CC BY
119
УДК 519.7
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БУЛЕВЫХ ЛОГИЧЕСКИХ МАТРИЦ В ВИДЕ БИНАРНЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ПРЕДИКАТОВ
ГВОЗДИНСКИЙ А.Н., ЯКИМОВА Н.А., ГУБИН В.А.
Показывается возможность представления логических матриц с использованием аппарата дискретной математики, а именно бинарных предикатов. Описываются основные операции над логическими матрицами, которые рассматриваются как некий предикат.
Актуальность исследования определяется тем, что устоявшиеся представления о математической логике как о науке, изучающей законы мышления с применением аппарата математики, главным образом, для нужд самой математики, в современных условиях становятся слишком узкими [1]. С расширением областей применения и дальнейшим р азвитием математической логики изменяется и взгляд на нее. Объектами математической логики являются любые дискретные конечные системы, а ее главная задача - структурное моделирование таких систем.
Состояние проблемы. Человеческий язык, как явление дискретное, естественно, должен описываться средствами дискретной математики. Между тем, выбор средств указанного типа весьма ограничен. Это языки программирования для ЭВМ, логические исчисления, языки теории алгоритмов, аппарат теории графов. При попытке использования языков программирования или языков теории алгоритмов приходится столкнуться со следующим препятствием. Эти языки, как известно, предназначены для описания алгоритмов, т.е. процедур с однозначным исходом. Между тем, естественный язык многозначен, что проявляется, например, в виде омографичности слов, т.е. в неоднозначности их смысла. Языки программирования и теории алгоритмов - это такие языки, которые могут описывать только однозначные функции, естественный же язык требует формальных средств для описания многозначных функций.
Сущность исследования. Для описания естественного человеческого языка лучше всего подошел бы аппарат уравнений, подобный аппарату, используемому в математическом анализе, но отличающийся от последнего тем, что он предназначен для формализации не непрерывных, а дискретных процессов. Такой язык дают логические исчисления, а именно: исчисление высказываний и исчисление предикатов. Однако чтобы иметь возможность эффективно решать указанные уравнения, необходимо довести эти исчисления до уровня алгебраической системы [2, с.54].
В работах [3, 4] вводится понятие логической матрицы, заданной над скалярным логическим полем K={0, 1} или над скалярным полем предикатов про-
извольной арности. Рассмотрены также основные операции над такими логическими матрицами. Однако булеву модель можно свести к предикатной не только в том случае, если рассматривать элементы скалярного поля K={0, 1} как предикаты нулевой арности. Этого можно добиться, если рассматривать как некоторый предикат всю матрицу, а не отдельные ее элементы. В данной статье исследуется именно такое представление булевых логических матриц и описываются основные операции над логическими матрицами, которые р ассматриваются как некий предикат.
Целью исследования является поиск принципиальной возможности использования и представления различных типов логико-алгебраических моделей в форме булевых логических матриц в виде бинарных предикатов.
Постановка задачи и подходы к ее решению.
Представим логическую матрицу А как бинарный предикат. Возьмем матрицу А, представленную предикатом, который определяется табл. 1.
Таблица 1
1 2 3 4
1 0 0 1 1
2 1 0 0 1
3 0 0 0 1
4 1 1 1 0
Предикат А(х, у) задан на декартовом произведении тґп, где m=1,..., 4, n=1,..., 4, и определяется формулой: А(х, у)=
=х1у3 V х1у4 V х2у1 V х2у4 V х3у4 V х4у1 V х4у2 V х4у3.
В случае разбиения матрицы А ее блоки тоже можно рассматривать как бинарные предикаты. Для матрицы
A =
' 0 0 1 1 Ї
1 0 0 1
0 0 0 1
, 1 1 1 0,
A11 A A21 A
12
22
ее блоки могут иметь следующий вид:
0 0 ' 1 1
Ап= 1 0 , А12= 0 1
0 0^ 0 1
А21=(1 1), А22=(1 0).
Им будут соответствовать следующие предикаты, определенные на декартовых произведениях {1, 2, 3} х {1, 2}, {1, 2, 3} х {3, 4}, {4} х {1, 2}, {4} х {3, 4} соответственно (табл. 2,3).
Таблица 2
\ х 1 2
у Nw
1 0 0
2 1 0
3 0 0
Таблица 3
\ х 3 4
у\
1 1 1
2 0 1
3 0 1
Выражаться эти предикаты будут следующими формулами:
108
РИ, 2007, № 2
Аіі(х, у)=х2у1, Аі2(х, у)=х!у3 V xV4 V хУ V х3у4,
А2і(х, у)=х4у1 V х4у2, А22(х, у)=х4у3.
Таблица 4 Таблица 5
\ х у 3 4
4 1 0
\ х у 1 2
4 1 1
В этом случае рассматриваемая блочная матрица может быть записана в виде:
А=
xV x'y3 V хУ V x2y4 V x3y4
x4y' V x4y2 x4y3
Для матрицы В: предикатами
1 1 0 1
1 0 0 1
0 1 0 1
1 1 1 0
блоки могут определяться
Как и в случае дизъюнкции блочных логических матриц А и В, блоки их конъюнкции также будут представлены бинарными предикатами, определенными на тех же декартовых произведениях, что и соответствующие блоки матриц А и В.
Для того чтобы построить отрицание булевой блочной логической матрицы, представленной бинарными предикатами, нужно в каждом ее блоке заменить представляющий его предикат на такой, дизъюнктами которого будут пары, не вошедшие в соответствующий блок матрицы А и определенные на том же декартовом произведении. При этом вошедшие в исходный бинарный предикат дизъюнкты следует исключить. Таким образом, отрицание блочной булевой матрицы А запишется в виде:
A =
1 1 w 1 2 w 2 2 w 3 1 w 32 2 3 w 33'
xy Vxy Vxy Vxy Vxy xy Vxy
0
4 4
x у
где блок А21=0 будет нулевым.
Вц=х1у1 v х1у2 v х2у1 v х3у2,В12=х1у4 V х2у4 V х3у4, В21=х4у1 V х4у2, В22=х4у3,
Умножение на логический скаляр а булевой логической матрицы А, представленной бинарными предикатами, происходит таким же образом, как и умножение обыкновенной логической матрицы на скаляр [3]. Для блочной матрицы разбиение на блоки при
определенными на тех же декартовых произведениях, что и соответствующие блоки матрицы А. Запишем
этом также сохраняется [4]. Таким образом, матрица
матрицу В в блочном виде с помощью бинарных
xy V xy Vxy V x3y2 xy V x2y4 V x3y4
предикатов:
В=
Матрица С=А V В будет иметь вид:
аА будет следующей:
(
xy V x4y2
x4y3
аА=а
xy
4 1 4 2
^ x y v x y
2 1 ax y
13 14 2 4 3 4 \
x y Vx y Vx y v xy '
x4y3
4 1 4 2
axy1 V ax4y
/
axy V ax'y4 V ax2y4 V ax3y4
4 3
ax y
C =
(x2y') V (xy V xV2 V xy V x3y2) (xy V xy V x2y4 Vx3y4) V (x'y4 V x2y4 V x3y4) (xy Vx4y2) V(x4y' V x4y2) (x4y3) V(x4y3)
( 11 12 21 3213 14 24 3 4 ^
x y V x y V x y V x y x y V x y V x y V x y
4 14 2 x y v x y
43
xy
Чтобы найти конъюнкцию матриц А и В, конъюнкцию соответствующих бинарных предикатов следует проводить по следующему правилу: операция конъюнкции проводится только над теми дизъюнкциями предикатов, у которых совпадают индексы при переменных. Другими словами, при операции дизъюнкции каждый из дизъюнктов блоков матриц А и В являлся дизъюнктом результирующего предиката, если он был дизъюнктом хотя бы одного из дизъюнктируе-мых блоков. При операции конъюнкции необходимо его вхождение в оба конъюнктирумых предиката.
Таким о бр азом, матрица С=А Л В будет иметь следующий вид:
Умножение блочных булевых логических матриц, представленных бинарными предикатами, как и их конъюнкция и отрицание, аналогично тому, которое было введено для обыкновенных блочных логических матриц [4]. Другими словами, область определения переменной у для блока Ау должна совпадать с областью определения переменной х блока Bjk. Только в этом случае над матрицами А и В можно проводить операцию умножения. Областью определения блока Cik при этом будет декартово произведение области определения переменной х блока Ay на область определения переменной у блока Bjk. В рассматриваемом примере для выполнения правила членения матриц для возможности их перемножения матрицу В необходимо переразбить следующим образом:
1 1 0 1
1 0 0 1
В= 0 1 0 1
1 1 1 0
( 1 1 1 2 2 1 1 4 2 43
xy vxy vxy xy vxy
32 41 42 43 34
v xy V xy V xy V xy xy J
C=
(x2у1) Л (x1 у1 VXіy2 V x2y1 V x3y2) (Xіу3 V x1 y4 V x2y4 Vx3y4) Л (x1 y4 V x2y4 V x3y4) (x4У V x4y2) Л (x4y1 V x4y2) (x4y3) Л (x4y3)
( 2 1 1 4 2 4 3 4 Л
x y rf V X У v x’y
4 1 4 2 4 3
У xy V xy xy J
РИ, 2007, № 2
109
Области определения ее блоков при таком разбиении будут следующими: для Вп {1, 2} х {1, 2, 3}, для В12 - {1, 2}х {4}, для В21 - {3, 4} х {1, 2, 3}, для В22 -{3, 4} х {4}. В этом случае блок С11 в качестве области определения будет иметь декартово произведение {1, 2, 3} х {1, 2, 3}, блок С12 - декартово произведение {1, 2, 3} х {4}, блок С2і - декартово произведение {4} х {1, 2, 3}, блок С22 - декартово произведение {4} х {4}. Таким образом, матрица С=АВ будет выглядеть следующим образом:
Г 12 1 4 w 2 4 1
X у X у V X у
А 31w41w42w43 34 ’
^ x у V x у V x у V x у x у J
блок AT1 которой определен на декартовом произведении {1, 2} х {1, 2, 3}, блок АТ - на декартовом произведении {3, 4} х {1, 2, 3}, блок А^ - на декартовом произведении {1, 2} х {4}, блок А22 - на декартовом произведении {3, 4} х {4}.
(
С=
xV
13 14 24 3 4^
x^3 v x^4 v x2y4 v x3y4
4 1 4 2
v x у V x у
xV
(
1 1 1 2 2 1 1 4 2 4 A
xy v xy v xy xy v xy
32 41 42 43 34 .
У xy v xy v xy v xy xy )
Умножение соответствующих предикатов в данном случае также происходит не в общепринятом смысле. Каждый дизъюнкт первого предиката умножается только на те дизъюнкты второго, у которых индекс переменной х совпадает с индексом переменной у первого предиката. Результатом такого умножения станет произведение переменной х, которой приписан индекс из дизъюнкта первого предиката, на переменную у из дизъюнкта второго предиката также с приписанным ей индексом. Выполняя это правило, получаем матрицу С из рассматриваемого примера:
С=
x1y1 V x1y2 V x1y3 V x2y1 V x2y2 V x2y3 V x3y1 V x:
x4y1 V x4y2
Рассмотрим теперь операцию транспонирования блочных булевых логических матриц. В отличие от транспонирования обычных логических матриц, кроме обычного транспонирования, т.е. замены строк столбцами, происходит еще транспонирование самих элементов, которые также представляют собой логические матрицы. Другими словами, транспонированная матрица 'АТ AT 4
А11"'Аш1
Выводы. Разработаны, обоснованы и исследованы новые по дходы интерпретации алге бр ы булевых функций, алгебры конечных предикатов к алгебре предикатных операций как абстрактному эквиваленту этих алгебр. Научной новизной приведенных в статье материалов является разработка и обоснование возможности использования математического аппарата логической алгебры в виде бинарных предикатов для формализации текстовой информации в системах искусственного интеллекта. Практическим значением полученных теоретических результатов является то, что изложенный подход позволяет разрабатывать и проектировать информационные системы и системы искусственного интеллекта. На базе предложенных результатов может быть создан универсальный естественно-языковой интер фейс.
Литература: 1. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. Киев: Техника, 1975. 768с. 2. Шабанов-
Кушнаренко Ю.П. Теория интеллекта. Математические средства. Харьков: Вища школа. 144с. 3. Гвоздинская-Н.А., Дударь З.В., Пославс-кий С.А., Шабанов-Кушнаренко Ю.П. О логических матрицах // Проблемы бионики. Вып. 48. С. 12-22. 4. Гвоздин-ский А.Н., Якимова Н.А. Булевы и предикатные блочные логические матрицы //АСУ и приборы автоматики. Вып. 121. С.109-114.
Поступила в редколлегию 19.02.2007 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Путятин В.П.
2 w 3 3
у V x у
14., 24
x у V x у
4 4
x у
будет иметь вид: АТ:
АТ
..А
T
mn
В случае поля К={0, 1} и в случае поля предикатов произвольной арности операция транспонирования блочной логической матрицы представляется очевидной. Если же матричные блоки представлены бинарными предикатами, транспонирование самих блоков происходит по следующему правилу: каждый дизъюнкт бинарного предиката, представляющего некоторый блок транспонируемой логической матрицы А, заменяется на такой, где индексы при переменных х и у поменяются местами. При этом области определения каждого блока также поменяются на противоположные, т.е. если некоторый блок Ау матрицы А был определен на декартовом произведении n ґш, то блок АТ будет определен на декартовом произведении шґп. Таким образом, матрица, транспонированная по отношению к рассматриваемой матрице А, будет иметь следующий вид:
Гвоздинский Анатолий Николаевич, канд. техн. наук, профессор кафедры искусственного интеллекта ХНУ-РЕ. Научные интересы: оптимизация процедур принятия решений в сложных системах управления. Адрес: Украина, 61166, Харьков, ул. акад. Ляпунова 7, кв. 9, тел. 702-38-23.
Якимова Наталья Анатольевна, канд. техн. наук, доцент кафедры компьютерной алгебры и дискретной математики Одесского национального университета. Научные интересы: искусственный интеллект, логическая алгебра. Адрес: Украина, 65121, Одесса-121, пр. Маршала Жукова, 10/5, кв.25.
Губин Вадим Александрович, ст. преподаватель кафедры искусственного интеллекта ХНУРЕ. Научные интересы: интеллектуальный анализ текстовых данных. Адрес: Украина, 61054, Харьков, ул. Гв. Широнинцев, 23, кв.286, тел. 710-64-12.
110
РИ, 2007, № 2
