CC BY
15
УДК 535.361
"ПРАВЫЕ" И "ЛЕВЫЕ" ПОЛЯРИТОНЫ В МАТЕРИАЛЬНЫХ СРЕДАХ
B.C. Горелик
На основе анализа уравнений Максвелла в диэлектрической среде, характеризующейся присутствием, резонанса диэлектрической проницаем,ости в области частот решёточных колебаний или экситонных переходов, получен за,кон дисперсии для, поляритонных волн. В теории учитываются, поляритонные волны, с правой и левой ориентировкой векторов E, H, к, соответствующие "правым" и "левым," поляритонам. Установлены, дисперсионные зависимости групповой скорости поляритонных волн и эффективной массы, для, "правых" и "левых" поляритонов. Получены выражения, для, эффективного показателя, преломления, и коэффициента отражения, в широк,ом, спектральном, диапазоне, включающем область резонанса. С ■использованием, развитой теории объяснены особенности спектров решёточного отражения в -щёлочно-галоидных кристаллах.
Ключевые слова: диэлектрик, поляритон. электромагнитная волна, показатель преломления. спектр, закон дисперсии.
В материальных средах происходят процессы взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами. В результате такого взаимодействия в веществе формируются гибридные волны, характеризующиеся перемещением в пространстве возмущений как механической, так и электромагнитной природы. Такие волны были названы поляритонньтми. а соответствующие им квазичастицы известны как поляритоньт [1 3].
На первом этапе исследований поляритоньт были изучены [4 6] в решёточной области спектра диэлектрических и полупроводниковых кристаллов, соответствующей инфракрасному диапазону. В дальнейшем аналогичные свойства были установлены для
ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: [email protected].
электронных возбуждений экситонного типа, спектр которых находится в видимой области или ультрафиолетовом диапазоне.
Поляритонньте волны, исследовавшиеся ранее в диэлектрических средах, характеризовались тем. что для них (при отсутствии эффектов пространственной дисперсии) направления фазовой и групповой скорости совпадали. В последнее время было установлено [7 13], что существуют материальные среды (метаматериальт. фотонные кристаллы). для которых направления фазовой и групповой скорости электромагнитных волн могут быть взаимно противоположными. Такая особенность приводит к ряду новых свойств поляритонньтх волн: отрицательному значению показателя преломления, отрицательному значению эффективной массы поляритонов и др.
В данной работе анализируется возможность проявления такого рода эффектов для поляритонных волн в различных материШ1БНЫХ СрбД&Х.
Анализ законов дисперсии поляритонов, распространяющихся, в однородной и изотропной диэлектрической среде. Уравнения Максвелла для однородной диэлектрической среды можно представить в виде:
Я дБ Т-Т дБ
тоЬЁ = ——; гоШ = —г—;
дГ дЬ'
с1пО = 0; сН уБ = 0. (1)
Соответствующие материальные соотношения имеют вид:
3 = £0£Ё; Б = ¡1фЙ. (2)
Применив операцию ротора к уравнению (1) . с учётом материальных соотношений и поперечности электромагнитной волны получаем:
grad сНУЁ - У2Ё = —£0£^0^Ё; (3)
V2 - Щ) Й = 0. (4)
со )
Здесь со - скорость света в вакууме, а £(и), ¡л(и) - соответствующие значения диэлектрической и магнитной проницаемости материальной среды, в общем случае зависящие от частоты и электромагнитной волны. Из (4) для плоских монохроматических волн 3 = 30 ехр 1(кт — иЬ) получаем соотношение, задающее в неявном виде закон дисперсии
и(к) для поляритонной волны ^ к = —^ :
с2к2
2 с0к /г\
и = . (5)
Из первого соотношения уравнений (1) для плоских монохроматических волн получаем:
[кЁ] = ; (6а)
Ё2
[ЁЙ] =-к. (66)
и^о^
Из соотношений (6а,6) следует, что при условии ¡1 > 0 тройка векторов Ё, Й, к является правой, а при ¡1 < 0 - левой. В соответствии с этим поляритонные волны и связанные с ними квазичастицы (поляритоньт) будем называть "правыми" или "левыми". Из со-6
групповой скорости волны Йд = —совпадающее с направлением вектора Умова-
дЙк
иЙк
Пойтнинга 3 = [ЁЙ], параллельно направлению вектора фазовой скорости Ур = —■
к2
Вектор фазовой скорости совпадает с направлением волнового вектора. Соответственно при ¡1 < 0 (для левых поляритонных волн^ вектор Умова Пойтнинга и вектор групповой скорости поляритонной волны являются антипараллельными волновому вектору и вектору фазовой скорости волны (см. соотношение 6
к отрицательному значению показателя преломления в среде в соответствии с законом сохранения проекции импульса р = Кк квазичастиц (фотона и поляритона) на границе раздела двух сред в соответствии с законом Снеллиуса Декарта.
Остановимся на анализе свойств немагнитных сред, для которых имеет место Ц = 1. Дисперсию диэлектрической проницаемости для "правых" поляритонных волн (^ = 1) зададим в виде известного [6] соотношения Куросавьт для изотропной диэлектрической среды с одним резонансом:
и2 — и2
£(и) = 2-2. (7)
ЩР — и2
Здесь константа = п^ характеризует показатель преломления среды на высоких ча-
2 2
стотах, далеких от резонанса, а ир, и0р - квадраты частот нуля и полюса диэлектрической функции, соответствующей "правым" ("положительным") поляритонньтм волнам. Подстановка (7) в общее соотношение (5) приводит к следующим уравнениям:
2 с0к2(ио2р — и2) 2 СО
и = У7и—^Т; с = ; (8а)
£ж (и1р— и ) £ж
и4 — и2(и1 + с2к2) + и2рс2к2 = 0. (86)
6
ul + c2k2 Uui + c2k^ 2
У
= ±, - u^kl. (9)
Для нижней ветви при малых волновых векторах получаем:
U-p = СоА/ k. (10)
При возрастании волнового вектора (к ^ ж) для этой ветви получаем:
(11)
Для верхней ветви при малых волновых векторах имеет место:
м+Р(к) = + с2( 1 - ^ к". (12)
При возрастании волнового вектора для этой ветви получаем:
ш+р(ж) = (13)
Отметим, что для верхней поляритонной ветви при некотором значении частоты показатель преломления оказывается равным единице, т.е. в соответствии с формулами Френеля для коэффициента отражения среда становится полностью прозрачной (при этом коэффициент отражения от поверхности среды оказывается равным нулю). Как следует из (8а), это имеет место для следующих значений частоты мр и волнового вектора кр
1? — \ ^псМ? —
Up = \l —-Г"; ktp = c S-r"• (14a)
— 1 Coy S^ — 1
Приближённые значения координат этой точки (В на рис. 1) в /с-прострсшствб В COOT-ветствии с соотношением (12) имеют вид:
ш1р 1 _ ш1р
Utp
\
; ktp —
tp
1 — — Co
V Uip
\
(14b)
1 — — (l — Up
Рассмотрим теперь свойства "левых" ("отрицательных") электромагнитных волн, когда ц = —1. При этом диэлектрическая функция имеет вид:
ul- U2
s(u) = Stt^n-2 • (15)
u0n — u2
Соответственно соотношения (8а,6) видоизменяются следующим образом
c20k2{uln - ш2 ex(ufn - и2)
u2 = — и2) ; с2 = ±; (1ба)
u-p = u0p
и4 - u2(u2ln - c2k2) - u22nc2k2 = 0. (166)
Для закона дисперсии в этом случае получаем:
uin = ^^^ ± у (-Ц—)2 + uVk2. (17)
При этом решение со знаком "минус" можно не учитывать, так как оно соответствует мнимым частотам. Соответственно получаем, что при малых волновых векторах имеет место: 2
u+n(k) = u2n - <?( 1 - k2. (18)
V UlnJ
При возрастании волнового вектора дисперсионная ветвь "левых" ("отрицательных") поляритонных волн асимптотически стремится к значению частоты u = u2n. Точка А пересечения дисперсионной кривой "левых" поляритонных волн с прямой u = c2k (см. рис. 1) соответствует координатам:
+ ^In ; k = V+ (
+ 1 ' tp Сол/ + 1
(tn =\ ~ 1^;0п ; ktp = v Ш0п. (19a)
Приближённые значения координат этой точки в соответствии с (18) есть:
"ы = I =; кы =-, ■ (196)
■1+-(1 - ^/1+-(1 - ^
"ы/ V ^ ^ "п
66
СТИ ПрсШЫХ И ЛеВЫХ поляритонных ВОЛН1
С2к(ш0р)
УдР = 2" - "("Р + с2к2) ; (20а)
V = с2к("0>п- "2) (206)
= 2"3 - "("2п - с2к2) ■ (206)
Как следует из уравнений (20а) групповая скорость "правых" волн всегда положительна. что соответствует одинаковой направленности векторов фазовой и групповой скоростей этих волн. Для "левых" волн групповая скорость отрицательна (см. соотношение 6
к=0
в нуль (при " = 0); при к ^ ж групповая скорость "левых" волн асимптотически устремляется к нулю.
Остановимся на анализе выражений для эффективной массы "правых" и "левых" по-ляритонов. Как известно из теории твёрдого тела, общее выражение для эффективной массы квазичастиц в изотропной среде имеет вид:
т = ^ • (21)
ак2
Используя соотношения (20). получаем для "правых" поляритонов:
К
тп(к) = с2(ш2-ш2р)+2с2кш(с1ш/с1к) с2к(ш2-ш2р)[(аш/ак)(6ш2-ш2р-с2к2)-2с2кш] • (22)
2ш3-ш(ш2р+с2к2) \2ш3-ш(ш2р+с2к2)]2
Соответственно для левых" поляритонов имеет место:
К
Шга(к) = с2(ш2п-ш2)-2с2кш(аш/ак) с2к(ш2п-ш2)[(аш/ак)(6ш2-ш2п+с2к2)-2с2кш] • (23)
2ш3-ш(ш2г-с2к2) [2ш3-ш(ш2п+с2к2)]2
Для массы покоя (к = 0) соответствующих поляритонов получаем:
тр(0) = , М ? х ; тп(0) = , ^пр ? ч • (24)
сМ 1 - ^ll * 1 - %
м?р I V
Спектральные зависимости коэффициентов преломления, и отражения. Сравнение теории с экспериментом. В соответствии с соотношением (5) для квадрата коэффициента преломления получаем:
и2(ш) = е(ш)р(ы). (25)
В рассматриваемом приближении для ц =1 имеет место:
- и2
пр(ш) = х ¡е^'2 " 2 ; >ш2 >Ш0Р. (26)
При условии ц = —1 получаем:
и0р — и
Пп(м) = м2п М2 ; м2п > (27)
м — МПп
В соответствии с формулами Френеля для нормального падения электромагнитного излучения на поверхность среды при ц = 1 для коэффициента отражения имеем:
Rp(u) =
£^(U2v — U2) — х/(U2p — U2)
e^(u2lv — и2) + А/(ulp — и2)
2 ^ 2 ^ 2 ир >и > и0р-
(28)
Рис. 1: Дисперсионные зависимости для "правых" (сплошная линия) и "левых" (пунктир) электромагнитных волн в кристалле NaCl. Проведена также прямая и = c0 х k, соответствующая закону дисперсии электромагнитных волн в вакууме.
Рис. 2: Дисперсионные зависимости групповых скоростей "правых" (сплошная линия) и "левых" (пунктир) электромагнитных волн в кристалле ИаС1.
Соответственно для 1 = —1 получаем:
Rn (и) =
(uln — U 2 ) — \/ (и 2 — U0n )
лА^ (иы — и 2) + V(uL — и 2)
un > и > и
; uln
0n
(29)
2
т, 10 36 kg Шо со
42-
Рис. 3: Дисперсионные зависимости эффективных масс "правых" (сплошная линия) и "левых" (пунктир) поляритонов в кристалле NaCL
Рассмотрим в качестве примера поляритонные ветви в кристалле хлористого натрия. При этом дисперсионные параметры для правых волн имеют вид: и0р = 3.09• 1013 рад/с; е0 = 5.62; ^^ = 2.25; и1р = 4.88 • 1013 рад/с [12]. Для левых волн будем полагать, что uln = ulp = 4.88 • 1013 рад/с и u0n = 3.77 • 1013 рад/с. Соответствующие зависимости для законов дисперсии и(k) поляритонных волн, а также дисперсионные зависимости для групповых скоростей поляритонных волн, эффективных масс поляритонов и спектр отражения от поверхности данного кристалла без учёта затухания приведен на рис. 1-4(а). Точки А и В на дисперсионных зависимостях соответствуют значениям показателя преломлении n = 1 (точка В) и n = —1 (точка А), для которых отражение от поверхности кристалла в соответствии с формулами Френеля отсутствуют. Рис. 4(6) иллюстрирует экспериментальную зависимость коэффициента отражения от поверхности обсуждаемого кристалла, а также расчёт по формуле Френеля, учитывающей только правые волны. Как видно из сопоставления рис. 4(a) и 4(6), наблюдается качественное согласие теории, учитывающей левые волны, с экспериментом. Наблюдаемое несоответствие между теорией и экспериментом объясняется отсутствием затухания поляритонов в предлагаемом варианте теории.
Заключение. Таким образом, в данной работе развита теория поляритонных волн в диэлектрических кристаллах, учитывающая как волны с "правой ориентировкой" векторов E, Я, k (правые поляритонные волны), так и с левой ориентировкой этих векторов (левые поляритонные волны). В соответствии с развитой теорией, левые по-
Я % С0/ со,
R,%
(а) 100 h
(б)
100--
40--
20" i
60-
80-
Ж
\
-г*-Ч-1-
40 60 80 100
jiim
0
40 60 80 X, jiim
Рис. 4: Спектры отражения электромагнитного излучения от поверхности кристалла NaCl: (а) теория, учитывающая присутствие "левых" волн в соответствии с соотношением 11 (а) без учёта затухания; (б) результаты, приведенные в работе Щ. При этом на рис. 4(6) сплошная кривая соответствует экспериментальным данным, пунктир - расчету при ^ =1 без учета затухания, а крестики - с учетом затухания.
ляритонные волны формируются в объёме однородного диэлектрического кристалла в спектральном диапазоне, соответствующем отрицательным значениям диэлектрической проницаемости. Для левых поляритонных волн показатель преломления является отрицательным. Таким образом, в реальных однородных диэлектрических кристаллах в спектральных диапазонах в области полюсов диэлектрической проницаемости могут быть реализованы эффекты, установленные ранее для метаматериалов в инфракрасной области спектра. В частности, развитая теория даёт удовлетворительное согласие с экспериментом по спектрам отражения в решёточной области спектра для гцелочно-галоидных кристаллов.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты Ж№ 10-02-00293, 11-02-00164, 1102-12092, 12-02-00491, 12-02-90422, 12-02-90021, 12-02-90025).
ЛИТЕРАТУРА
[1] J. J. Hopfield, Phys. Rev. 112, 1555 (1958).
[2] С. Н. Henry, J. J. Hopfield, Phys. Rev. Lett. 15, 964 (1965).
[3] S. P. Port, B. Tell, T. Damen, Phys. Rev. Lett. 10, 450 (1966).
[4] J. F. Scott, L, E. Cheesman, S. P. Porto, Phys. Rev. 162, 834 (1967).
[5] Б. H. Маврин, X. E. Стерин, ФТТ 14, 2774 (1972).
[6] В. M. Агранович, В. Л. Гинзбург, ЖЭТФ 61, 1243 (1971).
[7] В. П. Быков, ЖЭТФ 62, 505 (1972).
[8] S. John, Phys. Rev. Lett. 58, 2486 (1987).
[9] V. S. Gorelik, Quantum Electron. 37, 409 (2007).
[10] V. S. Gorelik, Laser Physics 18(12), 1479 (2008).
[11] В. M. Агранович, К). H. Гартттттейн, Успехи физических наук 176, 1051 (2006).
[12] Max Born, Ivun Huang, Dynamical Theory of Crystal Lattices (Oxford, Clarendon Press;
New York, Oxford University Press, 1988).
[13] В. Т. Веселаго, УФН 92, 517 (1967).
Поступила в редакцию 15 января 2013 г.
