CC BY
7
МЕХАНИКА
Челябинский физико-математический журнал. 2020. Т. 5, вып. 4, ч. 1. С. 428-450.
УДК 531.18 Б01: 10.47475/2500-0101-2020-15404
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АФФИННОЙ СКОРОСТИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА
В. В. Войтик", Н. Г. Мигранов6
Башкирский государственный медицинский университет, Уфа, Россия "voytik1@yandex.ru, 6ufangm@yandex.ru
Цель статьи заключается в поиске преобразования, которое связывает локальную аффинную скорость нежёсткого тела в лабораторной инерциальной системе отсчёта Б с центроаффинной скоростью этого тела в сопутствующей невращающейся системе отсчёта к. Данная работа основывается на кинематике сплошной среды и обобщённом преобразовании Лоренца. В статье указано преобразование скорости, связывающее систему отсчёта Б и систему отсчёта к, которая движется без вращения. При этом движение различных точек жёсткой системы к является неоднородным. С помощью этих формул получено искомое прямое и обратное преобразования аффинной скорости. Рассмотрены важные частные случаи: движение частиц в однородном силовом поле и прецессия Томаса. В качестве примера использования преобразования аффинной скорости в Б рассмотрено жёсткое ускоренное вращение диска и вычислена локальные угловая скорость и величина деформации его точек. При этом вычисленный коэффициент растяжения согласуется с известным, а найденная формула для угловой скорости более общая, чем ранний результат, полученный для равномерного вращения диска.
Ключевые слова: обобщенное преобразование Лоренца, аффинное движение, угловая скорость, скорость деформации, прецессия Томаса, вращение Вигнера.
Введение
Сокращение Лоренца запрещает существование абсолютно жёстких систем отсчёта. Действительно, если произвольная локальная система отсчёта движется так, что сохраняет свои размеры относительно лабораторной системы Б, то она является нежёсткой системой [1]. Наоборот, при неинерциальном движении жёсткой системы отсчёта её размеры в лабораторной системе вследствие сокращения Лоренца изменяются, она выглядит нежёсткой (например, [2]). По этой причине в релятивистской теории не обойтись без рассмотрения нежёсткого движения как относительно невращающейся сопутствующей локальной жёсткой системы к, так и относительно Б. Необходимо выяснить важную связь между центроаффинным1 нежёстким движением внутри к и этим же движением относительно Б.
Аналитически локальное центроаффинное движение сводится к системе однородных дифференциальных уравнений первого порядка (см. далее формулу (1)).
1 Геометрически аффинное преобразование [3, с. 267-285] — это отображение пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся. Центроаффинное преобразование сохраняет начало координат.
В этих уравнениях скорость изменения радиус-вектора пропорциональна с переменным тензорным коэффициентом самому искомому вектору. Данный коэффициент предлагается называть аффинной скоростью. Аффинные скорости в системах отсчёта к и Б связаны некоторым локальным линейным преобразованием. Его требуется вычислить. Аффинная скорость в лабораторной системе в том случае, когда аффинная скорость в системе к отсутствует, была вычислена в [2, формула (14)] для жёсткого стержня. В данной статье исследуется наиболее общий случай нежёсткого движения в системе к.
Следует упомянуть, что аффинное движение чрезвычайно часто встречается в механике сред. Практически любое нетурбулентное движение среды локально является аффинным. Найденное преобразование аффинной скорости можно использовать для вычисления собственных кинематических характеристик сгустков частиц, движущихся в релятивистском ускорителе.
В следующих параграфах мы рассматриваем некоторые предварительные сведения о методах исследования, которые важны для дальнейшего изложения. Забегая вперёд, укажем, что статья основывается на двух теориях: релятивистской специальной теории относительности (СТО) и классической кинематики сплошной среды (КСС) [4]. При этом компетенция КСС касается некоторых утверждений в сопутствующей системе отсчёта и аналогичных утверждений в лабораторной системе. СТО же использует заключения, касающиеся перехода между лабораторной и сопутствующей системой отсчёта. Следовательно, в данном случае эти теории не противоречат друг другу.
1. Методы исследования 1.1. Метод Эйлера
Согласно Эйлеру с некоторой точкой О сплошной среды связывается сопутствующая локальная жёсткая система отсчёта к. Система к не связана с другими точками среды. Подход Эйлера заключается в исследовании изменения величин, описывающих движение в каждой из точек пространства к, в которые с течением времени могут приходить различные точки среды. Движение точки А среды относительно точки О мы будем называть аффинным, если расстояние |ОА| достаточно мало. Вектор ОА можно физически представить в виде нежёсткого стержня. При этом все точки стержня с течением времени совершают однотипное движение так, что его форма остаётся линейной, не искривляется. Определим кинематику движения стержня.
Возьмём в качестве системы отсчёта к, которая сопутствует одной из точек среды, точке О, прямоугольную систему координат. Пусть в движущейся системе в известна скорость точек среды иа как функция времени £ и координаты га:
¿к = и"(гв
Функцию иа (гв, £) можно разложить в ряд по степеням гв. Скорость точки О (при га = 0) равна нулю: иа\га=0 = 0. Поэтому, ограничиваясь первой степенью разложения в ряд, мы получаем систему однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка
^ = Шав Гв. (1)
¿г - ]
Решив систему (1), можно найти зависимость координат га от времени и от трёх произвольных постоянных.
Аналогичное движение точек происходит в лабораторной системе отсчёта. Аффинное движение нежёсткого стержня в лабораторной системе отсчёта подчиняется уравнению
иа = Vа + па/3 Iе, (2)
где и — скорость конца стержня, V — скорость начала стержня, Ь — его длина в лабораторной системе отсчёта. Учитывая, что
<!Ьа
Ua - V , dT
равенство (2) можно записать как
dLa
dT
ÜaßLß. (3)
Таким образом, в кинематике стержня его неинерциальность учитывается вектором ускорения А = V и тензором лабораторной 0,ав или собственной шав аффинной скорости. В релятивистской физике эти тензоры отличаются друг от друга.
Возникает вопрос о смысле компонент этого тензора. Удобно разложить тензор собственной аффинной скорости на симметричную часть зав и антисимметричную, где антисимметричная часть тензора шав, как известно, дуальна некоторому вектору ш1:
uaß = saß + eaYß ш1.
При этом величины saß, ш1 есть
= 1 eaßU (ш^ - ш^) , (5)
saß = 1 {ojaß + шßa) . (6)
Тензор saß называется тензором скорости деформации. Физический смысл этих величин выясняется при подстановке (4) в (1). Перейдём в систему отсчёта, вращающуюся с угловой скоростью ш1. В такой системе отсчёта правая часть уравнения (1) имеет вид
ua = saßrß. (7)
Выберем теперь такую систему координат, в которой тензор saß принимает диагональный вид. В такой системе координат
saß = s(a)§aß
Главные значения s(a) этого тензора вдоль оси а определяются из уравнения
| saß - s(a)5aß\=0, (8)
где по индексу, стоящему в скобке, суммирования нет. Орты na новой системы координат определяются из уравнения saß nß = s(a) na. Уравнение (7) будет иметь следующую форму:
ua = — = s( a)ra. dt
Решая это дифференциальное уравнение методом разделения переменных, получим, что
t
ra = exp У s( a)dt. (9)
0 о
С другой стороны, отношение г^/г^ есть коэффициент относительного удлинения оси а. Следовательно, если тензор аффинной скорости имеет общий вид, говорить только о вращении неправильно. Зная же тензор аффинной скорости шав, можно найти как главные векторы и главные значения тензора деформации вдоль них, так и угловую скорость вращения главных осей. При этом ш представляет собой угловую скорость вращения главных осей тензора вав, а главное значение этого тензора является скоростью относительного удлинения соответствующей главной оси.
1.2. Метод обобщённого преобразования Лоренца
При решении задач в СТО возможны тоже два метода рассмотрения неинерци-альных систем отсчёта.
Один из них (исторически первый) вообще игнорирует неинерциальные системы отсчёта. Для моделирования неинерциальной системы отсчёта применяется метод
мгновенно сопутствующих систем отсчёта, восходящий ещё к А. Эйнштейну. Суть
2
метода состоит в том, что неинерциальная система отсчёта в в два последовательных момента времени заменяется на инерциальные системы отсчёта г и г', которые в эти моменты времени мгновенно совпадают и сопутствуют неинерциальной системе в. Такое моделирование применяется для того, чтобы можно было использовать преобразования Лоренца между лабораторной системой и системами г и г'. В классическом учебнике [5] с помощью этого метода фактически были рассмотрены две системы г и г', которые движутся со скоростями V и V + АV соответственно и ориентированы одинаково с лабораторной системой Б. Автора [5] интересовало вычисление характеристик системы отсчёта, сохраняющей в лабораторной системе свою ориентацию. Оказалось, что для близких моментов времени £ и £ + Аг система г' не только движется со скоростью ¿V относительно г, но ещё и повёрнута на угол относительно г. Буст г'3 равен [5, с. 403, формула (11.51)] (здесь и далее (с = 1))
¿V = ^^ + V. (10)
Поворот равен [5, с. 404, формула (11.53)]
6<р = Г-^Г—£ V х Аv. (11)
1>2л/1 — V2
Очевидно, поворот (11) отличен от нуля только в том случае, когда векторы V и Аv не параллельны друг другу. Поделим теперь (10) и (11) на Аг. Получим собственное ускорение
W = ¿V = ^ +1 — ^ ^ (12)
™ Аг ^Т—V2 + ^2(1 — V2) ( ) ()
и собственную угловую скорость
8ф 1 — V1 — V2 . . ¿V
О = = "ХГ = -, , V х V, V = -т-. (13)
V2
л --/- V V , V - ,
Аг v2VГ—V2 ¿г
2 Здесь и далее под неинерциальной системой отсчёта в понимается движущаяся система, оси которой всё время параллельны осям лабораторной системы При этом оказывается, что такая система отсчёта обладает собственным вращением. Эта система отсчёта отличается от системы к, начало которой совпадает с в, но оси которой не вращаются. При этом они не остаются параллельными осям
3Бустом называется чистое преобразование Лоренца без поворотов осей.
Выпишем отдельно , выраженную через величины, относящиеся только к лабораторной системе отсчёта:
_ 1 — V1 - V2 ^ 73 dv _
v2(1 — V2) dT 7 +1 dT
где 7 = 1/л/1 — V2. Вращение с частотой (13), (14) называют вращением Вигнера.
Кроме этого метода существует и другой стандартный метод исследования неинерциальных систем отсчёта — метод обобщённого преобразования Лоренца. В этой статье оно иногда будет именоваться специальным преобразованием Лоренца — Мёллера — Нэлсона (ЛМН)4. Это преобразование можно записать в 3+1-форме. Специальным преобразованием ЛМН из лабораторной инерциальной системы отсчёта Б:(Т, И.) в систему отсчёта в:(^ г), оси которой движутся без поворота5 относительно Б, является преобразование [8]
г
Т = + (15)
VI—V2 } /Г—V2 v 7
1 — V1 — V2 . . [ vdt
И =г+"—/т—Г + } ^. (16)
V2
Очевидно, что в случае, когда параметр преобразования является постоянным, обобщённое преобразование Лоренца переходит в специальное. В случае, когда направление вектора v(t) не изменяется, обобщённое преобразование Лоренца переходит в преобразование Мёллера [6, формулы (64), (66)]. Наиболее общее преобразование ЛМН из системы в в систему в' включает в себя вращение осей согласно замене
га = ава г'в ,
где обратная к матрице ава матрица аав является матрицей поворота г ^ г'. Сделаем некоторые выводы, диктуемые преобразованием (15), (16).
4История вопроса чрезвычайна богата и далеко не исчерпывается приведёнными ниже ссылками. Первооткрывателем этого преобразования для случая, когда система в движется инерциально, стал в 1899 г., как известно, Хендрик Лоренц. Датскому физику Кристиану Мёллеру в 1943 г. удалось написать преобразование в прямолинейно движущуюся произвольным образом вдоль оси X неинерциальную систему отсчёта в [6, формулы (64), (66)]. В окончательной же форме для произвольно движущейся без собственного вращения жёсткой системы отсчёта в преобразование было им сформулировано в 1952 г. в монографии [7, § 4.14, § 8.15 в русском издании] (см. также [8; 9, § 2; 10; 11, § 2; 12, § 2.2]).
5Коснёмся понимания термина одинаковой ориентации осей лабораторной системы и движущейся системы отсчёта в. Этот вопрос является важным, поскольку в ряде работ ориентация движущейся системы сравнивается с ориентацией В том случае, если скорость в направлена вдоль одной из осей 5, то в любом смысле оси системы в совпадают с осями 5 и никаких проблем не имеется. Но если направление скорости какое-либо другое, то прямоугольные оси координат системы отсчёта в в общем случае не прямоугольны с точки зрения наблюдателя в системе 5 (Мёллер). Поэтому слова «без поворота» надо понимать условно, в том смысле, что векторные пространства систем отсчёта в и 5, связанные обобщённым преобразованием Лоренца (15), (16), считаются имеющими одинаковую «ориентацию». Фактическая же ориентация ортов систем 5 и в различна и зависит от скорости в. С этим вопросом тесно связан другой вопрос о том, можно ли отнести угол поворота осей координат движущейся системы отсчёта в к осям лабораторной системы. Мы полагаем, что такая операция является некорректной. Поэтому и вычисление частоты прецессии Томаса этим путём неправильно.
Продифференцировав эти равенства, можно получить соотношения (48), (49) (см. приложение 1). После подстановки их в квадрат интервала ¿в для лабораторной инерциальной системы отсчёта ¿в2 = ¿Т2 — ¿И2 нетрудно показать, что математическая форма ¿в2 преобразуется в
¿в2 = [(1 + Wr)2 — (^ х г)2]^2 — х г) ¿г ¿г — ¿г2, (17)
где W и П^ определяются, соответственно, формулами (12) и (13). Квадрат интервала ¿в (17) является интервалом ускоренной и вращающейся системы отсчёта [9; 11; 13, секция 13.6, с. 404]6. Следовательно, система отсчёта в имеет собственное ускорение (12) и собственную угловую скорость (13).
Квадрату интервала, определяемому из (17), соответствует своё расстояние между соседними точками 3-пространства
¿/2 = ¿г2 + Х Г)^Г]2
(1 + Wr)2 — (^ Х г)2'
Но в том случае, когда г мало, последним слагаемым по сравнению с первым можно пренебречь. В этом случае расстояние между соседними точками пространства с течением времени не изменяется. Поэтому система отсчёта в является только локально жёсткой системой.
Таким образом, метод сопутствующих инерциальных систем отсчёта и метод преобразования ЛМН приводят к одинаковым результатам в локальной области, прилегающей к началу отсчёта (г << 1/Ж, г << 1/П), хотя и используют различные физические идеи. В удалённой области от начала отсчёта соответствия этих подходов нет из-за отсутствия жёсткости неинерциальной системы в.
Нетрудно также показать, что наиболее общее преобразование ЛМН из Б в в', которое является совокупностью преобразования (15), (16) вместе с преобразованием вращения осей в' вокруг в, обладает групповой структурой. Оно форминвари-антно7 относительно произвольного буста (и поворота). Следовательно, для этого преобразования выполняется принцип относительности.
Сравнивая между собой эти два метода, заметим, что замена системы отсчёта в на совокупность мгновенно сопутствующих инерциальных систем отсчёта требует дополнительного обоснования, хотя бы из-за наличия сил инерции в в и отсутствия их в г, г'. Кроме того, таких систем отсчёта надо рассматривать как минимум две. С учётом ещё и лабораторной системы их будет уже три. В отличие от первого метода метод обобщённого преобразования Лоренца использует всего одну неинер-циальную систему отсчёта. Эта статья основывается именно на таком подходе.
Запишем общее преобразование ЛМН в 4-мерном виде. Для этого введём тетраду 4-векторов
Л0 = (Л00,Л0а) =( , 1 , , ^
\л/1 — V2 л/1 — V2
/ ?Ла«Т 1 _ л/1 _ ?,2
Лт = (Ла0, Лав) = ( V а о , аав + о ^ V Vе) , (18)
v/Г—V2 ' v2v/Г—"
где V" есть 3-вектор скорости начала отсчёта неинерциальной системы, аав есть матрица поворота, а греческие индексы, как обычно, пробегают значения 1, 2, 3.
6Небольшое различие в собственной метрике [13] и [9], [11] связано с тем, что в [13] приведена метрика с точностью до первой степени по собственной координате.
7Форминвариантность такого преобразования означает сохранение его математической формы. Измениться при групповом преобразовании симметрии могут лишь параметры преобразования. Конкретный закон изменения параметров приведён в [14, формулы (22), (45)].
Пользуясь свойствами матрицы поворота, нетрудно проверить, что векторы тетрады удовлетворяют соотношениям ортонормированности
Л0гЛ° = 1, Л0гЛа = 0, ЛагЛв = — 8ав. (19)
Дифференцируя компоненты (18), можно получить, что
d Лаг
-— = Ш'аЛ0г + еав1 Ы'1 Лвг. (20)
dx0
С помощью этой тетрады общее преобразование принимает следующий вид:
х' = А"'х + / ^
Здесь ха, х0 являются коэффициентами в линейной комбинации векторов тетрады. Продифференцируем это равенство и поделим на dв. Пользуясь равенством (20), получим, что
иг = Лагиа + Л0ги0 + ха ^аЛ0г + еав1 ПЛвг) и0 , (21)
где иг = dXг/dв, иа = dxa/dв, и0 = dx0/dв. Данное уравнение определяет релятивистскую кинематику деформируемого стержня. При этом величины (и0,иа) в собственной системе связаны с 4-скоростью иг точек стержня в лабораторной системе и векторами тетрады Л0г, Лаг. Найдём эту связь, умножив (21) на Л1 и на Л0. Учитывая (19), получим
игЛ1г = —и11 — хава11Пи0 , игЛ0г = и0(1 + хаШа).
Отсюда
игЛ0 игЛ0
и0 =-г— , и1 = —игЛ1 — хаеа11 П-г—. (22)
1 + х^а г 1 + ха1№а ' 7
Можно показать, что собственные характеристики системы отсчёта в этой формуле связаны с тетрадой равенствами
dЛYг 1 dЛ
= л0^, п'7 = -1 л1
аг
dx0, 2 г dx0 '
2. Результаты
2.1. Преобразование скорости из лабораторной системы
в сопутствующую невращающуюся систему и наоборот
Рассмотрим движение стержня относительно ускоренной системы отсчёта к, которая сопутствует в и не имеет собственного вращения. При этом предполагается, что оси к в данный момент совпадают с осями в. Оказывается, что в этом случае соответствующие формулы немного упрощаются. Скорость и конца стержня в лабораторной системе отсчёта Б оказывается связана со скоростью и в системе к уравнениями
тт_ (1 + ^г) V + /\—У2 и + ^^УР2 (уи)у
и = 1 + ^г + уи , (23)
(1 + ^г) [/Г—V2 И — V + 1~ЛУ2=У2 (уи)у и = -
1 — уИ
Расчёт приведён в приложении 1.
Заметим, что если подставить в (23) и = 0, то получим, что И = у.
2.2. Параметр V как функция собственной координаты
Покажем, что параметр V является функцией скорости начала отсчёта V системы к, его лабораторного ускорения А и координаты г.
Легко заметить, что параметр преобразования ЛМН — функция V зависит не от времени Т лабораторной системы, а от времени г собственной системы. Это обстоятельство является характерным свойством обобщённого преобразования Лоренца. Вместо времени г введём новую переменную согласно условию
г
[ = (25)
J л/Г— 0
Зная функцию v(í), мы тем самым знаем и функцию V от 0. Согласно же уравнению (15) 0 = Т — АТ, где
л ^ vr
АТ
v/r—V2'
Разложим v(#) по степеням AT согласно двум последним равенствам. Ограничиваясь первой степенью, получим
v = V--PA . (26)
V1-V2 v ;
Другое представление формулы (26) через собственное ускорение W есть
--V1 - V2 (1 - V1 - V2)
v = V - V/T—V2 (Vr)W + --1 (T - v-(Vr)(VW)V. (27)
V 2
2.3. Преобразование лабораторной аффинной скорости в сопутствующую невращающуюся систему отсчёта
Итак, пусть в лабораторной системе отсчёта конец стержня движется согласно (2). Интересно движение этой точки относительно системы отсчёта k. Учитывая равенства (1) и (24), можно найти, что
= vi^p + V-V--? ^VaVY - ^V-? (^V7Vß)VaVe-
- 1 - V1 - V2 Vе + 1 - V 1 - V3 (AV) VaVe + -УвА2. (28)
v2vt-V2 v "V2 3 ( ) 1 - V2
Симметричная и антисимметричная части тензора имеют вид
(1 _ V1 — V2)2 ^ = VT-P + ( 2-2(1-V/2)) VY(SaYVe + ^Va)-
(1 - У2)2 . Y e + (Aa - ПЛУ7)Ve + Va(Ae - ПЛУ7) +
V4(1 - V2) (S V V ) + 2(1 - V2) +
+ 1 - ^1 - V3 (VA)VaVe, (29) V2V1-F2 3
2- V2 (1 - V1 - V2)2 VyVvS7^
=20-1^ - ' 2 V .(1-У»)' <nV>V"" + 2(1-VV2) + Щ-П. (30)
Здесь Vа — скорость начала координат системы к, Пав — некоторая матрица аффинной скорости в лабораторной системе, О и Бав — соответственно угловая скорость вращения главных осей и тензор скорости деформации в лабораторной системе, шав — некоторая матрица аффинной скорости в невращающейся системе к, ш и вав — соответственно угловая скорость вращения главных осей и тензор скорости деформации в системе к. Данные вычисления выполнены в приложении 3.
Рассмотрим сейчас важный частный случай преобразования (28). Пусть локальная система отсчёта движется так, что вектор расстояния между её любыми двумя точками, измеренный в Б, во время движения постоянен. Это требование означает, что аффинная скорость для этого движения равна нулю (Пав = 0). Однако в сопутствующей системе аффинная скорость будет отлична от нуля. Если Пав = 0, то из равенства (28) следует, что
ш
—в
1 (VA) V -V в +
V*JT=V*3 ( ) 1 - V2
и, следовательно,
ш
V х A
2(1 - V2):
(31)
вав =
Vе A- + VaAe 1 - 7 - V2
+
2(1 - V2) V2V1-V2
(VA)V -Vв.
Найдём главные оси и главные значения s-e. Выберем первоначальную систему координат так, чтобы ось 1 проходила в направлении вектора скорости V. При этом ось 2 находится в плоскости, в которой лежат векторы A и V. Пусть угол между этими векторами а (рис. 1). В этом случае компоненты тензора s-e равны
VA cos а
11
,12
„21
71—V2''
VA sin а 2(1 - V2).
Рис. 1. Система координат (п1,1 в которой тензор вав диагональный. При этом вектор п3 направлен на читателя
Остальные компоненты вав равны нулю. Решив уравнение (8), получим главные значения этого тензора
VA
2VT-V2
VA
s=
1 — V2 sin2 а + cos а ) , j 1 - V2 sin2 а — cos а^ .
2/1 — V2
Первое главное направление, которое соответствует значению в1, равно
(32)
(33)
n
1 ( \J/1— V2 sin2 ~а + cos а \J/1 — V2 sin2 а~
V2 \ Ц1 - V2 sin2 а sin2
а cos а
а
Соответственно второе направление есть
n
1 / \J/1 — V2 sin2 а — cos 7 \ Ц1 - V2 sin2 а
а
\J/1 — V2 sin2 а + cos а
41 - V2 sin2
а
3
1
s
3
Найдём теперь ориентацию вектора п1 относительно V. Вектор п1 можно представить в виде
п
(соя 0, ят 0)
(35)
где 0 — угол поворота п1. Сравнив (34) с (35), получим, что
1ап2 0
\А — V2 ят2 а —
сое а
л/1 — V2 ят2 а +
сое а
2.4. Преобразование собственной аффинной скорости в лабораторную систему отсчёта
Обратное преобразование к (28) имеет вид
^ = ^Г—"V2 — ^1 V2(1 У1 V2) ш7вV7V"—
V2
(1 — ^^ (.-V7V"Vв + ^VвV7 — ^А
V 4
V2
1 - V2'
(36)
Здесь Vа и Аа — соответственно скорость и ускорение начала координат системы к, Пав и шав — некоторая матрица аффинной скорости в лабораторной системе и в невращающейся системе к соответственно. Вычисление этого линейного преобразования приведено в приложении 4. Укажем также преобразование для Бав и Па: _
Бав = V! — V2 вав — (1 — ^ — (в7^7+
V 4
(в°7 Vе+вв7 V ^7—2 Vе Аа + V аАв
+
Лv7-
2(1 — V2)
2 - V2 (1 - л/1 - V2)2 1 V
— ^—^ ) (wV) V" — Г в7^V7 — е ^ А 2 2 V2 2
2(1 — V2).
(37)
(38)
Специально рассмотрим ещё важный случай жёсткой невращающейся локальной системы отсчёта к (шав = 0). Из (36)-(38) видно, что
П
ав
Бав__
V в Аа 1 - V2'
Vв Аа + V аАв
(39)
П = -
2(1 — V2) V х А
(40)
Рис. 2. Система координат (1,2), в которой тензор Бав диагональный
2(1 — V2)'
Выберем систему координат так, чтобы ось 1 проходила по биссектрисе между векторами скорости V и ускорения А (рис. 2).
В этом случае тензор Бав станет диагональным. Если угол между векторами V и А равен 2^, то главные значения этого тензора равны
Б1 = Б
11
VA соя2 2(1 — V2) ,
(41)
а
Б2 = Б
22
^ ят2 2(1 — V2);
(42)
Б3 = Б'
33
0.
Для системы отсчёта, которая равномерно двигается по окружности с частотой ет, формула (40) перейдёт в
П = Пп = —
V2
2(1 — V2)
72 — 1 ' —---— '.
Интересно сравнить данное значение частоты со средним значением частоты прецессии Томаса, которое в случае равномерного вращения равно [15]
П
т
1 — /1 — V2
VI—V2
' = —(7 — 1)
Следовательно,
Пп
7 + 1 2
Пт > П
т
2.5. Ускоренно вращающийся диск
Рассмотрим жёстко вращающееся тело, все точки которого вращаются вокруг начала координат лабораторной инерциальной системы отсчёта со скоростью V = П х И. Дифференцируя это равенство, получим, что ускорение А равно
А = П х V + П х И.
(43)
Выделим на этом теле достаточно малую область вблизи точки А с координатой И. Жёсткость вращения относительно лабораторной системы отсчёта означает отсутствие скорости центрального растяжения области А (Бав = 0). Применим ранее полученные формулы к ближайшей окрестности А.
Рассмотрим сначала локальную деформацию. Скорость растяжения вдоль главной оси определяется тензором вав из формулы (29). В этой формуле первые три члена из-за жёсткости движения исчезают. Подставляя сюда (43), получим
ав
О«^ — ^О'* + (у(й х И)) . (44)
Таким образом, если тело относительно осевого наблюдателя вращается жёстко и равномерно с постоянной угловой скоростью (П = 0), то тензор скорости деформации вав в точке А равен нулю. Это означает, что ближайшие к наблюдателю точки тела вращаются без центрального растяжения, т. е. тоже как твёр-Рис. 3. Локальная система координат дое тело. В том же случае, когда те-
на вращающемся диске ло вращается с угловым ускорением,
скорость деформации, вообще говоря, ненулевая. Ориентируем оси системы координат так, чтобы ось 2 была в направлении вектора угловой скорости П, вектор И был направлением оси 3, при этом вектор скорости V = П х И будет направлением
оси 1 (рис. 3). Оси 1 и 3 в лабораторной системе отсчёта изменяют своё направление в пространстве. Перейдём в систему координат, которая связана с этими направлениями. Тогда тензор вав становится диагональным, и единственной ненулевой компонентой будет его главное значение в1, равное согласно (44)
п V П Я Я2ПП
в1 = в =
3 VI - я2п2 3 '
Проинтегрируем это равенство за всё время вращения из начального состояния покоя до угловой скорости П. Получим, что логарифмический коэффициент растяжения вдоль оси 1 есть
ь т
[ вЧг = [ —Я2ПП 3 ■ VI - Я2П2 &т = -1 1п (1 - Я2П2) .
У У VI - Я2П2 3 2 ^ ^
0 0
Учитывая это равенство, вычислим растяжение тела в точке А согласно формуле (9). Оно равно
г1 = , Го , г2 = г2, г3 = г3. (45)
VI - Я2П2 0 0 ^ у
Этот расчёт прекрасно согласуется с известным фактом, что для вращающегося диска в процессе его ускоренного вращения его материал растягивается в направлении оси 1 как раз в 1/л/Г-ЯП2 раз.
Теперь рассмотрим вращение. Поскольку вращение жёсткое, то предвпоследний член в (30) исчезнет. В результате получим в векторном виде, что относительно системы отсчёта к
2 - V2 (1 -VI-V2)2 ПЛ, V х А
ш =-О - ----— (ОV)V +--.
ш 2(1 - V2) 2V2(1 - V2) ( ^ +2(1 - V2)
Подставляя сюда (43), раскрывая скобки, приводя подобные члены и учитывая, что = VR = 0, получим
о R
ш =-----—. (46)
1 - V2 2(1 - V2) 1 ;
Эта формула даёт мгновенную угловую скорость вращения главных осей локальной области вращающегося тела. Если тело раскручивается вдоль оси вращения, то Í1V = 0, и формула (46) радикально упрощается
П
ш = г^ ■ (47)
Данное значение уже известно из различных источников [9; 16].
3. Обсуждение
Прокомментируем теперь полученные формулы.
Прежде всего выясним место системы отсчёта, определяемой общим преобразованием ЛМН, среди систем отсчёта общей теории относительности. В общем случае любая система отсчёта ОТО является локальной (определена в малой области пространства-времени) и характеризуется тензорами ускорения, скорости вращения и деформации (смотри фундаментальную монографию Ю. С. Владимирова
[17]). В этом подходе наиболее общая система отсчёта трактуется как некая деформируемая сплошная среда. Специфика подхода, представленного в данной статье, в отличие от систем отсчёта общей теории относительности (ОТО), заключается в том, что неинерциальная система отсчёта в', относительно которой рассматривается движение среды, является жёсткой в ближайшей окрестности начала отсчёта. Другими словами, начало движущейся системы отсчёта движется заданным образом Л0г, Лаг. Именно относительно такой жёсткой системы отсчёта рассматривается локальное движение деформируемой среды. Если начало неинерциальной жёсткой системы отсчёта в' связано с какой-либо точкой этой среды, то локальное движение среды относительно в' будет описываться только тензором угловой скорости и тензором скорости деформации. Таким образом, результаты, полученные в этой работе, являются частным случаем более общего монадного метода ОТО, в котором задано временоподобное поле 4-скоростей иг точек деформируемой среды. При этом общее поле иг мировых линий описывается в изложенном подходе тетрадой Л0г, лаг начала движущейся системы отсчёта в' и «мировыми линиями» пг = (и0, пм) точек этой среды относительно неинерциальной системы в' согласно (21). Если же требуется знать относительное движение точек деформируемой среды, то его можно установить, зная поле иг и тетраду начала системы отсчёта Л0г, Лаг, согласно (22).
Далее, отметим характерные свойства специального преобразования ЛМН. Напомним, что это преобразование описывает переход из лабораторной системы отсчёта в систему в, которая испытывает собственное вращение Вигнера. Однако параметр такого преобразования V не является скоростью системы в, как можно было бы ожидать. Данный параметр является скоростью системы к, которая в данный момент времени совпадает с в, но не вращается. Это обстоятельство следует из приведённой в разделе 1 формулы сложения скоростей (23). Она связывает скорость частицы в системах отсчёта Б и к. Действительно, из формулы (23) следует, что точки системы к покоятся в ней (и = 0) только в том случае, если они двигаются относительно Б со скоростью и = V.
Уравнения (26), (27) означают, что с точки зрения наблюдателя в Б система координат к двигается со скоростью, не равной скорости начальной точки системы отсчёта, и, следовательно, неоднородна. Данное обстоятельство абсолютно естественно и ожидаемо. Действительно, пусть ось прямоугольной системы координат ускоренной системы отсчёта представляет собой жёсткий стержень. Тогда он в процессе своего ускорения с увеличением скорости непременно кинематически сокращается относительно лабораторной системы. Это и означает, что его точки в данный момент времени движутся неоднородно. Из формулы (26) видно, что при разгоне системы отсчёта, начало которой находится в заднем конце жёсткого (в собственной системе отсчёта) стержня, его передний конец движется медленнее, чем задний, на величину А^г)/V1 — V2. Напротив, при торможении передний конец движется быстрее, чем задний, на ту же самую величину. Если в классической механике жёсткость системы координат предполагает, что скорость движения каждой её точки меняется со временем одинаково, независимо от её положения, то в релятивистской теории это условие не выполняется.
На этот же факт можно взглянуть иначе. События, происходящие в точке с координатой г и в начале отсчёта, одновременные в в, будут неодновременными в лабораторной системе. Промежуток времени между этими событиями равен рас-синхронизации часов при замене системы отсчёта из в в лабораторную систему Б. Таким образом, неоднородность движения точек системы координат к являет-
ся следствием относительности понятия одновременности в з. Другими словами, фактически происходит запаздывание набора скорости передней точки стержня по сравнению с началом на промежуток времени ДТ = уг/л/ 1 - V2.
Представление о неоднородности движения точек ускоренного жёсткого стержня обычно наталкивается на возражение, что эта неоднородность скоростей несовместима с жёсткостью стержня. Другими словами, если перейти в мгновенно сопутствующую инерциальную систему отсчёта, двигающуюся со скоростью задней точки, то, казалось бы, скорость передней точки стержня в этой системе отсчёта будет отлична от нуля. Создаётся впечатление, что в том случае, если допустить неоднородность скоростей, жёсткая система координат ускоренной системы отсчёта будет отсутствовать. На самом деле это возражение является предрассудком, основанным на распространении закона вычитания скоростей, справедливого для инерциальных систем отсчёта, на неинерциальные системы.
Полученное преобразование аффинной скорости оказалось не простым. Интересно отметить, что уравнение (36) состоит из пяти слагаемых, четыре из которых существуют даже при равномерном движении к, а последнее является следствием влияния ускорения начала отсчёта. Напротив, уравнение (28) состоит из шести слагаемых, четыре из которых существуют даже при равномерном движении к, а два последних являются следствием влияния ускорения к. Сложность этого преобразования может заставить сомневаться в его справедливости. Тем не менее это обстоятельство полностью удовлетворяет требованиям теории относительности. На самом деле математическая громоздкость преобразования является следствием разнообразия возможного движения точек нежёсткой системы отсчёта в лабораторной системе. Из преобразования следует, что, как правило, точка системы отсчёта движется, не только вращаясь вокруг ведущего центра с некоторой угловой скоростью, но и имеет составляющую скорости, соответствующую растяжению.
Рассмотрим важные частные случаи полученного преобразования аффинной скорости.
Первый из этих частных случаев был рассмотрен в разделе 3 на примере преобразования (28). Это однородное движение точек, которое впервые рассматривали Деван и Беран [1]. Важность этого случая определяется тем обстоятельством, что часто локальная система отсчёта движется так, чтобы вектор расстояния между её любыми двумя точками, измеренный в Б, был во время движения постоянным. Простым примером такого движения является движение частиц, составляющих систему отсчёта в однородном силовом поле. Это означает, что в преобразовании (28) лабораторная аффинная скорость должна быть приравнена нулю. Оказалось, что главные оси системы отсчёта к увеличиваются с коэффициентами относительного удлинения (32), (33). При этом они вращаются в к с частотой вращения (31).
Другой важный случай заключается в сложном движении точек жёсткой системы отсчёта к в Б. Этой известной задаче посвящено множество работ [18]. Обычно считается, что точки к относительно Б участвуют только во вращении. Данное явление получило название прецессии Томаса. На самом деле вследствие сокращения Лоренца движение точек к является сложным. Единственное корректное решение задачи об этой «прецессии» было представлено в статье [2, § 3 и приложение В]. Автор [2] получил дифференциальное уравнение для длины отрезка невращающейся системы отсчёта, измеренной в лабораторной системе отсчёта. Оно имеет вид (3) (в наших обозначениях), где аффинная скорость равна (39). После этого Степанов решил соответствующее дифференциальное уравнение и нашёл движение стержня в лабораторной системе отсчёта Б. Движение вектора Ь, описываемое этим урав-
нением, получилось сложным, и угловая скорость вращения стержня системы к является переменной величиной. Любопытно, что средняя частота вычисленной Степановым прецессии Томаса стержня оказалась совпадающей с обычно принятой частотой томасовской прецессии. Тем самым он впервые правильно поставил и решил задачу о прецессии Томаса жёсткого стержня.
Аффинная скорость (39) точек жёсткой системы отсчёта к в Б является результатом двух движений. Первое движение есть растяжение в Б главных осей системы координат к с коэффициентами относительного удлинения (41), (42). Второе — является вращением главных осей к с частотой (40). Она была также вычислена из закона сохранения момента в [19, формула (17)]. На первый взгляд, частота вращения главных осей системы координат к должна совпадать с частотой прецессии Томаса. Однако это не так. Частота вращения главных осей при равномерном вращении в системе Б в (7 + 1)/2 раз превышает частоту прецессии Томаса. Это обстоятельство связано с тем, что главное направление системы к не является направлением какого-то навсегда заданного стержня системы к, а задаётся внешними по отношению к к величинами: скоростью и ускорением. Стержни же системы к разных направлений вращаются в лабораторной системе Б неодинаково. Можно предположить, что пренебрежение сложным законом преобразования аффинной скорости, видимо, привело к разным формулам для частоты прецессии Томаса.
Предел применимости полученных формул в основном сводится к вопросу о степени справедливости обобщённого преобразования Лоренца. Данное преобразование является почти безусловно справедливым. Ограничение заключается только в том, чтобы собственное ускорение начала отсчёта не испытывало скачков. Точнее, параметр скорости V в (15), (16) должен быть дифференцируемым.
В четырёхмерных обозначениях полученные формулы представить затруднительно из-за нековариантности сокращения Лоренца и замедления времени. Смысл полученных формул, видимо, ограничен трёхмерным видом. Достоверность полученных формул подтверждается принятым в настоящей статье стандартным методом обобщённого преобразования Лоренца и совпадением некоторых результатов с результатами других авторов.
4. Итоги
1. При рассмотрении неинерциального движения вместо метода мгновенно сопутствующих инерциальных систем отсчёта целесообразнее использовать метод обобщённого преобразования Лоренца.
2. Вместо угловой скорости вращения тела П в Б имеет смысл только тензор аффинной скорости Оав общего неантисимметричного вида. Поэтому не существует прецессии Томаса, понимаемой как чистое вращение относительно лабораторной системы отсчёта Б, у тела, собственные размеры которого сохраняются. Под прецессией Томаса мы понимаем вращение главных осей ускоренно движущегося тела.
3. Полученное преобразование аффинной скорости является результатом совместного действия основных эффектов СТО и является нековариантным, аналогично другим эффектам.
4. Собственная локальная угловая скорость некоторой области произвольно вращающейся системы отсчёта равна (46).
5. Совпадение расчёта локального растяжения раскручивающейся системы отсчёта (45) с уже известным значением косвенно свидетельствует об истинности указанного преобразования аффинной скорости (36), (28). Об этом также говорит сов-
падение вычисленной локальной собственной угловой скорости участка равномерно вращающегося твёрдого тела с известным значением (47).
Заключение
Новизна статьи в основном заключается в трёх аспектах.
Во-первых, в данной работе было найдено преобразование мгновенной скорости (23), (24), связывающее произвольно движущуюся и невращающуюся неинерци-альную систему отсчёта к и лабораторную инерциальную систему отсчёта Б. Был объяснён также физический смысл параметра у(£) частного преобразования ЛМН (15), (16). Он оказался простым. Со скоростью у(£) относительно лабораторной системы отсчёта Б движутся точки невращающейся системы отсчёта к, которая сопутствует системе в. Движение к является неоднородным, согласно формуле (26). Точки же системы з движутся относительно Б со скоростью (54).
Кроме того, найдено преобразование аффинной скорости из системы к в систему Б и наоборот. Полученные формулы оказались довольно громоздкими, но на практике интересна не сама аффинная скорость малой области, а угловая скорость вращения её главных осей и скорость её растяжения по главным осям. Для этих величин также были найдены законы преобразований (29), (30). Рассмотрены также важные частные случаи этого преобразования.
Наконец, полученные уравнения были применены к ускоренно вращающемуся диску и была вычислена его локальная угловая скорость ш. При этом оказалось, что если первоначально вращение диска относительно наблюдателя в лабораторной системе являлось жёстким, то при положении наблюдателя на периферии диска материал, из которого он изготовлен, двигается, вообще говоря, нежёстко (44). Другими словами, если расстояние между двумя точками относительно наблюдателя, находящегося в центре неравномерно вращающегося тела, сохраняется, то при сдвиге наблюдателя это расстояние будет изменяться даже в его ближней окрестности. Оказалось, что значение этой скорости ш зависит ещё и от углового ускорения системы отсчёта. Угловая скорость вращения точек ближайшей окрестности около наблюдателя для случая неравномерного вращения будет равна (46). Для твёрдого тела собственное растяжение периферии (45) оказалось совпадающим с известным значением.
Знание зависимости аффинной скорости как функции времени для кинематики имеет практическую ценность. Достаточно сказать, что знание Пав в принципе позволяет решить дифференциальное уравнение вида (1), подобно тому как решил его Степанов, и тем самым найти движение деформируемого стержня в лабораторной системе отсчёта. Поэтому известная зависимость аффинной скорости от времени для кинематики играет роль силы для второго закона Ньютона. Соответственно этому найденное преобразование аффинной скорости в кинематике занимает место формулы преобразования сил для динамики.
Существует и другая, далеко идущая аналогия: между кинематическими характеристиками и напряжённостями поля. Действительно, ускорение группы частиц в некотором роде аналогично напряжённости электрического поля, а угловая скорость О — напряжённости магнитного поля. С другой стороны, 3 компоненты вектора угловой скорости О и 6 компонент симметричного тензора Бав вместе образуют единый тензор аффинной скорости Пав. Возникает вопрос: не существует ли также новое, третье поле (кроме электрического и магнитного) тензорного вида квазимагнитной природы, которое в отношении своего действия на группу пробных зарядов приводит лишь к изменению размера группы (увеличению или
уменьшению) аналогично Бав ? Это даёт основание считать известный закон преобразования электромагнитных полей при смене системы отсчёта, возможно, не вполне корректным. Мы полагаем, что данный кинематический подход позволит доказать существование полевого аналога тензора скорости деформации в теории электромагнитного поля. В выводе будущего правильного релятивистского закона преобразования напряжённостей поля полученное преобразование аффинной скорости, вероятно, будет играть определяющую роль.
Приложение 1. Скорость в собственной и лабораторной системах отсчёта
Продифференцировав соотношения (15), (16), получим
(Т =1 / + , + ^—} (И + , , (48)
\ УГ—V2 УГ—V2 уГ—V2 3 / УГ—V2, 1 }
, 1 — УГ—V2. , .
(И = (г +--(var)v +
v2У 1 — V2
(2УГ—V23 + зу2 — 2. ... . 1 — УГ—й2,, , ! V 1
+ < -, 3-(vr)(vv)v + 2 -2 [^г^ + ^г^] + -л (г.
I у^л/г—3 У2^ 1 — V2 л/1 — V2 ]
(49)
Из (12) следует, что
У = У2 ^ — (1 — VT—"2) (у¥)У. (50)
V2
Подставляя это соотношение в (13), получим
Пш = 1 — ^ — у2 V х W. (51)
V
Учитывая (50), (51), формулы (48), (49) можно переписать в более компактном виде:
1 + ^ + V х Пш) г , ^г (Т =-. -(г +
УГ^—V2 УГ—
V2
1 + Wr ^ 1 — У1 — V2 Г , 1 , , 1 — УГ—
2
(И = <1 У' "" V +Пшхг+ --* " " [V (Пш х г)] V }> (г+(г+--* " V ^(г^.
[л/1 — V2 v2У 1 — V2 ] v2У 1 — V2
Поделим (49) на (48) и введём в рассмотрение скорости
И (И (г
(Т' 5 (г
в системах отсчёта Б и в. Они связаны уравнением
и = (1 + Wr)v + УГ—V2(и + Пш х г) + ^^Ур2 [V (и + Пш х г)] V
= 1 + Wr + V (и5 + Пш х г) . ()
Обращая это равенство, получим
(1 + Wr) [УГ—V2И —V + {И2v(vИ) и =- vи-1 — Пш х г. (53)
Заметим, что в формулах (52) и (53) величина и5 + Пш х г является скоростью и точки в невращающейся системе отсчёта к, которая сопутствует системе в . Тогда эти формулы упрощаются и имеют вид (23), (24).
Приложение 2. Скорость точек системы отсчёта в
Из (52) видно, что для того, чтобы точки 3-пространства системы в покоились относительно её системы координат (и = 0), необходимо, чтобы они двигались относительно Б не со скоростью и = V, а со скоростью и = и0, где
тт (1 + ^г^ + VI-V2 Ош х г + ^^УР2 [V (О№ х г)] V И0
0=
1 + ^ + V х Ощ) г
Отсюда видно, что величина V не имеет смысла скорости точек системы отсчёта в. Раскладывая это выражение по степеням г в первом приближении, получим
И0 = V + V!-'V2 Ощ х г - [v(0W х г)] V. (54)
V2
Учтём, что
1 & V
v/Г—V2 &Т'
Тогда собственные ускорение и угловая скорость будут равны
V 1 - Vl - V2
--1--
1 - V2 V2V1 - V2
W = --— + - (VV)V, (55)
^¡г--V?V х ^ ■ *=(56)
Из (55) видно, что
V =(1 - V2)W - (1 - У^ ~ ^^> (VW)V. (57)
V 2
Следовательно, подставив (57) в (26), получим (27), где V — скорость начала отсчёта в относительно Б. Подставив в (54) величину (27), получим
И = V - П-V2 (^Ш + Л/1 - ^(1Т- ^1 - V2) (Vг)(VW)V+
V 2
+VГ—^ Ои- х г - ^^ ^^ [У(О„ х г)] V.
Подставляя сюда (55), (56), получим
1 _ Vl - V2 • (1 - Vl - V2)2 • 1 - Vl - V2 • и0 = V - -(^ - ^) - -
Приложение 3. Преобразование аффинной скорости в сопутствующую невращающуюся систему отсчёта
Какова же зависимость шав от Пав согласно теории относительности? Выведем её из формулы вычитания скоростей (24). Подставим в (24) для малых г выражение (2) и соотношение (26) между функцией преобразования v(t) и скоростью V начала координат системы в. Ответ необходимо искать с точностью до членов, пропорциональных первой степени расстояния. При этом заметим, что второй сомножитель
числителя правой части (24) уже пропорционален компоненте га, поэтому с точностью до первых степеней га первый сомножитель можно положить равным 1, а знаменатель — равным 1 — V2. Далее, используя (26), нетрудно подсчитать, что
^ = УГ—V* + (Уу><У>,
1 — V 2
^^ V «в = -— —
1 — л/1-V2 «Vв + Vв V а>.
V V1 — V2
Учитывая эти соображения, можно найти, что
1 _ . (vr> . 1
иа =-у ' 3 0^>ГУг> V" + + , ОавЬв+
V2yт—V2 3 1 — V2 VI—V2
+ ^¡^ (^Ь^, (58)
где Ьа определяется из формулы сокращения Лоренца. В первом порядке расстояние Ь от точки до начала координат системы к, рассматриваемое относительно Б, равно
1 _ У1 _ V2 Ь = г--^-(rV>V.
Подставив эту формулу в (58) и сравнив получившееся выражение с (25), можно получить равенство (28). Данная величина должна быть инвариантом при выполнении буста.
Из (28) можно найти угловую скорость ша главных осей аффинного тензора (5) и тензор скорости центрального растяжения зав (6). Вычисления дают
(О^ _ О^> 1 _ л/1 V2
ша =-У , >--У V7(О^ V11 — О11vv> +
4>/1 — V2 4V V1 — V2
1 _ /1 — V2 еа1и ■
+---ва1иV7(О1^ - V1) +- V1VV,
+ 4V2(1 — V2)е V (О V ° V > + 2(1 — V2) V V '
^ = Оа/ + — 1 — У1 — v 2 V7 (О^ Vе + п^ va>+ 2>/1 — V2 2V V1 — V2
+ 2^—;; V7(О7вV- + > — ~~Д>2>2 (О7^7+
+1—У1—V2 ^>v"Vв + ^в + v^в + V2у1—V2 3 (>V V + 2(1 — V2> .
Введём аналогично (4)-(6) симметричный тензор Бав и вектор Оа, дуальный антисимметричной части Оав:
Оа = 1 ва1и (О^ — > , Бав = 1 (Оав + Ова) . (59)
Значит,
Оав = Бав + еа1вО? . (60)
Тогда формулы (28) можно несколько упростить. Используя равенства (59), (60), находим формулы (29) и (30).
Приложение 4. Преобразование собственной аффинной скорости в лабораторную систему отсчёта
Зависимость от П"в можно было бы найти непосредственно из (28). Мы поступим по-другому и выведем её из (23), (24). Очевидно, что во втором и третьем слагаемом числителя и в знаменателе с требуемой точностью V можно заменить на V. Тогда, подставив в (23) формулу (1) и в первое слагаемое числителя — (26), получим, раскладывая дробь с точностью до первых степеней г,
V = V" — УШИ + О*И — УГ—^ — УГ—У2) О,*У^УИ.
У1 — V2 V2
Подставим сюда вместо г выражение, обратное формуле сокращения Лоренца,
г = ь + Г—(LV)V .
V 2УГ—V2 1 ;
Тогда
= Va + УГ—V2 Le - ^1 V2(1 1 V2) V7 Le )Va+
V2
1 _ У1 _ V2 (1 - УЛ—V2)2 (VL)T/а
+-^Г^(VL) о"7V7 — (-У ) (VL)(о7^7— (; )'2 . (61)
V 2 V 4 1 — V 2
Выражение (61) нельзя представить в виде [/" = V" + Ь" = V" + е"в7ПвЬ7 с некоторым П", значит, аффинное движение точек в системе к относительно лабораторной системы Б не является жёстким. Сравнивая (61) с (2), окончательно получим равенство (36).
Формулу (36) можно несколько упростить, вводя аналогично (4)-(6) симметричный тензор Б"в и вектор П", дуальный антисимметричной части П"в, по формулам (59), (60). Их подстановка в (36) даёт
П" = УГ—^ — — УГ—^ —2УГ—) е-(О-У' — О-У"+
1 _ л/1 _ у2 е"^ • •
+-—-е"^ (О^ — О^7 )К7 — —-— (К^ — 1^), (62)
4К2 4(1 — V 2)
Б"в = ^ — К2 (о"в + ов") — ^1 — ^1 — К2) (о7вV" + о7"Кв) V7— (1 — УГ—У2)2 ,, 1 — УГ—V2 .а^^.з^г^г, Vе V/" + К-У3
7 V ")V aV e+--(ша7 Vв+(У7 V a)V7 -
V4 4 ' 2V2 4 ' 2У1 - V2 '
(63)
Учитывая (4)-(6), получим (37) и (38).
Список литературы
1. Dewan, E. Note on stress effects due to relativistic contraction / E. Dewan, M. Beran // American Journal of Physics. — 1959. — Vol. 27, no. 7. — P. 517-518.
2. Степанов, С. С. Прецессия Томаса для спина и стержня / С. С. Степанов // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 2012. — Т. 43, № 1. — С. 245-282.
3. Беклемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В.Беклемишев. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 320 с.
4. Седов, Л. И. Кинематика сплошной среды. Т. 1 / Л. И. Седов. — М. : Наука, 1970. — 492 с.
5. Джексон,Д. Классическая электродинамика / Д.Джексон. — М. : Мир, 1965. — 703 с.
6. M0ller, C. On homogeneous gravitational fields in the general theory of relativity and the clock paradox / C.M0ller // Matematisk-fysiske meddelelser Kongelige Danske Videnskabernes Selskab. — 1943. — Vol. 20, no. 19. — P. 3-25.
7. Мёллер, К. Теория относительности / К. Мёллер. — М. : Атомиздат, 1975. — 400 с.
8. Nelson, R. A. Generalized Lorentz transformation for an accelerated, rotating frame of reference / R. A. Nelson // Journal of Mathematical Physics. — 1987. — Vol. 28, no. 10. — P. 2379-2383.
9. Nikolic, H. Relativistic contraction and related effects in noninertial frames / H. Nikolic // Physical Review A. — 2000. — Vol. 61, no. 3. — P. 032109.
10. Pauri, M. Marzke — Wheeler coordinates for accelerated observers in special relativity / M.Pauri, M.Vallisneri // Foundations of Physics Letters. — 2000. — Vol. 13, no. 5. — P. 401-425.
11. Mashhoon, B. Length measurement in accelerated systems / B.Mashhoon, U. Muench // Annalen der Physik. — 2002. — Vol. 11, no. 7. — P. 532-547.
12. Bini, D. Spin-rotation couplings: spinning test particles and Dirac field / D.Bini, L.Lusanna // General Relativity and Gravitation. — 2008. — Vol. 40, no. 6. — P. 11451177.
13. Мизнер, Ч. Гравитация. Т. 1 / Ч. Мизнер, К. Торн, Д.Уилер. — М. : Мир, 1977. — 480 с.
14. Войтик, В. В. Радиально-жёсткая неинерциальная система отсчёта и форминвари-антность общего преобразования / В. В. Войтик, Н. Г. Мигранов // Инновации в науке : тр. XIX междунар. заоч. науч.-практ. конф. 22 апреля 2013 г. — Новосибирск : СибАК, 2013. — С. 7-19.
15. Foppl, L. Zur Kinematik des Born'schen starren Korpers / L.Foppl, P. Daniell // Nachrichten von der Koniglichen Gesellschaft Wissenschaften zu Gottingen. — 1913. — P. 519—529.
16. Irvine, W. M. Electrodynamics in a rotating system of reference / W.M.Irvine // Physica. — 1964. — Vol. 30, no. 6. — P. 1160-1170.
17. Владимиров, Ю. С. Системы отсчёта в теории гравитации / Ю. С. Владимиров. — М. : Энергоиздат, 1982. — 256 с.
18. Малыкин, Г. Б. Прецессия Томаса: корректные и некорректные решения / Г. Б. Малыкин // Успехи физ. наук. — 2006. — Т. 176, № 8. — С. 865-882.
19. Corben, H. C. Factors of 2 in magnetic moments, spin-orbit coupling, and Thomas precession / H.C. Corben // American Journal of Physics. — 1993. — Vol. 61, no. 6. — P. 551-553.
Поступила в 'редакцию 02.03.2020. После переработки 31.05.2020.
Сведения об авторах
Войтик Виталий Викторович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры медицинской физики с курсом информатики, Башкирский государственный медицинский университет, Уфа, Россия; e-mail: voytik1@yandex.ru.
Мигранов Наиль Галиханович, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры медицинской физики с курсом информатики, Башкирский государственный медицинский университет, Уфа, Россия; e-mail: ufangm@yandex.ru.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2020. Vol. 5, iss. 4, part 1. P. 428-450.
DOI: 10.47475/2500-0101-2020-15404
THE TRANSFORMATION OF THE AFFINE VELOCITY AND ITS APPLICATION TO A ROTATING DISK
V.V. Voytik", N.G. Migranovb
Bashkirian State Medical University, Ufa, Russia avoytik1@yandex.ru, bufangm@yandex.ru
The aim of the article is to find a transformation that links the local affine velocity of a non-rigid body in the laboratory inertial reference frame S with the centroaffine velocity of this body in the accompanying nonrotating reference frame k. This paper is based on the kinematics of a continuous medium and the generalized Lorentz transformation. In the paper we show the 3D transformation of the velocity linking the reference system S and the reference system k, which moves without the rotation. Wherein the motion of various points of the rigid system k is inhomogeneous. Using these formulas, we obtain the desired direct and inverse transformations of the local affine velocity. Important special cases of this transformation are considered. They are the motion of particles in a uniform force field and the precession of Thomas. As an example of using the transformation of the affine velocity in S, accelerated rotation of a disk is considered and the local angular velocity and the magnitude of the deformation of its points are calculated. The calculated stretching coefficient is consistent with the known one, and the formula found for the angular velocity is more general than the earlier result obtained for uniform rotation of a disk.
Keywords: the generalized Lorentz transformation, affine motion, angular velocity, the strain rate, Thomas precession, Wigner rotation.
References
1. DewanE., BeranM. Note on stress effects due to relativistic contraction. American Journal of Physics, 1959, vol. 27, no. 7, pp. 517-518.
2. Stepanov S.S. Thomas precession for spin and for a rod. Physics of Particles and Nuclei, 2012, vol. 43, no. 1, pp. 128-145.
3. Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoy geometrii i lineynoy algebry [The course of analytical geometry and linear algebra]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 320 p. (In Russ.).
4. Sedov L.I. Mechanics Of Continuous Media. World Scientific, 1997. 1368 p.
5. Jackson J.D. Classical Electrodynamics. New York, John Wiley & Sons, 1962. 641 p.
6. M0ller C. On homogeneous gravitational fields in the general theory of relativity and the clock paradox. Matematisk-fysiske meddelelser Kongelige Danske Videnskabernes Selskab, 1943, vol. 20, no. 19, pp. 3-25.
7. M0llerC. The Theory of Relativity. Oxford, Clarendon Press, 1972.
8. Nelson R.A. Generalized Lorentz transformation for an accelerated, rotating frame of reference. Journal of Mathematical Physics, 1987, vol. 28, no. 10, pp. 2379-2383.
9. NikoliC H. Relativistic contraction and related effects in noninertial frames. Physical Review A, 2000, vol. 61, no. 3, p. 032109.
10. PauriM., VallisneriM. Marzke — Wheeler coordinates for accelerated observers in special relativity. Foundations of Physics Letters, 2000, vol. 13, no. 5, pp. 401-425.
11. MashhoonB., MuenchU. Length measurement in accelerated systems. Annalen der Physik, 2002, vol. 11, no. 7, pp. 532-547.
12. BiniD., LusannaL. Spin-rotation couplings: spinning test particles and Dirac field. General Relativity and Gravitation, 2008, vol. 40, no. 6, pp. 1145-1177.
450
B. B. BOHTHK, H. r. MurpaHOB
13. MisnerC.W., ThorneK.S., Wheeler J.A. Gravitation. Vol. 1. San Francisco, Freeman, 1973. 1278 p.
14. Voytik V.V., Migranov N.G. Radial'no-zhyostkaya neinertsial'naya sistema otschyota i forminvariantnost' obshchego preobrazovaniya [Radial-rigid non-inertial reference frame and forminvariance of the general transformation]. Trudy XIX mezhdunarodnoy zaochnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii "Innovatsii v nauke" [Proceedings of the XIX International Correspondence Scientific-Practical Conference "Innovations in Science"], 22.04.2013. Novosybirsk, SibAK Publ., 2013. Pp. 7-19. (In Russ.).
15. FopplL., DaniellP. Zur Kinematik des Born'schen starren Korpers. Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft Wissenschaften zu Göttingen, 1913, pp. 519-529.
16. Irvine W.M. Electrodynamics in a rotating system of reference. Physica, 1964, vol. 30, no. 6, pp. 1160-1170.
17. Vladimirov Yu.S. Sistemy otschyota v teorii gravitatsii [Reference frames in the theory of gravity]. Moscow, Energoizdat Publ., 1982. 256 p. (In Russ.).
18. MalykinG.B. Thomas precession: correct and incorrect solutions. Physics Uspekhi, 2006, vol. 49, no. 8, pp. 837-853.
19. Corben H.C. Factors of 2 in magnetic moments, spin-orbit coupling, and Thomas precession. American Journal of Physics, 1993, vol. 61, no. 6, p. 551-553.
Accepted article received 02.03.2020.
Corrections received 31.05.2020.
