CC BY
29
наибольших и наименьших значений. Практика использования вышеприведенной обучающей модели в учебном процессе, как в средней школе, так и в вузе, показала ее эффективность.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Клово А.Г., Калашников В.Ю., Середа А.М., Ляхова Н.Е., Макарченко М.Г., Дячен-ко С.И. и др. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену по математике в 2006 году. М.: Федеральный центр тестирования, 2005.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Физмат-гиз, 1963.
М.Г. Макарченко
ПРЕДСТАВИМОСТЬ ПРЕЕМСТВЕННО-ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ МЕТОДИЧЕСКОЙ
КОНТЕКСТУАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ В ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКАХ АЛГЕБРЫ
Восприятие любой информации, в частности и математической, и методической, всегда контекстуально и вне контекста осуществляться не может. Учитель математики все время находится в «контексте» преподаваемого им учебного предмета: в контексте программно-административной документации, в контексте концепции и технологии обучения, в контексте учебно-методического комплекса, личностного и авторского подходов к образовательному процессу и т.п. Он не бывает свободным от контекста. По мнению А.В. Брушлинского, контекст может оказывать тормозящее или активизирующее влияние на процессы мышления, препятствовать или способствовать возникновению проблемных ситуаций [3]. Контекст проецируется в систему восприятия опытного педагога в опережающем режиме, упреждая восприятие и создавая информационную базу, на основе которой происходит опознание раздражителя. Правильное дееспособное методическое опознание позволяет должным образом регулировать образовательный процесс. Методический контекст молодого неопытного педагога, как правило, является «слабой» не оформившейся психической конструкцией, когнитивная структура которой не укомплектована достаточным количеством взаимосвязей, жаждущая апперцептивного обогащения и очень шаткая с точки зрения антиципационной деятельности. В связи со сказанным необходимо на базе педвуза начинать формирование методического контекста будущего учителя математики. Учитывая, что речь идет о контексте учителя математики, уместнее говорить о методико-математическом контексте.
Данная работа связана с рассмотрением некоторых аспектов методико-математического контекста учителя математики, прежде всего касающихся восприятия им школьного учебника математики. Учебник содержит в себе информацию и математическую (предметную), и выражает авторский сценарий организации образовательного процесса как в целом, так и локально (методическая информация). «Просканировать» методический замысел автора и грамотно спрогнозировать его реализацию - целевое предназначение методико-математического контекста учителя.
Для ведения предметного разговора введем некоторые важные понятия и раскроем их содержание.
Контекстуальные системы (КС) - формы организации когнитивного материала, образующие системы и участвующие в процессе восприятия [2, 333]. КС участвуют в формировании у человека контекстов, связанных с различными областями жизнедеятельности. Под контекстом понимается «психическая конструкция, образованная совокупностью КС; мемориально-когнитивный тезаурус индивида, осуществляющий информационное обеспечение психической деятельности» (там же).
Под методико-математической КС будем понимать:
1) форму организации когнитивного методико-математического материала, образующую систему в сознании учителя и участвующую в процессе восприятия явного или иным образом представленного образовательного процесса по математике;
2) психическую конструкцию, возникающую в результате установления связей между различными психическими конструктами на основании методико-математической общности.
Далее термин «методико-математическая контекстуальная система» будем называть методическая контекстуальная система (МКС).
В школьных учебниках математики скрыты или явно выражены различные виды МКС. Анализ школьных учебников алгебры показал, что в их текстах можно выделить мотиво-целеполагающую, преемственно-познавательную и рефлексивно-оценочную МКС.
В данной статье речь пойдет о некоторых особенностях восприятия образа преемственно-познавательной МКС. Для раскрытия прообраза рассматриваемой МКС в текстах учебников алгебры [1; 5] приведем результаты исследований, связанных с общими вопросами, соблюдения преемственности в обучении.
В результате теоретического исследования преемственности в обучении математике В.М. Туркина пришла к выводу: «Развитие и преемственность - два взаимосвязанных и взаимозависимых процесса, они не существуют один без другого. Суть установления преемственных связей - каждая следующая стадия процесса развития не надстраивается, а выращивается из предыдущей. Преемственность в развитии тесно связана с перестройкой, дополнением и преобразованием прошлого опыта человека, на базе которого происходит овладение им новой способностью» [8]. «Под преемственностью в обучении математике будем понимать установление взаимосвязей между старым и новым опытом с целью преобразования отдельных знаний и умений по математике в математическую способность. Тогда процесс установления преемственных связей есть процесс перестройки старого опыта в новую способность» [8].
Рассматривая обучение студентов методическим знаниям и умениям как процесс формирования и развития у них когнитивных структур, в частности формирования МКС, классификацию преемственных связей проведем в зависимости от характера изменений, происходящих со структурами в процессе обучения. Д. Норман [6] выделил три различные формы научения: наращивание структур; создание структур; настройка структур. К этим формам научения можно добавить еще одну, фактически рассмотренную Л.Б. Ительсоном [4]: перестройка структур - форма научения, состоящая из преобразований структур трех типов: создание подструктуры; координация внутри структуры; перецентровка структуры
Преемственно-познавательная МКС представлена в учебниках текстами, в которых излагаются основные теоретические сведения и способы действий. Кроме того, в этих текстах опосредовано, показано, каким образом можно излагать учебный материал на уроке, какими приемами можно связать новый материал с ранее изученными знаниями. Понятно, что студенту педвуза очень трудно опознать методический контекст учебного текста. Вскрыть методические приемы реализации принципов преемственности и приемы раскрытия нового учебного содержания можно, если учесть законы формирования и развития когнитивных структур, о которых говорилось выше.
Анализируя тексты учебников алгебры и математики, приходим к выводу, что заложенные в них контексты, указывающие на преемственность, могут быть следующими: 1) преемственность «настройка - наращивание»; 2) преемственность «настройка - создание»; 3) преемственность «настройка - перестройка» (а) реорганизация, б) координация, в) перецентровка).
ПРИМЕР 1. В учебнике [5] представлен параграф 3 «Математическая модель». Рассмотрим представимость рассматриваемой контекстуальной системы в этом параграфе.
Параграф начинается с рассмотрения примера, после которого введен термин «математическая модель» и некоторое ее описание.
Представьте себе такую ситуацию: в школе четыре седьмых класса. В 7 А учатся 15 девочек и 13 мальчиков, в 7 Б - 12 девочек и 12 мальчиков, в 7 В - 9 девочек и 18 мальчиков, в 7 Г - 20 девочек и 10 мальчиков. Если нам нужно ответить на вопрос, сколько учеников в каждом из седьмых классов, то нам 4 раза придется осуществлять одну и ту же операцию сложения: в 7А 15+13=28учеников;
в 7 Б 12+12=24 ученика;
в 7 В 9+18=27учеников;
в 7 Г 20+10=30учеников.
Используя математический язык, можно все эти четыре разные ситуации объединить: в классе учатся а девочек и в мальчиков, значит, всего учеников а+в. Эту запись а+в называют
математической моделью данной реальной ситуации. Алгебра в основном занимается тем, что описывает различные реальные ситуации на математическом языке в виде математических моделей, а затем имеет дело уже не с реальными ситуациями, а с этими моделями, используя разные правила, свойства, законы, выработанные в алгебре.
Первый абзац представляет собой описание одной из многообразных реальных ситуаций, которые можно смоделировать средствами математики. Далее автор разъясняет удобство объединения четырех ситуаций в одну. Этот частный пример, как бы, убеждает читателя в том, что математическое моделирование «имеет право на жизнь» - есть один пример моделирования, одно «удобство», значит, следует изучать возможности процесса моделирования. Здесь скрыто рассуждение от единичного к частному. На первый взгляд может показаться, что это не дедуктивное рассуждение, а индуктивное, но, ведь, индукция это переход от частного к общему - а, где здесь «общее»? Обобщение в данном параграфе присутствует только применительно к действиям, входящих в процесс моделирования, само же понятие математического моделирования не определяется и не расшифровывается через другие понятия. В этом тексте на самом первоначальном уровне происходит создание нового представления - представления о математической модели. Но, поскольку, это представление не создается на «пустом» месте (оно базируется на примере), то приведенный пример выступает в качестве настройки - создания нового представления. В связи с этим методическим контекстом приведенного текста следует считать преемственность типа «настройка - создание».
Термин математическая модель является центральным в тексте параграфа и его контексте. Последнее предложение, приведенного текста подтверждает сказанное. С одной стороны, в этом предложении создается мотив, обладающий директивной функцией, что подтверждается словами «алгебра в основном занимается», а с другой стороны, автор как бы настраивает введение этапов математического моделирования, о которых речь идет в этом параграфе далее. Далее в тексте параграфа (здесь соответствующий текст не приводится) создается мотив, обладающий направляющей функцией, что подтверждается словами «надо уметь двигаться и в обратном направлении», и в тоже время автор «настраивает» введение третьего этапа математического моделирования, в котором говориться об обратном действии. «Настроив» два важнейших этапа математического моделирования, автор, задавая проблемный вопрос, переходит к настройке всех трех этапов математического моделирования. Приведем соответствующий текст учебника.
Пример. В классе девочек вдвое больше, чем мальчиков. Если из этого класса уйдут три девочки и придут три мальчика, то девочек будет на 4 больше, чем мальчиков, Сколько учеников в данном классе?
Решение. Пусть х - число мальчиков в классе, тогда 2х - число девочек. Если уйдут три девочки, то останется (2х-3) девочек. Если придут три мальчика, то станет (х+3) мальчиков. По условию девочек будет тогда на 4 больше, чем мальчиков; на математическом языке это записывается так: (2х-3)-(х+3)=4.
Это уравнение - математическая модель задачи. Используя известные правила решения уравнений, последовательно получаем:
2х-3-х-3=4 (раскрыли скобки); х-6=4 (привели подобные слагаемые); х=6+4; х=10.
Теперь мы можем ответить на вопрос задачи. В классе 10 мальчиков, а значит, 20 девочек (вы помните, их по условию было в 2 раза больше).
Ответ: всего в классе 30учеников.
Обратим внимание на следующее обстоятельство: заметили ли вы, что в ходе решения было четкое разделение рассуждений на три этапа?
Как видим, последний абзац представляет собой рефлексию, направленную на осознание предметно-специфического приема познания - приема математического моделирования, описание которого представлено ниже.
На первом этапе, введя переменную х и переведя текст задачи на математический язык, мы составили математическую модель - в виде уравнения (2х-3)-(х+3)=4.
На втором этапе, используя наши знания, мы это уравнение решили, точнее, довели до самого простого вида (х=10). На этом этапе мы не думали ни про девочек, ни про мальчиков, а занимались «чистой» математикой, работали только с математической моделью.
На третьем этапе мы использовали полученное решение, чтобы ответить на вопрос задачи. На этом этапе мы снова вернулись к девочкам, мальчикам и интересующему нас классу.
Таким приемом автор «настраивает» когнитивную структуру учащихся для введения «наращивания» этапов математического моделирования. Следующий текст учебника говорит об этом, приведем его.
Подведем итоги. В процессе решения задачи были четко выделены три этапа:
Первый этап. Составление математической модели.
Второй этап. Работа с математической моделью.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Вот так обычно применяется математика к реальной действительности. После рассмотренного примера повторим вопрос: как вы думаете, нужны ли математические модели и надо ли уметь работать с ними? Нужны! Разумеется, чем сложнее модель, тем больше фактов, правил, свойств приходится применять для ее упрощения. Эти факты, правила, свойства надо изучить, что мы и будем с вами делать.
Как видим, использование рефлексии в качестве посредника в процессе соблюдения преемственности удачный методический прием, которым часто пользуются авторы школьных учебников. Последний абзац, приведенного текста реализует мотивы разных направленностей: побуждающей и стимулирующей. Сочетание различных МКС оптимизирует и процесс восприятия текста, и при умелом его использовании придаст образовательному процессу адекватную эмоциональную окраску.
ПРИМЕР 2. Учебник по алгебре [1] открывает глава «Неравенства». Рассмотрим второй параграф этой главы. Он называется «Числовые неравенства». Рассмотрим следующую часть текста.
4 3
Сравним, например, числа — и —. Для этого найдем их разность:
5 4
4 3 16-15 1 16-15 1 4
Следовательно, — - — = -=--= —, т. е. — получается прибавлени-
5 4 20 20 20 20 5
3 1 4 3 1
ем к числу — положительного числа -. Это означает, что число — больше — на —. Таким
4 20 5 4 20 43
образом, — > —, так как их разность положительна.
Определение. Число а больше числа Ь, если разность а-Ь положительна. Число а меньше числа Ь,если разность а-Ь отрицательна.
Контекст этой части текста можно определить как преемственность «настройка - нара-
43
щивание». «Настройкой» здесь является пример сравнения двух чисел — и — . В ходе настройки
54
не следует излагать указанные знания как новые, а целесообразно актуализировать «старые» знания о сравнении чисел с помощью вопросов и устных упражнений. Прием актуализации позволяет определить степень забытья и непонимания темы и подвести учеников к осмыслению слов, фраз, терминов и обозначений, использованных в определении. Результат «осмысления» необходимо настроить в виде определения, его значение и сам текст являются объектом «наращивания».
Рассмотрим контекстуальные системы других текстов параграфа. Для этого разберем следующую часть текста.
Если а больше Ь, то пишут: а>Ь; если а меньше Ь,то пишут: а<Ь.
Таким образом, неравенства а>Ь означает, что разность а-Ь положительна, т.е. а-Ь>0. Неравенство а<Ь означает, что а-Ь<0.
Этот текст говорит о стремлении авторов придать обучению школьников, одной стороны рефлексивную позицию, направленную на организацию протекания их речевых и умственных действий. Второй абзац авторы выделили цветной полосой, как основной материал, тем самым, показывая, что этот текст важен для понимания учащимися. Слова «таким образом» говорят об интер-
претации вышеприведенного определения. С другой стороны, интерпретация определения, как бы, перестраивает последнее, придавая значению определения другую форму - форму практической направленности. Это значит, что можно говорит о контексте преемственность «настройка - перестройка».
ПРИМЕР 3. Рассмотрим третий параграф первой главы «Неравенства» учебника по алгебре [1]. Он называется «Основные свойства числовых неравенств». Рассмотрим следующий текст этого параграфа. Он представлен тремя теоремами и двумя следствиями, которые создают контекстуальную структуру преемственность «настройка - создание новой структуры». Авторы учебника представляют свойства числовых неравенств в виде теорем с доказательством. Ранее (в учебнике 7 класса) учащимся не встречались теоремы с доказательством. Поэтому, с одной стороны, казалось бы, можно сказать, что контекстуальные системы этого текста преемственность «наращивание - создание новой структуры - теорема по алгебре». Но, с другой стороны, еще из курса геометрии ученики были знакомы с такой структурой как теорема и ее доказательство. В связи с этим не совсем верным будет говорить о новизне именно этой «структуры» для учащихся, а точнее было бы говорить о преемственности «настройка - наращивание». Если рассматривать формулировки теорем с точки зрения последующего их применения, то можно сказать, что аппарат применения в лице совокупности вытекающих из теорем приемов сравнения является такой особенностью контекстуальной структуры как преемственность «настройка - создание». Помимо этого у теорем и их следствий есть свои контексты. Рассмотрим их.
Теорема 1. Если а>Ь и Ь>с, то а>с.
По условию а>Ь и Ь>с. Это означает, что а-Ь>0 и Ь-с>0.Складывая положительные числа а-Ь и Ь-с, получаем (а-Ь)+(Ь-с)>0, т. е. а-с>0. Следовательно, а>с.
При доказательстве этой теоремы авторы не объясняют, почему они доказывают теорему именно таким способом. В доказательстве не присутствует ссылка на предыдущий параграф, а именно: на абзац, в котором говорится: чтобы определить какой знак при сравнении двух чисел нужно поставить между ними, надо определить знак их разности. Так же не объясняется, почему складываются положительные числа а-Ь и Ь-с, и вообще доказательство не является полным с точки зрения аргументации. Таким образом, здесь нельзя говорить о рефлексии как таковой, а, скорее всего, здесь присутствует наращивание новых знаний.
Таким образом, в формировании у студентов МКС, представляется важным учитывать принцип контекстуальной преемственности, сущность которого состоит в установлении взаимосвязей между имеющимися методическими контекстуальными системами и методическим объектом или явлением (новым или знакомым) в контексте его восприятия с целью преобразования отдельных знаний и умений по методике обучения математики в методическую способность. Реализация этого принципа позволяет свести к минимуму, в количественном отношении, необоснованное создание новых методических структур у студентов как будущих учителей математики, и в последствии, новых математических структур или схем у их будущих учеников, поскольку создание новых структур требует больших усилий как от учащихся, так и от преподавателей. Следовательно, необходимо «обеспечить преимущественность более легких процессов наращивания, настройки и перестройки структур» [5, 134].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Сост. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. М.: Просвещение, 2002.
2. Бехтель Э.Е., Бехтель А.Э. Контекстуальное опознание. СПб., 2005.
3. Брушлинский А.В. Психология мышления и проблемное обучение. М., 1983.
4. Ительсон Л.Б. Психологические основы обучения. М.: Знание, 1978.
5. Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2000.
6. Норман Д. Память и научение. М.: Мир, 1985. С. 103-105.
7. Тестов В.А. Стратегия обучения математике. М.: Технологическая Школа Бизнеса, 1999.
8. Туркина В.М. Установление преемственных связей в обучении математике: Теоретический аспект. СПб., 2002. С. 43.
