CC BY
24В.Х.Хаханян
ПРЕДИКАТЫ РЕАЛИЗУЕМОСТИ ДЛЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
В [1] А.Г.Драгалин предложил метод получения одних моделей типа реализуемости для интуиционистской арифметики из других. Мы предлагаем аналогичный метод для теории множеств с интуиционистской логикой ZFIDC (точная формулировка может быть найдена в [2]). Как и в [2], мы считаем, что ZFIDC содержит термы, вводимые по аксиоме выделения. Предикат Т, определенный на множестве предложений теории ZFIDC, назовем предикатом типа реализуемости (г-предикатом), если 1) ZFIDC выводимо р ^ Тр ; 2) Тр Т(р ^ у) ^ Ту для любых предложений ф и у. Самый простой пример г-предиката: Tф ^ ZFI выводимо р. Первая операция, дающая новые г-предикаты, такова: если { Тг- } -семейство г-предикатов, то новый предикат, Т=П гТ,, т.е. Тр^У/Тр,. Опишем теперь вторую операцию. Пусть Л -высказывание и Т - г-предикат. Пусть А - предикат, заданный на множестве замкнутых атомарных формул ZFIDC. Допустим, что:
1) Л^Ар^Тр для всех замкнутых атомарных формул ZFIDC
2) Л^Тр
3) если р-атомарная истинная замкнутая формула, то Ар
4) если р-атомарная замкнутая ложная формула и Ар, то А
5) предикат А экзистенциален на множестве атомарных формул, т.е.Уд[Л(деО ^ Л(дег)] л Л(гер) ^ Л( t ер )
6) для всякой формулы р(х) с одной свободной переменной и для всякого терма X найдется другой терм д такой, что Уг[Л( г е д ) ^ Л( г еt ) л Тр (г)].
Определим теперь новый предикат 8(Л, А, Т) на множестве предложений ZFI индукцией по построению формулы р:
1) 8р ^Ар для атомарной замкнутой формулы р
2) 8(р л у ) ^ 8р л 8 у
3) 8(р V у ) ^ 8р V 8у
4) 8(р ^ у ) ^ (8р^8у) л Т(р ^ у)
5) 8(Ухр (х)) УХ 8р(г) л Т(Ухр(х))
6) 8(3хр (х)) зх 8р(г)
7) 8(±)=Л
Утверждения: 1. 2.
3. 2РГОС выводимо
4. 8 есть г-предикат.
В [3] мы применили вторую операцию при построении модели для доказательства допустимости правила Маркова в 2РГОС.
Дадим неформальный комментарий применимости изложенного метода и его метаматематический анализ, сделав это по сравнению с аналогичным исследованием в [1]. В качестве примера там дается доказательство выводимости в НА так называемого принципа Р.
Операция 8, изложенная выше, позволяет получить (для арифметики НА, конечно) некоторые известные реализуемости, например, штрих Акцела, штрих-реализуемость Клини (последняя используется для доказательства такого замечательного факта, как выполнимость в интуиционистской арифметике свойства нумери-ческой экзистенциальности). Однако наиболее важным с точки зрения метаматематических исследований является тот факт, что указанная операция позволяет обьединять модели Крипке для арифметики (полученные с помощью операции Сморинского, [4]) в новую модель Крипке. Для арифметики это соображение показывает, что все метаматематические результаты, полученные с помощью операции Сморинского, могут быть получены и с помощью изложенной выше операции S (эта операция для арифметики отличается от изложенной выше отсутствием пунктов 5 и 6 в первом определении). Использование этой операции для арифметики позволяет часто провести рассуждения как с классической, так и с интуиционистской точек зрения, тогда как применение операции Сморинского требует теоретико-множественного рассмотрения и использования закона исключенного третьего. Некоторые авторы предпринимали попытки интуиционистского рассмотрения операции Сморинского, однако в этих работах были существенные пробелы и, кроме того, использовались специфически интуиционистские методы рассуждения (например, принцип непрерывности Брауэра или теорема о веере), которые являются неприемлемыми с классической точки зрения.
Что касается теории множеств с интуиционистской логикой, то одно из приложений можно, как указано выше, найти в [3] (приложение появилось не позднее общего результата, изложенного здесь). Что касается моделей Крипке (конечно, применяемых для теории множеств), то все сказанное выше остается верным и для
них, однако конкретных приложений пока не сделано ввиду громоздкости технических конструкций. Однако с точки зрения метаматематических трудностей доказательства построения моделей указанного типа и здесь не требуется никаких рассуждений, не укладывающихся в рамки теории множеств с интуиционистской логикой с принципом двойного дополнения множеств (в метаматематике этот принцип мы не используем нигде, кроме как для доказательства выполнимости его самого и поэтому он может быть опущен, т.к. классические математики его не признают и тем самым, опуская этот принцип, мы рассуждаем уже внутри нейтральной теории).
В заключение кратко осветим вопрос о доказательстве приведенных выше утверждений. Основная трудность - построение универсума, в котором предикат А оказался бы экстенсиональным. Здесь, конечно, необходима ссылка на работу Майхилла [2], в которой был построен универсум термов с целью доказательства ряда свойств теории и который автору удалось сильно модифицировать для построения ряда новых моделей для неклассической теории множеств. Остальная часть доказательства хотя и достаточно технична, но не является трудной (основной момент -кванторы по множественным переменным). Доказательство проводится сначала индукцией по построению, а затем по выводу формулы. Ниже мы приводим построение универсума А и метод получения нового г-предиката 8 из данного г-предиката Т.
Пусть Л - метаутверждение , Т - г-предикат для теории множеств с термами 2РГОС, причем для атомарных предложений Л^Тф. Упомянутый выше предикат А будет получаться, как правило, ограничением Т на атомарные предложения и поэтому в построении не участвует. Скажем, что два расщепленных терма СфХ = и С¥,у=Я ; см [2]) на уровне аеОп являются
эквивалентными, если Уг(гед^Л^ге1;^Л), а сам терм 1 является экстенсиональным на том же уровне, если q«глгеt^qеt+, причем qеt+^T(qеt), а предикат Т так распространяется на расщепленные термы: Т^е^^Т^е^). Так строится уровень Аа+1 из меньших уровней. Для предельного ординала Аа=и{Ар|р<а} и, наконец, А=и{Аа|аеОп}, где Оп-класс ординалов. Предикат 8(Л,Т) определяется теперь так: S(tеq)^tеq+vЛ; дальнейшее определение 8 было дано ранее.
ЛЕММА 1. 8ф^Тф (легкая индукция по построению ф). ЛЕММА 2. (выполнимость логической аксиомы
±^ф).
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА: 2ПБС выводимо предложение ф^8ф.
СЛЕДСТВИЕ. 8(Л,Т) есть г-предикат.
Не проводя доказательства во всех деталях, рассмотрим выполнимость аксиомы экстенсиональности и схемы выделения. В первом случае необходимо показать, что для произвольных термов р^ верно р«дл(де1;^Л)^ре1;^Л. Это доказывается разбором случаев с учетом (напомним, что Л^Тр для атомарных р и
что Л^Т±). В случае аксиомы выделения берем константу-терм Ср ту, для которой выводимо Уу(уеСр^р(у)), а в качестве второй компоненты берем Х={деД| 8р(д)}. Теперь Х=Ср,х и схема выделения проверяется без труда, однако необходимо доказать экстенсиональность множества Х, что использует индукцию по построению формулы р. Однако в отличие от [2] и [3], необходимо наложить дополнительное требование на предикат Т: если 1;«длТр(д), то Тр(г). Для ряда конкретных предикатов Т это требование удается доказать без дополнительных требований, однако в общем случае это сделать не удалось. Рассматривая доказательство схемы подстановки, отметим, что внешним образом используется также схема подстановки. Остается еще проверить выполнимость схемы в-индукции, аксиомы бесконечности и аксиомы двойного дополнения множеств (аксиомы DC), но это делается по аналогии с [3]. Здесь необходимо отметить, что внешним образом нигде не использовались никакие специальные принципы, кроме DC, а также полный закон исключенного третьего. Таким образом, сохраняется нейтральность доказательства.
Операция получения нового 8 позволяет также получить все метаматематические результаты, в которых участвует операция Сморинского. Пусть М1 - семейство моделей Крипке для ZFI. Определим модель М=(Е 1М1)' (операция Сморинского): остов М есть прямая сумма логических остовов М1 , с добавлением нового наибольшего элемента а (моменты из разных М1 - несравнимы). Предметная область а определяется стандартно и теперь М -также модель ZFI.
Теперь поступаем так: Т1р^х1 |=р (х1 - модели М1) и 8 = А, П1Т1), где Ар=р - истинна в стандартной модели (р -атомарное предложение). Тогда 8р=а |=р.
Отметим следующее: все приведенные здесь результаты касаются только односортной теории множеств и здесь в качестве приложения можно получить результат из [2] (хотя модель, предложенная в [2], отличается от нашей). Если Tр^ZFГОC выводимо р, то результат Д.Майхилла получается так: пусть ZFIDC выводимо Зхр(х), тогда 8(3хр(х)), а теперь найдется терм г такой, что 8р(г) и, следовательно, Тр(г), т.е. ZFIDC 1=р(г) (мы сейчас не различаем г и Х, так как в соответствующих теориях они выводимы
одновременно). Свойство дизъюнктивности для теории 2РГОС доказывается аналогично с использованием того же предиката Т. Все остальные результаты, связанные с использованием моделей типа реализуемости и имеющие место для интуиционистской арифметики НА, также могут быть «подняты» на уровень теории множеств, однако технически проще рассматривать теорию множеств с двумя сортами переменных и с интуиционистской арифметикой на первом уровне (см. [3]; в этом случае предикат А, определенный на атомарных арифметических формулах (см. выше), может быть использован так же, как в [1]). Берем в этом случае Лу«у истинно в стандартной модели теории множеств V Л и Т «А, но уже для всех формул, где Л«Зп(2РГОС 1=ф(п, х), где х - набор только переменных по множествам. Пусть 8=8(Л,Т,Т). Нам достаточно показать, что при условии, что 2Р12БС |- Уп(ф(п,х^—ф(п,х)) л—Уп—ф(п,х). В силу выводимости второго члена конъюнкции 8—Уп—ф(п,х), т.е. достаточно показать 8Уп—ф(п,х) или Уп8—ф(п,х). Если 2Р12БС выводимо отрицание ф(п,х), выполняется 8—ф(п,х) и выполняется требуемое заключение 8±«Л«Зп(2Р12БС выводимо ф(п,х)). Если же выводимо ф(п,х), то по смыслу. Итак, верно всегда, т.е. в 2Р12БС выводимо ф(п,х) для некоторого натурального числа п при фиксированных параметрах х. Заметим, что 8ф выполняется для всякой формулы нашего языка, т.е. отношение 8 - тривиально, однако наше доказательство допустимости сильного правила Маркова с параметрами только по множествам отнюдь не является тривиальным.
Рассмотрим еще некоторые интересные приложения полученной выше ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ и ЛЕММ 1 И 2. Хорошо известно (см. [1]), что принцип Р не является выводимым в интуиционистской арифметике, однако (см. пункт б) ниже) совместим с последней при добавленном тезисе Черча (но не принципе Маркова, даже слабом). Аналогичные результаты можно получить и на уровне теории множеств 2Р12БС (и перенести их затем на односортную теорию множеств 2РГОС). Здесь мы докажем допустимость принципа Р без параметров по натуральным числам, но с параметрами по множествам в 2Р12БС. УТВЕРЖДЕНИЕ: если в 2Р12БС выводимо —ф^Зуу(у), то в 2Р12БС выводимо для некоторого натурального п —ф^у(п). В качестве Л возьмем метапредложение «2Р12БС выводит ——ф» и пусть Ту«2Р12БС выводимо —ф^у, а в качестве А-предиката берем Т, ограниченный на атомарные формулы (здесь ф - фиксированное предложение языка теории множеств). Полагаем теперь 8=8(Л,Л,Т). Нетрудно видеть, что Т - г-предикат (если выводимо
—р—>у и если выводимо —р—(у—п), то, конечно, выводимо —р—^п). Теперь предположим, что выводима формула —р—3уу(у). В силу ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ 8(—р—Зуу(у)). Нетрудно также видеть, что выполняется 8(—р) (так как и
Т(—р)^выводимо —р——р; если 8р, то Тр и выводимо —р—р, а это противоречие, следовательно Следовательно, 8(3уу(у)), т.е. 8у(п) для некоторого натурального п, а тогда Ту(п), т.е. «ZFI2DC выводимо —р—у(п)» для некоторого п, что и требовалось доказать.
В качестве другого интересного приложения рассмотрим следующий результат для ZFI2DC: если формула р(п,х) с параметрами по множествам (но без параметров по натуральным числам) разрешима, т.е. имеет место выводимость формулы Уп(р(п,х^—р(п,х)), и если в ZFI2DC выводимо ——3пр(п,х)—3пр(п,х), то в ZFI2DC выводимо 3пр(п,х) или выводимо Уп—р(п,х) (далее мы не пишем параметры х, входящие в формулу). Сделаем одно замечание, связанное со спецификой односортной теории ZFIDC: если в ней выводимо Ух(р(х^у(х)), то в ней выводимо Ухр(х) или выводимо Уху(х); конечно, в арифметике НА такой результат невозможен. Доказательство: в качестве Л берем такое утверждение «ZFI2DC выводимо Уп—р(п) и полагаем Ту^ZFI2DC выводимо 3пр(п)—у (как обычно, р -фиксированная формула с одной свободной переменной по нату-ральнам числам). Теперь определяем 8=8(Л,Т,Т). Легко видеть, что верно 8(——3пр(п)) (это доказывается по аналогии с доказательством 8(—р) в предыдущем приложении). Теперь, если 8(—3пр(п)), то в ZFI2DC выводимо Уп—р(п) (это доказывается так: 8(—3пр(п)) ^ Т(—3пр(п)) ^ ZFI2DC выводимо 3пр(п)——3пр(п), т.е. не может быть выводимо 3пр(п) (так как мы, конечно, предполагаем, что наша теория непротиворечива), а тогда ZFI2DC выводимо Уп—р(п)). Так как 8(——3пр(п)) и так как ZFI2DC выводимо ——3пр(п)—3пр(п), то мы получаем 8(3пр(п)), и найдется такой п, что 8(р(п)). Теперь делаем разбор случаев: если ZFI2DC выводимо р(п), то в ZFI2DC выводимо и 3пр(п), а если в ZFI2DC выводимо —р(п), то, в силу ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ, 8(—р(п)) и, следовательно, 8(р(п)) ^ но так как имеет место 8(р(п)), то получаем и, таким образом, в ZFI2DC выводимо Уп—р(п). Наше УТВЕРЖДЕНИЕ полностью доказано.
Сформулируем также без доказательства два утверждения, которые можно «поднять» на уровень теории множеств ZFI2DC: а) можно построить формулу р(п) с одним параметром по натуральным числам такую, что в ZFI2DC нельзя вывести
Зпф(п)^Зп(ф(п)лУш(ш<п^—ф(ш))) (принцип существования наименьшего числа с данным свойством);
б) можно найти предложение ф и формулу y(y) с единственным натуральным параметром такие, что в ZFU2DC не выводится (—ф^3уу(у))^3у(—ф^у(у)) (упоминавшийся выше принцип Р).
ЛИТЕРАТУРА
1. Драгалин АГ. Новые виды реализуемости и правило Маркова // ДАН СССР, 1980.- т.251, № 3.- С.534-537
2. Myhill J. Some properties of mtuitiomstic Zermelo-Fraenkel set theory // Lecture Notes m Mathematics. 1973. V. 337. P.206-231.
3. Khakhanian V. The Markov's Rule is admissible m the Set Theory with Irtuitiomstic Logic // Lecture Notes m Computer Scieroe, 1997. V. 1289. P. 163-167.
4. Smorynski C.A. Appl^t^ of Kripke models // Lecture Notes m Mathematics. 1973. V. 344. P. 324-391.
