Представление экономического процесса в виде замкнутой динамической системы и его математическое описание Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. О военно-техническом сотрудничестве Российской Федерации с иностранными государствами: Федеральный закон от 19 июля 1998 г. № 114-ФЗ.

8. Военно-техническое сотрудничество — 55 лет // Вооружение. Политика. Конверсия. 2008. № 3. С. 3.

9. Фомин А. Итоги и планы ФСВТС // Вооруженные силы, ОПК и политика. 2010. № 3. С. 6.

10. Динамика российского экспорта вооружений в 2000-2007 гг. [Электронный ресурс]: агентство экономич. информации. Режим доступа: http//www.prime-tass.ru.

11. Джанчатова Л.Р. Состояние и перспективы развития военнотехнического сотрудничества РФ с зарубежными странами: автореф. дис. ... канд. экон. наук. М., 2008. 26 с.

12. Тюменев В. Уроки переодевания // Рособоронэкспорт // Эксперт. 2007. № 45. С. 7-18.

I. V.Sychev, A.L.Sabinina

Positioning of Russia in world military economy on boundary XX-XXI of centuries The most important macroeconomic indicators of the war economic were considered. Those value and dynamic were analyzed according to Russian war economic. The place occupied by Russia in the global war economy at the turn of XX-XXI centuries was located. Key words: macroeconomic indicators, war economic.

УДК 007.159

С.А. Гришина, канд. техн. наук, доцент, (4872) 24-33-50, ап mit@mail.ru, (Россия, Тула, ТГПУ им. Л.Н. Толстого)

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА В ВИДЕ ЗАМКНУТОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ЕГО МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

Рассматриваются вопросы представления экономического процесса в виде замкнутой динамической системы. Обобщаются и систематизируются материалы по адаптации методов теории систем к экономическим объектам.

Ключевые слова: система управления организацией, управляющее

воздействие, возмущающее воздействие, передаточная функция, переходный процесс.

В последние десятилетия при анализе динамики экономических систем наблюдается устойчивая тенденция перехода к непрерывному времени и адаптации к экономике методов исследования, накопленных

прежде всего в теории систем автоматического управления. При этом описание математических методов исследования ориентируется на процессы, происходящие в экономике.

Следует однако отметить, что эти вопросы не нашли еще достаточного распространения в экономической литературе. В немногочисленных источниках указанная адаптация методов теории систем к экономике носит декларативный характер. Это создает известные трудности для специалистов, занимающихся исследованием и

проектированием систем управления экономическими объектами с использованием теории систем.

Основные вопросы теории систем освещены, например, в работе [2] и применительно к объектам экономики частично затронуты в [1] и статьях автора [3-5]. В настоящей и последующих работах автора делается попытка обобщить и систематизировать имеющийся материал по адаптации методов теории управления к экономическим объектам.

Динамический характер экономической системы проявляется в том, что причина (решение) переходит в следствие (реакцию на принятое решение) не мгновенно, а с некоторым запаздыванием. Например, в макроэкономике причиной может быть изменение в конъюнктуре рынка, объеме инвестиций, структурной и налоговой политике государства, технологическом укладе ит. д.

Особенность экономических объектов (предприятий, организаций) состоит в том, что процессы в них и без замкнутой системы управления (не обязательно автоматической) при наличии определенных воздействий (в том числе и возмущающих) приходят в некоторое установившееся состояние, хотя и далекое от требуемого или желаемого (например, при использовании рекламы). Такие объекты называют объектами с самовыравниванием.

При использовании системы управления (управляемой человеком или автоматически) значительно (во много раз) уменьшается время переходного процесса и установившаяся ошибка. Таким образом, задача замкнутой системы управления состоит в том, чтобы улучшить статические и динамические характеристики объекта, так как объект (как указано выше) и без такой системы приходит в некоторое установившееся состояние. Причина улучшения указанных характеристик состоит в том, что в замкнутой системе управления используется информация о реакции объекта на то или иное возмущающее воздействие (в том числе и управляющее).

Любая экономическая система может рассматриваться как система регулирования, работающая по принципу замкнутого цикла (рис. 1).

Рис. 1. Типовая функциональная схема системыуправления

Она состоит из объекта регулирования и регулятора.

Устройства и элементы, входящие в регулятор, по своему назначению могут быть классифицированы следующим образом:

Задающее устройство 1 преобразует управляющее воздействие g^) (например, ресурсы) в управляющий сигнал у^), пропорциональный заданному значению регулируемой величины x(t) (например, продукция) и удобный для сравнения с ней.

Сравнивающее устройство 2 на основании сравнения управляющего сигнала и сигнала обратной связи вырабатывает сигнал ошибки ). Оно предназначено для определения величины отклонения регулируемой величины от заданного значения.

Орган управления 3 (регулятор), который в простейшем случае включает в себя преобразующее устройство и элементы коррекции.

Элемент обратной связи 4 вырабатывает сигнал, находящийся в определенной функциональной зависимости от регулируемой величины.

Конкретные функциональные схемы системы могут отличаться от типовой схемы (рис. 1). Некоторые элементы могут отсутствовать, могут появляться другие элементы, не показанные на схеме.

В [1, с. 12] приводится пример, в котором в качестве динамической системы рассматривается экономика в форме модели Солоу. Приводятся уравнения и структурные схемы модели в дискретном и непрерывном вариантах как динамической системы с обратной связью.

Математическое описание экономических объектов

При исследовании динамики непрерывных экономических систем, как и в теории систем управления, широкое применение получил способ математического описания, основанный на использовании передаточной функции. Как известно [2, с. 46], передаточной функцией G(s) линейной стационарной динамической системы называется отношение преобразования Лапласа X(s) величины х^) на выходе системы к преобразованию Лапласа воздействия /(I) на ее входе при нулевых начальных условиях. В общем случае она может быть записана в виде дробно-рациональной функции:

а (5)

X(5) Ьт5т + Ь. У'-1 +... + Лі + ь,

у / т___________т—1____________________1_,

, п > т,

(1)

¥(5) а 5п + а ,5п 1 +... + а,5 + а,

V / п п—1 1 ,

где а, Ь — вещественные коэффициенты (так как они представляют собой функции параметров системы, которые могут быть только вещественными).

В передаточной функции (1) все полюсы расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости (условие устойчивости), невещественные нули и полюсы могут быть только комплексносопряженными.

Для сравнения различных систем принято рассматривать переходный процесс при скачкообразном изменении входной величины на единицу и при нулевых начальных условиях (звено в покое), т. е. при единичном ступенчатом воздействии 1(г). Соответствующий переходный процесс принято называть переходной функцией и обозначать к(г).

В качестве входного сигнала часто используется также импульсное воздействие — дельта функция Дирака, определяемая выражениями:

Переходный процесс в этом случае называется импульснопереходной функцией и обозначается к(г).

Воздействие 1(0 и 5({) связаны соотношением d1(t)/Ж = 8(г), а реакциинаэтивоздействия Щ) и к^) — соотношением йк(г)!^ = к(^.

Так как преобразование Лапласа для 1(0 есть 1/5, а для 8(г) — 1, то

преобразованиеЛапласадля к(г) и к (г) равны к(^) =1G (5), к (5 ) = G (5).

Отсюда видно, что передаточная функция звена (системы) G(s) и импульсная переходная функция к(г) связаны прямым и обратным преобразованием Лапласа:

Частотная характеристика системы, соответствующая передаточной функции а(5), может быть получена формальной заменой аргумента 5 аргументом у'ю .

При синтезе динамических свойств экономической системы (как и любой другой системы) вводится в рассмотрение понятие типовых звеньев как некоторых простейших частей динамической системы.

Так, в [1] приводятся примеры экономических моделей, описываемых передаточными функциями апериодического и

колебательного

5(і)

к

(2)

Т5 + Г ' Т252 + 24Тк8 +1

дифференцирующего и и усилительного

К(5) = кБ; К (5) = к (3)

звеньев, где к, Т, Тк, 4 — коэффициент передачи, постоянные времени и коэффициент демпфирования, содержательный смысл которых определяется спецификой работы конкретного экономического объекта (организации, предприятия и т. д.).

Соответствующие дифференциальные уравнения получаются заменой ^ на dx2|Жі и имеютвид:

Жі

Ж2 х Жх

—2 + 2^ Т.-Ц- + Х2 = кхл Жі Жі

х2 = к Жх1/ Жі, х2 = кх1,

(4)

(5)

где х — величина на входе; х2 — величина на выходе системы.

Усилительное звено воспроизводит входную величину без искажения, но с изменением масштаба (с увеличением или уменьшением).

Переходные функции, соответствующие уравнениям (4)-(5) (или звеньям с передаточными функциями (2)-(3)) определяются выражениями:

К(і) = к

1

Ка (і) = к (1 - //Т),

БІП

&

(6)

(7)

‘) = к5{1), (8)

К (1 ) = к. (9)

Графики функции ка (г) и входной ступенчатой функции х приведены на рис. 2.

ос^)

о

а)

Рис. 2. Входная (а) и выходная (б) функции апериодического звена

Величина Т, имеющая размерность [сек], может быть определена из графика рис. 26 как величина проекции на линию установившегося значения кс, причем во всех точках кривой она одинакова. Для уточнения этого значения используется следующее свойство кривой: в точке г = Т функция ка (г) должнаиметьзначение ка (г)| = 0,63 кс.

Величину Т можно определить аналитически из выражения (10), найдя точку пересечения касательной и кривой ка (г) в точке г = 0.

Уравнение касательной имеет вид ка (г) = (к/Т )• г.

Далее из условия кг = к следует, что в точке пересечения ка (г) с

установившимся значением кс г = Т.

Графики колебательного и усилительного звеньев приведены на рис. 3.

Рис. 3. Графики переходных функций для колебательного (а) и

усилительного (б) звеньев

Следует отметить, что переходная функция (рис. 3а) имеет место лишь в том случае, если корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, т. е. 42 _ 1 < 0 . Для устойчивого

колебательного звена 0 <£к< 1. Если £к> 1, то колебательное звено может быть представлено в виде произведения двух апериодических звеньев с постоянными времени Т И Т2; при ^ = 1 апериодические звенья имеют одну и ту же постоянную времени, т. е. Т = Т2. При Т ф Т2 передаточная функция имеет вид

о

ь 0

'г(1) (Т^+1)(Г2*+1) ’

Т

к

где Т =

Т

к

а переходная характеристика определяется выражением

i t t Л

T — T -

h(t) = k

T - T 11 12

T - T 11 12

(ll)

График переходного процесса этого звена приведен на рис. 4.

Ь (*)

he

Ti

/ ^—' // / П (точка перегиба)

t

Рис. 4. Переходный процесс колебательного звена при £к > 1

При %к = 0 передаточная функция колебательного звена принимает

вид

Wa (S) = к/TS2 + l)

(12)

Система с такой передаточной функцией называется консервативной. Она не рассеивает энергию, в ней происходят незатухающие колебания.

Переходный процесс кд (г) дифференцирующего звена (8) представляет собой импульс бесконечно большой амплитуды, соответствующей бесконечно большой скорости изменения входной величины в момент скачка.

Наряду с дифференциальными уравнениями и передаточными функциями при исследовании динамики систем (вопросы устойчивости, качества, анализа, синтеза корректирующих устройств и т. д.) широкое применение нашли также частотные характеристики систем. Для приведенных динамических звеньев они имеют следующий вид.

- Для апериодического звена:

W (7®) = =

Ija +1

sJt V +1

- j-arctgTm

Модуль этой функции представляет собой амплитудно-частотную характеристику апериодического звена

Н (т)= к .

V +1

Аргумент этой функции является фазово-частотной характеристикой апериодического звена

Рассмотрим примеры адаптации приведенных описаний типовых звеньев к некоторым динамическим моделям [1].

Апериодическим звеном могут описываться: модели введения и освоения производственных мощностей; модель установления равновесной цены; экономика в форме динамической модели Кейнса.

Все эти модели описываются уравнением (6) или передаточной функцией апериодического звена в (2).

В модели освоения введенных производственных мощностей входной переменной x1 (г) обозначена введенная производственная

мощность, а выходной переменной x2 (г) — фактическое производство на

базе этой мощности в момент г (фактическое использование мощности).

Дифференциальное уравнение апериодического звена получено в предположении, что прирост производства пропорционален недоиспользованной мощности. Соответствующий переходный процесс Дх2 = у(х -х2)Лг, описываемый решением (6), при Т = 1/у завершается

выходом на заданный размер мощности.

В модели установления равновесной цены рассматривается рынок одного товара, время считается непрерывным, спрос Б и предложение £ линейно зависят от цены Р

2 (ю) = -аг^Та .

Для колебательного звена:

Соответственно для Н (ю) и 2 (ю) получаем

Для дифференцирующего звена:

Жд (7©) = к]а = ка ■ е 1 /2,

Н (®) = ка; 2 (ю) = ^2.

Для усилительного звена:

^(>) = к, Н(®) = к; 2(®) =0.

Б = а - ЬР, £ = а + рР, а > 0, Ь > 0, а> 0, Р> 0, а >а.

Основное предположение модели состоит в том, что изменение цены пропорционально превышению спроса над предложением:

АР = y(D - S )At, у> 0,

т. е. в случае действительного превышения спроса над предложением цена возрастает, в противном случае падает.

Отсюда следует, что процесс установления равновесной цены описывается дифференциальным уравнением апериодического звена, в котором

T = ——1—-; x2 (t) = Р(t); x1 (t) = ——— . y(b + 0) 2W w 1W b + p

При скачкообразном воздействии x (t) = PE — равновесная цена (точка пересечения прямых спроса и предложения) выход (цена) ведет себя так, как показано на рис. 26.

В экономике в форме динамической модели Кейнса делается

предположение, что ВВП y(t +1) в следующем году равен совокупному спросу предыдущего (текущего) года y (t), состоящий из спроса на

потребительские С и инвестиционные I товары, зависит только от ВВП текущего года:

y (t + f) = С [ y (t)] +1.

При линейной зависимости спроса на потребительские товары от ВВП и примерном постоянстве спроса на инвестиционные товары и

At ^ 0 приходим к уравнению инерционного звена, в котором

x2 (t) = y (t), T = ~^ — величина, обратная склонности к накоплению.

При x (t) = yE = C+I — равновесное (стационарное) решение, где

С — минимальный объем фонда потребления; С — склонность к потреблению, переходный процесс описывается выражением (6) и изображается графиком переходной функции апериодического звена 26.

Колебательным звеном описывается однономенклатурная система управления запасами. В этой системе предполагается, что фактическая интенсивность расхода неизвестна. Поэтому всегда будет образовываться запас y (t) (если y (t)> 0, то это действительно запас, если y [t)< 0, то это

дефицит). Изменение запаса связано с интенсивностью расхода x(t) и

поставок x (t) соотношением — = x - x. v ’ dt

Так как интенсивность расхода неизвестна, то управлять

интенсивностью поставок можно только по известному значению запаса

у (t).

Рассматриваются два варианта управления:

1) изменение интенсивности поставок пропорционально (с обратным знаком) величине запаса (при положительном запасе интенсивность поставок уменьшается, при отрицательном — увеличивается):

2) изменение интенсивности поставок пропорционально (с обратным знаком) как запасу, так и скорости его изменения:

Первый случай приводит к передаточной функции колебательного звена вида (12). При поступлении на вход системы (которая в начальный момент времени находилась в покое) заявок на товар с интенсивностью

Таким образом, при постоянной интенсивности расхода х запас у (г)

будет испытывать незатухающие колебания с амплитудой х / со .

Второй случай приводит к переходной функции вида (7). Соответствующий переходный процесс может быть представлен графиком (рис. 3 а).

Передаточной функцией колебательного звена (10), соответствующий коэффициенту демпфирования Е,к > 1, описывается совместный процесс введения и освоения производственных мощностей. Его переходная характеристика к (г) определяется выражением (11) и

изображается графиком (рис. 4).

Примером чисто дифференцирующего звена (акселератора) может служить зависимость инвестиций I от скорости изменения ВВП У:

где г — коэффициент усиления (акселерации), т. е. прирост потребности в инвестициях при увеличении ВВП на единицу.

Усилительным звеном (мультипликатором) в экономике может описываться зависимость валового внутреннего продукта У от валовых

1/р, (р> 1) — коэффициент усиления, который показывает, на сколько

должен быть увеличен ВВП для увеличения валовых инвестиций на единицу.

Ах = -а0у • Аг, а0 > 0 .

а0 > 0, а1 > 0, а0 > а12 /4 .

х1 (г) = 1 (г) переходный процесс описывается выражением

X

к (г) = у (г) = — Біпюг.

I = г •( ёУ ¡йг),

инвестиций I: У = — I , где р — доля валовых инвестиций в ВВП;

Р

Другие экономические процессы и системы также могут быть представлены в виде рассмотренных динамических звеньев и уравнений, а также их различных комбинаций. Это позволяет применить к анализу и синтезу экономических объектов хорошо разработанные методы теории систем.

Библиографический список

1. Колемаев В. А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 295 с.

2. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1985. 536 с.

3. Гришина С.А. Анализ вопросов управления организацией на основе методов теории систем // Известия ТулГУ. Экономические и юридические науки. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. Ч. 2. С. 271-277.

4. Гришина С.А. Об отрицательных аспектах проектирования системы управления предприятием на основе обычных постановок задач оптимизации // Технологическое образование и устойчивое развитие региона: сборник научных трудов Всероссийской научно-практической конференции с международным участием / под ред. В.В. Крашенинникова. Новосибирск: Изд. НГПУ, 2010. Ч. 1. С. 47-54.

5. Гришина С. А. Методологические основы проектирования

эффективной системы управления предприятием // Менеджмент качества в экономике, бизнесе, управлении и образовании: материалы

Международной научно-практической конференции / под ред. д. ф. н., проф. Ю.А.Северова, д. т. н., проф. Ю.Н. Арсеньева. М.-Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. С. 80-84.

S.A. Grishina

View of the economic process in the form of a closed-system dynamic and its mathematical description

Questions of the view of the economic process in the form of a closed-system dynamic are examined. Provides a compilation and systematization of material adaptation of systems theory to economic targets.

Key words: a control system of the organization, the managing influence revolting influence, transfer function, transient.