Предельное запаздывание в одном уравнении нейтрального типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТРУДЫ БГТУ. 2014. № 6. Физико-математические науки и информатика. С. 19-21

19

УДК 517.977

А. А. Якименко, кандидат физико-математических наук, доцент (БГТУ)

ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗАПАЗДЫВАНИЕ В ОДНОМ УРАВНЕНИИ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

Рассматривается задача нахождения предельного запаздывания в одном скалярном уравнении нейтрального типа. Исследуется вопрос об устойчивости такого уравнения в зависимости от его параметров, в том числе и от запаздывания. Найдено предельное значение запаздывания, при котором теряется свойство устойчивости. Полученные результаты могут быть применены при исследовании устойчивости систем нейтрального типа.

The problem of finding the limiting delay in one scalar equation of neutral type is studying. Investigate the question of the stability of this equation depending on its parameters, including on the delay. Found limit delay for which is lost stability property. The results can be applied in the study of the stability of systems of neutral type.

Введение. Изучение вопросов устойчивости уравнений с запаздывающим аргументом нейтрального типа сопряжено со значительными сложностями, которые обусловлены тем, что пространство состояний таких систем, как правило, бесконечномерно. Кроме того, уравнение нейтрального типа может быть неустойчивым, даже когда действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны [1]. Проблема устойчивости уравнений с запаздывающим аргументом и нейтрального типа исследовалась многими авторами (см., например [1-11]). Однако на данный момент некоторые вопросы до сих пор остаются открытыми. В настоящей работе приведены условия устойчивости одного уравнения с запаздывающим аргументом нейтрального типа в зависимости от величины запаздывания.

Основная часть. Рассмотрим уравнение с запаздывающим аргументом нейтрального типа следующего вида:

х () + а1х () + а2 х ( - И) + а3 х ( - И) = 0, (1)

где И > 0 - постоянное запаздывание.

В работе [11] с помощью метода Б-разбие-ний [9] показано, что область устойчивости Ц уравнения (1) в пространстве параметров (а1, а2, а3, И) этого уравнения ограничена линиями

к < 1;

L:

У

sin yh У

(

cos

yh),

У e|0

sin yh

(1-

a3 cos yh),

к

(2)

[ a2 = a1 на две содержит луч

Разобъем область ио прямо части Ц и и0 (область а2 = 0, а1 > 0).

Соотношения (2) определяют некоторую непрерывную функцию а2 = а2 (а1). В самом деле,

da dy

1 yh — sin yh cos yh + a3 (yh cos yh — sin yh)

sin yh

y e

0, h

Выражение в числителе линейно относительно a3. При a3 =— 1 имеем:

yh — sin yh cos yh — (yh cos yh — sin yh) = = (yh + sin yh )(1 — cos yh) > 0, y e ^ 0, hj, h > 0 . При a3 = 1 yh — sin yh cos yh + (yh cos yh — sin yh) =

= (yh — sin yh )(1 + cos yh) > 0, y e I 0, П j, h > 0.

Следовательно, при

a3 < 1

y e|0,f

dai n

—L > 0, что равносильно

dy

yh — sin yh cos yh + a3 X x(yh cos yh — sin yh )> 0, y e ^ 0, hj,

т. е. a1 есть возрастающая функция параметра y. Непрерывность будет следовать из непрерывности функций, входящих в (2). При y ^ 0 точка (a1, a2) линии L

|< 1, (3)

мится к точке —

1 + a3 1 + a3

h

h

стре-

Линия Ь имеет

наклонную асимптоту а2 = а1. Угловой коэффициент касательной в каждой точке линии по модулю меньше единицы. В самом деле, учитывая (3), имеем

da2

da,

-— 1 =

sin yh — yh cos yh + a3 (sin yh cos yh — yh) yh — sin yh cos yh + a3 (yh cos yh — sin yh)

20

А. А. Якименко

(1 + a3 )(yh - sinyh)(1 + cosyh) < ^ yh - sin yh cos yh + a3 (yh cos yh - sin yh)

, da2

1 + —2 = da1

= 1 +

sin yh - yh cos yh + a3 (sin yh cos yh - yh)

yh - sin yh cos yh + a3 (yh cos yh - sin yh) (a3 - 1)(yh + sin yh )(cos yh -1)

> 0,

yh - sin yh cos yh + a3 (yh cos yh - sin yh) отсюда

-1 < da2 < 1, y e f 0, П), h > 0, la J < 1. da1 У h)

Пусть теперь в пространстве параметров

уранения (1) имеется точка (,

a2, aз,

h),

|а3| < 1, Н > 0. Определим, при каких условиях корни этого квазиполинома имеют отрицательные действительные части.

В области и0 и на ее границе а2 = а1, а1 > 0, корни имеют отрицательные действительные части для любых Н > 0, |а3| < 1. Рассмотрим оби = {(а1, а2, а3 )|а2 > |а^, |а3| < 1}. Очевид-

ласть

но, U1 с U.

Лемма. Для любой точки (, a2, a3 jeU найдется такое запаздывание h > 0, что точка (aj, a2) е L при данных a3 и h = h .

Доказательство. Так как в области U a2 > 0, разделим первое равенство в (2) на второе. Получим:

aj a3 + cos yh

откуда

a2 1 + a3 cos yh

cos yh = —-

Покажем, что уравнение (4) разрешимо относительно уН. В самом деле, из соотношения а2 > ЦI следует, что а2 + а1а3 > 0. Тогда

а1 + а2а3

Неравенство --- < 1 эквивалентно сис-

а2 + а1а3

теме неравенств

[( - а2 )(1 - а3 )< 0,

[(а1 + а2 )(1 + а3) > 0, которая, очевидно, истинна во всей области и.

I a1 + a2a3 < a2 + a1a3, [ a1 + a2a3 > -a2 - a1a3,

о

Таким образом, уравнение (4) разрешимо и имеет корень

y*h* = arccos

^ a1 + a2a3 ^

y a2 + a1a3 )

(5)

Подставим найденный корень во второе соотношение в (2):

y

(4)

sin y h

*?* (1 + a3 cos y*h* ) =

y

^ a1 + a2 a3 ^ 1 - a3 —-—

a2 + a1a3)

v

y

:(1 - a2)

sin y

Сократив на a2 > 0, имеем

* . * 7 * ^2 + a a y = sin yh —-hr3.

sin yh a2 + a1a3

1 - a

Найдем с учетом (4) sin y

2 3

* T *

(6)

sin y h = 1 -

^ a1 + a2a3 ^

y a2 + a1a3 )

-af )(1-a2)

a2 + a1a3

Принимая во внимание (5), получим

*

y =<

a22 - a

1- a32

Из (5) с учетом (7) имеем h* =

V

1- -a^

a22 - a2

arccos

^ a1 + a2a3 ^

y a2 + a1a3 )

(7)

(8)

Таким образом, мы показали, что точка (, а2, а3, Н*), |а3| < 1 при Н , вычисляемом по формуле (8), принадлежит линии Ь, что завершает доказательство леммы.

Если |а3| = 1, то область устойчивости и0 (4) вырождается в область и0.

Теорема. Точка (а1, а2, а3, Н), |а3| < 1, Н > 0, в пространстве коэффициентов квазиполинома (1) принадлежит области и0 в том и только в том случае, когда выполнено одно из условий:

1) а! > |а21, Щ < 1; и) а2 > |а11, |а31 < 1, Н < Н*,

где Н* вычислено по формуле (8).

Доказательство. При выполнении условия 1 попадание в область и0 следует из определения этой области.

Пусть а2 > |а1|, |а3| < 1. Из леммы следует, что соответствующая точка (а1, а2) при Н = Н принадлежит линии Ь. Соответствующее этой точке характеристическое уравнение имеет вид

*

Предельное запаздывание в одном уравнении нейтрального типа

21

Х + а1 + а2е—хИ + а3Хе—хИ =0. (9)

И* —

Сделаем замену переменной Х = —X . Тогда

И

уравнение (9) перепишется в виде

И* — - И* — -

—Х + а1 + а2е—хИ + а3 — Хе—хИ = 0

или

^ + 4 a1 + h a2 е—Xh + a3Xe—Xh = 0. (10) h h

Отсюда с учетом вида Ц вытекает, что если уравнение асимптотически устойчиво при И = И1, то оно остается асимптотически устойчивым и при 0 < И < И1. Тогда, сравнивая (9) и (10), убеж-

( и И л

даемся, что точка I — а1, —а2 I, оставаясь в об-

^ ИИ)

ласти Ц (И, И > 0)и двигаясь вдоль прямых а2 =—а 1, если а1 < 0, а2 = а1, если а1 > 0, будет ниже линии Ь в случае И < И* и выше линии Ь в случае И > И*. Это вытекает из того, что как было показано выше, угловые коэффициенты касательных в каждой точке линии Ь по модулю меньше единицы. Таким образом, если И < И , точка (,а2,а3,И) попадает в область и0, а если И > И , то нет. Теорема полностью доказана.

Литература

1. Громова П. С. О неустойчивости решений линейных дифференциально-разностных уравнений первого порядка // Труды сем. по теор. диф.

уравн. с откл. арг. / Ун-т дружбы народов. Москва, 1972. Т. VIII. С. 27-36.

2. Gu K., Kharitonov V., Chen J. Stability of Time-Delay Systems. Birkhauser, 2002. 353 p.

3. Задачи управления конечномерными системами / И. К. Асмыкович [и др.] // Автоматика и телемеханика. 1986. № 11. С. 5-29.

4. Niculesku S.-I. Further remarks on delay-dependent stability of linear neutral systems // Proc. of MTNS 2000. Perpingnan, France. 2000.

5. Азбелев Н. В., Симонов П. М. Устойчивость решений с обыкновенными производными. Пермь, 2001. 348 с.

6. Теория уравнений нейтрального типа / Р. Р. Ахмеров [и др.] // Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 19. С. 55-126.

7. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 c.

8. Колмановский В. Б. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 488 с.

9. Неймарк Ю. И. D-разбиение пространства квазиполиномов (К устойчивости линеаризованных распределенных систем) // ПММ. 1949. Вып. 4. С. 349-380.

10. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 c.

11. Марченко В. М., Якименко А. А. К вопросу о распределении корней квазиполиномов // Доклады Акад. наук Беларуси. 1996. Т. 40, № 3. С.36-41.

Поступила 09.03.2014