CC BY
26
УДК 512.533
ЗЯБЛИЦЕВА Лариса Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имениМ.В. Ломоносова. Автор 30 научных публикаций, в т. ч. двух учебных пособий и одной монографии
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУРЕШЕТКИ ПОЛУГРУПП ПРАВЫХ НУЛЕЙ
ПОЛУГРУППОЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
При изучении полугруппы для выяснения ее структуры удобно рассмотреть точное представление этой полугруппы полугруппой преобразований. В этом случае элементы полугруппы можно представить в виде соответствующих им преобразований. В некоторых случаях, когда полугруппа устроена достаточно сложно, такое представление может быть единственным простым способом ее описания.
В статье рассмотрена полугруппа идемпотентов S, являющаяся полурешеткой п полугрупп правых нулей. Ранее автором изучены точные матричные представления этой полугруппы, при этом рассматривались и соответствующие полугруппы преобразований, но не всей полугруппы S, а только преобразования подполугруппы, являющейся минимальным идеалом этой полугруппы. В настоящей работе доказано, что гомоморфизм Р: 5 ^ 3 (5), действующий по правилу: Р(и) = Ри (Ри - правый сдвиг, соответствующий элементу и е 5), является точным представлением полугруппы 5 полугруппой преобразований, а также изучен вид элементов, полученных при этом отображении.
Ключевые слова: полугруппа идемпотентов, полурешетка, представление полугрупп, полугруппа преобразований.
Рассмотрим основные определения, используемые в статье.
Элемент х полугруппы называется идем-потентом, если х2 = х. Полугруппу, каждый элемент которой является идемпотентом, называют полугруппой идемпотентов, а также связкой. Коммутативная связка называется по-
лурешеткой. Полугруппа 5, в которой для любых элементов х и у справедливо: х • у • х = х, называется прямоугольной полугруппой.
Известно, что любая полугруппа идемпотентов является полурешеткой прямоугольных полугрупп [1]. Это очень важный факт, проясняющий структуру такой полугруппы,
© Зяблицева Л.В., 2014
т. к. хорошо известны строение и свойства по-лурешеток и прямоугольных полугрупп. Но, к сожалению, для детального выяснения строения произвольной полугруппы идемпотентов этого недостаточно.
Так как прямоугольная полугруппа изоморфна прямому произведению полугруппы правых (х • у = у) и полугруппы левых (х • у = = х) нулей [1], то рассмотрим полугруппу £, являющуюся полурешеткой п полугрупп правых
п
нулей: £ = и и,. В дальнейшем выводы, сделанные для такой полугруппы, можно будет использовать и для произвольной связки.
Для изучения полугрупп удобнее всего в качестве преобразований рассматривать правые или левые сдвиги. Каждому элементу а е £ поставим в соответствие два преобразования Ра, ха, переводящие £ в £, по правилу:
V х е £: Ра (х) = х • а; Xа (х) = а • х.
Ха (Ра) называется левым (правым) внутренним сдвигом полугруппы S, соответствующим элементу a е £ Для полурешетки полугрупп правых нулей будем использовать правые сдвиги.
Так как (V х е £) (ра рь )(х) = хаЬ = раь (х), то ра рь = раь. Значит, отображение, ставящее в соответствие элементу а полугруппы его правый сдвиг р а, будет гомоморфизмом полугруппы £ в полугруппу преобразований 3 (£).
Будем в дальнейшем обозначать элементы из и, символами ы а в некоторых случаях -символами и. или просто а, Ь, ы, если известно, о какой именно подполугруппе идет речь.
Запишем правый сдвиг элемента ы. следующим образом: ри =
ljk
U jk Ui
Или, если обозначить: uk =
u, • u , то
jk i
pu
...u
Jk
Предложение 1. Для полугруппы £, являющейся полурешеткой п полугрупп правых ну-
лей, гомоморфизм F : S ^ 3 (S), действующий по правилу: F(u) = pu, является точным представлением полугруппы S полугруппой преобразований.
Доказательство. Пусть полугруппа
П
S = U Ui является полурешеткой п полугрупп
i=1
правых нулей. Известно, что F - гомоморфизм. Он является точным представлением полугруппы S полугруппой преобразований в случае, если из того, что для любых s, t е S если ps = pt , то s = t.
Докажем сначала, что если ps = pt, то s и t принадлежат одной подполугруппе Ui. Предположим противное.
Пусть ps = pt, s е U, t е Uj, i Ф j. Рассмотрим, как ps и pt действуют на элементы
из подполугруппы U. и и ■. Пусть u; е U;,
ij
UJ е U ■. ,
ps (ui) = ui е Ui. Поэтому pt (ui) = ui, а это означает, что U. = inf (U. , U j).
Аналогично pt (u) = uj е U, значит, ps ( u) = u ■, т. е. U = inf (U., U). Это противо-
J J . J
речит тому, что i Ф J.
Итак, если ps = pt, то s и t принадлежат одной подполугруппе U..
Пусть теперь s и t принадлежат одной подполугруппе U.. Докажем, что если в этом случае s ф t, то ps ф pt .
Рассмотрим, как ps и pt действуют на элементы s и t.
ps (s) = s • s = s, pi (s) = s • t = t. Т к. s Ф t, то ps (s) Ф pt (s), а значит, ps Ф pt.
Предложение доказано.
Из утверждения предложения 1 следует, что полугруппа S, являющаяся полурешеткой п полугрупп правых нулей, изоморфна подполугруппе полугруппы преобразований 3 (S), состоящей из правых сдвигов элементов полугруппы S.
Поэтому, изучая данную подполугруппу, можно считать, что мы изучаем полугруппу £ Сразу рассматривать общий случай сложно. Поэтому для начала максимально упростим задачу. Будем рассматривать связку, являющуюся полурешеткой двух полугрупп правых нулей и и и2 с минимальным идеалом и1. Обозначим эту полугруппу (1). Ранее [2, с. 49] доказано следующее утверждение:
Предложение 2. Если £ - полурешетка двух полугрупп правых нулей, гомоморфизм Е : £ ^ 3 (£) действует следующим образом: если для любого и е £ Е(и) = Ри, то для произвольных и2 и и2 е и2 разбиения полугруппы и1, которые задаются соответствующими им правыми сдвигами, совпадают.
Далее рассмотрим случай, когда £ = и1 ^ и2 и из, и. - полугруппы правых нулей, и1,
и, и и2, и, и из являются собственными идеалами в полугруппе £. Обозначим эту полугруппу (2).
В такой полугруппе произведение любых элементов принадлежит полугруппе и1. Снова
выясним, какой вид имеют ри1, ри2 , ри3, где
и. є и.. Ранее уже было показано, что Ри1 _
£
на
Рассмотрим далее, как действует р элементы полугрупп и1, и2 и из:
V х е и1: ри2 (х) = х и2 = и1,
V х е и2: ри2 (х) = х и2= и2,
V х е из: ри2 (х) = х и2= и1.
Т. е. при действии ри2 на элементы из и2
каждый раз получаем элемент и2, при действии на элементы из и1 получаем некоторый элемент из и1, при действии на элементы из из получаем некоторый элемент из и1.
Собираем все элементы из и1, которые отображаются в один элемент, собираем все элементы из из, которые отображаются в один элемент, и запишем преобразование, соответ-
ствующее элементу из и2 (в верхней строке сначала идут элементы из и1, затем элементы из и2, затем - из из):
и,
V и11
и
1к
и и
и,
•ч* •••/
где иік = {и є и1 |и • и2 = и1к}, изк = {и є из |и
хи, = и' }.
2 1к
Аналогично находится преобразование, соответствующее элементу из из:
и,
и,
и.
и.
и,
л1к
А3 )
где и1 к = {и е и1 |и • из = и1 к } и2к = {и е и2 |иХ
Хиз = и1к }.
Очевидно, что и1 и и2 является подполугруппой полугруппы £, поэтому, по предложению 2, для любых элементов и2 и и 2 разбиения полугруппы и1, которые задаются соответствующими им правыми сдвигами, совпадают. Рассмотрим, как связаны разбиения для элементов различных подполугрупп и2 и из. На этот вопрос отвечает следующее доказанное предложение [2, с. 50].
Предложение 3. Пусть в полугруппе (2) и2 е и2, из е из. Для соответствующих этим элементам правых сдвигов
Ри2 =
и„
чи11
'и'
V иіі
и
1к
и
1к
и,
и и
и
и
и
и
и
и
и
справедливо: существует 7 такое, что верно
иш -, иш
є И1., и существует і такое, что
иі *, - є иі..
верно и11,
Предложение 4. В полугруппе вида (2) разбиения полугруппы из, порождаемые правыми сдвигами элементов и2, и 2 е и2, совпадают.
Доказательство. Предположим противное. Рассмотрим правые сдвиги, соответствующие
X
элементам и2, и2 е и2 и и3 е из. Запишем их следующим образом:
Ри,
Ри', =
Рщ
'ИП . . . . И 2 Из1 И* \
, и11 . . ии . . и2 а11 а15 "V
X . .. Ии . . И 2 Из1 И* \
, и11 . .. ии . . и2 Ь11 ь18 "V
ч . . И\к . .. И21 И 2t Из >
V ип . . и1к . .. С11 С» из у
Пусть ри2 задает разбиение X полугруппы из (из = У из), а ри2 задает разбиение X подполугруппы из (из = ииз>). Т. к. разбиения не совпадают, то существуют из, и^ е из такие, что из X и' и из не находится в отношении х
с из .
числа полугрупп правых нулей, рассмотрим случай, когда £ является цепью из трех полугрупп правых нулей.
Итак, пусть £ = Ц У и, из, и. - полу-
группы правых нулей, И1, И1 ^ И, являются собственными идеалами в полугруппе £. Обозначим эту полугруппу (з).
Для доказательства предложения снова рассмотрим общий вид правых сдвигов, соответствующих элементам из подполугрупп И1, И,,
Из. Для элемента и1 е И1 верно: ри1 =
^£Л
V и1 у
Пусть из, из е Изк, из е из,, и: е s Ф р.
Известно, что для и,, и 2 е И, верно: и, и, = = и 2.
Тогда ри,и', = ри',. Значит, для любого х е £ верно: ри2 ри2 (х) = ри:, (х).
Найдем ри'2 (из). Т. к. из е И5, то Ри, (из) = = Ьи. С другой стороны, ри2 ри'2 (из) = ри', (ри,
(из)) = ри:, (а1к) (т. к. из е Изк).
Аналогично подействуем двумя преобразованиями на элемент и з.
ри:2 (из) = Ъ т. к. из е изр. С другой стороны, ри, ри', (из) = ри', (ри, (из)) = ри:, (а1к) (т. к. и з е Изк).
Мы видим, что ри, ри', (из) = Ри, Ри:2 (из), значит, ри'2 (из) = ри:2 (из). Но Ъъ Ф Ъ1р, т. к. 5 Ф р. Полученное противоречие доказывает предложение.
Для того чтобы перейти к случаю, когда полугруппа £ является полурешеткой конечного
Найдем общий вид ри . Посмотрим, в какие элементы переходят при данном преобразовании элементы полугрупп И1, И,, Из:
V х е И1: ри2 (х) = х • и, = ир
V х е И,: ри, (х) = х • и2 = и,,
V х е Из: Ри, (х) = х • и2 = (х • и,) и,= и2 х
Х и2= и,.
Поэтому Ри имеет следующий вид: Ри, =
И
v ии
И,
И И
“15 “2 “з /
Обозначим символом Х2 эквивалентность, делящую И1 на классы эквивалентности И1;. Аналогично рассмотрим Риз.
V х е И1: Риз (х) = х • из = и1,
з
х • из = и
V х е И,: Р% (х) =
V х е Из: Риз (х) = х • из = из.
Поэтому Риз имеет
И,
И
U2,
из.
вид: Риз
И* ... Из ^
и2к ... и з у
*15 21
Обозначим символом Хз эквивалентность, делящую И1 на классы эквивалентности И1.. Рассмотрим, как связаны разбиения х2 и %3. Предложение 5. Пусть в полугруппе (з) и, е И2, из е Из. Для соответствующих этим
элементам правых сдвигов Ри2, Р% разбиение %3 является подразбиением Х2.
Доказательство. Докажем: (V х, у е и1) (х Хз у ^ х %2 у ).
Пусть существуют элементы х, у е и такие, что х Х3 у, но х не находится в отношении Х2 с у.
Пусть х, у е и1,, х е иу, у е и1к, ] Ф к.
Известно: и3 • и2 = и2.
Тогда V и1 е и1 верно: и1 (и3 • и2) = и1 и2.
Введем следующие обозначения. рик - это правый сдвиг, соответствующий элементу ик е ик. Будем считать, что правые сдвиги, соответствующие всем элементам полугруппы Б, имеют конечный ранг (т. е. число различных элементов нижней строки преобразования конечно). Это ограничение необходимо лишь для удобства записи, в доказательствах никакой роли не играет.
Следующим образом запишем правый сдвиг для элемента ик:
( S' ( Sл Uk ii ■ Ukk, U2, . Uk . 2k2 . Uk . . К Uk 1 - nk„
правые сдвиги: . Puk — uki ■ ukk, ui,i . . ukk 2k2 u k . . uj, ■■ uk_
v x. v Уу V
Найдем P(xu3)u2. Пусть ui, е U
' S S Ui, J (... Uip J ( S 1
v x у V- ui, V- uip - v uipу
Найдем px(u3u2), зная, что x • (u3- u2) = x • u2.
. Значит, p = j.
(S1 r... Uj > ( S л
x uij v uV у
pxu2 —
Аналогично, если мы возьмем элемент у е и1, то, используя равенство у • (и^ и2) = = у • и2, получим: р = к. Значит,] = к.
Полученное противоречие доказывает предложение.
Теперь перейдем к полугруппе идемпотен-тов Б, являющейся полурешеткой п полугрупп
правых нулей: Б = ^и,.. Обозначим эту полугруппу (4). ’=1
Из утверждения предложения 1 следует, что полугруппа Б, являющаяся полурешеткой п полугрупп правых нулей, изоморфна подполугруппе полугруппы преобразований 3 (Б), состоящей из правых сдвигов элементов полугруппы Б.
Рассмотрим для элементов полугруппы Б соответствующие им правые сдвиги.
Здесь U = inf (Uk, Uj).
puk делит каждую из подгрупп U. на классы эквивалентности Uk , ••• , Uk . Обозначим соответствующую эквивалентность символом
xk (uk).
Возникает вопрос: не совпадают ли разбиения U. для различных элементов uk, uk е Uk? Ответ на него дает следующее предложение.
Предложение 6. В полугруппе S вида (4) для любой подполугруппы Uk и для любой подполугруппы U. разбиения U, порождаемые правыми сдвигами элементов uk, uk е Uk, совпадают.
Доказательство. Пусть U - минимальный идеал полугруппы S. Докажем сначала утверждение предложения для элементов полугруппы Uj. Для элементов этой полугруппы верно: (V x е S) puj (x) = x • uj = (x • u^- uj = uj
u = u
v ui у
Поэтому ри
Т. е. для любого элемента из и1 утверждение справедливо: любую подполугруппу правый сдвиг любого элемента разбивает на единственный класс - саму подполугруппу.
Аналогично можно отдельно рассмотреть случай , = к. В этом случае также все элементы
Ц при преобразовании р% переходят в один элемент ик, т. е. также правый сдвиг любого элемента разбивает Ц на единственный класс -саму подполугруппу.
Пусть теперь элементы ик, и' е и,, к ф 1.
Вернемся к произвольной полугруппе S, являющейся полурешеткой п полугрупп правых нулей ик, к = 1, п .
Поставим в соответствие полугруппам Ц изоморфные им полугруппы преобразований
К-
Puk =
Uk 11
Uk
'“'її,
Uk
Uk
і;
Uk
u,.
и,
uk,
Uk.
Для произвольной подполугруппы U. (i ф к) по- Элементы из полугруппы Rk имеют вид :
кажем, что разбиения X (ик) и %k (uк) совпадают.
Для подполугрупп U. и Uk возможны различные случаи:
1) U = inf (и, Uk);
2) Uk = inf (U, Uk);
3) U5_5 = inf (U., Uk), 5 ф i, 5 ф к.
Рассмотрим эти случаи.
В первом случае имеем подполугруппу U.
Uk с минимальным идеалом U.. Для такой
полугруппы в предложении 2 было показано, что разбиения подполугруппы U., порожденные правыми сдвигами элементов uk, uk е Uk, совпадают.
Во втором случае имеем подполугруппу U U Uk с минимальным идеалом Uk. Выясним, как для произвольных элементов uk, uk е Uk соответствующие им правые сдвиги действуют на элементы из подполугруппы Ui.
(V u. е U) Puk( Ц) = U • uk = (U • uk> uk= Uk • uk=
= uk, т. е. все элементы из U. переходят в один элемент. Это означает, что есть лишь один класс разбиения подполугруппы U. - сама подполугруппа.
В третьем случае рассмотрим подполугруппу U. Uk^) U5 полугруппы S. В предложе-
нии 4 было доказано, что в такой полугруппе разбиения подполугруппы U , порождаемые правыми сдвигами элементов uk, uk е Uk, совпадают.
Итак, доказано, что для всех случаев утверждение предложения справедливо.
Из предложения следует, что для разбиения
. к
(ик) не обязательно указывать элемент, правым сдвигом которого задается разбиение. Поэтому будем в дальнейшем писать просто %к.
Рассмотрим теперь, как связаны разбиения полугруппы U , порожденные правыми сдвигами элементов, принадлежащих различным подполугруппам.
Предложение 7. В полурешетке n полу-
n
групп правых нулей S = UU . для разбиений
1=1
Х , Xj (k Ф j) подполугруппы U, порожденных правыми сдвигами элементов из полугрупп Uk, Uj, справедливы следующие утверждения:
1) если одна из полугрупп Uk, Uj является их точной нижней гранью или Uk = inf (U., Uk) или Uj = inf (U., Uj), то одно из разбиений является подразбиением другого;
2) если U5 = inf (Uk, Uj), 5 ф j, 5 Ф k, Uk Ф inf (U, Uk), Uj Ф inf (U, Uj), то разбиения подполугруппы U., порожденные правыми сдвигами элементов uk, uj из полугрупп Uk, Uj, не связаны между собой, но при этом все образы элементов подполугруппы U при правом сдвиге любого элемента из полугруппы Uk принадлежат одному классу разбиения Xj (и наоборот).
Доказательство. Докажем сначала утверждение 1.
Рассмотрим наиболее простые случаи. Пусть, к примеру, . = j. Тогда Xj делит U. на единственный класс - саму полугруппу, а значит, xk - подразбиение Xj. Аналогично рассматривается случай, когда = k.
Пусть, далее, Uk = inf (U., Uk). Тогда для любых элементов u , uk, принадлежащих подполугруппам U., Uk соответственно, верно: u. • uk =
=(u • uk) • uk = uk • uk = u k. Поэтому puk (ui) = uk-
Это означает, что Xk разбивает U на единственный класс - саму полугруппу. Т. к. X j -это подразбиение U., то в этом случае утверждение предложения также справедливо.
Рассмотрим теперь наиболее трудоемкий случай. Пусть, к примеру, Uk = inf (U, Uk). Подполугруппа U по-разному может быть расположена по отношению к этим полугруппам. А именно, из этих трех подполугрупп может образоваться цепь (это будет выполняться, если для любых двух из этих подполугрупп одна из них является их точной нижней гранью). Обозначим этот случай 1’. Во втором случае они не будут образовывать цепи (случай 2’) .
1’. Рассмотрим случай, когда три подполугруппы образуют цепь. Этот случай, в свою очередь, распадается на три подслучая относительно расположения полугруппы U : она может располагаться внизу (случай а), в середине (случай б) и вверху цепочки (случай в).
Рассмотрим случай а. В этом случае в предложении 5 доказывалось, что разбиение Xj является подразбиением Xk .
В случае б Uk = inf ( Uk, U). Этот случай был рассмотрен выше.
В случае в легко показать, что %k и Xi разбивает U. на единственный класс - саму подполугруппу, т. е. в этом случае утверждение предложения также справедливо.
2’. Далее рассмотрим случай, когда цепи из трех полугрупп не образуется. Этот случай, в свою очередь, распадается на два подслучая. Пусть Us = inf (U., U).
Варианты могут быть следующими:
а) U = inf (Uk, U), б) Uk = inf (Uk, U). Рассмотрим их.
а) В этом случае X,- делит U. на классы эквивалентности. То, что в этом случае xj является подразбиением Xk , доказывается аналогично доказательству предложения 5.
б) В этом случае легко показать, что x разбивает U на единственный класс - саму подполугруппу, а т. к. XІ разбиение U., то все выполнено.
Итак, утверждение 1 доказано.
Утверждение 2 доказывается аналогично доказательству предложения 3.
Список литературы
1. Артамонов В.А., Салий В.Н., Скорняков Л.А. Общая алгебра. М., 1991.
2. Зяблицева Л.В. Точные матричные представления связок, являющихся полурешетками полугрупп правых нулей // Совр. алгебра. Вып. 3(33). Ростов н/Д., 1998. С. 48-55.
References
1. Artamonov V.A., Saliy V.N., Skornyakov L.A. Obshchaya algebra [General Algebra]. Moscow, 1991.
2. Zyablitseva L.V. Tochnye matrichnye predstavleniya svyazok, yavlyayushchikhsya polureshetkami polugrupp pravykh nuley [Accurate Matrix Representations of Bands Being Semilattices of Right Zero Semigroups]. Sovremennaya algebra [Modern Algebra]. Iss. 3 (33). Rostov-on-Don, 1998, pp. 48-55.
Zyablitseva Larisa Vladimirovna
Institute of Mathematics, Information and Space Technologies, Northern (Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov (Arkhangelsk, Russia)
REPRESENTATION OF SEMILATTICE OF RIGHT ZERO SEMIGROUPS BY TRANSFORMATION SEMIGROUP
Studying a semigroup to determine its structure, it would be convenient to consider the accurate representation of this semigroup by transformation semigroup. In this case, semigroup elements can be presented in the form of corresponding transformations. In some cases, when the semigroup is rather sophisticated, this representation can be the only easy way to describe it.
The paper considers the idempotent semigroup S, which is a semilattice n of right zero semigroups. Earlier the author had studied the exact matrix representations of this semigroup and the corresponding transformation semigroups, though not of the entire semigroup S but only the transformations of the subsemigroup, which is the minimal ideal of this semigroup. The paper proves that homomorphism F: S ^ 3 (S), acting by the rule: F(u) = pu (pu - right shift corresponding to the element u е S) is a faithful representation of the semigroup S by transformation semigroup. In addition, the author has studied the type of elements obtained at this mapping.
Keywords: idempotent semigroup, semilattice, representation of semigroups, transformation semigroup.
Контактная информация: адрес: 163060, г. Архангельск, ул. Урицкого, д. 68-в;
e-mail: zlarisav@yandex.ru
Рецензент - Андреев П.Д., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова
