Метод оценки несущей способности железобетонных плит, лежащих на деформируемом основании Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 539.3

Э.Р. Терегулова - ассистент

Тел.: 89033872193, e-mail: teregul@vandex.ru

В.Г. Низамеев - кандидат физико-математических наук, доцент

Тел.: (843) 510-47-24

Казанский государственный архитектурно-строительный университет (КазГАСУ)

МЕТОД ОЦЕНКИ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ, ЛЕЖАЩИХ НА ДЕФОРМИРУЕМОМ ОСНОВАНИИ

АННОТАЦИЯ

Предлагаемая работа посвящена разработке метода оценки несущей способности железобетонной пластины, лежащей на деформируемом основании и находящейся под действием заданных нагрузок. Пластина считается жёсткопластической, основание - упругим. Разработанная методика при помощи компьютерной программы численно реализована для прямоугольных плит. Выявлены закономерности влияния механических и геометрических параметров на поведение конструкции, а также закономерности образования пластических шарниров в зависимости от схемы приложения сосредоточенной силы. Определены условия, при которых не происходит отрыв плиты от основания.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: несущая способность, железобетонная плита, деформируемое основание, жесткопластическое тело.

E.R. Teregulova - assistant

Tel.: 89033872193, e-mail: teregul@vandex.ru

V.G. Nizameev - candidate of physical-mathematical sciences, associate professor Tel.: (843) 510-47-24

Kazan State University of Architecture and Engineering (KSUAE)

METHOD OF AN ESTIMATION OF BEARING ABILITY OF THE FERRO-CONCRETE PLATE WHICH ARE LAYING ON THE DEFORMABLE BASIS

ABSTRACT

Offered work is devoted to development of a method of an estimation of bearing ability of the ferro-concrete plate which are laying on the deformable basis and being under action of set loadings. The plate is considered rigid-plastic, the basis - elastic. The developed technique by means of the computer program is numerically realized for rectangular plates. Laws of influence of mechanical and geometrical parameters on behavior of a design are revealed, laws of formation of plastic hinges depending on the scheme of the appendix concentrated are revealed. Take of plate conditions had determined.

KEYWORDS: bearing ability, ferro-concrete plate, deformable basis, rigid-plastic body.

Для определения несущей способности плит, лежащих на деформируемом основании, используем кинематический принцип теории предельного состояния. Для плиты принята модель жесткопластического тела, для основания - модель Винклера. Таким образом, реакция основания определяется по формуле (1).

г (х, у) = -км( х, у), (1)

где к - коэффициент постели; м(х, у) - вектор перемещения срединной поверхности плиты (рис. 1),

которое состоит из осадки плиты Му под действием собственного веса (дк) или от другой равномерно

распределенной не параметрической нагрузки, осадки от внешних нагрузок как абсолютно жесткого тела

и перемещений Мр , связанных с появлением

пластических деформаций плиты в предельном состоянии:

М + Мо + №р . (2)

Величина Му определяется выражением:

=-Чк /к - (3)

- она является постоянной величиной как по площади плиты, так и по отношению к параметру нагружения.

Рис. 1. Расчётная модель

Величина м определяется выражением:

М = aо + Ьо x + Cоу . (4)

Коэффициенты функции прогибов М в выражении (4) находятся из уравнений статики для плиты, составленных в произвольной системе координат для параметрических нагрузок и соответствующей реакции основания:

X7 = о>

- к Ц (а о + Ьо х + с о у) йЛ + Ц р (х, у }йЛ = о

Л Ар

X тот х = о,

- к (а о + Ьо х + со у )уйЛ + Д р (х, у) уйЛ = о (5)

Л Лр

Хтопу = о,

- к|| (ао + Ьо х+со у)хйЛ + Ц р(х, у)хйЛ= о

Л Лр

В уравнениях (5) интегрирование производится по площади срединной поверхности Л

и поверхности приложения нагрузки Лр. Система является линейной и приводится к виду:

Лао + ^уЬо + ^хСо = К / к ,

^хао + ^хуЬо + ЛСо = Мх / к , (5' )

£уао + ЗуЬо + Зхусо = Му / к,

где A - площадь поверхности плиты,

=Jj ydA, Sy = jj xdA - статические моменты A A

площади, занимаемой поверхностью плиты;

Jx = jj У 2 dA Jy = jj x 2 dA Jxy = jj xydA -A A A

её моменты инерции; R - равнодействующая внешней параметрической нагрузки p(x, y) ; Mx, My -моменты относительно осей x и y от внешней параметрической нагрузки p(x, y).

Параметрическую нагрузку можно представить в виде:

p( x, у) = tpo( x, y ^ (6)

где t - параметр нагружения, p0(x,y) - функция распределения нормированной нагрузки, тогда

R = tR0, Mx = tMx0-> My = tM y 0 . (7)

Систему координат oxy можно подобрать так, что они будут главными центральными осями. В этом случае решение системы (5') представится в виде:

a=

tRo

kA

bo =

tM

yo

tM

kJy

Cn = '

xo

kJx

(8)

В общем случае для определения коэффициентов ао, Ьо, с о необходимо решить систему (5х). В

любом случае м можно представить виде следующей функции:

м0 = Щ (8, 5Х, 8у, 3х,3у,3Ху,Я0,Мхо,Му0). (9)

На основе принципа возможных перемещений

Ж = V, (10)

где V - работа внутренних сил, Ж - работа внешних параметрических сил на кинематически

возможных перемещениях Мр и состоит из работы

параметрической нагрузки и работы реакции основания.

Ж = 1( Ц Ро^рЛЛ + к Л го™р^А + к Л ™р™рЛА) (11)

Ар А А

В уравнение (10) не входит работа, совершаемая непараметрическими равномерно распределенными нагрузками (собственный вес плиты и т.д.), так как она компенсируется работой, совершаемой соответствующей реакцией основания.

Работу внутренних сил можно представить в виде:

т _

V = Ц М,в^А + ^| Мг Д~^/, (/ = 1, й), (12)

А ]=1

где вг- - обобщенные деформации, Мг- -ассоциированные с ними из условия текучести обобщенные напряжения. Второе слагаемое в (12) представляет работу внутренних сил на разрывах обобщенных деформаций.

Таким образом, задача определения несущей способности плит сводится к задаче минимизации функционала:

і

= Л М,в гйЛ + | Мі

(13)

при соблюдении условий нормирования перемещений м р :

Л Ро ™рЛЛ + Л го ™рЛЛ =1,

(14)

и условия текучести:

2 2 2 2

Мп2 -МПМ22 + М222 + 3М132 = МТ2 . ( 15)

Здесь Мт - предельный момент, равный

О тк2

4

И - толщина пластины; От - предел текучести.

Для реализации изложенной выше методики разработан алгоритм и создана компьютерная программа расчёта. Рассмотрен ряд примеров о расчёте прямоугольных железобетонных плит с защемлённым и свободным контуром, при действии сосредоточенной силы, приложенной в любой её точке. В качестве предельного состояния для любого сечения плиты принято возникновение цилиндрического шарнира текучести, при котором образуется

двугранный угол перелома любой величины при постоянном предельном значении изгибающего момента в этом шарнире [1].

Для случая шарнирного опирания принимались схемы разрушения, приведённые в таблице. Они получены путём упрощения известных схем, использованных А.Р. Ржаницыным в работе [2].

Были рассмотрены плиты со следующими соотношениями сторон:

1 = а/Ь = 1.0,1.25,1.5,1.75, 2.0, 2.25, 2.5, 2.75, 3.0. Расчёты велись с разбивкой 5*5. Для каждой точки приложения силы получено четыре значения

предельной нагрузки - Р1пр, Р2пр, Р3пр, Р4пр , соответствующие четырём схемам разрушения (табл.), наименьшее из которых, согласно основному принципу кинематического метода определения предельной нагрузки, считаем наиболее близким к истинному значению. Таким образом, из всех исследованных схем разрушения выбирается та, которая даёт наименьшее значение разрушающей нагрузки. Это приводит к тому, что плита делится на зоны, приложения силы в которых приводят к той или другой схеме разрушения. Окончательное расположение зон с различными схемами разрушения прямоугольных пластинок показано на рис. 3. Эти зоны качественно совпадают с результатами [3]. При соотношении сторон 1 >2.25 схема разрушения для центральной части плиты заменяется схемой 4.

Для плиты со свободным контуром предполагается использовать схемы разрушения, показанные в таблице 1. Рассчитаны плиты с соотношениями сторон

1 = а/Ь = 1.0,1.25,1.5,1.75, 2.0, 2.25, 2.5, 3.0.

Далее определены условия, при которых не происходит приподнимания плиты от основания. Рассматривая плиту как абсолютно жёсткое тело (жёсткий штамп), проведём анализ осадок плиты под воздействием параметрической внешней нагрузки при наличии равномерно распределённой нагрузки типа собственного веса плиты.

Условием отсутствия отрыва, то есть отсутствия отрицательных перемещений, является:

М>(Х у) = а0 + Ь0 Х + С0 У £ , (16)

где ^0 - осадка плиты под воздействием

параметрической нагрузки; - осадка от

собственного веса; коэффициенты а0, Ь0, С0 условия (16) должны удовлетворять системе уравнений (5) или проще (17).

Далее рассмотрим прямоугольную плиту под

воздействием сосредоточенной силы Р. В этом случае условие (16) достаточно проверить лишь для угловых точек, а уравнение (8) представятся в виде

О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

а

Рис. 2. Зоны действия расчётных схем для плиты с шарнирным опиранием сторон

а/Ь=1.5

О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1.4 1,5

а

Рис. 3. Зоны действия расчётных схем для плит со свободным контуром

Таблица

Рис. 4. Различные случаи нагружения плиты

а

Р

каЪ

Рхр 12

ка ъЪ

РУр 12

кЪ3 а

(17)

Для угловых точек хр = /2 Ур

/ Э

выражение для осадки плиты принимает вид:

а К Р, 1 6хр 6У

—,—) —— (-------1---2--+" 2

22 к аЪ а Ъ Ъ а

из (18) получаем:

6 хр 6 Ур — д0 аЪ

р \ Яо Р) — -^- (18)

1 + -

При хр — 0 :

+

а

Ур

Ъ

Я0 аЪ Р

Р

(19)

-1

(20)

При Ур — 0 :

хр

\

Р

/

(21)

Границы зоны, в которой не происходит отрыва краёв плиты от основания, зависят от соотношения между собственным весом и величиной приложенной нагрузки. Ниже рассмотрены различные варианты:

а) если собственный вес плиты принять равным

нулю (^0 = 0), тогда, хр =— а/ 6, ур =— Ь/ 6 (рис. 4 а).

б) если собственный вес равен приложенной нагрузке (ц0аЬ = Р), тогда хр = а/3 , ур = Ь/3 (рис. 4 б).

в) если приложенная сила в два раза превышает собственный вес плиты ( я о аЪ — 2 Р), тогда хр — а/ 2,

Ур — Ъ12 (рис. 4 в).

г) если приложенная нагрузка в пять раз превышает

собственный вес плиты ( я о аЪ — 5Р), тогда Хр — а, У р — Ъ (рис. 4 г).

Теперь, располагая значениями Хр, Ур для

различных вариантов загружения (а-г), можно построить зоны, при нагружении которых не происходит отрыва плиты от основания. На рисунках 4 а-г (соответственно для вышеперечисленных случаев нагружения) показаны плиты, разделённые на зоны -при нагружении плиты в области серого цвета не происходит отрыва краёв плиты от основания.

Литература

1. Гвоздев А. А. Расчёт несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. - М.: Стройиздат, 1949. - 28о с.

2. Ржаницин А.Р. Расчёт сооружений с учётом пластических свойств материалов. - М.: Госстройиздат, 1954. - 288 с.

3. Ржаницин А.Р. Предельное равновесие прямоугольной пластинки при действии сосредоточенной силы, приложенной в любой точке // Сборник статей под ред. Ржаницина А.Р. Исследования по вопросам теории пластичности и прочности строительных конструкций. - М.: Госстройиздат, 1958. - С. 5о-61.

Ъ

с

о

о

Ъ

6