заданными спектральными параметрами.

Литература

1. Ring P., Schuck P. The Nuclear Many Body Problem. — New York: Springer, 1980. — 211 p.

2. Razavy M., Field G., Levinger J. S. Analytical Solutions for Velocity-Dependent Nuclear Potentials // Phys. Rev. — 1962. — Vol. 125. — Pp. 269-272.

3. Бабиков В. В. Метод фазовых функций в квантовой механике. — М.: Наука, 1976. — 224 с. [Babikov V. V. Metod fazovihkh funkciyj v kvantovoyj mekhanike. — M.: Nauka, 1976. — 224 s.]

4. Vinitsky S. I. et al. Effective adiabatic Approximation in the Problem of Three Bodies Coupled via Short-range Potentials // Physics of Atomic Nuclei. — 2001. — Vol. 64. — Pp. 27-37.

5. Jaghoub M. I. Perturbation Theory for Isotropic Velocity-dependent Potentials: Scattering case // Phys. Rev. A. — 2006. — Vol. 74. — Pp. 032702-032702-8.

6. Arias de Saavedra F. et al. Effective Mass of One 4He Atom in Liquid 3He // Phys. Rev. B. — 1994. — Vol. 50. — Pp. 4248-4251.

7. Barranko M. et al. Structure and Energetics of Mixed 4He —3 He drops // Phys. Rev. B. — 1997. — Vol. 56. — Pp. 8997-9003.

8. Brack M. Multipole Vibrations of Small Alkali-metal Spheres in a Semiclassical Discription // Phys. Rev. B. — 1989. — Vol. 39. — Pp. 3533-3542.

9. Puente A., Serra L., Casas M. Dipole Excitation of Na Clusters with a Non-local Energy density Functional // Z. Phys. D. — 1994. — Vol. 31. — Pp. 283-286.

10. Bastard G. Wave Mechanics Applied to Semiconductor Heterostructure. — France: Les Editions de Physique, Les Ulis, 1988. — 366 p.

11. Morrow R. A., Brownstein K. R. Model Effective-mass Hamiltonians for Abrupt Heterojunctions and Associated Wave-function Matching Conditions // Phys. Rev. B. — 1984. — Vol. 30. — Pp. 678-680.

12. Einevoll G. T., Hemmer P. C., Thomesn J. Operator Ordering in Effective-mass Theory for Heterostructures. I. Comprason with Exact Result for Superlattices, Quantum Wells and Localized Potentials // Phys. Rev. B. — 1990. — Vol. 42. — Pp. 3485-3496.

13. Plastino A. R. et al. Supersymmetric Approach to Quantum Systems with Position-Dependent Effective Mass // Phys. Rev. A. — 1999. — Vol. 60. — Pp. 4318-4325.

14. Milanovic V., Iconic Z. Generation of Isospectral Combinations of the Potential and the Effective-mass Variations by Supersymmetric Quantum Mechanics // J. Phys. A: Math. Gen. — 1999. — Vol. 32. — Pp. 7001-7015.

15. Roy B., Roy P. A Lie Algebraic Approach to Effective mass Schrodinger Equations // J. Phys. A. — 2002. — Vol. 35. — Pp. 3961-3969.

16. Koç R., Koca M. A Systematic Study on the Exact Solution of the Position Dependent mass Schrodinger Equation // J. Phys. A. — 2003. — Vol. 36. — Pp. 81058112.

17. Suzko A. A., Schulze-Halberg A. Intertwining Operator Method and Supersym-metry for Effective mass Schrodinger Equations // Phys. Lett. A. — 2008. — Vol. 372. — Pp. 5865-5871.

18. Suzko A. A, Schulze-Halberg A. Darboux Transformations and Supersymmetry for the Generalized Schrodinger Equations in (1 + 1) Dimensions // J. Phys. A. — 2009. — Vol. 42. — Pp. 295203-295203-14.

19. Goser K., Glosekotter P., Dienstuhl J. Nanoelectronics and Nanosystems. From Transistors to Molecular and Quantum Devices. — Berlin: Springer-Verlag, 2004. — 284 p.

20. Low-dimensional Systems // Special issue of Physica E. — 2002. — Vol. 14, No 1/2. — Pp. 5865-5871.

21. Darboux M. G. // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. — 1882. — Vol. 94. — Pp. 1456-1459.

22. Matveev V. B., Salle M. A. Darboux Transformations and Solitons. — Berlin: Springer, 1991. — 123 p.

23. Gu C., Hu H., Zhou Z. Darboux Transformations in Integrable Systems. — Dordrecht: The Netherlands: Mathematical Physics Studies 26, Springer, 2005. — 310 p.

24. Suzko A. A, Schulze-Halberg A., Velicheva E. P. Supersymmetry and Darboux Transformations for the Generalized Schroodinger Equations // Physics of Atomic Nuclei. — 2009. — Vol. 72. — Pp. 858-865.

25. Suzko A. A., Giorgadze G. Darboux Transformations for the Generalized Schrodinger Equations // Physics of Atomic Nuclei. — 2007. — Vol. 70, No 3. — Pp. 607-610.

26. Suzko A. A., Tralle I. Reconstruction of Quantum Well Potentials via the Intertwining Operator Technique // Acta Physica Polonica B. — 2008. — Vol. 39, No 3. — Pp. 1001-1023.

UDC 530.145; 517.958; 537.311.322.

Darboux Transformations for the Generalized Schrodinger

Equation A. A. Suzko1, E. P. Velichevat

1 Laboratory of Information Technologies

Joint Institute for Nuclear Research 6, Jolio-Curie, Dubna, 141980, Russia;

Joint Institute for Power and Nuclear Research, National Academy of Sciences of Belarus 99, acad. A.K. Krasin str., 220109, Minsk, Republic of Belarus t Laboratory of Nuclear Problems Joint Institute for Nuclear Research 6, Jolio Curie, Dubna, 141980, Russia

The Darboux transformations of the n-th order is elaborated for a generalized Schrodinger equation with a position-dependent effective mass and with a linearly energy-dependent potential. The Darboux transformations are given also in an integral form. A correspondence between the differential Darboux transformations and the integral ones has been established. The second-order Darboux transformations are analyzed both at different energies and at the same transformation energy. The method is illustrated by several examples of constructing quantum potential wells with a given spectrum.

Key words and phrases: generalized Schrodinger equations, Darboux transformations.