CC BY
44
предыдущих слоев к текущему и «пробегая» вдоль кривой 0,, методом прогонки от / = О
до у=/и осуществляем вычисления и'- 1 по
первому уравнению равновесия и г'}',11 - по
второму, до г = п — 1. Таким образом, находим численное неосесимметричное решение задачи. Зная вектор перемещения точек цилиндра и'- 1
и г)',11. по (4) и (3) можем построить тензоры
деформаций и напряжений в любой точке по периметру цилиндра с дальнейшим пересчетом характеристик НДС через промежуток А/ для учета температурной ползучести по (5).
В Ы В О Д
Окончательное суждение об описанном НДС цилиндра моЖВт3 быть сделано лишь после соответствующих реакторных и других испытаний, однако проектирование можно существенным образом облегчить путем использования подобных оценочных расчетов термонапряжений, позволяющих сразу же в какой-то мере приблизиться к наиболее рациональным конструкциям. Между тем топливные материалы подвергаются и нейтронному облучению, которое существенно меняет характеристики материала. Речь идет о радиационном распухании материалов, которое является принципиально новым явлением и свойственно только элементам конструкций ядерной энергетики. Поэтому расчетно-теоретическое обоснование НДС моделей топливных сердечников остается
неполным без учета облучения. Отсюда вытекает необходимость моделирования расчета НДС длинного сплошного цилиндра, в котором будет рассматриваться поведение материалов ТВЭЛов при облучении. А полученные в работе выражения и предложенная численная схема решения задачи определения неосесимметрич-ного НДС длинного цилиндра, подверженного неравномерному нагреву в условиях температурной ползучести, может послужить основой для разработки и проведения подобных практических расчетов на прочность.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Куликов, И. С. Прочность элементов конструкций при облучении / И. С. Куликов, Нестеренко, Б. Е. Твер-ковкин. - Минск: Наука и техника, 1990. - 144 с.
2. Куликов, И. С. Прочность тепловыделяющих элементов быстрых газоохлаждаемых реакторов / И. С. Куликов, Б. Е. Тверковкин. - Минск: Наука и техника, 1984. - 104 с.
3. Тимошенко, С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. - М., 1979. - 551 с.
4. Ширвель, П. И. О неосесимметричном НДС неравномерно нагретого длинного сплошного цилиндра, подверженного нейтронному облучению / П. И. Ширвель, И. С. Куликов // Машиностроение: респ. межвед. сб. -Минск, 2008. - Вып. 24. - Т. 1. - С. 185-191.
5. Яненко, Н. Н. Метод дробных шагов для решения многомерных задач математической физики / Н. Н. Яненко. - Новосибирск: Наука, 1967. - 195 с.
6. Вольмир, А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа /
A. С. Вольмир. - М., 1976. - 416 с.
7. Годунов, С. К. Разностные схемы / С. К. Годунов,
B. С. Рябенький. - М.: Наука, 1973. - 440 с.
Поступила 03.03.2009
УДК 517.4
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА КАК ЧАСТНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ОБЩЕЙ СХЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Канд. физ.-мат. наук ГАХОВИЧА. С.
Белорусский национальный технический университет
В [1] предложена общая формальная схема построения интегральных преобразований, а в [2] получены преобразования Фурье, Лапласа и Лапласа - Карсона как простейшие реализации указанной схемы. Данная работа посвящена применению общей схемы для построения преобразования Меллина.
Общая идея указанной схемы заключается в следующем. Пусть в множестве функций действительного переменного / (/) с произвольной областью определения а, Ь задан некоторый линейный оператор Т. Ставится задача нахождения на множестве функций / (/)
линейного обратимого отображения I:. / (!) —> 1<(и) с множеством значений, совпадающим с множеством функций Е(и) , определенных в общем случае на линии I плоскости комплексного переменного, и удовлетворяющих соотношению
Ь 77(0 =к(и)Р(и),
где к(и) - некоторая фиксированная функция. Другими словами, отображение Ь находим из условия, чтобы применение оператора Т к «оригиналу» / (^) было равносильно обычному алгебраическому умножению «изображения» Е (и) на фиксированную функцию к (и) .
Как показано в [1], в случае оператора Т дифференциального типа искомое отображение и ему обратное представляют собой взаимно обратную пару интегральных преобразований:
о
. ДО (1)
а
1 Е(и) = = ДО (2)
Г
с ядрами ф (и; и \|/(н: являющимися собственными функциями операторов Т и ему сопряженного Т, соответствующими собственному значению к (и) . Собственные функции операторов определяются с точностью до множителей, зависящих в данном случае от и:
ФО; 0 = С10)ФМ(0; Кщ 0 = с2(м)\|/н(0,
где ф„(0 и ¥м(0 ~ фиксированные собственные функции. Выбирая конкретный вид одного из сомножителей, например с1(и), второй сомножитель с2(и) находим непосредственным подсчетом из формул (1), (2) при некоторых /(^) и Е(и), удобных для вычислений. При
выборе различных сх(и) получаем эквивалентные отображения Ь, являющиеся различными модификациями одного и того же интегрального преобразования.
Функция к(и) из соображений удобств практических приложений, простоты и симметрии взаимно обратных преобразований (1) и (2) выбирается, как правило, равной ±и либо ±и2 .
Для вывода аналогичных выражений интегральных преобразований (1), (2) достаточно сопряженности операторов Т и Т на множестве соответствующих собственных функций:
Гфи(0; уи(0 - Ф„(0; т>«(0 •
Переходим к конкретной реализации описанной схемы. Рассмотрим множество функций /(/) , определенных на (0; + и удовлетворяющих условиям, которые будем налагать по мере необходимости. Пусть в качестве Т на указанном множестве функций задан оператор
Т — ^ ~ Сопряженный оператор, очевидно,
т* * * имеет вид 1 —--Л
Л
Собственные функции операторов Т и Т, соответствующие собственному числу к(и) при фиксированном и, имеют следующие аналитические выражения:
фи(0 = ^(м); уи(0 = г^-\
Тогда искомое интегральное преобразование согласно (1) запишется в виде
Е(и) = с2(м)+| /(0Гк(и)~1Ж . о
Положив для простоты к{и) = —и , будем иметь:
и
F(u) = c2(u)\f(t)f~ldt (3)
о
Ф„(0 = Ги.
Если комплексную переменную и представить в виде и = 5 + /т и для рассматриваемых функций f (t) потребовать выполнения условия 0;+°о) при некотором 80, то нетрудно заметить, что «изображение» F(u),
вычисляемое по (3), будет определено в плоскости комплексного переменного и на вертикальной прямой м = 50 + il, те (—. Тогда обратное преобразование /Г1 согласно (2) принимает вид
50+г~=
f(t)= J F(M)q(M)r"û?M,
50-г~
Таким образом, имеем следующую взаимно обратную пару интегральных преобразований:
F(u) = c2(u)jf(t)f-ldt; о
80+г.=о
f(t)= J Fiufoiuydu,
(4)
(5)
Ôn
в которых остается уточнить сомножители cx(u) и c2(u).
Мы вправе произвольно распорядиться одним из сомножителей. Положим, например,
ci(u) = ~~~ и выберем в качестве изображения
F(u ) любую функцию, для которой интеграл, стоящий в правой части формулы (5), вычисляется достаточно просто. Пусть F(u) совпадает с гамма-функцией Эйлера, т. е. F(u) = F(u). Тогда при Rew = ô0 > 0
. 8o+z°°
/(0 = — [ Г(ы)Г 2 го •>
= XRes(r(«)r") = X
«= о (~n) «= о
т. е. = е так как Г(н) имеет простые полюсы в точках и = —п, п = 0,1,..., с вычетами,
соответственно равными
(-1)"
n!
Из (4) находим искомое значение c2 (u ) Г (и)
с2(и) = :
= 1.
| e-'f-'c
Итак, окончательно получаем пару взаим-нообратных интегральных преобразований Меллина:
F(u) = ]f(t)f-ldt;
о
1 1
fit) =- i F(u)r"du
2 то , J.
On — 7e0
для функций / (), удовлетворяющих условию:
ЛО^-^АСО;^).
В Ы В О Д
Полученные результаты могут быть использованы для построения различных интегральных преобразований, широко применяемых во многих областях науки и техники при решении дифференциальных и интегральных уравнений, описывающих тот или иной реальный физический процесс.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Гахович, А. С. К вопросу об интегральных преобразованиях / А. С. Гахович // Весщ АН БССР, сер. ф1з.-мат. навук. - 1987. - № 6.
2. Гахович, А. С. Простейшая реализация общей схемы построения интегральных преобразований / А. С. Гахович. - ВИНИТИ. - № 6245. - В-88. - Деп. 03.09.1988.
Поступила 21.11.2008
п\
о
