О влиянии ускорения на прямолинейное движение жёсткого стержня. 1. Длина и скорость Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2011. № 7 (222). Физика. Вып. 9. С. 44-49.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

В. В. Войтик

О ВЛИЯНИИ УСКОРЕНИЯ НА ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖЁСТКОГО СТЕРЖНЯ. 1. ДЛИНА И СКОРОСТЬ

Показано различие скоростей точек жёсткого равномерно ускоренного стержня, ориентированного вдоль направления движения. Формула для длины ускоренного стержня отличается от формулы сокращения Лоренца. Рассмотрены некоторые возражения против влияния ускорения на скорость точек стержня и его длину. Показано, что полученные формулы применимы для произвольного плавного прямолинейного движения стержня.

Ключевые слова: неоднородность ускоренного движения, сокращение Лоренца, удлинение разгоняющегося стержня.

Введение. Прямолинейное равноускоренное движение жёстких тел в рамках специальной теории относительности давно хорошо изучено [1-2]. Достаточно сказать, что преобразование Мёллера, связывающее лабораторную инерци-альную систему отсчёта и систему отсчёта, начало которой движется с постоянным собственным ускорением, известно с 1943 г. [3]. Однако, несмотря на, казалось бы, известную в деталях теорию, прямолинейное ускоренное движение всё ещё продолжает активно обсуждаться. При этом большинство авторов [4-6] сходятся во мнении, что сокращение Лоренца для движущихся тел имеет фундаментальный характер и не зависит от ускорения тела. Цель данной статьи заключается в том, чтобы показать, что это мнение неверно, и определить величину поправки вызываемой ускорением на длину жёсткого стержня, ориентированного вдоль направления движения.

Преобразование Мёллера в равномерно ускоренную систему отсчёта, двигающуюся прямолинейно. Преобразование между лабораторной инерциальной системой отсчёта и равномерно ускоренной системой отсчёта 5 полностью определяется видом её 4-й и 3-й метрики. Таким образом, если система координат ускоренной системы отсчёта является прямоугольной, то её 4-я метрика имеет вид метрики Мёллера [3] (используется система единиц, в которой с = 1)

Л,^2 = (1 + Жх)2 Л2 - Лх2 - Лу2 - Лг2.

(1)

Преобразование, связывающее декартовы координаты X и время Т лабораторной системы отсчёта с координатами х и временем ґ ускоренной системы 5 и индуцирующее эту метрику, яв-

ляется преобразованием Мёллера. В двумерном виде оно записывается так [3]:

Т' = х Wt + -

№

X ' = х еЬ Жґ +

еЬЖґ -1 Ж

(2)

(3)

В этом преобразовании имеется только один параметр — собственное ускорение Ж ускоренной системы отсчёта. Однако ускоренное движение характеризуется кроме несущественного начального положения начала отсчёта ещё начальной скоростью. Чтобы найти такое обобщённое преобразование Мёллера, надо совершить буст в направлении оси х согласно известным формулам для преобразования Лоренца:

Т = X' 8И к + Т' оИ к, (4)

X = X' оИ к + Т' 8И к.

(5)

Общая комбинация преобразований (2)-(3) и (4)-(5) приводит к такому результирующему преобразованию:

1 + Жх , /т„. , ч 8И к

Т = -

Ж

(Жі + к)-

Ж

(6)

1 + Wx , , , ч сЬк П\

X =--------сЬ Ш + к)--------- (7)

Обратное преобразование можно получить с помощью легко проверяемых равенств:

ЖГ +

Л (Жґ + к ) =

ЖХ + сЬк

(8)

(ЖХ + оИк )2 =(ЖГ + $Ък )2 +(1 + Жх )2. (9)

Если продифференцировать (6), (7), получим ёТ = Л(1 + Жх)еЬ(Wt + к) + ёх(Жt + к), (10) &Х = & (1 + Жх) зЬ (Ж1 + к) + dx еЬ (Ж1 + к). (11)

Поделив равенство (11) на равенство (10), получим преобразование скорости:

ух + (1 + Жх) Ш (Жt + к)

V. =■

1 + Жх + ух Ш (Жі + к)

(12)

Если скорость в ускоренной системе отсчёта Ух = 0 (такая скорость у точек её собственной системы координат), то в лабораторной инерциаль-ной системе отсчёта она будет равна

V = Л (Жґ + к). (13)

Таким образом, физический смысл преобразования (6), (7) заключается в том, что оно является преобразованием из лабораторной инерциаль-ной системы отсчёта в равномерно ускоренную систему отсчёта, движущуюся в направлении оси X с собственным ускорением Ж и начальной скоростью в момент ґ = 0, равной

V0 = Ш к. (14)

Неоднородность движения точек системы координат ускоренной системы отсчёта.

Выясним, какова скорость точки системы координат ускоренной системы отсчёта в зависимости от её координаты. Подставив уравнения (8) в (13) и использовав (9), получим, что

ЖГ + 8М

ЖХ + Сак ЖТ + 8Ик

^(1 + Жх )2 + (ЖТ + 8Ик )2

(15)

Таким образом, начальная точка ускоренной системы отсчёта х = 0 движется со скоростью

ЖТ + 8М

V ■

^1 + (ЖТ + )2

(16)

Отсюда

ЖТ + бЫ;:

V

VI - V2'

(17)

Подставив (17) в (15), получим после упрощения

V,

V

^1 + 2 (і - V2 )Жх + (і - V2 )Ж2 х2

. (18)

Здесь V и Ж — соответственно скорость и собственное ускорение начала отсчёта ускоренной системы отсчёта; V — скорость точки с координатой х. Мы видим, что точка системы координат ускоренной системы отсчёта в любой момент времени Т лабораторной системы отсчёта движется со скоростью, не равной скорости V начальной точки системы отсчёта, т. е. скорость неоднородна. Данное обстоятельство абсолютно естественно и ожидаемо. Действительно, если ось прямоугольной системы координат ускоренной системы отсчёта представляет собой жёсткий стержень, то он в процессе своего ускорения с увеличением скорости обязательно всё больше кинематически сокращается относительно лабораторной системы. Это и означает, что его передняя точка в данный момент времени движется медленнее, чем задняя точка. Для не слишком больших х (Ж << 1), раскладывая в ряд выражение (18), имеем, что

V = V-(1 - V2 +

■(1 - V2)

Ґ з \

1 - - V2 2

Ш2 х2 + О (х3). (19)

V

/

На практике всегда Жх << 1. Первая наибольшая поправка к скорости точки с координатой х равна по величине

АV = V (1 - V2 )Жх. (20)

Она ограничена. Максимальная возможная величина поправки к скорости равна

Д = -Т3 Жх-

г 9

0,3849 Жх.

(21)

Эта величина достигается в момент, когда скорость заднего конца равна

л/3

V = — = 0,5774 3

(22)

Таким образом, при разгоне жёсткого (в собственной системе отсчёта) стержня, начало которого находится на его заднем конце, его передний конец движется медленнее, чем задний на величину (20), напротив, при торможении передний конец движется быстрее, чем задний на ту же самую величину. Если в классической механике жёсткость системы координат предполагает, что скорость движения каждой её точки меняется со временем одинаково, независимо от её положения, то в релятивистской теории это условие не выполняется.

Кинематическое удлинение ускоренного стержня по сравнению с мгновенно сопутствующим задней точке инерциальным стержнем.

Итак, область ускоренного стержня, прилегающая к переднему концу, движется при разгоне с меньшей скоростью, чем задняя. Вследствие этого область разгоняющегося стержня вблизи его передней точки относительно лабораторной системы отсчёта сокращается меньше, чем область около задней точки, в которой находится начало отсчёта и которая движется со скоростью V. Таким образом, общая длина ускоренного стержня, находящегося в процессе разгона вдоль своего направления, должна быть несколько больше, чем длина такого же, но инерциального стержня, все точки которого двигаются в данный момент времени с одинаковой скоростью V. Данное утверждение легко подтвердить прямым расчётом. Ось х системы координат ускоренной системы отсчёта геометрически представляет собой множество отдельных маленьких линеек собственной длиной аХ. Относительно лабораторной инерциальной системы отсчёта они движутся каждая со своей скоростью V но непрерывно. В каждый момент лабораторного времени конец предыдущей линейки совпадает с началом следующей. В силу сокращения Лоренца общая длина этого множества линеек в лабораторной системе отсчёта будет

Ь

1 - V2 сїх.

(23)

Подставив сюда (18) и упростив, получим, что 1 + Жх

Ь = л/1 -

^1 + 2 (1 - V2 )Жх + (1 - V2 )Ж2 х5

Выполнив интегрирование, получим следующее значение длины ускоренной линейки:

ф + 2Ж (1 - V2) х + Ж2 (1 - V2) х2

Ж 41 - V2

1

.. (25)

Здесь х — собственная длина линейки, а V и Ж — соответственно скорость и ускорение её задней точки. Формулу (25) можно получить и непосредственно из обобщённого преобразования Мёллера (6), (7). Действительно, из уравнения (6) следует, что

оИ (Ж( + к) =

= УІ 1 + зЪ2 (Жг + к) =

^(1 + Жх )2 + (ЖТ + &к )2

1 + Жх

(26)

Подставим теперь полученное выражение в (7). Получим X как функцию времени Т и координаты х:

^(1 + Жх)2 + (ЖТ + )2 - еМ

_ Ж

(27)

Величина X является координатой переднего по направлению движения конца стержня. Чтобы получить длину стержня относительно лабораторной системы отсчёта, необходимо из неё вычесть координату заднего конца, то есть координату начала системы отсчёта. В результате длина стержня равна выражению

ь У(1 + Жх)2 + (ЖГ + аМ)2 - ^ 1 + (ЖТ + аМ)2 = Ж '

Данная формула совпадает с результатами статьи [7]. Но формула (28) сама по себе для эксперимента интереса не представляет. Интересна длина, выраженная через скорость начала отсчёта к моменту Т. Подставим поэтому в выражение (28) значение (17). Тогда, упростив его, получим в результате формулу (25). Заметим, что формула (28) при к = 0 является формулой длины стержня, разгоняемого из состояния покоя. При этом условии её можно получить также простым интегрированием согласно очевидному равенству

ь=х+$(ух - V) ат.

(29)

Подставив сюда значения скорости (15) и (16), учитывая к = 0 и проинтегрировав, можно убедиться в справедливости (28).

Разлагая в ряд по степеням х формулу (25), можно получить, что для малых х

Ь

=ТЇ-

V2 х +

V

2

Жх2 + О (х3). (30)

Из (25), (30) следует, что если тело, имеющее высокую скорость, разгоняется, то его длина относительно лабораторной инерциальной системы отсчёта будет несколько больше, чем вычисляемая по формуле Лоренца. Если же тело тормозит, то его длина будет меньше. Абсолютная величина поправки

Д = - V 24\ - V2Жх2 (31)

х 2

ограничена по величине. Она будет максимальной и равной

/3

А =— Жх2 - 0,1925 Жх2 (32)

х 9

при

V = — - 0,8165. (33)

3

Отклонение от закона сокращения Лоренца даже для такой скорости будет заметно только для тела очень больших размеров или подвергающегося исключительно высокому ускорению.

Некоторые возражения против формулы сокращения. Представление о неоднородности движения точек ускоренного жёсткого стержня обычно наталкивается на возражение о том, что эта неоднородность скоростей несовместима с жёсткостью стержня. Другими словами, если перейти в мгновенно сопутствующую инерциальную систему отсчёта, двигающуюся со скоростью задней точки, то, казалось бы, скорость передней точки стержня в этой системе отсчёта будет отлична от нуля. Создаётся впечатление, что в том случае, если допустить неоднородность скоростей, жёсткая система координат ускоренной системы отсчёта будет отсутствовать. На самом деле это возражение является предрассудком, основанным на распространении закона вычитания скоростей, справедливом для инерциальных систем отсчёта на неинерциальные системы. Легко увидеть, что если перейти в инерциальную систему отсчёта, двигающуюся с начальной скоростью (14), то ускоренная система отсчёта будет связана с этой системой уравнениями (2), (3). Подставляя сюда значение ^ = 0, можно заметить, что в этот начальный момент времени, когда начала отсчёта у систем совпадают, совпадают также и их системы координат X' = х. Это и означает, что система координат ускоренной системы отсчёта является жёсткой в собственной системе отсчёта.

Ещё одним возражением против возможности влияния ускорения на длину тела является раннее (1907 г.) рассуждение А. Эйнштейна. В статье «О принципе относительности и его следствиях» он писал: «...Как влияет это ускорение на форму тела в системе отсчета S? Если

подобное влияние существует, оно будет заключаться либо в равномерном изменении размеров в направлении ускорения, либо же в двух перпендикулярных ускорению направлениях, ибо другие результаты исключаются по соображениям симметрии. Каждое обусловленное ускорением сокращение (если оно вообще существует) должно быть чётной функцией [^; следовательно, им можно пренебречь, если ограничиться случаем, когда так мало, что можно отбросить члены второй и более высоких степеней по [^. Поскольку в дальнейшем мы ограничимся этим случаем, влияние ускорения на размеры тела можно не учитывать». Однако возражение, учитывающее симметрию, несостоятельно, поскольку на самом деле никакой симметрии здесь нет. Два жёстких тела, начальные точки которых имеют одинаковую скорость V, но разные по знаку ускорения (относительно лабораторной ИСО), находятся в неодинаковом состоянии. Скорость переднего конца у разгоняющегося тела больше, а у замедляющегося тела меньше, чем V, как это видно из формул (18)-(20).

Иногда против формул длины (25), (30) выдвигается следующее возражение. Когда на стержень прекращает действовать сила, он начинает двигаться инерциально. Это означает, что в этот момент (когда ускорение исчезает), его длина должна рассчитываться по формуле Лоренца. Это обстоятельство противоречит формуле (30). Другими словами, ускоренный стержень собственной длиной х = 21 при исчезновении ускоряющей силы должен мгновенно уменьшить свою длину к величине, определяемой формулой Лоренца, т. е. даваемой лишь первым членом уравнения (30), в котором под скоростью V надо понимать скорость центра стержня. В момент исчезновения ускорения положение переднего конца стержня должно резко измениться, что, конечно, невозможно. Данное возражение можно обратить и рассуждать следующим образом. Поскольку в момент прекращения действия силы концы стержня не могут испытывать скачок, в стержне должен происходить переходной волновой процесс. Этот процесс со скоростью звука в материале стержня распространяется от центра масс стержня к его концам. В результате передний конец с координатой I спустя некоторое время запаздывания наберёт дополнительную скорость (20), а задний конец с координатой -I (первоначально имеющий более высокую скорость, чем центр стержня) замедлится на ту

же величину. Таким образом, для резкого изменения собственного ускорения формула (30) неприменима. Это хорошо согласуется с тем, что идеально твёрдых тел не существует.

Другое объяснение этого парадокса основывается на том, что в момент, когда собственное ускорение начала отсчёта ускоренной системы отсчёта скачком исчезает, происходит разрывный переход метрики Мёллера (1) к метрике инерциальной системы отсчёта. Такой разрывный переход невозможен, следовательно, обязан существовать некий переходной процесс.

Различие рассматриваемых в лабораторной системе отсчёта ускоренного и инерциального стержней показывает неэквивалентность ускоренной и сопутствующей инерциальной систем отсчёта. Однако в аспекте мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчёта она (в отношении измерения длин) мгновенно эквивалентна ускоренной системе отсчёта. Таким образом, понятие жёсткости является относительным. Ускоренный стержень, будучи жёстким в собственной системе отсчёта относительно лабораторной инерциальной системы отсчёта, является уже нежёстким в том смысле, что с течением времени его длина в ней не сохраняется.

Область применимости полученных формул. Рассмотрим вопрос об области применимости (19), (30), предполагая движение стержня неравномерно ускоренным. Прежде всего ясно, что сама возможность разложения по степеням х означает, что длина стержня ограничена условием

x <<

W

(34)

Налагает ли неравноускоренность какие-либо дополнительные условия?

На формулу (19) неравноускоренность движения стержня налагает дополнительные условия. Их можно получить, рассуждая следующим образом. При изменении собственного ускорения точка системы координат ускоренной системы отсчёта смещается относительно её прежнего положения на расстояние порядка Ах ~ {2АЖ. Здесь t — время для распространения возмущения, вызванного изменением собственного ускорения от начала отсчёта до точки х. Оно будет минимально возможным порядка t ~ х/с. Следовательно, скорость точки при деформации системы координат для нестатического движения системы отсчёта будет порядка V = dx / dt~ ~ х2Ж / с2, где Ж' — скорость изменения соб-

ственного ускорения. Такого же порядка будет поправка к скорости точки относительно лабораторной системы отсчёта. Если рассматривается область системы координат вблизи начала отсчёта и движение системы отсчёта достаточно плавное, такое, что

W '<<- W, х

(35)

то поправка к скорости точки относительно лабораторной системы отсчёта, вызванная изменяющимся собственным ускорением, будет много меньше, чем второй член в правой части (19), поскольку V ~ х2Ж / с2 << Жх / с. В то же время третий член в правой части (19) будет примерно одинакового порядка с поправкой за счёт неста-тичности, так как Ж' ~ Ж2 / с. Таким образом, можно заключить, что для произвольной плавно ускоренной системы отсчёта применимость формулы (19) ограничена членом первого порядка по х. Если же собственное ускорение системы отсчёта меняется очень медленно, так, что

Ж2

Ж <<---------,

с

(36)

то (19) справедлива и с точностью до второго порядка по х включительно.

Условию (35) соответствует ограничение длины стержня величиной

еЖ

x <<

Ж'

(37)

Это означает, что собственное ускорение начала отсчёта не должно испытывать скачков.

Что касается формулы (30), то применимость этой формулы не ограничивается случаем только постоянной собственной длины линейки X. В самом деле, при получении преобразования Мёллера [3] нигде не использовалось требование жёсткости системы координат ускоренной системы отсчёта х = const. Поэтому формула сокращения длины (30) справедлива для любой системы координат равномерно ускоренной системы отсчёта и даже для нестатической системы х = x(t). Как раз это, т. е. изменение со временем системы координат происходит в случае произвольно ускоренной системы отсчёта. Изменение во времени собственного ускорения начала отсчёта приводит к сдвигу переднего конца линейки относительно заднего конца, какая бы ни была жёсткость линейки. Так, если ускоренная система отсчёта внезапно получает дополнительное

с

ускорение, то линейка её системы координат, изготовленная из достаточно упругого материала и расположенная вдоль направления ускорения, приобретает форму, отвечающую установившемуся ускорению не сразу, а спустя некоторое время, которое не меньше, чем необходимо свету, чтобы пройти путь от начала отсчёта до конечного деления линейки. Всё это время её линейка будет избыточно деформирована, причём независимо от её материала, и этот факт будет наблюдаться в пределах самой произвольно ускоренной системы отсчёта. Таким образом, применимость (30) ограничена лишь условием (34), а жёсткость стержня и характер его плавного движения во втором порядке по х несущественны. Жёсткость стержня будет существенна в третьем порядке разложения (25) по х. В этом случае требование малости смещения точки х относительно начала отсчёта, вызванного слабо меняющимся собственным ускорением Ж' по сравнению с её координатой Ах ~ V • х / с = х3Ж' / / с3 << х, даёт условие

Выводы. Ускорение влияет на величину длины релятивистского стержня. Оказывается, что разгоняющийся стержень кинематически удлиняется по сравнению с инерциальным стержнем, двигающимся со скоростью начальной точки разгоняющегося стержня. Отклонение от закона сокращения Лоренца указывает, что наблюдатель в лабораторной инерциальной системе отсчёта, относительно которого движется данная неинерциальная система отсчёта, не может моделировать её мгновенно сопутствующими

ей инерциальными системами. Такое моделирование линейками инерциальной системы отсчёта возможно только в момент, когда скорость ускоренной системы отсчёта относительно лабораторной системы будет нулевой. Ещё одним следствием ускорения является неоднородность прямолинейного равноускоренного движения.

Другая форма (30) формулы сокращения (28) статьи [7] и формула для скорости точек стержня (19) справедливы не только для равномерно ускоренного движения, но и для произвольного, плавного, без резких скачков в собственном ускорении движения.

Список литературы

1. Мёллер, К. Теория относительности / К. Мёллер. М. : Атомиздат, 1975. 400 с.

2. Мизнер, Ч. Гравитация / Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. М. : Мир, 1977. Т. 1.

3. Moeller, C. On Homogeneous Gravitational Fields in the General Theory of Relativity and the Clock Paradox / C. Moeller. Kobenhavn, 1943.

4. Tartaglia, A. Lorentz contraction and accelerated systems / A. Tartaglia, M. L. Ruggiero // Eur. J. Phys. 2003. № 24. Р. 215.

5. Mashhoon, B. Length measurement in accelerated systems / B. Mashhoon, U. Muench // Annalen Phys. 2002. № 11. Р. 532-547.

6. Franklin, J. Lorentz contraction, Bell’s spaceships, and rigid body motion in special relativity / J. Franklin // Eur. J. Phys. 2010. № 31. Р. 291-298.

7. NikoliC, H. Relativistic contraction of an accelerated rod / H. Nikolic // Am. J. Phys. 1999. № 67. Р. 1007.

8. Эйнштейн, А. Собрание научных трудов : в 4 т. Т. 1 : О принципе относительности и его следствиях / А. Эйнштейн. М. : Наука, 1965.