CC BY
54
—оо < р < оо}. Пусть также Р - оператор умножения нар Є C2(W), W = (0,7г) х (0,27г). Обозначим через цП'і собственные числа оператора Т + Р, взятые с учетом алгебраической кратности, такие, что \цп,г — п(п + 1)| ^ const.
Теорема. Если р - нечетный, дважды непрерывно дифференцируемый потенциал, то для собственных чисел оператора Т + Р верно равенство
оо ( 2п 'j ^ «г.
М0,0 + \ ^2 VnA - п(п + !)(2п + !) \ = -т~ // Р2(в' v) si
n=l I ¿=0 J Л ъ
sin 6dipd8.
Доказательство. Воспользуемся равенством
2 п 2 п
= п(п + 1)(2п + 1) + /¿п,і(Рупі, Vni) + OLn(p) + Рп{р) + О ( \ j ,
¿=0
г=0
где ап(р) - вторая поправка теории возмущений, /Зп(р) ~ третья поправка теории возмущений. В силу нечетности функции р(6, <£>)
С\ -J ГГ
Y^(Pvni,vni) = II р(в, V3)sin Odipde = 0,
i=0 г
а„(р) = О ($£) , /?„(р) = ¿¡Sp f - f [Р(Т - \E)~1]3d\ = 0.
in-1
ЛИТЕРАТУРА
Садовничий В.А., Дубровский В.В. О классической формуле первого регуляризованного следа оператора Лапласа с нечетным потенциалом на сфере // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1996. Вып. 19. С. 37-72.
ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: ИСТОРИЧЕСКИЙ АСПЕКТ
© Г.А. Тырыгина (Тольятти)
"Содержание школьного курса математики группируется вокруг нескольких стержневых линий ... Этот состав отражает длительный опыт обучения математике и в настоящее время практически полностью соответствует мировой практике. Исключение составляет ... линия, связанная с теорией вероятностей и математической статистикой, и ставшая чрезвычайно актуальной в изменившихся и динамично меняющихся условиях современного общества. (Учебные стандарты школ России. Книга 2. Математика. Естественно-научные дисциплины. М.: Прометей, 1998, с. 27).
Построение целостной концепции обучения вероятности, начиная со школы, невозможно без понимания предмета теории вероятностей. Долгим и трудным был путь развития понятия вероятности, от нечетких и неясных до современных представлений, причем на протяжении столетий не использовалась математическая символика. Развитие представлений о предмете теории вероятностей, на наш взгляд, можно разделить на четыре периода.
Первый период развития связан с именами Г. Гюйгенса, Я. Бернулли, А. Муавра, П.С. Лапласа, А. Пуассона, В.Я. Буняковского. В переписке Ферма и Паскаля находим, что предметом нового раздела естествознания являются игральные кости и карточные игры. Такое понимание предмета теория вероятностей часто возникает и у современных людей при начальном знакомстве с ней.
Кроме того, и в современных сборниках задач по теории вероятностей можно найти немало задач по азартным играм. "Я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории" (Гюйгенс).
Второй период связан с именами П.Л. Чебышева, A.A. Маркова. По Чебышеву: "Наука о вероятностях, известная под именем теория вероятностей, имеет предметом определения вероятности события по данной связи его с событиями, вероятности которых известны". А.Н. Колмогоров замечает: "С методологической стороны основной переворот, совершенный Чебышевым, заключается не только в том, что он впервые с полной настойчивостью выдвинул требование абсолютной строгости доказательства предельных теорем, но главным образом в том, что Чебышев всюду стремился получить точные оценки отклонений от предельных закономерностей, возможных при хотя бы и большом, но конечном числе испытаний" (Роль русской науки в развитии теории вероятностей // Учен. зап. МГУ. 1947. Вып. 91).
Третьему периоду положил начало Р. Мизес в начале XX века: область применения теории вероятностей - массовые случайные явления. По этому поводу Хинчин заметил, что "в основных тезисах (Р. Мизеса) нашел в себе отражение взгляд, играющий основополагающую роль в современных воззрениях: взгляд на теорию вероятностей как на учение о массовых явлениях". Следует заметить, что Мизес не считал теорию вероятностей математической теорией, а полагал ее частью естествознания, использующей математические методы для обработки своих наблюдений. Поэтому Б.В. Гнеденко счел необходимым включить слова "математическая наука" в формулировку предмета теория вероятностей - "математической науки, изучающей закономерности случайных явлений".
Четвертый период, на наш взгляд, начинается с Ф. Феллера, автора знаменитого учебника, который, по словам А.Н. Колмогорова, получил в СССР широкое признание. Представление Феллера о том, что реальную действительность теория вероятностей изучает при помощи моделей, развили впоследствии в своих учебниках A.A. Боровков, Ю.А. Розанов, Б.А. Севастьянов, А.Н. Ширяев и другие. "Теория вероятностей - это математическая наука, которая изучает математические модели случайных явлений ... Если говорить более подробно, то теория вероятностей устанавливает такие связи между вероятностями случайных событий в математических моделях, которые позволяют вычислять вероятности сложных событий по вероятностям более простых событий" (Б.А. Севастьянов). "Теория вероятностей ... предлагает разнообразные математические модели для типичных случайных явлений ... в рамках этих моделей изучает присущие им вероятностные закономерности" (Ю.А. Розанов). А.Н. Ширяев в определении предмета теории вероятностей явно не вводит математическую модель, но замечает, что призванная изучать количественные характеристики "случайности" теория вероятностей, как и всякая точная наука, стала таковой лишь тогда, когда было четко сформулировано понятие вероятностной модели, когда была создана ее аксиоматика. "Основная цель теории вероятностей - подсчет вероятностей сложных событий для данной вероятностной модели".
Итак, подводя итог исследованию обсуждаемого вопроса, можно сказать, что представление о предмете теории вероятностей определялось состоянием науки своего времени. Анализ современных отечественных учебников и учебных пособий по теории вероятностей показывает, что методически безупречны те учебники, авторы которых уделяют внимание обсуждению предмета теории вероятностей.
