О влиянии ускорения на прямолинейное движение жёсткого стержня. 2. Рассинхронизация часов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2011. № 7 (222).

Физика. Вып. 9. С. 50-54.

В. В. Войтик

О ВЛИЯНИИ УСКОРЕНИЯ НА ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖЁСТКОГО СТЕРЖНЯ.

2. РАССИНХРОНИЗАЦИЯ ЧАСОВ

Показывается, что неоднородность движения точек ускоренного стержня в лабораторной системе отсчёта является следствием неодновременности одновременных в ускоренной системе отсчёта событий. Рассматривается эффект рассинхронизации координатных и физических показаний взаимно удалённых часов, закреплённых на концах жёсткого стержня.

Ключевые слова: неоднородность ускоренного движения, замедление времени, относительность одновременности, рассинхронизация часов за время движения.

Введение. Широко известно, что существуют три основных кинематических эффекта, связанных с постоянной релятивистской скоростью движения. Это сокращение длины Фитцджеральда—Лоренца, замедление времени и относительность одновременности Эйнштейна. Оказывается, что ускорение системы отсчёта, вообще говоря, влияет на эти эффекты, несколько изменяя их. Сам факт существования влияния ускорения можно рассматривать как новые (более слабые) релятивистские кинематические эффекты. В предыдущей статье [1] были получены формулы длины ускоренного стержня, ориентированного вдоль направления движения и скорости его точек. Цель данной статьи заключается в определении величины поправок, вызываемых ускорением, на временные эффекты.

Преобразование Мёллера и скорость точки ускоренной системы координат. Преобразование из лабораторной инерциальной системы отсчёта с декартовыми координатами Х и временем Т в равномерно ускоренную систему отсчёта с координатами х и временем I, движущуюся в направлении оси X с собственным ускорением начальной точки Ж и имеющей начальную скорость в момент ^ = 0, равную

V = л к, (1)

в двумерном виде записывается так [1] (используется система единиц, в которой с = 1):

Ж

Ж

1 + Жх . , , ч сЪк

X =----------сЪ (Жі + к )■

Ж

Ж

(2)

(3)

Скорость точки х системы координат ускоренной системы отсчёта в лабораторной инерциаль-

ной системе отсчёта, записанная через время t, равна

V = ± (Ж( + к), (4)

а выраженная через ее координату равна У _ ЖТ + зЪк ЖГ + зЪк

ЖХ + сЪк

^(1 + Жх )2 +(ЖТ + вЪк )2

. (5)

Таким образом, начальная точка ускоренной системы отсчёта х = 0 движется со скоростью

ЖТ + бМ

V ■

Отсюда

ЖТ + вЪк =

V

(6)

(7)

Подставив (7) в (5), получим после упрощения

V

^1 + 2 (і - V2 )Жх + (і - V2 )ж2 X

-. (8)

Неоднородность движения точек системы координат как следствие неодновременности одновременных в ускоренной системе отсчёта событий. Покажем, что при разгоне стержня фактически происходит запаздывание набора скорости его передней точки по сравнению с задней точкой на промежуток времени, равный рассинхронизации часов при замене системы отсчета из ускоренной системы отсчета, связанной с задней точкой стержня, в лабораторную систему. Другими словами, неоднородность движения точек системы координат является следствием относительности одновременных в ускоренной системе отсчета событий. Действительно, события, происходящие в точке с координатой х и в начале отсчета (х = 0), одновременные в ускорен-

ной системе отсчёта (А? = 0), будут неодновременными в лабораторной системе. Из (2) следует, что промежуток времени между событиями в лабораторной системе отсчёта будет равен

АТ =

= х 8И (Жг + к) =

хГ„

V2

(9)

С другой стороны, из уравнения (2) следует, что

їЬ ( Жї + к ) :

ЖГ + їЬк 1 + Жх

Поэтому

АТ =-----------(ЖГ + зНк).

1 + ЖхК ’

(10)

(11)

Из-за относительности одновременности должно выполняться равенство

Ух (т )=¥ (Т-АТ).

(12)

Осуществив в (6) замену Т ^ Т - АТ, действительно получим уравнение (5).

Уменьшение рассинхронизации координатных часов в ускоренной системе отсчёта, синхронизированных в лабораторной системе, по сравнению с сопутствующей инерциаль-ной системой. Найдём формулу для разности показаний покоящихся часов, расположенных на равноускоренном стержне, которые первоначально были синхронизированы в лабораторной системе отсчёта. Эта формула будет отличаться от (9), (11). Пусть два события произошли в одно и то же время по часам лабораторной инер-циальной системы отсчёта, но в разных точках хг и х2 ускоренной системы отсчёта. Определим промежуток координатного времени между событиями в ускоренной системе отсчёта. Из формулы (4) видно, что общая формула для времени события ? есть

іх = ^(аЛЪГх -к).

(13)

Таким образом, промежуток координатного времени между этими событиями равен

2 - (аг&гх2 - аг&Гх1). (14)

Отсюда видно, что относительность одновременности событий в ускоренной системе отсчёта также связана с неоднородностью движения точек её системы координат. Подставляя в (14) значение Vх (8), получим

1 V Х=Х

А/ = — аПЬ , / (15)

^1 + 2(1 -V2)^х + (1 -V2)Ж2х2 х=х

Вертикальная черта после формулы, как известно, означает, что берётся разность значений левого выражения при верхнем и нижнем индексе. Раскладывая в ряд данное выражение по степеням х и учитывая, что

агіЬ (V + 5) = агіЬ V + -—— +

V

+—

(1 - V2)

нетрудно получить

агШ

-52 + О (53),

(16)

V

^1 + 2 (і - V2 )Жх + (і - V2 )Ж2 х2

Ж2 х2 + О (х3). (17)

= аПЬГ - УЖх + V

Таким образом,

Аґ = ■

Ґ 1 Л 1 - - V2 2

Ґ ( у2 ^

Ух-V 1

2

V V У

Жх2 + 0 (х3) / _

(18)

Мы видим, что в пределе малого ускорения движущейся системы отсчёта ответ на поставленный вопрос даётся обычной формулой

Аґ = -Ух.

(19)

Второй член в (18) является малой добавкой, ограниченной по величине. Она будет максимальной и равной

А, = -у[в Жх2 - 0,5443 Жх2 (20)

' 9

в момент, когда скорость будет равна •ч/б

V = 0,8165. (21)

Данная добавка приводит к некоторому уменьшению по абсолютной величине рассинхронизации координатных часов ускоренной системы отсчёта, синхронизированных в лабораторной

2

системе по сравнению с часами двигающейся инерциальной системы.

Рассинхронизация часов, измеряющих физическое время в ускоренной системе отсчёта.

Пусть в точке с координатой х и в начале координат ускоренной системы отсчёта размещены часы, измеряющие физическое время, причём в начальный момент времени по лабораторным часам их показания также нулевые. Возникает вопрос, каковы же будут их показания к моменту Тв сравнении друг с другом. Факт рассинхронизации часов давно известен [2. С. 17. Задача 1.17]. Разность их показаний нетрудно вычислить. Она будет определяться выражением

Дт = 1(7!-Г/-VI-Угут. (22)

Подставив сюда (5), (6), получим Дт =

1+т

■^(і + ІУх)2 + (1¥Т + $\\к)2 ^\ + (\УТ + <М)2

Хс1Т.

Интегрирование даёт

(23)

Дт =

1 + РУх , +

агеп-

IV

1 + Жх

(24)

Ответ более удобно записать через гиперболические ареатангенсы

Ах =

1 + Шх Ж

агйі

\УТ + $\\к

,](1 + 1¥х)2+(1¥Т + 5Ък)2

1 , ]УТ + $Ы

------агш .

Ш ^1 + (1¥Т + 8Ьк)2

т=т

/

т=о

.(25)

Обратим внимание, что функция под знаком первого ареатангенса является скоростью (5) переднего конца стержня, а под знаком второго ареатангенса — скоростью (6) заднего конца. Поэтому можно также переписать это уравнение в виде

Дт =

1 + Жх

1

агйі V-----------аііН V

]¥ х Ж

т=т

/ -(26)

т=о

Учитывая (8), можно получить другую форму этого выражения:

Дт =

1 + 1Ух Ж

агЛ

^1 + 2Ж(і-К2)х + Ж2(і-Г2)х2

—агйі V IV

у=у

/

У=У0

(27)

Раскладывая в ряд гиперболический ареатан-генс по степеням малых х, нетрудно найти, что

г , л У=У

Дх =

1 ^

х(аПЪГ-Г)—х2Г3Ж + 0(х3) / .(28)

2 ) у=уп

Если пренебрегать членами порядка х2, то

У=У

Ах = х(аПЪУ-V) I . (29)

У=У0

Если к тому же пренебречь ещё и степенями скорости V выше, чем третья, то, разлагая в ряд агШ, получим в формуле (29), что

к=к

Дт = -хК3 / . (30)

•* У=У0

Формулу (29) из других соображений получил также В. Сулима (интернет-сообщение).

Эффект неоднородности хода физического времени в ускоренной системе отсчёта, с точки зрения лабораторной инерциальной системы отсчёта, и эффект гравитационного замедления времени в области с более сильным гравитационным потенциалом связаны друг с другом. Один из этих эффектов (например, первый) может быть получен из другого (например, второго). Действительно, две пары одновременных событий, произошедшие в момент Т по часам лабораторной инерциальной системы отсчёта (когда были сняты конечные показания передних и задних часов) и в момент Т = 0 (когда были сняты начальные показания), будут происходить в разное время по часам ускоренной системы отсчёта. Рассмотрим сначала события, заключающиеся в определении конечных и начальных показаний передних часов. Эти события произошли согласно (13) соответственно в моменты

tx (Т )=— xV ’ w

arth

WT + shk

^(1 + Wx )2 + (WT + shk )

г - k

(31)

t* (0 ) = -

xW W

arth

shk

yj( 1 + Wx )2 + sh2k

(32)

так, что координатного времени прошло между событиями

А* = *х (Т)- Ч (0) = (аПЪГх - аПЪГх (0)). (33)

Физического же времени в точке х ускоренной системе отсчёта прошло в 1 + Жх раз больше, чем координатного, поэтому между снятием показаний у передних часов всего прошло времени

Лтх = (1 + Жх )х

х( <х (Т )->х ( 0)) =

1 + Жх,

W

-(arthV* (T)- arth Vx (0)). (34)

Аналогично этому, между снятием показаний у задних часов (х = 0) прошло времени

Атс - (0 (Т)- (0 (0) -= W (arthFo (T)-arthVo (0)).

(35)

Таким образом, общая разница во времени между передними и задними часами равна

Дт =

1 + Wx

1

arth Vx (T)--------arth V0 (T)

W W

\

+ wx 1

arth Vx (0)----------arthV0 (0)

W

W

(36)

а это и есть формула (27).

В заключение кратко остановимся на области применимости полученных формул. Те же самые рассуждения, что и в [1], приводят к выводу о том, что разложение (18) должно быть справедливо для произвольного закона движения, а не только для равноускоренного. Единственным ограничением такого движения выступает лишь его достаточная плавность, без резких скачков в собственном ускорении. Таким образом, для часов, находящихся в прямолинейно двигающейся системе отсчёта, величина координатной рассинхронизации не зависит от закона движения системы отсчёта, а только от ве-

личины её скорости и собственного ускорения в данный момент времени. Что касается интегрального эффекта рассинхронизации часов, измеряющих физическое время, то формулы (28), (29), описывающие этот эффект, полезны в том случае, если каким-то образом удастся обеспечить постоянство положения этих часов в произвольно ускоренной системе отсчёта. Это возможно, если заранее известна функция, по которой меняется собственное ускорение системы отсчёта. В таком случае, заранее придавая часам компенсирующее ускорение в момент изменения собственного ускорения, в принципе можно добиться постоянства их координат. Хотя обычно таким способом постоянство координат часов обеспечить и не удаётся, но для достаточно жёсткого материала, из которого изготовлены оси координат произвольно ускоренной системы отсчёта и для достаточно малой координаты стержня x (х << cW/W') деформационная скорость точки х системы координат, вызванная слабо меняющимся собственным ускорением W', будет v~x2W' / c2 (т. е. второго порядка по х), а смещение относительно начала отсчёта будет Дх ~ v • x / c = x3W / c3 (т. е. третьего порядка по х). Ими, следовательно, можно будет пренебречь, так что формула (28) и тем более (29) имеют смысл. В любом случае конкретные заключения о степени общности данных формул возможны будут только после получения общих формул преобразования координат события в произвольно ускоренную систему отсчёта.

Выводы. В данной статье получены следующие эффекты:

1) уменьшение величины координатной рассинхронизации событий в разгоняющейся ускоренной (WV = WV) системе отсчёта, произошедших в одно время в лабораторной системе по сравнению с рассинхронизацией в сопутствующей инерциальной системе;

2) рассинхронизация часов, измеряющих физическое время в ускоренной системе отсчёта за время её движения.

Учитывая результаты [1], можно сделать вывод о том, что ускорение влияет вообще на все известные релятивистские эффекты. Эффект неоднородности прямолинейного равноускоренно -го движения точек системы координат ускоренной системы отсчёта важен, так как он является одной из определяющих причин такого влияния. Весьма вероятно, что релятивистские эффекты (18), (28) справедливы не только для равномерно

и

ускоренного движения, но и для произвольного, плавного, без резких скачков в собственном ускорении движения.

Среди всех рассмотренных эффектов практически наиболее интересен эффект рассинхронизации физических часов (29), так как он является интегральным эффектом, вообще не зависящим от ускорения. Вследствие этого он будет, видимо, наиболее легко установлен экспериментально. Всё же остальные эффекты пропорциональны собственному ускорению и, значит, являют-

ся эффектами второго порядка по 1/с. Возможно, и они будут обнаружены в будущем.

Список литературы

1. Войтик, В. В. О влиянии ускорения на прямолинейное движение жёсткого стержня. 1. Длина и скорость / В. В. Войтик // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2011. № 7 (222). Физика. Вып. 9. С. 44-49.

2. Лайтман, А. Сборник задач по теории относительности и гравитации / А. Лайтман, В. Пресс, Р. Прайс, С. Тюкольски. М. : Мир, 1979.