CC BY
33
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Прикладная математика. Информатика
УДК 629.735.015:681.3
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ МЕТОДА НЕПОСРЕДСТВЕННОЙ РАССТАНОВКИ ПОЛЕТНЫХ ДАННЫХ
Л.Е. РУДЕЛЬСОН, П.Е. ЧЕРНИКОВ
Цель распределения полетной информации состоит в расчете загрузки и в своевременном оповещении диспетчеров о появлении очередного воздушного судна. Хранящиеся в системе параметры не дают однозначного ответа на вопрос, какому ведомству оно принадлежит. Рассмотрен один из возможных методов решения задачи при совместном использовании воздушного пространства авиацией различных видов.
Введение
Сложность алгоритмического распределения полетной информации по рейсам, попеременно затрагивающим воздушное пространство (ВП) на трассах и вне трасс, состоит [1] в следующем. При описании структуры ВП границы секторов гражданской авиации (ГА) задаются как объемные геометрические тела, внутри которых проложены трассы. Как правило, секторы ГА занимают меньший объем, чем секторы государственной авиации вследствие большей интенсивности полетов и загрузки диспетчерского персонала. Однако при установлении структуры ВП органы государственного регулирования стремятся добиться совпадения общей границы нескольких трассовых секторов с границей одного сектора вне трасс. Секторы ГА как бы вложены в соответствующий объем сектора вне трасс.
Хранящиеся в системе параметры не дают однозначного ответа на вопрос, какому ведомству принадлежат точки ВП, координаты которых известны, так как ВП на трассах и вне трасс формально совпадают друг с другом. На радионавигационных и полетных картах границы ВП ГА образуют по всей территории России мозаику прилегающих друг к другу без зазоров многоугольников. Каждый многоугольник согласно картографии содержит ВП вне трасс, внутри которого человек (пилот или диспетчер) может визуально выделить реально используемое ВС ГА трассовое ВП. Однако для математического решения задачи картографических данных недостаточно. Трассы представлены линиями, а линии не обладают свойством принадлежности разделяемых областей ВП, они являются границами этих областей. Для того чтобы способностью человека распознавать ВП на трассах и вне трасс овладели алгоритмы, должны быть разработаны и научно обоснованы специальные методы программной поддержки взаимодействия оперативного персонала секторов государственной и гражданской авиации. Простое решение - представление трасс объемными коридорами ВП - неприемлемо, так как требует значительных ресурсов и допускает неоднозначность результата.
В процессе выполнения полетов по специальным заданиям маршрут движения ВС попеременно затрагивает пространство, контролируемое диспетчерами ГА, и пространство, в котором управление движением осуществляют диспетчеры других ведомств. Каждому из них должна своевременно предоставляться информация о входе борта в зону управления. В настоящее время задача решается с помощью речевого (устного) согласования и ручных вводов данных в систему, связанных с влиянием так называемого «человеческого фактора», что может приводить к нежелательным последствиям.
В этих условиях задача однозначного определения принадлежности ВС, совершающего полет, тому или иному ведомству, исходя из измеренных или рассчитанных по плану координат, требованиями к ПО в известных системах даже не ставится. Не ставится и более громоздкая задача - расчета моментов и высоты пересечения рейсом государственной авиации трасс ГА при движении в ВП вне трасс. Для решения названных задач необходим новый подход к проблеме.
Необходим метод, который позволяет автоматизировать оповещение диспетчеров секторов на трассах и вне трасс о подлете ВС к их зоне ответственности не только в случае приема-передачи управления, т.е. в ситуациях входа ВС на трассы ГА или схода с них в пространство вне трасс. На его основе нетрудно организовать автоматическое отображение на экране фрагментов маршрутов вне трасс, пересекающих трассы ГА и осложняющих УВД в трассовом секторе, с указанием времени и высоты пролета точек пересечения. В данной статье обсуждается метод программной поддержки диспетчеров в таких ситуациях.
1. Постановка задачи
Возможности минимизации времени, необходимого для организации данных, рассмотрим на примере алгоритма сортировки непосредственной расстановкой [2]. Алгоритм является предельной интерпретацией метода поразрядной сортировки [3], использующей машинную ориентацию процесса упорядочения. Традиционные методы ориентированы проблемно, так как основаны на интеллектуальном подходе к задаче. В них на каждом шаге производится сравнение значений сортируемых чисел для определения их места в результирующей последовательности. Машинно-ориентированный подход позволяет за счет увеличения запрашиваемой памяти исключить из процесса необходимость операций сравнения, и сортируемые числа удается сразу (непосредственно) расставлять на свои места в монотонной последовательности. При этом поиск места, на которое необходимо поставить очередное сортируемое число, осуществляется с помощью прямой адресации. Адресацией чисел управляют их собственные величины, интерпретируемые как номера дискретов числовой оси.
Для наглядности воспользуемся аналогией с сортировкой шариков на подшипниковом заводе. Никто не измеряет их диаметр, не сравнивает, который из них больше, который меньше. Шарики скатываются по наклонному желобу, в котором просверлены отверстия возрастающего диаметра, и каждый шарик находит свой бункер. В нашем методе сортировки величина каждого числа определяет адрес памяти, в который нужно ее записать.
На принципе прямой адресации к месту числа в упорядоченной последовательности (т.е. на одном из методов поиска) основан, как отмечено выше, и алгоритм непосредственной расстановки. Формируемый в процессе сортировки входной индекс поиска является машинным отображением числовой оси, представленной совокупностью Ь да-разрядных дискретов, содержащих в начальный момент нулевые значения; ]да[=1о§2Ж, где символ ][ обозначает ближайшее большее целое логарифма N - количества сортируемых чисел. Величина каждого числа интерпретируется как значение (указатель) его адреса на числовой оси. При вводе очередного числа, равного по величине (0 < I < Ь), в 1-й да-разрядный дискрет оси прибавляется единица. С окончанием ввода завершается и собственно сортировка. В произвольно выбранном 1-м дискрете оси сохранится нуль, если число, равное I, ни разу не встречалось в исходной последовательности. Если же числа, равные I, повторились в процессе ввода неоднократно, г раз (0 < г < Щ, то в 1-м дискрете будет накоплена сумма г.
Результирующую упорядоченную последовательность можно немедленно вслед за вводом исходной выдавать на внешние устройства. Для формирования невозрастающей последовательности числовая ось просматривается справа налево, для неубывающей - слева направо. Нулевые дискреты игнорируются. Величины адресов дискретов, содержащих значащие г, выводятся г раз каждая. Время сортировки определяется только быстродействием устройств ввода-вывода, так как никаких других операций алгоритм не исполняет.
В [4] доказаны экстремальные свойства метода непосредственной расстановки. Доказывается, что метод обеспечивает минимальное представление полетной информации в компьютерной памяти, т.е. выдвигает минимальные требования по объему памяти. За счет рациональной организации данных сокращается и путь поиска информации в системе. Однако доказательство
проведено лишь для случая однородных файлов данных, в которых все записи имеют одинаковую длину. В настоящей работе полученные ранее результаты распространяются на файлы полетной информации. Записи в таких файлах имеют разную длину, что делает их неоднородными.
2. Формализация отображения на типовые образующие элементы
Преобразование /(аг) = VI : ак ^ {к} в машинной реализации становится трудно формализуемым вследствие разнородности представления элементов ак е А и отношений рт/а],..., ат), содержащих символьные, вещественные, битовые и другие переменные. Для преодоления последствий этих затруднений рассмотрим алгебраическую систему Л' = <А',Е',Р’>, отличающуюся от исходной системы Л тем, что элементы однотипны (рис. 1) ак' е А' и существуют преобразования фк : р({а/} ^ ак), устанавливающие взаимно однозначное соответствие между элементами^} исходного множества А и отношениямир'(а]',..., а¡') на элементах ак е А' системы Л'. Замысел состоит в том, чтобы найти условия изоморфизма системы, отображающей однородные элементы, и системы, состоящей из элементов разного типа. Путь решения задачи - найти формальный способ представления элементов разных типов в виде стандартных составляющих. Тогда каждый неоднородный элемент окажется конструкцией типовых (однородных) звеньев, и к нему можно будет применять преобразования, определенные в алгебре непосредственной расстановки [2]. Это необходимо выполнить, так как только в однородной системе возможна одношаговая, без обращения к информационному вектору, адресация к элементам, сводящаяся к простому перечислению номеров в минимальных отношениях поиска [4]. Физическим аналогом типового образующего элемента для файла записей является в нашем случае байт памяти компьютера.
Рис. 1. Траектория пути доступа к данным записей файла в системе А с доступом через информационные векторы записей Индекс поиска адресует к записи, содержащей хк , внутри которой по значению адресов информационного вектора записи отыскивается поле переменной хк
Преобразование фк, как и все функции базы данных (БД), сортированных непосредственной расстановкой, является разновидностью операций упорядочения. Оно устанавливает правило
перехода от абстрактного порядкового номера к элемента ак е А к непрерывному к-му участку натурального ряда, содержащему последовательность абстрактных порядковых номеров типовых образующих элементов файла (ак',..., а/) е А. Аналогично формируются преобразования горизонтальных отношений БД - каждому сегменту, кортежу, записи, заданным в А, ставится в соответствие номер начального типового образующего элемента ак1 ’, за которым следуют еще I точно таких же элементов тех же отношений. Разнородные элементы приобретают структурную целостность.
В отличие от содержательных элементов ак е А исходной системы, типовые элементы ак’ логически отождествляемые с полями машинной памяти (например, с четным количеством байтов), изначально упорядочены сквозной нумерацией относительно базового адреса, что упрощает их включение в формальные отношения над адресной структурой памяти. Вместе с тем, обратные преобразования фк : ак/ ^ ак перехода от номеров типовых образующих элементов к номерам информационных единиц исходного множества А позволяют работать с их отноше-ниямир’(фк’{ак1’}) как с информационными образами БД.
На каждом шаге поиска полетных данных среди записей переменной длины приходится обращаться к началу записи, затем по указателям ее информационного вектора адресоваться к интересующему нас полю данных хк. Предлагаемая система Л' отличается от исходной системы Л тем, что в ней все поля записей выровнены по границам типовых образующих элементов файла, что дает возможность прямой адресации сразу к интересующим нас полям данных хк. Замысел поясняет рис. 2, и теперь требуется доказать изоморфизм исходной системы Л с адресацией через информационные векторы и системы Л' с адресацией к типовым образующим элементам.
Рис. 2. Траектории пути непосредственного доступа к данным в системе А' с адресацией к типовым образующим элементам файла Индекс поиска прямо адресует к интересующему нас полю данных очередной записи переменной длины
Системы Л и Л' однотипны, так как имеют одинаковую сортность операций и отношений тг = и/, Ш/ = ш/ для всех г е I,/ е 3, причем I = I', 3 = 3' в силу описания одних и тех же объектов. Обе системы замкнуты, так как для их исходных элементов ак е А и ак1 е А' результаты операций ¥ и ¥' в рамках заданных эквивалентных отношений Р и Р' над элементами основных множеств А и А' принадлежат соответствующим (фактически тем же) множествам. Приведенные рассуждения, а также выполнение условий
ф (/ (аь ... , ат)) = (ф (а'и), ... , ф (а'ц)),
р/(а1,..., ащ) ~р/ (Ф (а'ц), ... , ф (аШ/)) для всех а1, а2,... из А и для всех г е I,] е 3, могут рассматриваться как доказательство следующего утверждения.
Утверждение 1. Алгебраические системы Л и Л' изоморфны друг другу.
Следовательно, доказанные ранее [4] утверждения о минимальном отношении и о минимальной функции поиска справедливы для обеих систем.
Аксиоматическое введение систем Л и Л' (основанное на гипотезе о минимальной длине
пути доступа шт{^} = Кх + 1) для доказательства их непротиворечивости требует, вообще говоря, конструктивного построения примеров, удовлетворяющих определяющей аксиоме. Такими примерами, анализирующими отношения и порождающие их функции распределения плановых данных, являются представленные на уровне алгоритмического описания методы поддержания взаимодействия секторов на трассах и вне трасс. Их прагматическая роль раскрывается не столько в доказательстве существования Л и Л', сколько в прикладном характере реализованного в них метода непосредственной расстановки данных.
3. Язык алгебры непосредственной расстановки
Алфавит языка в сигнатуре О = < О/ = {¥г ; ге I }, О. = {Р/ ;/е 3 }, п> состоит из предметных переменных х1, х2,..., принимающих значения элементов исходного множества А, функциональных символов ¥г; ге I, предикатных символов Ру-; ]е 3, символов логических связок (&, V, ®, 0, =), кванторов "хк всеобщности и $хк существования, а также вспомогательных
символов: скобок и запятых. Справедливо следующее утверждение.
Утверждение 2. Язык алгебры непосредственной расстановки, описывающий элементы основного множества, операции над ними и связывающие их отношения, является формальным Ь-языком 1-й ступени.
Для доказательства определим основные понятия языка алгебры непосредственной расстановки и сопоставим их с категориями формального Ь-языка теории алгебраических систем [5]. Свойства О-систем Л и Л' выражены конечными последовательностями алфавитных символов (словами), составленными по традиционным правилам как термы и формулы. При этом индуктивно (п (¥г) = 0, 1, 2, ...) полагалось, что каждое слово вида хк (переменная запроса, элемент множества А) или ¥г (операция) при п (¥г) = 0 есть терм; тогда если/1,..., /т - термы и т = п (¥г), то ¥г (/]_,..., /т) - также терм.
Как и сами О-системы Л и Л', определенные в них операции поиска по запросам суть операционные термы сигнатуры О, содержащие предметные переменные х1, ... , хк. Подставляя х1, . , хк в искомые позиции а1, . , ак из А, т.е. выполняя над последними операции поиска в Л,
соответствующие входящим в терм символам из О/, находим конкретный элемент / (а1, ... , ак) из А, являющийся значением терма/(х1, ... , хк) при х1 = а1, ... , хк = ак. Для рассмотренных операций над элементами изоморфных алгебраических систем Л и Л' из гомоморфизма (уподобления) ф О-системы Л в О-систему Л' следует, что ф (/ (а1, ... , атг)) = /г' (ф (а'11), ... , ф (а'а)). Аналогично, посредством индукции, определим используемые предикатные понятия формулы сигнатуры О, а также свободных и связанных переменных в ней.
1°. Если с помощью некоторого Р установлено отношение поиска в О или знак равенства '=', и по определению ш = п(Р) > 2, а/1,.,/ш — произвольные операционные термы сигнатуры О, то слово Р (/]_,..., /Ш) есть формула, в которой все предметные переменные свободны. Это справедливо, так как подстановка любого хк в качестве значений элементов ак е А в пределах заданных ограничений не приводит к бессмысленным результатам. Строго говоря, переменные запроса изначально связаны максимальными и минимальными допустимыми значениями элементов ак, т.е. областью определения языка непосредственной расстановки. Для однозначности будем считать, что переменные хк физически не могут быть представлены в БД значениями, лежащими вне допустимого диапазона числовых величин элементов.
2°. Если 3 - формула поиска, то —3 - также формула, означающая отсутствие запрошенного элемента в ПО. Свободные (связанные) переменные в —3 те и только те, которые являются свободными (связанными) в 3.
3°. Если 31 и 32 - формула поиска, и предметные переменные запроса, входящие в эти формулы, свободны в каждой из них, то составные слова - 31&32, 3^32, 31^32, также формулы. Предметные переменные запроса, свободные (связанные) хотя бы в одной из формул 31, 32, являются свободными (связанными) и в составных словах.
4°. Если предметная переменная запроса хк входит свободно в формулу 3 поиска, то слова ("хк)3, (Зхк)3 также являются формулами поиска, в которых переменная хк = ак связанная, а все
остальные предметные переменные хг, г Ф к, г,к = 1,Ш, входящие в формулу 3 поиска свободно или связанно, остаются такими же и в используемых непосредственной расстановкой формулах
("хк)3, ($хк)3.
При заданных О-системах Л и Л' и формулах 3 поиска в сигнатуре О, придавая всем свободным переменным запроса х1, . , хк в 3 соответствующие значения а1, . , ак из А и интер-
претируя операционные и предикатные символы, входящие в 3, как соответствующие основные операции и отношения, заданные в БД, имеем конкретные запросы, которые будут истинными (в БД есть запрошенная информация) или ложными (информация не найдена). Тогда формуле 3 приписываются значения единица (3 (а1, . , ак)) или нуль (—3(а1, . , ак)) при х1 = а1, ... , хк = ак. Для изоморфного отображения О-системы Л на О-систему Л' имеем 3 (а1, . , ак) = 3 (ф (а1), . , ф (ак)) для всех а1, . , ак из А.
Физические ограничения БД на диапазоны представления атрибутов делают, вообще говоря, все формулы поиска замкнутыми, т.е. не содержащими свободных переменных. Совокупность £ замкнутых формул поиска является выполнимой в сигнатуре О, так как существует граничная О-система, в которой истинны все формулы из £.
5°. Других определений языка алгебры непосредственной расстановки [5] не существует.
Таким образом, язык непосредственной расстановки определен как множество цепочек (слов) в алфавите < хк, ¥г, Рг >, упорядоченное входящими в алфавит символами логических связок, кванторов, вспомогательных символов, операциями умножения (конкатенации или сцепления)
Ь1Ь2 = { ху | хе Ь1 & уе Ь2 },
левого деления Ь1\ Ь2 = { х | $у, г ( уе Ь1 & геЬ2 & у = гх ) }, симметричного ему правого деле* 0 1 2 0 ния, итераций Ь = Ь и Ь и Ь и..., где Ь означает последовательность пустых цепочек, при-
Т И+1 ТИ Т 7" + 7" 1 7" 0 Т
чем Ь = Ь Ь, усеченной итерации Ь = Ь и Ь и., подстановки: если Ь - язык в конечном алфавите { а1, ... , ат } и Ь1, ... , Ьт - цепочки в нем, то £ (Ь, а1, ... , ат | Ь1, ... , Ьт) = { хг1, ... , хгк | а1, ., агк е Ь & хг1е Ьг1 & . & хгке Ьгк }, т. е. языку непосредственной расстановки присущи все
определения формального Ь-языка 1-ой ступени и только они, что требовалось доказать. Из доказанного утверждения вытекают два важных следствия.
Следствие 1. Формальный Ь-язык алгебры непосредственной расстановки может слу-
жить основой для языка управления информационными образами полетных данных.
Следствие 2. Формальный Ь-язык алгебры непосредственной расстановки может служить основой для логического описания БД в любом полном классе функций, минимизация которого позволяет построить схемную реализацию принципа непосредственной расстановки.
Оба следствия принадлежат к числу основных результатов статьи. Расширение системы позволяет описать отношение «рельеф загрузки», сохраняющее минимальность и придающее системе способность вырабатывать рекомендации пользователю по направленному отбору данных ассоциативно, с помощью информационных образов, без обращения к полям записей, что позволяет сократить время поиска данных.
4. Сравнительные оценки быстродействия метода сортировки
Предпринятое исследование метода непосредственной расстановки, наряду с линейной зависимостью от количества N сортируемых чисел, показывает связь необходимого для его реализации количества машинных операций Жнр от десятичной разрядности Ар представления этих чисел. Различие аргументов позволяет поставить экстремальную задачу выбора способа сортировки в зависимости от конкретных особенностей исходной последовательности. Из построенного обобщения следует правило предпочтения по быстродействию, использующее сопоставление количества машинных итераций: Ж = штг{Ж}, где Ж - количество машинных операций, необходимое для реализации г-го метода сортировки. Величина Жнр = 2Ь + 3N для непосредственной расстановки определена выше. Соответствующий показатель для быстродействующего известного метода Шелла составляет Жш = 9Nlog2N (коэффициент пропорциональности к @ 9 принимается равным девяти, так как считается, что каждая итерация состоит из четырех загрузок адреса, двух считываний, двух записей и одного вычитания). Тогда в сравнении с методом Шелла
3 Жнр = Ж; 2Ь + 3N = 9Nlog2N; Ь = 1,5N(3log2N - 1).
Задача сопоставления по быстродействию (рис. 3) замещается сравнением количества N
сортируемых чисел и десятичной разрядности Ар = ^Ь: 10'Ар = 1,5N(3log2N - 1).
Для N = 64 трехразрядных десятичных чисел (Ар = 3, Ь=1000) собственно сортировка непосредственной расстановкой исполняется вдвое быстрее. Увеличение разрядности чисел до четырех (Ь = 10000) при сохранении количества N = 64 делает предпочтительным метод Шелла. Утраченное преимущество развиваемого метода для Ар = 4 восстанавливается лишь при N > 256 и растет, как следует из приведенных соотношений и сравнительных графиков рис. 3, пропорционально 1,5^3^^ - 1).
В настоящее время разработан ряд методов сортировки, обеспечивающих линейную зависимость времени работы от количества сортируемых чисел, однако ни один из них не развит для приложений поиска данных, для организации информации в компьютерной памяти. Единственная цель, которую ставили перед собой их авторы, - упорядочение входной последова-
Рис. 3. Оценки быстродействия сортировки непосредственной расстановкой с другими методами
тельности. Отличие предлагаемого метода состоит в возможности компактного представления сортируемых данных с целью дальнейшего манипулирования ими при решении задач управления.
Заключение
Материалы данной статьи изложены схематично, так как представляют интерес лишь для предельных оценок возможностей сортировки непосредственной расстановкой. В задачах же организации баз полетных данных, спроектированных для информационного обеспечения деятельности по использованию воздушного пространства, диапазон представления величин атрибутов исчерпывается тремя-четырьмя десятичными разрядами. Цель работы - дать представление о возможности сохранить линейную зависимость времени сортировки от количества сортируемых чисел в большом диапазоне их представления, а также о возможности создания компактных отображений воздушной обстановки, текущей и прогнозируемой, в компьютерной памяти.
ЛИТЕРАТУРА
1. Воздушный кодекс Российской Федерации. - М.: Омега-Л, 2005.
2. Черников П.Е. Управление данными методом непосредственной расстановки. // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Прикладная математика. Информатика, № 120, 2007.
3. Кнут Д. Искусство программирования, т.3. Сортировка и поиск. - М.: Вильямс, 2005.
4. Рудельсон Л.Е. Алгебра непосредственной расстановки. // Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1994, № 4.
5. Мальцев А.И. Алгебраические системы. - М.: Наука, 1970.
THE EXTREME ESTIMATION OF DIRECT PLACEMENT METHOD FOR FLIGHT DATA
Rudel’son L.Ye., Chernikov P.Ye.
The aim of flight data distribution is to calculate the controller’s loading and to notify him about occurrence of the next aircraft under his management. Parameters stored system do not give answer to a question, aircraft belongs to what department. The discussed method allows the way to decide task of sharing airspace by civil and state aviation.
Сведения об авторах
Рудельсон Лев Ефимович, 1944 г.р., окончил МЭИ (1968), доктор технических наук, профессор кафедры вычислительных машин комплексов, систем и сетей, МГТУ ГА, автор более 130 научных работ, область научных интересов - программное обеспечение автоматизированных систем организации воздушного движения.
Черников Павел Евгеньевич, 1982 г.р., окончил МГТУ ГА (2004), аспирант кафедры вычислительных машин, комплексов, систем и сетей МГТУ ГА, автор 15 научных работ, область научных интересов - программное обеспечение планирования полетов воздушных судов.
