Предельные циклы средней амплитуды в семействе возмущенных систем Куклеса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.938

DOI 10.21685/2072-3040-2019-2-4

В. В. Мачулис

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ СРЕДНЕЙ АМПЛИТУДЫ В СЕМЕЙСТВЕ ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ КУКЛЕСА

Аннотация.

Актуальность и цели. Отыскание предельных циклов полиномиальных систем восходит ко второй части 16-й проблемы Гильберта, которая до сих пор не решена в полной мере. Поиск предельных циклов осуществлялся различными методами, среди которых отметим нахождение ляпуновских величин и метод усреднения. Целью данной работы является проверка возможности применения метода усреднения первого порядка к системе Куклеса четвертого порядка для нахождения среднеамплитудных предельных циклов при полиномиальном возмущении.

Материалы и методы. С. Ребойо-Пердомо и К. Видаль изучали квадратичную систему Куклеса и получили аналитические уравнения, которые позволяют находить малоамплитудные и среднеамплитудные предельные циклы при квадратичном возмущении. Мы рассматриваем систему Куклеса четвертого порядка и применяем аналогичный подход для нахождения среднеампли-тудных предельных циклов. Поскольку в этом случае точных аналитических уравнений получить не удалось, применялись приближенные методы.

Результаты. Показано, что «приближенный» метод усреднения первого порядка позволяет находить предельные циклы средней амплитуды, которые возникают из периодических траекторий центра в системе Куклеса четвертого порядка.

Выводы. Доказано, что в системах Куклеса четвертого порядка и определенного вида метод усреднения первого порядка можно применить для нахождения среднеамплитудных предельных циклов, лежащих внутри го-моклинической петли.

Ключевые слова: 16-я проблема Гильберта, предельный цикл, система Куклеса, метод усреднения.

V. V. Machulis

THE LIMIT CYCLES OF MEDIUM AMPLITUDE IN A FAMILY OF THE KUKLES PERTURBATIONS SYSTEMS

Abstract.

Background. Searching of the limit cycles of polynomial systems goes back to the second part of the 16th problem of Gilbert which is still not solved completely. Searching of the limit cycles was carried out by various methods among which we will note finding of Lyapunov quantities and a method of averaging. The purpose of this work is check of a possibility of application of a method of averaging of first order to the system of Kukles of the fourth order for finding of medium amplitude limit cycles at polynomial perturbation.

© Мачулис В. В., 2019. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

Methods. Salomon Rebollo-Perdomo and Claudio Vidal studied the quadratic Kukles differential systems and received the analytical equations which allow to find small amplitude and medium amplitude limit cycles at quadratic perturbation. We consider the system of Kukles of the fourth order and we apply a similar method to finding of medium amplitude limit cycles. As in this case it was not succeeded to receive the precise analytical equations, approximate methods were applied..

Results. It was succeeded to show that the "approximate" method of averaging of first order allows to find the limit cycles of medium amplitude which arise from periodic trajectories of the center in the system of Kukles of the fourth order.

Conclusions. Thus, it is proved that in the systems of Kukles of the fourth order and particular type the method of averaging of first order can be applied to finding of the medium amplitude limit cycles lying in a homoclinic loop.

Keywords: Hilbert's 16th problem, limit cycle, Kukles system, averaging method.

Мы рассматриваем дифференциальную систему Куклеса четвертого порядка вида

Она имеет равновесную точку типа «центр», которая окружена периодическими траекториями, ограниченными гомоклинической петлей. При полиномиальных возмущениях таких систем возможно возникновение предельных циклов двух типов. Первый тип - это предельные циклы, возникающие из равновесной точки «центр»; они называются малоамплитудными. Второй тип - предельные циклы, возникающие из периодических траекторий центра; они называются среднеамплитудными. Задача нахождения максимального числа предельных циклов в полиномиальных системах связана со второй частью 16-й проблемы Гильберта [1]. Квадратичные системы Куклеса изучались в работе [2], а исследование предельных циклов обоих типов для этих систем представлено в [3]. Но в последнем случае существуют точные аналитические решения невозмущенной системы и функции усреднения до седьмого порядка. В нашем случае такие точные аналитические функции не существуют. Поэтому задача состоит в проверке возможности применения метода усреднения первого порядка для нахождения предельных циклов средней амплитуды, когда некоторые вспомогательные функции определяются с помощью приближенных аналитических методов.

Введение

* = -y,

4 4 y = X + X + y .

1. Постановка задачи

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(1)

где х = Лх/Л, у = Лу/Ж. Эта система относится к классу систем Куклеса, т.е. систем вида

(* = —у,

( у=е (*, у), (2)

где е (х, у) - вещественный многочлен степени не менее двух, не имеющий множителя у. Равновесными точками системы являются точки (0;0) и (—1;0). Применим линеаризацию для исследования характера этих точек. Матрица линеаризации (матрица Якоби) системы (1) имеет вид

( 0 —1 ^

Ja =

V

1 + 4 х3 4 y3

Вычисляя матрицу линеаризации в равновесных точках, мы получаем следующие результаты. В точке (—1;0) матрица имеет собственные значения

^12 =+\/з, поэтому (—1;0) - седловая точка линеаризованной и исходной систем. В равновесной точке (0;0) матрица имеет чисто мнимые собственные значения Л-12 = Это означает, что линеаризованная система имеет

в данной точке центр, а о поведении траекторий в окрестности начала координат исходной системы ничего определенного сказать нельзя, поскольку точка (0;0) оказалась негиперболической.

С другой стороны, нетрудно заметить, что система (1) инвариантна относительно замены координат и времени (х,у,t) н (х, —у, —t), т.е. является

обратимой системой. Тогда, если (х^), у^)) - решение системы (1), то и (х^), — у^)) также ее решение и траектории фазового портрета симметричны относительно оси Ох. Следовательно, равновесная точка (0;0) является центром и для исходной системы, а периодические траектории этого центра лежат внутри гомоклинической петли Г седла (—1;0).

Обозначим область в Я2, ограниченную петлей Г (без точки (0;0)),

через Р. Рассмотрим возмущенную систему

(х =

( • 4 4 е ( ) (3)

(у = х + х + у + ее (х, у, е),

где е (х,у, е) - полином от х и у с аналитическими коэффициентами относительно вещественного параметра е (0<е-« 1). Если е = 0, то система (3)

превращается в (1).

В системе (3) при изменении параметра могут появляться предельные циклы. Они делятся на две группы (по способу возникновения). Первая группа содержит предельные циклы, возникающие из равновесной точки (0;0), они обычно называются малоамплитудными. Во вторую группу входят предельные циклы, которые появляются из периодических траекторий

области P, они называются среднеамплитудными. Нашей основной задачей является нахождение среднеамплитудных предельных циклов системы (3) при изменении е.

2. Расчетная формула и результаты исследования

Запишем систему (3) в следующем виде:

I* = -у,

,-4 4 1 2 2\ (4)

Iу = х + х + у +е1а0 + ^¡х + а2У + aзx + a4xy + a5y ).

Приведем (4) к полярным координатам, используя очевидные соотношения:

r =1 (xx + yy), 0 = -2((x-yx),

где x = r cos 0, y = r sin 0, а x и y берутся из системы (4). В результате получаем

= r4 (0)sin0(2cos4 0-2cos2 0 + l) + er2 (0)cos2 0sin0(a3 -a5) + +er2 (0)sin 0( cos 0sin 0 + a5 ) + er (0)sin 0(ai cos 0 + a2 sin 0) + eao sin 0,

dt

= 2r3 (0)cos5 0-2r3 (0)cos3 0 + r3 (0)cos0 +1 + ea3r(0)cos3 0 + (5)

+e(-a5r (0)cos3 0 + a4r (0)cos2 0sin 0 + ai cos2 0 + a2cos 0sin 0) +

+e

a5r (0)cos 0 + -

cos 0

Поделив первое уравнение системы (5) на второе, получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции г (0). Запишем его с правой частью в виде ряда по степеням е :

dr

— = Fo (r,0) + eFi (r,0) + O(e2 ).

(6)

Имеем

dr r4 (0)sin0(2cos4 0-2cos2 0 +1

(0)(2cos5 0-2cos3 0 + cos0) +1

+

+

r2 (0)sin 0(3 - a5 )cos2 0 + a4 sin 0cos0 + a5) + ((cos 0 + a2sin 0) r (0) + a0) ex

+(

r

х

1 + 4 (cos5 0 - cos3 0 + 0,5cos 0) г3 (0) +

-1

+ O le2).

2

+4(cos5 0-cos3 0 + 0,5cos0) r6(0) 2

Мы не приводим здесь член с £ ввиду громоздкости.

Известно (см. [3]), что каждый среднеамплитудный предельный цикл системы (3) соответствует изолированной периодической орбите (6), которая возникает из невозмущенного дифференциального уравнения r0 = Fo (r,0).

Чтобы найти такие предельные циклы или доказать их отсутствие, нам потребуется решение уравнения (6) при £ = 0, проходящее через точку

(ro;0)e P. К сожалению, найти явную формулу для такого решения не удалось. Поэтому решение пришлось находить приближенно, используя метод Рунге - Кутты четвертого порядка. Полученное численное решение было аппроксимировано методом наименьших квадратов многочленом третьей степени. Выбор аппроксимирующей функции определялся известными свойствами решения: симметрией относительно прямых x = я + 2яп и наличием локальных максимумов в точках п + 2пп.

Обозначим приближенное аналитическое решение, проходящее через точку (ro;0) как r(ro;0). Легко показать, что эта функция по построению 2п -периодическая и четная. Для изучения предельных циклов, появляющихся из периодических орбит в области P, мы применим метод усреднения. Вариационное уравнение (6) при £ = 0 вдоль решения r (0; 0) имеет вид

dy d r4 (cos4 0-2cos2 0 + l)sin0 d0 dr r3 (cos5 0-2cos3 0 + cos0) + 1 У

Выполняя дифференцирование в правой части, получаем

dy г3 sin 0(2cos4 0 - 2cos2 0 +1)(3 cos5 0 - 2г3 cos3 0 + г3 cos 0 + 4)

7/4 2 2г3 cos5 0 - 2г3 cos3 0 + г3 cos 0 +1)

■y.

Это уравнение не имеет точного аналитического решения. Поэтому выберем начальное условие (/о;0), где (то;0)е Р и решим численно задачу

Коши. Обозначим полученное решение через У (го; 0). Тогда функция усреднения первого порядка для нашего уравнения (6) формально может быть записана как

2п

Ф

F (г (го; 0), 0)

1 (го )= í ^fde, (8)

0

где функция F (г(го;0),0) находится согласно формуле

F (r(ro;0),0)= r2 (0) sin0(3 -a5 )cos 0 + a4sin0cos0 + a5

+

+((cos0 + a2 sin0)r(0) + a0 )] • 1 + 4(cos5 0-cos3 0 + 0,5cos0)r3 (0) +

+4(cos5 0-cos3 0 + 0,5cos0) r6 (0)

-1

Теперь воспользуемся известным фактом теории усреднения.

Теорема. Предположим, что Ф^ (r) не тождественный нуль. Тогда, если Ф} (ro) = 0 и Ф' (г) 0, то для достаточно малых |е| > 0 существует единственное 2п -периодическое решение r (•;е) уравнения (6) такое, что lim r (0;е) = r).

Имеется несколько различных версий этой теоремы, относящихся к функциям усреднения высших порядков [4, 5]. Таким образом, задача нахождения среднеамплитудных предельных циклов сводится к нахождению нулей функции Ф} (r).

Дальнейшее исследование проводилось согласно следующей схеме. Вначале фиксировалась точка (ro;0)e P , где 0 < ro < 0,56 (0,56 это минимальное расстояние от начала координат до гомоклинической петли). Затем для различных значений ai, i = 0,5, численно считался интеграл Ф} (г)). Поскольку в задаче имеется шесть параметров (не считая е), расчеты заняли значительное время и пока не закончены. Но мы стремились показать, что методика, описанная в [3], работает и в случае, когда не существует точных аналитических формул для функций Y(r;0) и Ф} (г) ). Это предположение

оказалось верным: нам удалось найти несколько нулей интеграла Ф} (г)).

Для некоторых из них найдены и соответствующие среднеамплитудные предельные циклы системы (3).

В качестве примера рассмотрим систему вида

dx dt

= -y (t),

= x(t) + x 4(t) + y 4(t) +

dt

+e (1 + x(t) + 0,0245y (t) - 7,160493827x2(t) + 2 x(t) y (t) - y 2(t)).

При г0 ~ 0,51 значение интеграла Ф^ (г0 )~ 0,000023, т.е. его приближенно можно считать нулем. Следовательно, в системе возможен предельный цикл. Построенный фазовый портрет системы при е = 0,1 подтверждает, что действительно имеется неустойчивый предельный цикл (рис. 1). Движение фазовых точек по направлению поля показывает, что одна внешняя траекто-

рия «раскручивается», а две внутренних - «закручиваются» к началу координат, которое в этом случае является устойчивым фокусом. Фазовый портрет исходной системы (1) показан на рис. 2.

Рис. 1

Рис. 2 Заключение

Представленные результаты позволяют утверждать, что хотя мы и не получили точных аналитических формул для функции усреднения и поэтому не смогли выразить интеграл Ф1 (о) в общем виде, методика дает возможность находить среднеамплитудные предельные циклы возмущенной системы Куклеса четвертого порядка вида (3).

Библиографический список

1. Проблемы Гильберта : сборник / под. ред. П. С. Александрова. - Москва : Наука, 1969. - С. 48-49.

2. Osuna, O. On a class of invariant algebraic curves for Kukles systems, Electron / O. Osuna, S. Rebollo-Perdomo and G. Villasenor // J. Qual. Theory Differ. Equ. -2016. - № 61. - Р. 12.

3. Rebollo-Perdomo, S. Bifurcation of limit cycles for a family of perturbed Kukles differential systems / Salomon Rebollo-Perdomo and Claudio Vidal // Discrete and Continuous Dynamical Systems. - 2018. - Vol. 38, № 8. - P. 4189-4202.

4. Llibre, J. Higher order averaging theory for finding periodic solutions via Brouwer degree / J. Llibre, D. D. Novaes and M. A. Texeira // Nonlinearity. - 2014. -Vol. 27. - P. 563-583.

3

5. Llibre, J. Limit cycles bifurcating from isochronous surfaces of revolution in R / J. Llibre, S. Rebollo-Perdomo and J. Torregrosa // J. Math. Anal. Appl. - 2011. -Vol. 381. - P. 414-426.

References

1. Problemy Gil'berta: sbornik [Gilbert problems: collection]. Ed. by P. S. Aleksandrov. Moscow: Nauka, 1969, pp. 48-49. [In Russian]

2. Osuna O., Rebollo-Perdomo S. and Villasenor G. J. Qual. Theory Differ. Equ. 2016, no.

61, p. 12.

3. Rebollo-Perdomo S. and Vidal C. Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2018, vol. 38, no. 8, pp. 4189-4202.

4. Llibre J., Novaes D. D. and Texeira M. A. Nonlinearity. 2014, vol. 27, pp. 563-583.

5. Llibre J., Rebollo-Perdomo S. and Torregrosa J. J. Math. Anal. Appl. 2011, vol. 381, pp. 414-426.

Мачулис Владислав Владимирович

кандидат педагогических наук, доцент, кафедра фундаментальной математики и механики, Тюменский государственный университет (Россия, г. Тюмень, ул. Володарского, 6)

E-mail: [email protected]

Machulis Vladislav Vladimirovich Candidate of pedagogical sciences, associate professor, sub-department of fundamental mathematics and mechanics, Tyumen State University (6 Volodarskogo street, Tyumen, Russia)

Образец цитирования:

Мачулис, В. В. Предельные циклы средней амплитуды в семействе возмущенных систем Куклеса / В. В. Мачулис // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2019. -№ 2 (50). - С. 36-43. - БОТ 10.21685/2072-3040-2019-2-4.