Бесконечные арифметические прогрессии и глобальные деревья в структуре натуральных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Бесконечные арифметические прогрессии и глобальные деревья в структуре натуральных

Г. Г. Рябов, В. А. Серов

Аннотация—Статья является продолжением тематики исследования структуры натуральных чисел на основе композиции инфинитарных структур, бесконечных арифметических прогрессий, глобальных парных деревьев и, собственно, множества неотрицательных натуральных. Предложен полуаддитивный канонический вид натурального при заданном опорном модуле d, на основе алгоритма Эвклида. Дано определение 6-арного глобального, ориентированного дерева GT как графа развертки процесса маркировки вершин

последовательностью натуральных. Рассмотрен выбор опорных модулей d для конструкции GT отличных от 6. Отмечен "галактический" характер GT. Введены конструкции, близкие по понятиям к арифметическим прогрессиям — кольцевая прогрессия и квази-прогрессия с переменной разностью d, как результат слияния прогрессий.

Ключевые слова—Бесконечные арифметические прогрессии, множество натуральных, глобальное парное дерево.

I. ВВЕДЕНИЕ

Исследования в области числовой комбинаторики продолжают оставаться одной из областей самого интенсивного развития математики [1].

В [2,3] рассматривались шесть бесконечных арифметических прогрессий с разностью d = 6 и начальными членами a0l = 4,5,6,7,8,9. Поскольку в дальнейшем мы будем иметь дело со сравнениями по mod d (в частности, d = 6) и:

6 = 0(mod 6), 7 = 1(mod 6), 8 = 2(mod 6), 9 = 3(mod 6), соответственно будут рассматриваться бесконечные прогрессии:

S0 = {0,6,12,18,...}, Sl = {1,7,13,19,...},

S2 = {2,8,14,20,...}, S3 = {3,9,15,21,...}, (1)

S4 = {4,10,16,22,...}, S5 = {5,11,17,23,...}.

Основные свойства этих множеств:

5

Ust = N0, St n Sj = 0, i Ф j , где (2)

t=0

Статья получена 28 апреля 2017.

Г. Г. Рябов, НИВЦ, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия (e-mail: [email protected]).

В. А. Серов, НИВЦ, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия.

Ы0 — множество неотрицательных натуральных. Ниже приведены бинарные отношения между S0 + £5, как полугруппами по сложению (с "0" полугруппы как £„) и умножению (с "1" полугруппы как ) (рис.1). Отметим, что начальные члены этих прогрессий совпадают с остаточными классами и, таким образом, все члены каждой прогрессии являются равноостаточными [4].

+ So S1 s2 s3 s4 ш X SD (§î S2 s3 s4 Щ

So 0 1 2 3 4 5 So 0 0 0 0 0 0

& 1 2 3 4 5 0 (si 0 1 2 3 4 5

s2 2 3 4 5 0 1 s2 0 2 4 0 2 4

s3 3 4 5 0 1 2 s3 0 3 0 3 0 3

s4 4 5 0 1 2 3 s4 0 4 2 0 4 2

(si 5 0 1 2 3 4 <&ï 0 5 4 3 2 1

Рис.1 Бинарные отношения по сложению и умножению для £0 + . Всегда только: р1 + р2 = четное е , р3 + Р4 = четное е S2, р1 + р3 е S0. р1, р2 е Р№5) —

простые из класса Б5, р3, р4 е Р(Б1) —простые из класса

Из (2) следует однозначное, единственное положение каждого натурального только в одной из прогрессий £0 + . Поэтому можно говорить о каноническом виде представления каждого натурального в системе бесконечных прогрессий S0 + S5 с разностью d=6. Последующая часть статьи относится к рассмотрению предлагаемого канонического вида (с элементами аддитивности) любых натуральных, в т.ч. и простых.

II. Алгоритм Эвклида и представление

НАТУРАЛЬНЫХ В ОСТАТОЧНЫХ КЛАССАХ

Воспользуемся схемой хорошо известного алгоритма Эвклида [4] нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных для представления натурального в остаточных классах, показав это на примере самого большого (из 100 000 натуральных) простого, равного 99971 (рис.2). Остаточные классы по mod6 в этом примере в порядке их вычисления образуют последовательность: 5,5,4,0,5,0 и последнее частное 2 при делении нацело. Поскольку начало было с младших разрядов, запись последовательности для восстановления исходного числа надо рассматривать в

обратном порядке: 2,0,5,0,4,5,5. Отсюда реконструкция числа:

(((((2 х 6 + 0) х 6 + 5) х 6 + 0) х 6 + 4) х 6 + 5) х 6 + 5 = 99971;

Поскольку при mod6 (назовем его в данном случае опорным модулем) допустимый конечный алфавит A = {0,1,2,3,4,5}, то в записи числа в остаточных классах можно разделители устранить: Res 6 (99971) = 2050455. Именно это число будем считать полуаддитивным каноническим видом натурального при опорном модуле d=6 (в отличие от мультипликативного канонического вида разложения целого на простые сомножители).

Res 6 099711=2050455= ={«{(2^6 <0))*6 <5)Г6 <0)Г6 <4)Г6 {5)Г6

99971 6 99966р6661| 6

©16656 [2776~|_6 © 2772 Г7б2

последнее частное ©) остатки от делений

I 6

© 462 | 77 I_6_

© 72 | 12 |_6_

и

© д ®

Рис.2 Алгоритм Эвклида и восстановление числа по остаткам и последнему частному.

III. 6-АРНОЕ ГЛОБАЛЬНОЕ ОРИЕНТИРОВАННОЕ ДЕРЕВО

GT (mod6) и маркировка его вершин и ребер

Определение. Пусть дано корневое дерево с множеством вершин V и множеством ориентированных ребер E . Каждая вершина (кроме корневой) имеет одно входящее ребро и 6 выходящих ребер. Корневая

вершина имеет только 6 выходящих ребер. Вершины, смежные с корнем, будем считать вершинами 1-го ранга, вершины с входящими ребрами от вершин 1-го ранга—вершины 2-го ранга и т.д. В нашем случае число вершин 1-го ранга равно 6, 2-го ранга 36 и т.д. Неограниченно, последовательно увеличивая ранги и число вершин даем оправдание термину "глобальное 6-арное дерево" (рис. 3а).

Собственно дерево представляет собой граф развертки процесса маркировки вершин последовательностью натуральных начиная с корня, двигаясь против часовой стрелки и образуя спираль натуральных. При этом каждый 6-кортеж ложится в шестерку вершин с входящими ребрами, которые являются исходящими из вершины предыдущего ранга. На рис.3б на фрагменте дерева рядом с маркированной вершиной на входящих и выходящих ребрах отображены в фигурных экранах действия умножения на 6 (х6) значения натурального из предыдущего ранга и сложения с числом, равным очередному остатку при реализации алгоритма Эвклида.

В соответствии с предложенной конструкцией ОТ(mod6) кратчайший путь из любой вершины,

маркированной натуральным п, по ребрам (в направлении, противоположном их ориентации) до корня проходит по ребрам с пометками остаточных классов, последовательность которых и есть канонический полуаддитивный вид натурального п при заданном опорном модуле (в данном случае mod6).

а) б)

Рис.3 а) 6-арное глобальное ориентированное дерево и спираль натуральных на вершинах дерева. б) Принцип маркировки вершин натуральными и ребер действиями сложения и умножения для вычисления значения натурального в вершине следующего ранга дерева (показаны на фрагменте дерева).

IV. Общая схема представления натуральных в конструкции GT (mod d) и выбор опорного модуля

До этого раздела мы имели дело с постоянным опорным модулем d = 6 . Теперь рассмотрим более

общий случай опорных модулей d из натуральных по отношению к рассматриваемой конструкции ОТ и цели ее использования. Итак, ОТ целиком определяется конечным множеством S1,...,_1} бесконечных

арифметических прогрессий, каждая с разностью d и,

соответственно, с начальными членами 0,1,2,...,(ё -1), которые являются одновременно остаточными классами для множеств членов этих прогрессий.

Все построения ОТ предыдущего раздела формально остаются в силе, но при этом более широко рассмотрим цели использования такой конструкции. Так, при ё = 6 все простые "кластеризовались" только в двух из них: и 55, что, при взаимно простых парах (1,6) = 1 и (5,6) = 1, соответствует выполнению условия Дирихле о бесконечном числе простых в таких прогрессиях. При других d число таких прогрессий будет равно значению функции Эйлера р(ё). Так: р(3) = 2; <р(4) = 2; р(5) = 4; р(6) = 2; р(7) = 6; р(8) = 4; р(10) = 4; р(30) = 8;

Увеличение р(ё) приводит к рассредоточению простых между прогрессиями, что не всегда желательно.

С другой стороны, при записи натурального в каноническом полуаддитивном виде желательно оставаться в рамках стандартного конечного алфавита

A = {0,1,2,...,9}, хотя принципиально расширение этого алфавита возможно.

Еще один фактор требует учета: как соотносится такое представление с машинными реализациями (двоичная, четверичная, восьмеричная и т.д. системы счисления). Так, восьмеричная система изоморфна конструкции GT (mod8) c алфавитом A = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Большие опорные модули требуют особого рассмотрения.

V. Галактический характер GT (mod d)-структуры

НАТУРАЛЬНЫХ И ОСОБЕННОСТИ ОРИЕНТАЦИИ В ЭТОЙ СТРУКТУРЕ

Графическое отображение нескольких первых рангов GT (mod d)-структуры порождает ассоциацию с галактическим видом, в котором между натуральными П и n2 реализуются иные метрические отношения, чем | nx - n2 | (рис.4 при d = 6 ).

Рис.4. "Галактика натуральных" при опорном mod, равном

Здесь речь идет о метрике, индуцированной совместно GT (по ребрам дерева) и вдоль спирали натуральных, натянутой на вершины дерева. Для обозначения более детального анализа возможных аномалей натуральных с теми или иными свойствами, целесообразно заимствовать приемы астрономии в ориентации областей небесного свода по хорошо известным созвездиям и указанием диапазона расстояний (в световых годах или иных принятых единицах). В нашем случае можно предложить в качестве известных созвездий простых-близнецов из первых 100 натуральных, а в качестве диапазона расстояний— диапазон рангов GT (mod d). Для примера, изображенного на рис.4, это указание ориентации

ё = 6.

звучало бы примерно так: найти скопление простых в "созвездии близнецов 59-61" в диапазоне рангов 3-5.

VI. Обобщения понятий арифметических

ПРОГРЕССИЙ И СВОЙСТВА НАТУРАЛЬНЫХ В НИХ

В этом разделе мы кратко коснемся двух конструкций, близких по понятиям к арифметическим прогрессиям, но обладающих свойствами, полезными при исследовании структуры натуральных—"кольцевых прогрессий" и квази-прогрессий с переменной разностью d, как результат слияния прогрессий. Соотношения (1) представим в правой части рис.5 и достроим их следующим образом. От чисел столбца-кортежа при заданном d, к которым прибавляли d, двигаясь вправо, теперь будем последовательно вычитать d, двигаясь влево. Получившиеся

отрицательные натуральные будем в дальнейшем рассматривать по абсолютной величине. В результате общая картина состоит из 6 бесконечных в оба конца строк, связанных единым опорным модулем d и столбцом d-кортежем. Так образованную строку будем называть кольцевой прогрессией и обозначать < S¡ / ё >. Теперь уже множество членов "кольцевой прогрессии" это член группы (не только полугруппы) по сложению и умножению. Бинарные отношения (рис.1) действуют и для них. Отметим, что простые-близнецы в < ё > расположены на местах, равноудаленных от опорного кортежа-столбца.

Другим обобщением арифметических прогрессий может служить конструкция, представляющая слияние двух и более прогрессий из множества (1) в единое, полностью упорядоченное по возрастанию множество членов.

/г;>= 96 90 R4 7R 72 66 60 54 4S 42 36 30 24 1R 12 6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96

i S, /6=-= {.. Î>5 89 83 77 © 65 (59| 53 47(41) 35 © 23 0 s a 1 [DO© 25 (5J0 37 © 49 55 © 67 © 79 85 91 97

!<»= {,. 94 RR R2 76 70 64 5R 52 46 40 34 2R T» ir. m 4 2 8 14 20 26 32 38 44 50 56 62 68 74 80 86 92 98

i if>>= !)3 87 81 75 69 63 57 51 45 3!) 33 27 21 15 s 3 3 9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69 75 RI R7 93 99

< s, Rfi RO 74 6R 62 56 50 44 3R 32 26 20 14 я 4 1U 16 22 28 34 40 46 52 58 64 70 76 82 88 94 1U0

< S5 if>>= !)1 85 79 73 67 61 55 49 43 37 31 25 1!) 13 7 1 ■4 11 17 23 29 35 41 47 53 59 Ii5 71 77 83 89 95 101

Рис 5. Столбец опорного кортежа при ё = 6 и единые строки-"кольцевые прогрессии" < ^ / ё > с разностью ё = 6 .Множество членов прогрессии < / 6 > содержит все простые (рамкой отмечены простые-близнецы >3).

образующее бесконечную квази-прогрессию с переменной разностью.

Поясним на примере слияния прогрессий £0, , £5:

Б0/ Б1/ £5 = {0,1,5,6,7,11,12,13,17,18,19,23,24,25,29, 30,31,35,36,37,..};

Поскольку множества членов прогрессий £0 + £5

попарно не пересекаются (2) члены всех прогрессий, участвующих в слиянии сохранены. В этом примере последовательность разностей между соседними членами имеет вид: В = {1,4,1,1,4,1,1,4,1,1,4,1,...},

т.е. циклическая тройка 1,4,1, в сумме равная ё = 6 .

VII. Заключение

Включение в рассмотрение структуры натуральных отображения d-кортежей на структуру глобального d-арного дерева позволяет говорить о топологической составляющей в числовой комбинаторике. Несмотря на всю метафоричность сравнения с галактикой, изучение достаточно отдаленных областей натуральных может иметь общие когнитивные корни с задачами космического телескопа "Хаббл" для изучения отдаленных уголков вселенной. Подобный, разумеется, виртуальный вояджер в глубину натуральных должен представлять спецпроцессор со значительно расширенными нетрадиционными операциями с нетрадиционными операндами (приведенные системы вычетов, мультипликативные функции, работа с числами в остаточных классах, квази-прогрессии и т.п.). Работа по такой тематике лежит в русле отечественной

математической науки и связана с такими ее выдающимися представителями как П.Л.Чебышев, И.М. Виноградов, А.О. Гельфонд и другими. Работа выполняется в рамках гранта РФФИ 16-07-01071.

Библиография

[1] Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard, Terence Tao, "Long gaps between primes," arXiv:1412.5029v2 [math.NT], 6 Apr 2015. Available: http://arxiv.org/pdf/1412.5029v2

[2] G. G. Ryabov, V. A. Serov, "On natural numbers structure on the basis of six arithmetical progressions," International Journal of Open Information Technologies, 2016, vol. 4, no. 4, pp. 49-53. Available (in russian): http://injoit.org/ index. php/j1 /article/view/277

[3] G. G. Ryabov, V. A. Serov, "Classification of natural numbers based on arithmetic progressions with a difference 6," International Journal of Open Information Technologies, 2016, vol. 4, no. 12, pp. 13-15. Available: http://injoit.org/index.php/j1/article/view/355/314

[4] И.М. Виноградов, Основы теории чисел. М.: Наука, 1972.

Infinite arithmetical progressions and global trees in natural numbers structure

G. G. Ryabov, V. A. Serov

Abstract—The article is a continuation of the natural numbers structure research on the basis of infinitary structures composition, infinite arithmetical progressions, global d-ary trees and the set of non-negative natural N. The semi-additive canonical form of natural number with the given module d is offered, on the basis of Euclid's algorithm. The definition of the global, directed 6-ary tree (GT) as a graph of nodes marking process by the sequence of natural numbers is given. The choice of the basic modules d for GT structure other than 6 is considered. It is noted also the "galactic" character of GT. The ring progression and the quasi-progression with a variable difference d, as a result of progressions merging are entered.

Keywords—Infinite arithmetical progressions, set of natural numbers, global d-ary tree.