CC BY
8
УДК 512.53
doi:10.21685/2072-3040-2022-1-4
Представление полугрупп правых нулей и их полурешеток полугруппой преобразований
Л. В. Зяблицева1, С. Ю. Корабельщикова2, Т. В. Данилова3
1,2Северный (Арктический) федеральный университет
имени М. В. Ломоносова, Архангельск, Россия 3Гимназия № 3 имени К. П. Гемп, Архангельск, Россия
1zlarisav@yandex.m, 2s.korabelsschikova@narfu.ru, ЧЛат^а@пагГи.т
Аннотация. Актуальность и цели. Как известно, произвольная полугруппа может быть представлена полугруппой преобразований, являющихся правыми сдвигами либо в самой этой полугруппе, либо в расширенной полугруппе, полученной из исходной добавлением внешней единицы. Актуальными на данный момент являются задачи нахождения всех возможных представлений данной полугруппы, а также приложения полученных теоретических результатов. Изучены полугруппы идемпотентов S, являющиеся полурешеткой конечного числа полугрупп правых нулей. Ранее одним из авторов изучались точные матричные представления таких полугрупп, при этом рассматривались и соответствующие полугруппы преобразований ее подполугруппы, являющейся минимальным идеалом в & Целью данной работы является применение теоретических исследований в области теории представлений полугрупп для оценки числа полугрупп правых нулей и их полурешеток и получения нового полугруппового инварианта. Материалы и методы. Используются общие методы анализа и синтеза, также применяются специальные методы теории полугрупп: метод установления гомоморфизма, метод разложения полугруппы идемпотентов в полурешетку прямоугольных полугрупп, метод разбиений. Для получения количественных оценок используется метод компьютерного моделирования. Результаты. Рассмотрена полугруппа идемпотентов S, являющаяся полурешеткой конечного числа полугрупп правых нулей. Предъявлено точное представление полугруппы S полугруппой преобразований. Найдена числовая последовательность, являющаяся полным инвариантом полугруппы & На основании полученного представления дана общая оценка числа неизоморфных полурешеток двух полугрупп правых нулей. Для полугрупп порядка от 2 до 20 приведена таблица результатов работы программы. На примере продемонстрирована их согласованность с теоретическими выводами. Выводы. Полученные результаты могут быть использованы для установления изоморфизма полугрупп, так как позволяют отсечь неподходящие варианты. Отметим несимметричность полученных результатов и тот факт, что при к > т Ыкт всегда больше, чем Ытк. Это означает, что для полугруппы фиксированного порядка, если число элементов в первой полугруппе, являющейся минимальным идеалом, больше, чем во второй, то число неизоморфных полурешеток рассматриваемого вида больше, чем в противоположном случае.
Ключевые слова: полугруппа идемпотентов, полурешетка, представление полугрупп, полугруппа преобразований
Для цитирования: Зяблицева Л. В., Корабельщикова С. Ю., Данилова Т. В. Представление полугрупп правых нулей и их полурешеток полугруппой преобразований // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 1. С. 33-44. doi:10.21685/2072-3040-2022-1-4
© Зяблицева Л. В., Корабельщикова С. Ю., Данилова Т. В., 2022. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
Representation of right zero semigroups and their semilattices by a transformation semigroup
L.V. Zyablitseva1, S.Yu. Korabel'shchikova2, T.V. Danilova3
1,2 Northern (Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov, Arkhangelsk, Russia 3 Gymnasium No. 3 named after K.P. Gemp, Arkhangelsk, Russia 1zlarisav@yandex.ru, 2s.korabelsschikova@narfu.ru, 3tdanilova@narfu.ru
Abstract. Background. As is known, an arbitrary semigroup can be represented by a semigroup of transformations that are right shifts either in this semigroup itself or in the extended semigroup obtained from the original one by adding an outer unit. The problems of finding all possible representations of a given semigroup, as well as applying the obtained theoretical results are being relevant. We studied semigroups of idempotents S, which are a semilattice of a finite number of semigroups of right zeros. Previously, one of the authors studied the exact matrix representations of such semigroups, while also considering the corresponding transformation semigroups of its subsemigroup, which is a minimal ideal in S. The purpose of this work is to apply theoretical research in the field of representation theory of semigroups to estimate the number of right zero semigroups and their semilattices and obtain a new semigroup invariant. Materials and methods. The work uses general methods of analysis and synthesis. Special methods of the theory of semigroups are also used: the method of establishing a ho-momorphism, the method of decomposing a semigroup of idempotents into a semilattice of rectangular semigroups, the method of partitions. To obtain quantitative estimates, a computer simulation method is used. Results. The study considers an idempotent semigroup S, which is a semilattice of a finite number of right zero semigroups. An exact representation of the semigroup S by a transformation semigroup is presented. A numerical sequence is found that is a complete invariant of the semigroup S. Based on the representation obtained, a general estimate is given for the number of nonisomorphic semilattices of two semigroups of right zeros. For semigroups of order from 2 to 20, a table of program results is given. An example demonstrates their consistency with theoretical conclusions. Conclusions. The results obtained can be used to establish the isomorphism of semigroups, since they allow cutting out inappropriate variants. We have to note that the asymmetry of the obtained results and the fact that for k>m Nkm is always bigger than for Nmk. This means that, for a semigroup of a fixed order, if the number of elements in the first semigroup, which is a minimal ideal, is greater than in the second, then the number of nonisomorphic semilattices of the type under consideration is greater than in the opposite case.
Keywords: semigroup of idempotents, semilattice, representation of semigroups, semigroup of transformations
For citation: Zyablitseva L.V., Korabel'shchikova S.Yu., Danilova T.V. Representation of right zero semigroups and their semilattices by a transformation semigroup. Izvestiya
vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2022;(1):33-44. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2022-1-4
Введение
Как известно из работ А. К. Сушкевича [1], относящихся к 40-м гг. XX в., произвольная полугруппа может быть представлена с помощью гомоморфизма полугруппой преобразований, являющихся правыми сдвигами либо в самой этой полугруппе, либо в расширенной полугруппе, полученной из исходной добавлением внешней единицы. Актуальными на данный момент являются задачи нахождения всех возможных представлений данной полугруппы, а также приложения полученных теоретических результатов.
Понятия изоморфизма и гомоморфизма алгебраических систем являются важнейшими понятиями современной алгебры. Проблема изоморфизма конечных алгебраических систем в некоторых случаях решается тривиально. Например, два конечных поля изоморфны тогда и только тогда, когда имеют одинаковую мощность. Для конечных полугрупп проблема изоморфизма -актуальная проблема, тесно связанная с проблемой изоморфизма конечных графов, для решения которой до сих пор не известно полиномиальных алгоритмов. Современные подходы к решению этой проблемы для полугрупп можно найти в работах [2, 3], для графов - в работах [4, 5].
В данной статье изучаются полугруппы идемпотентов S, являющиеся поп
лурешеткой конечного числа полугрупп правых нулей: S = \\и1 . В дальнейшем
г=1
выводы, сделанные для такой полугруппы, можно будет использовать и для произвольной связки. Ранее одним из авторов изучались точные матричные представления таких полугрупп [6], при этом рассматривались и соответствующие полугруппы преобразований, но не всей полугруппы S, а только преобразования подполугруппы, являющейся минимальным идеалом этой полугруппы.
Известно, что любая полугруппа идемпотентов является полурешеткой прямоугольных полугрупп [7]. Этот факт проясняет структуру полугруппы идемпотентов, так как хорошо известны строение и свойства полурешеток и прямоугольных полугрупп. Свойства некоторых специальных полурешеток изучались одним из авторов в работе [8]. Определения, используемые в статье, можно найти в [7, 9].
Представление полугруппы Б полугруппой преобразований
Рассмотрим полугруппы идемпотентов S, являющиеся полурешеткой
п
конечного числа полугрупп правых нулей: S = . Найдем точное пред-
г=1
ставление таких полугрупп полугруппой преобразований, в дальнейшем вместо элементов полугрупп будем рассматривать соответствующие им преобразования. Это поможет дать оценку числа таких полугрупп.
При изучении полугрупп часто в качестве преобразований рассматривают правые или левые сдвиги. В случае полурешеток полугрупп это также оказывается очень полезным.
Каждому элементу а е S сопоставим два преобразования ра , Xа, переводящие S в S, по правилу:
(хе S) ра (х) = х • а; Ха (х) = а • х,
Ха (Ра ) называется левым (правым) внутренним сдвигом полугруппы S, соответствующим элементу а е S . Для полурешетки полугрупп правых нулей будем использовать правые сдвиги.
Так как (Vхе )(рар6 )(х) = х •а • ъ = РаЬ (х) то РаРь =РаЬ • Значт^ отображение, сопоставляющее элементу а полугруппы его правый сдвиг ра , будет гомоморфизмом полугруппы S в полугруппу преобразований I (S).
Будем в дальнейшем обозначать элементы из подполугруппы V^ символами иI, а в некоторых случаях - символами Пу или просто а,Ь,и , если
известно, о какой именно подполугруппе идет речь.
Запишем правый сдвиг элемента и{ следующим образом:
Ри, =
и jku.
и
jk
Или, если обозначить: usk = Ujk ■ и^, то ри, =
' V ••• usk
Предложение 1. Для полугруппы S, являющейся полурешеткой n полугрупп правых нулей, гомоморфизм F: S ^ 3(S), действующий по правилу
F(и) = ри , является точным представлением полугруппы S полугруппой преобразований.
Доказательство можно найти в [9, с. 36].
Из утверждения предложения 1 следует, что полугруппа S, являющаяся полурешеткой n полугрупп правых нулей, изоморфна подполугруппе полугруппы преобразований 3 (S), состоящей из правых сдвигов элементов полугруппы S.
Поэтому, изучая данную подполугруппу, можно считать, что мы изучаем полугруппу S.
Оценка числа полурешеток полугрупп правых нулей
Сразу рассматривать общий случай сложно. Поэтому для начала максимально упростим задачу. Будем рассматривать связку, являющуюся полурешеткой двух полугрупп правых нулей Uj и U2 с минимальным идеалом Uj. Ранее [9, с. 49] доказано следующее утверждение.
Предложение 2. Пусть S - полурешетка двух полугрупп правых нулей, гомоморфизм F: S ^ 3(S) действует следующим образом: для любого
и е S F (и ) = ри. Тогда для произвольных U21 и U22 eU2 разбиения полугруппы Uj, которые задаются соответствующими им правыми сдвигами, совпадают.
Поясним это утверждение на примерах.
Пример 1.
Рассмотрим полугруппу идемпотентов, которая является полурешеткой двух полугрупп правых нулей Uj и U2 с минимальным идеалом Uj. Пусть полугруппа Uj состоит из трех элементов: oq , aj, 02, полугруппа U2 состоит из двух элементов: 03, 04 . Известно, как задана операция в подполугруппах Uj и U2, а также известно, что при умножении элемента a из U2 на элемент b из Uj получится b (так как ab = abb = (ab)b = bjb = b). Поэтому при составлении таблицы Кэли остаются незаполненными 6 ячеек: результат умножения элементов из Uj на элементы из U2 . Для нахождения всех полу-
групп была написана программа, которая находит все искомые полугруппы, затем проверяет их на изоморфизм, в итоге выдает все неизоморфные полугруппы.
Для указанной полугруппы программа выдала результат: 22 полугруппы, среди них 5 различных (неизоморфных) полугрупп: р Р>, Р3, р и Р5 . Приведем таблицы Кэли этих пяти полугрупп (табл. 1).
Таблица 1
Таблицы Кэли полугрупп р — P5
Pj P2 P3
* a0 Oj a2 a3 a4 * a0 Oj a2 a3 a4 * a0 a3 a4
a0 a0 Oj a2 a0 a0 a0 a0 Oj a2 a0 a0 a0 a0 Oj a2 a0 a0
Oj a0 Oj a2 a0 a0 Oj a0 Oj a2 a0 a0 Oj a0 Oj a2 Oj Oj
02 a0 02 a0 a0 02 a0 02 02 02 02 a0 02 02 02
a3 a0 Oj a2 a3 a4 a3 a0 Oj a2 a3 a4 a3 a0 Oj a2 a3 a4
a4 a0 Oj a2 a3 a4 a4 a0 Oj a2 a3 a4 a4 a0 Oj a2 a3 a4
P4 P5
* a0 Oj a2 a3 a4 * a0 Oj a2 a3 05
a0 a0 Oj a2 a0 a0 a0 a0 Oj a2 a0 Oj
Oj a0 Oj a2 Oj a2 Oj a0 Oj a2 a0 Oj
02 a0 02 02 02 a0 02 a0
a3 a0 Oj a2 a3 a4 a3 a0 Oj . a2. a3 a4
a4 a0 Oj a2 a3 a4 a4 a0 Oj a2 a3 a4
В этих пяти полугруппах отличаются только клеточные матрицы размерностью 3x2, расположенные в правом верхнем углу.
Пример 2.
Рассмотрим полугруппу идемпотентов, которая является полурешеткой двух полугрупп правых нулей Uj и U2 с минимальным идеалом Uj. И пусть теперь полугруппа Uj состоит из трех элементов: oq , aj, 02 , а полугруппа U2 также состоит из трех элементов: 03, 04 , 05 . Известно, как задана операция в подполугруппах Uj и U2, а также известно, что при умножении элемента a из U2 на элемент b из Uj получится b (так как ab = abb = (ab)b = = bib = b). Поэтому при составлении таблицы Кэли остаются незаполненными 9 ячеек: результат умножения элементов из Uj на элементы из U2 .
Для рассматриваемой полугруппы программа выдала результат: 52 полугруппы, среди них 6 различных (неизоморфных) полугрупп: Sj, S2, S3, S4, S5 и Sg . Приведем таблицы Кэли этих шести полугрупп и поясним, почему общее число равно 52.
В этих шести полугруппах отличаются только клеточные матрицы размерностью 3x3, расположенные в правом верхнем углу.
В полугруппе при умножении любого элемента из полугруппы V на элементы из V2 получается элемент а^ . В этом случае разбиение состоит из одного подмножества - самой подполугруппы V. Заметим, что всего будет еще две полугруппы, изоморфных данной (табл. 2).
Таблица 2
Таблицы Кэли полугрупп
«1 «2
* а0 а1 а2 а3 а4 а5 * а0 а1 а2 а3 а4 а5
а0 а0 а1 а2 а0 а0 а0 а0 а0 а1 а2 а0 а1 а2
а1 а0 а1 а2 а0 а0 а0 а1 а0 а1 а2 а0 а1 а2
а2 а0 а1 а2 а0 а0 а0 а2 а0 а1 а2 а0 а1 а2
а3 а0 а1 а2 а3 а4 а5 а3 а0 а1 а2 а3 а4 а5
а4 а0 а1 а2 а3 а4 а5 а4 а0 а1 а2 а3 а4 а5
а5 а0 а1 а2 а3 а4 а5 а5 а0 а1 а2 а3 а4 а5
«3 «4
* а0 а1 а2 а3 а4 а5 * а0 а1 а2 а3 а4 а5
а0 а0 а1 а2 а0 а0 а1 а0 а0 а1 а2 а0 а0 а0
а1 а0 а1 а2 а0 а0 а1 а1 а0 а1 а2 а0 а0 а0
а2 а0 а1 а2 а0 а0 а1 а2 а0 а1 а2 а0 а0 а0
а3 а0 а1 а2 а3 а4 а5 а3 а0 а1 а2 а3 а4 а5
а4 а0 а1 а2 а3 а4 а5 а4 а0 а1 а2 а3 а4 а5
а5 а0 а1 а2 а3 а4 а5 а5 а0 а1 а2 а3 а4 а5
«5 «б
* а0 а1 а2 а3 а4 а5 * а0 а1 а2 а3 а4 а5
а0 а0 а1 а2 а0 а1 а2 а0 а0 а1 а2 а0 а0 а1
а1 а0 а1 а2 а0 а1 а2 а1 а0 а1 а2 а0 а0 а1
а2 а0 а1 а2 а0 а1 а2 а2 а0 а1 а2 а0 а0 а1
а3 а0 а1 а2 а3 а4 а5 а3 а0 а1 а2 а3 а4 а5
а4 а0 а1 а2 а3 а4 а5 а4 а0 а1 а2 а3 а4 а5
а5 а0 а1 а2 а3 а4 а5 а5 а0 а1 а2 а3 а4 а5
В полугруппе «2 при умножении любого элемента из полугруппы VI на элемент а3 из V2 получается элемент а^ , на элемент а4 из V2 получается элемент а1, на элемент а^ из V2 получается элемент а2 . В этом случае разбиение состоит также из одного подмножества - самой подполугруппы VI. Заметим, что в этом случае клеточная матрица размерности 3, расположенная справа сверху, состоит из одинаковых строк. Всего есть б вариантов
строк, состоящих из различных элементов полугруппы £/1. Поэтому будет 6 полугрупп, изоморфных данной.
В полугруппе £3 при умножении любого элемента из полугруппы £1
на элементы из и2 получается элемент ао или а1. В этом случае разбиение
снова состоит из одного подмножества - самой подполугруппы £1. Заметим,
что снова клеточная матрица размерности 3, расположенная справа сверху, состоит из одинаковых строк. Но теперь в этой строке один из элементов встречается 1 раз, второй - 2 раза. Всего таких строк с использованием элементов из £1 будет 18. Поэтому будет 18 полугрупп, изоморфных данной.
В четвертой полугруппе при умножении элементов ао и а1 из полугруппы £1 на элементы из £2 получается элемент ао , при умножении элемента а2 из полугруппы £1 на элементы из £2 получается элемент а2 . В этом случае разбиение состоит из двух подмножеств - { ао, а1} и { а2 }. Заметим, что всего будет три различных разбиения полугруппы £1 , состоящих из двух подмножеств: в одном из них один элемент, в другом - два элемента, при этом для каждого из таких разбиений есть два варианта выбора образов. Поэтому будет 6 полугрупп, изоморфных данной.
Аналогичными рассуждениями получаем 18 полугрупп, изоморфных полугруппе £5 и 1 полугруппу, изоморфную полугруппе .
Таким образом, в итоге получилось 52 полугруппы.
Левые сдвиги элементов полугруппы £1 в случае принадлежности их одному классу разбиения совпадают. Поэтому можно вывести формулу для числа полугрупп для полурешетки двух полугрупп правых нулей £1 и и2 с минимальным идеалом £1. Пусть, к примеру, указанная полугруппа S является полурешеткой полугрупп правых нулей £1 и £2, состоящих из к и т элементов соответственно, %2 - это разбиение полугруппы £1 элементами из
£2. Пусть имеется ё классов разбиения %1 , в каждом из которых щ, ..., па элементов. Три клеточные матрицы в таблице Кэли известны, не определена только правая верхняя матрица размерности к. Так как левые сдвиги элементов полугруппы £1 в случае принадлежности их одному классу разбиения совпадают, то в указанной клеточной матрице строки, соответствующие этим элементам, одинаковые.
Поэтому нужно сосчитать только количество строк, соответствующих одному элементу каждого класса, затем умножить полученные значения.
Так, для приведенного примера нужно рассмотреть все разбиения, сосчитать их число, для каждого найти число полугрупп указанным способом.
Рассмотрим первое разбиение - саму полугруппу £1. Тогда нужно подсчитать количество различных строк из трех элементов, где каждый элемент выбирается из трех элементов. Таких строк 3-3-3 = 27. В нашем случае 3+6+18 = 27.
Рассмотрим второе разбиение, состоящее из двух подмножеств -{ао , ао } и { а2 }. Всего будет три различных разбиения полугруппы £1 , состоящих из двух подмножеств: в одном из них один элемент, в другом -
два элемента. В этом случае число различных строк из трех элементов: ЫФ2-2-2 = 8. Итого получаем 3-8 = 24 полугруппы. В нашем примере ^ + 6 = 24.
Рассмотрим третье разбиение, состоящее из трех подмножеств по одному элементу каждый. Такое разбиение единственно, в этом случае существует единственная строка для каждого из элементов полугруппы Uj.
Теперь поясним, почему будет всего 6 неизоморфных полугрупп. Рассмотрим произвольную полугруппу, являющуюся полурешеткой двух полугрупп правых нулей Uj и U2, элементы из U2 задают разбиение подполугруппы Uj. Расположим классы разбиения в последовательность так, что
классы разбиения в этой последовательности идут в порядке возрастания числа элементов в классах (если в двух классах одинаковое число элементов, то они расположены друг за другом). Сопоставим этой последовательности последовательность, состоящую из количества элементов в классах разбиений: n\, «2, ..., Пт. Очевидно, что если подполугруппа Uj состоит из k элементов, то k = n1+ n1+... + nm.
Пусть, к примеру, указанная полугруппа S является полурешеткой полугрупп правых нулей Uj и U2, состоящих из k и т элементов соответ-2
ственно, х - это разбиение полугруппы Uj элементами из U2 . Пусть имеется d классов разбиения х , в каждом из которых «j, ..., nd элементов. Пусть
Uj2 - это некоторый класс этого разбиения, состоящий из « элементов. Тогда правый сдвиг первого элемента полугруппы U2 переводит этот класс в один из « элементов, правый сдвиг второго - также в один из « элементов, и т.д. Но мы рассматриваем полугруппы с точностью до изоморфизма,
поэтому можно поступить следующим образом. Любой правый сдвиг элемен-
2
та полугруппы U2 переводит весь класс Ujj в один элемент. Мы можем объ-
2
единить элементы полугруппы U2, которые переводят Ujj в одинаковый элемент класса. Снова получим разбиение, уже полугруппы U2 на классы. Классы разбиения можно снова расположить в последовательность так, что классы разбиения в этой последовательности будут идти в порядке возрастания числа элементов в классах. Снова такой последовательности сопоставим последовательность чисел элементов в указанных классах. Поступим так со
всеми классами разбиения %2 . Тогда для каждого из «j, ..., «d чисел получим соответствующую последовательность: («п, «п, ..., «и); («2^ «22, ..., «2t); ...; («du «d2, ••, «dt) (здесь «rj + «r2+ •• + «rp = m для всех r). Полугруппе S, являющейся цепью двух полугрупп правых нулей Uj и U2, состоящих из k и т элементов соответственно, сопоставим последовательность: «j, («п, «п, ..., «и); «2, («и, «22, ..., «2t); ...; «d, («л, «d2, ..., «dt). Обозначим эту последовательность символом S*.
Предложение 3. Пусть S и Sj - полурешетки двух полугрупп правых нулей, состоящих из k и т элементов соответственно. Полугруппы S и Sj изоморфны тогда и только тогда, когда S* = Sj*.
Доказательство этого утверждения можно найти в [9, с. 42].
Из предложения 3 следует, что для того, чтобы посчитать количество неизоморфных полугрупп, являющихся полурешетками двух полугрупп правых нулей Uj и U2, состоящих из k и m элементов соответственно, необходимо посчитать число всех последовательностей:
«i, («ii,«12, ..., «it); П2, («21, «22, ..., «2i); ...; «d, («di, «d2, ..., «dt ) (здесь «1 + + «2+ ...+ «d = k для всех r);
«1, («и, «12, ..., «is); «2, («21, ..., «2t); ...; «d, («di, ..., «dk) (здесь «i + ...+ «d = k, «1< ■ ■< «d; «ri + «r2+ ...+ «rp = m, «ri < «r2 < .. .< «rp для всех r).
При подсчете числа полурешеток двух полугрупп правых нулей Uj и
U2, состоящих из k и m элементов соответственно, нужно рассмотреть все p(k) указанных разбиений полугруппы Uj, а затем разбиения полугруппы
U2. Но при этом нужно учитывать, что, возможно, в классе Ujj число элементов может оказаться меньше, чем число элементов в полугруппе U2 . Поэтому из всего указанного множества разбиений U2 нужно рассматривать только те, которые состоят из « или менее классов. Обозначим число таких разбиений символом s(m, «,). То есть s(m, «) - это число неубывающих последовательностей натуральных чисел таких, что сумма чисел в каждой последовательности равна фиксированному числу m и в каждой такой последовательности число элементов не превосходит «i.
Обозначим символом В(«1, ..., «d) число различных вариантов нахождения образа всех классов разбиения полугруппы Uj, состоящих из «1, ..., «d элементов при действии элементами из полугруппы U2 . Очевидно, что B(«i, ..., «d) = s(m, «i) • ... • s(m, «d).
Для того чтобы найти число всех полугрупп S, являющихся полурешетками полугрупп правых нулей Uj и U2, состоящих из k и m элементов соответственно, нужно для всех p(k) разложений числа k в сумму натуральных чисел найти значение В(«1, ..., «¿) (здесь k = «i + «2+.+ «d, «i < ...< «d) и сложить полученные результаты.
Из всего вышесказанного следует вывод о справедливости следующего предложения.
Предложение 4. Пусть Uj и U2 - полугруппы правых нулей, состоящие из k и m элементов соответственно. Существует B различных полугрупп, являющихся полурешеткой двух полугрупп правых нулей Uj и U2,
Uj = inf (Uj, U2), где B = ^ В(«j,...,«d) (здесь в сумме «1+ «2+... + «d
«1+...+«d =k
берем «i< ... < «d).
Поясним полученный результат на приведенном ранее примере. Нами рассматривалась полурешетка двух полугрупп правых нулей Uj и U2, состоящих из k = 3 и m = 3 элементов соответственно. Так как полугруппа Uj состоит из трех элементов, то будет только три неубывающих последовательности чисел, сумма которых равна трем:
1) 1,1,1;
2) 1,2;
3) 3.
5(1,1,1) = 5(3, 1) • 5(3, 1) • 5(3, 1) . Здесь 5(3, 1) - это число неубывающих последовательностей натуральных чисел таких, что сумма чисел в каждой последовательности равна фиксированному числу 3 и в каждой такой последовательности один элемент. Очевидно, что 5(3, 1) = 1. Тогда 5(1,1,1) = 1.
5(1,2) = 5(3, 1) • 5(3, 2) = 1 • 2 = 2. 5(3, 2) = 2, так как существует две неубывающих последовательности натуральных чисел таких, что сумма чисел в каждой последовательности равна фиксированному числу 3 и в каждой такой последовательности не более двух элементов.
5(3) = 5(3, 3) = 3, так как существует три неубывающих последовательности натуральных чисел таких, что сумма чисел в каждой последовательности равна фиксированному числу 3 и в каждой такой последовательности не более трех элементов.
Итого получили 5 = 1 + 2 + 3 = 6.
Для нахождения числа В была создана программа, результаты которой отражены в табл. 3.
Таблица 3
Число неизоморфных полурешеток полугрупп правых нулей и и2, состоящих из к и т элементов соответственно
т
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
3 3 5 6 8 9 12 13 16 18 21
4 5 11 13 22 24 37 40 56 61 80
к 5 7 17 22 39 46 75 85 124 144 194
6 11 35 48 102 123 235 271 444 529 779
7 15 53 78 178 226 461 554 955 1188 1823
8 22 99 151 417 535 1263 1538 2982 3742 6322
9 30 153 259 759 1053 2688 3452 7029 9521 16551
10 42 267 462 1631 2263 6624 8550 19520 26246 50332
п п
Пусть теперь полугруппы £ = \ и и £' = \и' являются полурешет-
г=1 г =1
ками п полугрупп правых нулей. Очевидно, что для изоморфизма таких полугрупп они должны иметь одинаковую структуру полурешетки и в соответствующих узлах полурешетки (полугруппах правых нулей) должно быть одинаковое число элементов. Пусть £1 =ир ииг - подполугруппа £,
£{ = и'р и и'г - подполугруппа £'. Для выяснения того, являются ли полугруппы £ и £' изоморфными, нужно найти и сравнить для каждой из подполугрупп £1 и £{ последовательности £1 * = *. Несовпадение таких последовательностей будет означать, что полугруппы неизоморфны, совпадение же не будет означать изоморфизма полугрупп, но укажет, как задать изоморфное отображение из одной полугруппы в другую (элементам из классов разбиения ставятся в соответствие элементы из соответствующих классов разбиения). Это в разы уменьшает различные варианты перебора.
Заключение
Полученные результаты могут быть использованы для установления изоморфизма полугрупп методом исключения, так как позволяют отсечь неподходящие варианты. Отметим несимметричность полученных результатов и тот факт, что Nkm при k > m всегда больше, чем Nmk. Это означает, что для полугруппы фиксированного порядка, если число элементов в первой полугруппе, являющейся минимальным идеалом, больше, чем во второй, то число неизоморфных полурешеток рассматриваемого вида больше, чем в противоположном случае.
Список литературы
1. Сушкевич А. К. Теория обобщенных групп. Харьков ; Киев, 1937.
2. Рыбалов А. Н. О генерической сложности проблемы изоморфизма конечных полугрупп // Прикладная дискретная математика. 2021. № 51. С. 120-128.
3. Korabelshchikova S. Yu., Melnikov B. F., Melnikova E. A., Zyablitseva L. V. Some approaches for determining isomorphism of semigroups of small order // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. Krasnoyarsk Science and Technology City Hall of the Russian Union of Scientific and Engineering Associations. 2020. С. 52047.
4. Володичева М. И., Леора С. Н. Исследование изоморфизма графов с помощью жордановых форм матриц смежности // Прикладная дискретная математика. 2018. № 40. С. 87-99.
5. Абросимов М. Б., Разумовский П. В. О поиске минимальных вершинных расширений цветного неориентированного графа // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 4. С. 106-117.
6. Зяблицева Л. В. Точные матричные представления связок, являющихся полурешетками полугрупп правых нулей // Современная алгебра. Вып. 3 (33). Ростов н/Д., 1998. С. 48-55.
7. Артамонов В. А., Салий В. Н., Скорняков Л. А. Общая алгебра. М., 1991.
8. Корабельщикова С. Ю. Полурешетка корней из формальных языков специального вида // International Journal of Open Information Technologies. 2020. Т. 8, № 2. С. 1-6.
9. Зяблицева Л. В., Корабельщикова С. Ю., Попов И. Н. Некоторые специальные полугруппы и их гомоморфизмы. Архангельск : ИПЦ САФУ, 2013. 128 с.
References
1. Sushkevich A.K. Teoriya obobshchennykh grupp = Theory of ge«eralized groups. Kharkov; Kiev, 1937.
2. Rybalov A.N. On the generic complexity of the isomorphism problem for finite semigroups. Prikladnaya diskretnaya matematika = Applied discrete mathematics. 2021;(51):120-128. (In Russ.)
3. Korabelshchikova S.Yu., Melnikov B.F., Melnikova E.A., Zyablitseva L.V. Some approaches for determining isomorphism of semigroups of small order. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. Krasnoyarsk Science and Technology City Hall of the Russian Union of Scientific and Engineering Associations. 2020:52047.
4. Volodicheva M.I., Leora S.N. The research of graph isomorphism using jordan forms of adjacency matrices. Prikladnaya diskretnaya matematika = Applied discrete mathematics. 2018;(40):87-99. (In Russ.)
5. Abrosimov M.B., Razumovskiy P.V. On the search for the minimum vertex of an extended colored undirected graph. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;(4):106-117. (In Russ.)
6. Zyablitseva L.V. Exact matrix representations of bundles that are semilattices of semigroups of right zeros. Sovremennaya algebra = Modern algebra. Issue 3 (33). Rostov-on-Don, 1998:48-55. (In Russ.)
7. Artamonov V.A., Saliy V.N., Skornyakov L.A. Obshchaya algebra = General algebra. Moscow, 1991. (In Russ.)
8. Korabel'shchikova S.Yu. Semilattice of roots from formal languages of a special kind. International Journal of Open Information Technologies. 2020;8(2):1-6. (In Russ.)
9. Zyablitseva L.V., Korabel'shchikova S.Yu., Popov I.N. Nekotorye spetsial'nye po-lugruppy i ikh gomomorfizmy = Some special semigroups and their homomorphisms. Arkhangelsk: IPTs SAFU, 2013:128. (In Russ.)
Информация об авторах / Information about the authors
Лариса Владимировна Зяблицева
кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, Северный (Арктический) федеральный университет имени М. В. Ломоносова (Россия, г. Архангельск, набережная Северной Двины, 17)
Larisa V. Zyablitseva Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, associate professor of the sub-department of higher mathematics, Nothern(Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov (17 Severnoy Dviny embankment, Arkhangelsk, Russia)
E-mail: zlarisav@yandex.ru
Светлана Юрьевна Корабельщикова
кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной информатики и информационной безопасности, Северный (Арктический) федеральный университет имени М. В. Ломоносова (Россия, г. Архангельск, набережная Северной Двины, 17)
E-mail: s.korabelsschikova@narfu.ru
Татьяна Владимировна Данилова
учитель математики, Гимназия № 3 имени К. П. Гемп (Россия, г. Архангельск, ул. Воскресенская, 7, корпус 1)
E-mail: t.danilova@narfu.ru
Svetlana Yu. Korabel'shchikova Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, associate professor of the sub-department of applied informatics and information security, Nothern(Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov (17 Severnoy Dviny embankment, Arkhangelsk, Russia)
Tat'yana V. Danilova
Mathematics teacher, Gymnasium No. 3 named after K.P. Gemp (building 1, 7 Voskresenskaya street, Arkhangelsk, Russia)
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 09.02.2022
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 28.02.2022 Принята к публикации / Accepted 02.03.2022
