CC BY
34
Известия Тульского государственного университета
Естественные науки 2008. Выпуск 2. С. 108-116
МЕХАНИКА
У. IК 539.3
И.Г. Терегулов , Э.Р. Терегулова, В.Г. Низамеев, Р.А. Каюмов
Казанский государственный архитектурно-строительный университет
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛИТ, ЛЕЖАЩИХ НА ДЕФОРМИРУЕМОМ ОСНОВАНИИ*
Аннотация. Разработан метод определения предельной нагрузки для плит, лежащих на деформируемом основании, находящихся под действием заданных нагрузок. Разработанная методика при помощи компьютерной программы численно реализована для прямоугольных плит.
Предлагаемая работа посвящена разработке метода оценки несущей способности железобетонной пластины, лежащей на деформируемом основании и находящейся под действием заданных нагрузок. Пластина считается жесткопластической, основание — упругим.
Для оценки несущей способности плиты (определение предельной нагрузки Р) используем кинематический принцип теории предельного состояния. При этом для плиты принимается модель жесткопластического тела, а для основания — модель Винклера.
Таким образом, реакция основания определяется по формуле
г(х,у) =-кги(х,у), (1)
где к — коэффициент постели; и'(х. у) — вектор перемещения срединной поверхности ПЛИТЫ (рис. 1), которое СОСТОИТ ИЗ осадки ПЛИТЫ К'д под действием собственного веса (<уд.) или о другой равномерно распределенной не
параметрической нагрузки, осадки уг() от внешних нагрузок как абсолютно жесткого тела и перемещений 1ГР. связанных с появлением пластических деформаций плиты в предельном состоянии:
■ш = ъид + Шо + хир. (2)
*Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 05-01-00294.
Рис. 1. Расчетная модель
Величина wq определяется выражением
Wr
Чк/к.
(3)
Она является постоянной величиной как по площади плиты, так и по отношению к параметру нагружения.
Величина wo определяется выражением
w0 = а0 + Ъ0х + с0у. (4)
Коэффициенты функции прогибов wo в выражении (4) находятся из уравнений статики для плиты, составленных в произвольной системе координат для параметрических нагрузок и соответствующей реакции основания:
^2 z = 0, (а0 + Ь0х + coy)dA + p(x,y)dA = 0,
А
Ar
J2 momx =0, -к (a0 + b0x + c0y)ydA + / / p(a?, y)ydA = 0, (5)
A
Ar
]T moniу = 0, -к (a0 + box + c0y)xdA + / / p(x, y)xdA = 0.
A
Ar
В уравнениях (5) интегрирование производится по площади срединной поверхности А и поверхности приложения нагрузки Ар. Система является
линейной и приводится к виду
Аа0 + вуЬо + 5жс0 = Л/к,
$х&о Jxybо о — Мх/ку (5 )
£уао ~Ь Jybo ~Ь JxyCo — -Му/к^
где А — площадь поверхности плиты, 5'.і; = / / усІА; Зу = / / :гс1А — стати-
А А
ческие моменты площади, занимаемой поверхностью плиты; = [[ у2¿А,
А
■]У = II х1 (IЛ. ,1:,у = // хусІЛ — ее моменты инерции; К — равнодействую-А Л
щая внешней параметрической нагрузки р(х. у): Мх. Му — моменты относительно осей х ж у от внешней параметрической нагрузки р(х. у). Параметрическую нагрузку можно представить в виде
р(х,у) =гр0(х,у), (6)
где і — параметр нагружения, ро(х, у) — функция распределения нормированной нагрузки. Тогда
Я = Мх = ЬМХ о, Му = ¿Муо- (7)
Систему координат оху можно подобрать так, что они будут главными
центральными осями. В этом случае решение системы (5') представится в виде
Ійо , іМуо іМх о /сч
°° - Та' 0 _ ТТ1 с° ^ 1ТГ' ^
А//1 А/ и у IV и
В общем случае для определения коэффициентов а{). 6(). г() необходимо решить систему (5'). В любом случае уг() можно представить в виде следующей функции:
т = ¿^*о(*5<5 Зх, JXJ Зу, Jxy1 -Ко, Мхо, Муо). (9)
На основе принципа возможных перемещений
IV = V, (10)
где V — работа внутренних сил; IV — работа внешних параметрических сил на кинематически возможных перемещениях гир и состоит из работы параметрической нагрузки и работы реакции основания:
/ \
IV = і
(и)
Рои)рс1А + к ! J гои)рс1А + к JJ 'шр'шр(1А \АР А А /
В уравнение (10) не входит работа, совершаемая непараметрическими равномерно распределенными нагрузками (собственный вес плиты и т.д.),
так как она компенсируется работой, совершаемой соответствующей реакцией основания.
Работу внутренних сил можно представить в виде
л л ТП л
У= М{6{с1А + ^ М{А6г<и, (г = 1, п), (12)
л з=г
где в г — обобщенные деформации, М{ — ассоциированные с ними из условия текучести обобщенные напряжения. Второе слагаемое в (12) представляет работу внутренних сил на разрывах обобщенных деформаций.
Соотношение (10) обычно используется для доказательства статической и кинематической теорем теории предельного равновесия. Для этого привлекается принцип максимума Мизеса, который можно записать в следующем интегральном виде:
пг „
(Мц - Афв^А + ^2 (ма - м«)Мг ^ о- (13)
А *=11,
Здесь в{. Ав] — скорости обобщенных пластических деформаций; М{ — ассоциированные с ними из условия текучести обобщенные напряжения. Например, при выводе соотношений кинематической теоремы полагают, что м° — истинные напряжения, — кинематически возможные деформации. Как следует из (11) и (12), в общем случае для тел на упругом основании невозможно получить соотношения типа ¿с ^ ^ так как невозмож-
но сделать оценку для последнего интеграла в (11). В этом случае можно пойти, например, по пути, изложенному в [1, 2], то есть использовать метод последовательных нагружений. Для разработки же инженерных методик в данной работе предлагается использовать допущение о том, что перемещения и'р много меньше (Гц. Тогда можно пренебречь чгр при определении реакции основания, а значит и последним интегралом в (11). Тогда из условия (10) с привлечением принципа максимума Мизеса (13) получим, что использование кинематически возможных полей перемещений /г для вычисления 0®, Ав{. и М{ приведет к значению ¿д.. которое не меньше параметра £*, при котором начинается пластическая деформация тела на упругом основании. Аналогично, использование в качестве Л/¿ у статически допустимых напряжений, а в качестве истинных напряжений и истинных перемещений даст значение tc. которое не больше Подчеркнем, что в общем случае £* не является максимальным параметром нагрузки, которую может выдержать рассматриваемая система, а это параметр, при котором начинаются пластическая деформация тела.
Таким образом, дополнительные перемещения срединной поверхности плиты и'р. появляющиеся в связи с наступлением режима пластического
течения и определяющиеся в теории предельного состояния с точностью до неопределенного множителя, будем считать величиной малого порядка по отношению к к'о и пренебрегать ими в (1) при определении реакции основания.
В данной работе ниже рассмотрен кинематический метод определения tk■ Условие текучести Мизеса в компонентах изгибаемых моментов можно записать следующим образом:
М2г — М11М22 М22 ЗМ^з = М^. (14)
,2
Здесь Л// — предельный момент, равный Гг'г]—; И — толщина пластины; ат — предел текучести.
Условие текучести в пластическом шарнире с номером 5 примет вид
М| = М|. (15)
Связь моментов Л/ч с двугранными углами в пластических шарнирах будет иметь вид
А2М5- = в, (16)
где /л — неопределенный множитель, определяемый из условия текучести:
* = ш (17)
Таким образом, задачу определения несущей способности плит сводится к задаче минимизации функционала
1 = Л М 101(1 А + I М* ДМ* (18)
л ц
при соблюдении условий нормирования перемещений чгр:
Ро'ШрйА + / / гоъирс1А = 1 (19)
и условия текучести (14).
Для реализации изложенной выше методики разработан алгоритм и создана компьютерная программа расчета. Рассмотрен ряд примеров о расчете прямоугольных железобетонных плит с защемленным и свободным контуром, прим действии сосредоточенной силы, приложенной в любой ее точке. В качестве предельного состояния для любого сечения плиты принято возникновение цилиндрического шарнира текучести, при котором образуется двугранный угол перелома любой величины при постоянном предельном значении изгибающего момента в этом шарнире [3].
Для случая шарнирного опирания принимались схемы разрушения, приведенные в таблице. Они получены путем упрощения известных схем, использованных А.Р. Ржаницыным в работе [4].
Были рассмотрены плиты со следующими соотношениями сторон: Л = = а/Ъ = 1.0, 1.25, 1.5, 1.75, 2.0, 2.25, 2.5, 2.75, 3.0. Расчеты велись с разбивкой 5*5. Для каждой точки приложения силы получено четыре значения предельной нагрузки — Рт\р, Р2р, Pfip, Р^р, соответствующие четырем схемам разрушения (табл.), наименьшее из которых согласно основному принципу кинематического метода определения предельной нагрузки, считаем наиболее близким к истинному значению. Таким образом, из всех исследованных схем разрушения выбирается та, которая дает наименьшее значение разрушающей нагрузки. Это приводит к тому, что плита делится на зоны, приложения силы в которых приводит к той или другой схеме разрушения. Окончательное расположение зон с различными схемами разрушения прямоугольных пластинок показано на рис. 2,3. Эти зоны качественно совпадают с результатами [5]. При соотношении сторон Л > 2.25 схема разрушения для центральной части плиты заменяется схемой 4.
Для плиты со свободным контуром предполагается использовать схемы разрушения, показанные в таблице. Рассчитаны плиты с соотношениями сторон Л = а/Ъ = 1.0, 1.25, 1.5, 1.75, 2.0, 2.25, 2.5, 3.0.
l№L&l=LS
/
і л 2 у / і
И1 /
Ъс.З f
- ■э 2 Сле lld f V о е*га 2
к
/■ X.J Ч-- •Си. \
' ч Ч
г1 У Сяє lfd.
А ■?*-
О Q.1 0.2 0.3 Q.4 0.5 0.6 07 О» 0.9 1 1.1 и 1.3 1.4 1.S
Рис. 2. Зоны действия расчетных схем для плит с шарнирным опиранием сторон
Таким образом, разработана методика расчёта несущей способности плиты, лежащей на деформируемом основании, при действии на нее параметрической нагрузки. При этом для плиты принята модель жесткопластического тела, а для основания — модель Фусса-Винклера.
Схемы разрушения плит
Схема разрушения для плит с шарнирным опиранием
Схема разрушения для плит со _____свободным опиранием_______
Нагрузка приложена в центральной ____________части плиты_____________
Схема 1
Схема 2
плиты
Схема 3
вершины угла
Схема 4
Нагрузка приложена в центральной _________части при а/Ь>2,25_________
Разработанная методика численно реализована для прямоугольных железобетонных плит, лежащих на деформируемом основании при действии
&ЙН.5
\ /
?' г-'н N"1 ■7.'
■ : ■ ■:-
D D.1 DJZ ад Q.4 DJ5 DJB 071 ОД 0J3 1 1.1 1.2 13 1.4 1J
Рис. 3. Зоны действия расчетных схем для плит со свободным контуром
сосредоточенной силы; рассмотрены случаи шарнирно опертых по периметру плит и пластин со свободным контуром. В качестве предельного состояния для любого сечения плиты принято возникновение цилиндрических шарниров текучести, при которых образуется двугранный угол любой величины при постоянном предельном значении изгибающего момента в этом сечении. Здесь мы ограничиваемся рассмотрением форм разрушения с прямолинейными шарнирами текучести, зона разрушения представляет собой конус. Численные результаты получены для плит с различными соотношениями сторон. Получены схемы разрушения плиты, в зависимости от точки приложения силы, которым соответствуют наименьшие значения предельных нагрузок.
Библиографический список
1. Каюмов P.A. Расчет конструкций из пластических упрочняющихся и вязкопластических материалов при больших перемещениях / P.A. Каюмов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. — Чебоксары, 2006. — № 1(48). — С. 61-68.
2. Каюмов P.A. Пластическое течение волокнистых композитных материалов и разрушение конструкций из них / P.A. Каюмов // Механика композитных материалов. — Рига, 1993. — № 1. — С. 84-90.
3. Гвоздев A.A. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия / A.A. Гвоздев. — М.: Стройиздат, 1949. — 280 с.
4. Рснсаницын А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов / А.Р. Ржаницын. — М.: Госстройиздат, 1954. — 288 с.
5. Ржаницын А.Р. Предельное равновесие прямоугольной пластинки при действии сосредоточенной силы, приложенной в любой точке / А.Р. Ржаницын // Сборник статей под ред. А.Р. Ржаницина. Исследования по вопросам теории пластичности и прочности строительных конструкций. — М.: Госстройиздат, 1958. — С. 50-61.
Поступило 02.07.2008
