CC BY
25
Представление множества натуральных чисел в виде динамической системы дискретного времени
Г. Г. Рябов
Аннотация - Статья является продолжением тематики исследования структуры натуральных чисел. В статье дано представление множества натуральных чисел как динамической системы дискретного времени, и представлено построение фазового пространства системы на базе траекторий плоского биллиарда и биллиардного графа. Рассматривается хромодинамика натуральных чисел. Дан вывод диофантовых уравнений для биллиардных траекторий.
Ключевые слова - динамическая система дискретного времени, биллиардный граф, фазовое пространство биллиардных траекторий,
диофантовы уравнения, метод Фейнмана.
1ВВЕДЕНИЕ
Употребление термина «биллиардная траектория» является далеко не метафорой, достаточно указать основополагающую в этой области работу А.Л. Бунимовича, Я.Г. Синая, Н.И. Чернова [1], из которой ниже приведен первый абзац: «...свойства динамических систем, порождаемых свободным движением с упругими отражениями от границы. Такие системы называются биллиардами.
Определение. Пусть Q -ограниченная область с кусочно-гладкой границей в евклидовой плоскости R2. Биллиардом называется динамическая система, порожденная движением точечной частицы с постоянной единичной скоростью внутри Q и упругими отражениями от границы дQ. Под упругим отражением, как
обычно, понимается такое, при котором угол падения равен углу отражения».
В рассматриваемом случае граница области дQ - кусочно-линейная. Предметный прообраз границы - 3 борта биллиардного стола (без луз для игры в «карамболь») и полубесконечная протяженность самого стола (рис. 1). Прообразом точки может служить движение биллиардного шара, пущенного под углом п/4 к границе и его незатухающие отражения от бортов, уходящие в бесконечность.
Нижеследующему изложению
предшествовали работы, опубликованные в 20152017 гг. [2,3], результаты которых будут использованы. Ссылки на конкретные результаты будут даны в процессе изложения.
Предложено представление множества всех натуральных чисел в виде бесконечной таблицы ^N/6) из 6 строк. Каждая строка является последовательностью членов бесконечной арифметической прогрессии с разностью d=6 и начальными членами соответственно 2, 3, 4, 5, 6, 7. Обозначения множеств членов каждой строки:
S(2/6); S(3/6); S(4/6); S(5/6); S(6/6); S(7/6);
Эти множества образуют две полугруппы по сложению и умножению [2]. Таблицы действий этих полугрупп представлены в Табл. 1.
Г.Г. Рябов - НИВЦ, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия (e-mail: [email protected])
Доказано [2], что множества этих строк не пересекаются (не содержат одинаковых натуральных) и объединение этих множеств даёт все натуральные числа. Таким образом, каждое натуральное число получает двумерное представление: номер строки (прогрессии) в таблице Т(№/6) и номер натурального в строке (в прогрессии).
II. ПОСТРОЕНИЕ БИЛЛИАРДНОГО ГРАФА
На основании таблицы Т(№/6) предложено построение так называемого «графа биллиардных траекторий» или просто «биллиардного графа» -BG.
Вершины графа BG маркированы натуральными из Т(№/6) и располагаются в узлах стандартной плоской квадратной решетки. Соседние по диагонали решетки вершины соединяются ориентированным ребром. Ориентация ребер - от вершины с меньшим натуральным к вершине с большим натуральным (рис. 1).
На множестве натуральных, принадлежащих прогрессиям 8(5/6); 8(6/6); 8(7/6) (в полосе таблицы Т(№/6) из трех строк) и соответствующих им вершин строящегося BG.
Рассматриваются инцидентные ребра и на них вводятся специальные целочисленные функции: синус биллиардный, косинус биллиардный, и симметричные к ним [4,5] синус биллиардный зеркальный и косинус биллиардный зеркальный.
Область определения данных функций -множество S(6/6). Область принимаемых значений: объединение S(5/6); S(6/6); S(7/6). Период функций - 24 (рис. 2).
Функции попарно ортогональны и покрывают все ребра BG в полосе S(5/6); S(6/6); S(7/6). Таким образом, если дать окраску ребрам каждой функции, то все ребра будут окрашены только в 4 цвета (красный - cob, синий - sib, зеленый - cob, желтый - sib). Теперь каждая вершина BG имеет инцидентные ребра либо одного цвета, либо двух цветов. В зависимости от этого каждой вершине BG присваивается либо один цвет (монохромные вершины), либо два цвета инцидентных ребер (дихромные вершины).
При этом монохромные вершины содержат все простые натуральные, так как принадлежат к S(5/6) и S(7/6) (рис. 3).
S(2/ft>
S(3/6)
S(4/6)
S(S/6)
S(6/fi)
ООО (О О' О1 © о © о ®
X , Ч S
^^ о ^ ^^ ^^ ^ ^^
X / X f
^^ ^ ^ ^^ ^^ ^^ ^ ^^ ^
V х; V ч
^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^
^^ ^^ ^^ ^ ^^ ^^ ^^ ^ ^^ ^^
х X \ / х
^^ ^^ ^ ^ ^^ ^^ ^^ ^
рнс.1. Примеры биллиардных траекторий при ударах по шару под углом ^Т/4 по отношен то к борту.
0О©0®©©@®©@(«
© © © © ©©©©©©©(5Î ©@©©©©©©©©©(™
шгш
ЩШт ÉÉ1ÉÉ
рис.2. Пгрноди'к'гкнс функции в полосе S(5/6),S(6/6),S(7/6).
sib(6)=6; sib(12)=ll; sib(18)=18; sib(24)=25, sib(30)=30;.. cob(6) 5; cob(12)= 12, cob(18)=19;cob(24)=24; cob(30)=29;.. stb(6)=6; sib(12)=13; sib(18)=18; sib(24)=23; ^ (30)^30; cob(6)=7; çob(12)=12; cob(18) = J 7;cob(24) ^24; cob(30) =31;.
Период функции- 24.
siùtstprcob,cop определяют цвета ребер BG
; в полосе S(5/6), s<6/6),S(7/6).
Х- «h
JILJ jrrôj^n 1 /ГЙ „■ pif tft'H'IttU Hattiyp<LibribI.\
НЛЦЛЙГГПЛРСНЛ' шершни.
Теперь введем веса q для каждого ребра Бв и положим:
q=|nl- П2|,
где п1 и п2 - натуральные в вершинах BG, инцидентных данному ребру.
Легко видеть, что q принимает только 2 значения: ql = 5 (для ребер с ориентацией вверх) и q2 = 7 (для ребер с ориентацией вниз). Общая картина полосы S(5/6); S(6/6); S(7/6) как BG выглядит на рис. 3. Таким образом, можно
говорить о периодической смене окраски вершин BG, а, следовательно, о хромодинамике натуральных - НХД.
Итого имеется 6 красок: 4 монохромных (красный, зеленый, синий, желтый) и 2 дихромных (красно-зеленый и сине-желтый). На этом построение BG-(ориентированного, ациклического, полихромного) завершается. Отметим, что поскольку Бв-ациклический, ориентированный кратчайший путь между
любыми двумя его вершинами является единственным.
III. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ДИСКРЕТНОГО ВРЕМЕНИ
Фактически BG содержит все биллиардные траектории при упругих отражениях от бортов под углом п/4, т.е. является фазовым пространством динамической системы дискретного времени [4].
Рассмотрим действие на BG-движение по кратчайшим путям между вершинами BG по ориентированным ребрам биллиардной траектории одного цвета (в полосе S(5.6), S(6.6), S(7.6)) сопровождая его суммированием весов q тех ребер, в которых оказывается динамическая система в моменты дискретного времени-DSDT (на одно ребро тратится единица дискретного времени). Представление динамической системы в виде слов конечного алфавита с привязкой к дискретному времени t можно показать следующим образом. Пусть дан конечный алфавит А={5;7;у;Л} 5,7 - веса ребер BG; v - символ отражения траектории от нижнего борта, Л - символ отражения траектории от верхнего борта. Первая строка - моменты дискретного времени t (0,1,2,3,...), вторая строка -поведение траектории, вышедшей из вершины, маркированной натуральным 5 (красная), третья строка - поведение траектории из вершины с натуральным 7(зеленая), четвертая строка -поведение траектории из вершины с натуральным 11(синяя) и пятая строка - из вершины с натуральным 13 (желтая):
t012345678901234567890123456789
5 77v55л77v55л77v55л77v55Л77v 155Л77v55Л77v55Л77v55Л77v55Л77v 1177У55Л77У55Л77У55Л77У55Л77У55 1355л77у55Л77У55Л77У55Л77У55
(2)
Суммируя веса ребер вдоль траекторий, мы по существу реализуем дискретный вариант интегрирования по траекториям Фейнмана [6] только в нашем случае это суммирование весов, которое можно представить в форме
n(t0)+Sq(t1)At1=n(T),
гдеТ=ЕД^;
Поскольку для нашего случая q принимает только два значения ^=5^2=7;), Д^=1; и всего 4 траектории с исходными вершинами с натуральными: пш(1о)=5; По2(1о)=7; Поз(1о)=И; п04(10)=13; выберем более простую форму, а именно:
по1(1о)+5х1+7у1=п(т); (1)
ПшОо), п(Т)етраектории одного цвета, 1=1, 2, 3, 4;
Далее можно записать (1 ) в форме четырех диофантовых уравнений:
5+7х1+5у1=п1(Т); (1.1)
7+5х2+7у2=П2(Т); (1.2)
11+7хз+5уз=Пз(Т); (1.3)
13+5х4+7у4=п4(Т); (1.4)
Эта есть форма диофантова уравнения, где х1 -число дискретных единиц времени пребывания Б8БТ в вершинах с q=5, а у1 - в вершинах с q=7.
Таким образом, каждой ВТ однозначно соответствует одно из 4-х диофантовых уравнений (1.1),(1.2),(1.3),(1.4).
Ниже будут приведены решения соответствующих диофантовых уравнений для всех четырех биллиардных траекторий по каждой траектории.
Воспользуемся (2) для проставления промежуточных сумм весов ребер по каждой из 4-х траекторий, отмечая простые толстым черным, а составные - толстым красным цветом (веса ребер даны курсивом).
5771955297743555377675577779155101771155512
5 7713955149 7716355л77у55л 77...
7551777315541775555657779558977103551137712 755137771515516177У55Л77У55.
1177255535774955597773558377975510777121551 3177145551557716955Л77У55Л77.
135523 77375547 7761557177855595 7710955119 771 335514377157551677718155Л77У55...
В таблице 2 приведены решения диофантовых уравнений.
Решении днофанювых уравнений c разделением но 4-ем биллиардным ipaeiciopiiiiM в {S(5/6) tS(6/6), S(7/6) } ? n<500;
красная ВТ зеленая В Т сними ВТ желган ВТ
5+ 7y2 ; 11+Zi +5)7 ,- 3 J 13+5v -f
xJ ■V, р/с T2 р/с Уз р/с У* р/с
О в 5 ■ O O -7 - o O 11 - O o 13 -
2 41 Ifí ■ 2 O 17 - 2 O 25 - 2 o 23 -
2 2 29 - 2 2 31 - 2 2 35 - 2 2 37 -
4 2 43 ■ 4 2 41 - 4 2 49 - 4 2 47 a
4 4 53 ■ 4 4 55- 4 4 59 - 4 4 57 -
6 4 67 ш 6 4 65 - 6 4 73 - 6 4 71 -
б 6 77 - в 6 79 ■ 6 6 83 " 6 6 81 i
Я Л 5)1 - 8 6 89 - 8 6 97" 8 6 95 -
8 8 1 U1 - 8 8 103- 8 8 Ю7 - 8 8 IOS -
10 8 115 - Ю 8 113- ÍO К 121» IO 8 123-
1Í» IO 125 ■ IO 1«) 127- 10 IO 131- IO IO 133-
12 1<] 13» - 12 ю 137- 12 IO 145 - 12 IO 147 -
12 12 149 - 12 12 151- 12 12 155 - 12 12 157-
14 12 173 а 14 12 161- 14 12 169 - 14 12 171-
14 14 183 - 14 14 175" 14 14 179 - 14 14 181 -
16 14 187 - 16 14 185- 16 14 193- 16 14 195-
16 16 197. 16 16 199- 16 16 203- 16 16 205 -
18 16 211- 18 16 20Ч" 18 16 2 17- 18 16 219 -
18 18 221 - 18 18 2231 18 18 227- 18 18 229 -
20 18 235 - 20 18 233- 20 18 241a 20 18 239 -
2» 2 О 245 - 2» 2 O 247- 24) 24) 251- 24) 24) 253 -
22 2U 259 ■ 22 20 257» 22 ZO 265" 22 20 263 a
22 22 269 - 22 22 271 - 22 22 275 - 22 22 277.
24 22 283 - 24 22 281 - 24 22 289 - 24 22 287 a
24 24 293 а 24 24 295- 24 24 299 24 24 301 -
26 24 307 - 2 6 24 305- 26 24 313- 26 24 311 -
26 1С. 317- 26 2 6 319- 26 26 323- 26 26 325 -
2» 26 331- 28 26 329 a 28 26 337 - 28 26 335 a
28 28 341 - 28 28 343 - 28 28 347- 28 28 349-
ЗО 28 355 - ЗО 28 353 - ЗО 28 361- ЗО 28 359 -
JO ЗО 365 - ЗО ЗО 367 - ЗО ЗО 371 a ЗО ЗО 373 -
32 зо 379 - 32 ЗО 377 - 32 JO 385 - 32 ЗО 383 -
32 32 389 а 32 32 391 a 32 32 395- 32 32 397 a
34 32 403 - 34 32 401 - 34 32 409 — 34 32 407 ■
34 34 413 - 34 34 415 - 34 34 419 - 34 34 42 1 ■
36 34 427 ■ 36 34 425 - 36 34 433 - 36 34 431 a
36 36 437 - 36 36 439 - 36 36 443 - 36 36 445 -
38 36 451 - 38 36 449 - 38 36 457 - 38 36 455 a
38 38 461 - 38 38 463 a ЗЯ 38 467 a 38 38 469
40 38 475 - 44) 38 473 - 441 38 481 - 44) 38 479 -
40 40 485 - 40 41) 487- 4U 40 491 • 40 40 493
42 40 499- 42 41) 497- 42 40 SOS - 42 40 503 a
42 42 509 а 42 42 511 - 42 42 515 - 42 42 517 -
табл. 2 ■ простые ■ составные
IV. БИЛЛИАРДНЫЕ ТРАЕКТОРИИ НА ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА
До сих пор представление натуральных как динамической системы дискретного времени рассматривалось в полосе S(5/6), S(6/6), S(7/6), что было в первую очередь связано с тем, что все простые принадлежат только S(5/6) и S(7/6).
Сейчас мы включаем в рассмотрение все 6 множеств S(2/6)-S(7/6) и развиваем идею [2] о «склейке» членов всех 6 множеств в «винтовое» единое движение, отображая решетку с маркированными (натуральными числами) вершинами биллиардного графа BG на поверхность бесконечного цилиндра.
Для большей наглядности «разрежем» цилиндр на два бесконечных полуцилиндра С1 и С2 (рис. 4a).
На внутренней поверхности С1 располагаются вершины из S(5/6), S(6/6), S(7/6), а на внутренней поверхности С2: S(2/6), S(3/6), S(4/6), для которых применяется аналогичный с (II) метод построения биллиардного графа BG, но уже не на плоскости, а на двумерном многообразии.
Ребра такого BG, как элементы кратчайших путей между вершинами BG проходят по поверхности цилиндра.
Применяя здесь аналогичные методы окраски траекторий и приписывания весов q ребрам BG,
мы получим топологически идентичный Бв за исключением порядка следования весов ребер.
Так в С1 по ориентации ребер за вершиной, маркированной натуральным 5 идут ребра с весами 77, потом 55 и т.д. В С2 за вершиной с 4 следуют ребра с весами 55, потом 77 и т.д. (что можно отметить как признак симметрии).
По аналогии с диофантовыми уравнениями в С1 (1-4), для 4-х траекторий в С2, начинающихся в вершинах с натуральными 2,4,8,10 соответствуют уравнения:
2+7х1+5у1=П:(Т) (зеленая ВТ); (1.5)
4+5х2+7у2=п2(Т) (красная ВТ); (1.6)
8+ 7х3+5уз=п3(Т) (желтая ВТ); (1.7)
10+5x4+ 7у4=П4(Т) (синяя ВТ); (1.8)
Обобщая результаты для С1 и С2, можно сформулировать следующее утверждение: каждому неотрицательному натуральному соответствует биллиардная траектория, задаваемая одним из 8-ми диофантовых уравнений (1.1-1.8), т.е. грубо говоря, натуральное число представляет кусочно-линейное колебание, удовлетворяющему одному из 8-ми диофантовых уравнений) и находится в определенной фазе этого колебания.
Рис. 4 a,b Разрезанный цилиндр
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Кратко предложенный метод можно характеризовать как представление множества натуральных чисел в виде динамической системы дискретного времени и построение для нее на базе полихромного биллиардного графа пространства фазовых траекторий.
Связанные с ней диофантовы уравнения, составленные с помощью дискретного варианта метода Фейнмана интегрирования по фазовым траекториям, дают аналитическую форму каждой из 8-ми ВТ.
Из других следствий представления множества натуральных как динамической системы отметим вариант динамической системы трехмерного биллиарда на поверхности цилиндра (с переносом BG на поверхность цилиндра с гладкими ориентированными
ребрами) и периодический зак хромодинамики натуральных чисел (рис. 4b).
БИБЛИОГРАФИЯ
[1] Бунимович Л.А., Синай Я.Г., Чернов Н.И. // Статистические свойства двумерных гиперболических биллиардов. Успехи мат. наук, т. 46, вып. 4 (280), 1991.
[2] Ryabov G.G, Serov V.A. On natural numbers structure on the
basis of six arithmetical progressions. International Journal of Open Information Technologies. 2016. vol.4. no 4. pp.4953. Available (in Russian). http ://inj oit. org/index.php/j 1 /article/view/277.
[3] Ryabov G.G, Serov V.A. Infinite arithmetical progressions and
global trees in natural numbers structure. International Journal of Open Information Technologies. 2017. vol. 5. no 6. pp. 1-5. Available (in Russian). http://injoit.org/index.php/j 1/article/view/441.
[4] Вейль Г. // Симметрия. - М.: Наука, 1968.
[5] Пуанкаре А. // О науке. Книга 1. Будущее математики. С
введением Л.С. Понтрягина. - М.: Наука. 1990.
[6] Аносов Д.В. Гладкие динамические системы // Итоги науки
и техн. сер. соврем. пробл. мат. фундам. направления. Том 1. 1985.
[7] Фейнмановские лекции по физике [электронный ресурс]
http://www.all-fizika.com/art.
Representation of the natural numbers set as a dynamical discrete time system
G. G. Ryabov
Abstract - The article is continuing the theme of study of the structure of natural numbers. The article represents the natural numbers set as a dynamical system in discrete time, and presents the construction of the system phase space on the basis of the flat trajectories of the billiard and the billiard of the graph. Chromodynamics is considered natural numbers. The derivation of Diophantine equations of selection natural numbers primes or compound has been discussed.
Keywords - dynamical discrete time system, billiard graph, a phase space of billiard trajectories, Diophantine equations, natural selection, method of Feynman.
