CC BY
9THE RULES FOR A SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS FOR ESTIMATION OF HEAT PROPAGATION IN A ROD USING QUADRATIC FIT WITH AN INCREASE IN THE NUMBER OF ELEMENTS
A. K. Kudaiykulov, A. A. Tashev
Institute of Information and Computational Technologies 050010, Almaty, Republic of Kazakhstan
This paper considers the method of producing system of linear differential equations for solution of non-stationary problem of heat propagation in a rod. For receiving system of linear differential equations variation method is used. At this, the square approximation of temperature elements of a rod is performed on all its length. To achieve the goal firstly are investigated cases, when the rod is consists of two or three elements. It is assumed that from the left end face of rod is fed a constant flow of heat and the right end face of rod is not thermal insulated. Further, it is obtains systems of linear differential equations for different options thermal insulation of side surface of two and three rod elements. Analyzing the structure of obtained systems of linear differential equations, are obtained rules of making the systems of linear differential equations for the solution of non-stationary heat distribution problem in a rod consisting of any quantity of elements. These rules are obtained for any combination of heat isolation elements side surface of a rod. The developed rules allow to receive stationary and non-stationary, and also right parts of system of linear differential equations for the solution of problem of heat distribution in a rod.
Based on the proposed method has developed program using instrumental programming of Delphi which allows to obtain system of linear differential equations.
And also for the research of thermo physical characteristics of a rod the program is developed, which allows
to solve stationary and non-stationary problems of heat distribution in a rod; to define thermo-mechanical characteristics of a rod: elongation of a rod; axial thermal effort; thermo-elastic voltage; thermo-elastic deformation; temperature deformation; temperature voltage; elastic deformation and movement.
Programs allow to set necessary basic data for the solution of a task and to receive estimates of above-mentioned characteristics in an evident graphical form for both stationary and for non-stationary processes.
The specific examples of solution of non-stationary heat distribution problem in the rod, confirming the correctness of the proposed method are considered.
Key words: energy, functional, temperature, heat flow, heat exchange, thermal isolation.
References
1. Larry .J., SegerlindL. Applied Finite Element Analysis, 2nd Edition. 448 p. February 1985, ©1984. 653 p.
2. Zienkievich O. C., MoranK. Finite Elements and Approximation, 1983.
ПРАВИЛА ПОЛУЧЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В СТЕРЖНЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КВАДРАТИЧНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ПРИ УВЕЛИЧЕНИИ ЧИСЛА ЭЛЕМЕНТОВ
А. К. Кудайкудов, А. А. Ташев
Институт информационных и вычислительных технологий КН МОН РК 050010, Алма-Ата, Республика Казахстан
УДК 539.3 (075)
В работе рассматривается методика получения системы .линейных дифференциальных уравнений для решения нестационарной задачи распространения тепла в стержне с использованием вариационного подхода с привлечением квадратичной аппроксимации температуры элементов стержня. При этом сначала исследуются случаи, когда стержень разбивается на два и три элемента, когда с левого торца стержня подается ноток тепла, правый торец стержня не теплоизолирован, а элементы боковой поверхности стержня теплоизолированы в различной комбинации. Далее, анализируя системы линейных дифференциальных уравнений, полученные для различных вариантов теплоизоляции боковой поверхности элементов стержня, определены правила составления систем линейных дифференциальных уравнений для решения нестационарной задачи распространения тепла в стержне, состоящей из любого количества элементов стержня с использованием квадратичной аппроксимации, когда элементы стержня теплоизолированы произвольным образом. При этом сформулированы правила получения стационарной и нестационарной части, а также правой части системы линейных дифференциальных уравнений.
Разработано программное обеспечение с использованием инструментального программирования Delphi для получения системы линейных дифференциальных уравнений для решения нестационарной задачи распространения тепла в стержне. Рассмотрены конкретные примеры решения нестационарной задачи распространения тепла в стержне, когда левая половина стержня теплоизолирована, а правая нет, и наоборот.
Ключевые слова: внутренние источники тепла, внутренняя энергия, нестационарность, тепловой ноток, вариационный подход.
Введение. Большинство из несущих элементов устройств нагревается иод воздействием трения, различных тепловых воздействий. Чтобы исследовать степень нагревания этих элементов с любой заданной точностью, необходимо уметь составлять систему линейных дифференциальных уравнений для квадратичной аппроксимации температуры стержня, состоящей из любого числа элементов. В данной работе рассматриваются правила получения таких систем линейных дифференциальных уравнений.
Работа выполнена при финансовой поддержке КН МОН РК (грант № ГФ4 3322 (2015 2017 гг.)) по теме „Теоретические основы математического моделирования установившихся нелинейных, теплофизических процессов в жаропрочных сплавах".
1. Постановка задачи и численный алгоритм. Общая постановка вариационого подхода для решения нестационарной задачи теплопроводности в стержне рассмотрена в [1]. Согласно этому подходу, определяется аппроксимация температур Т и вычисляется выражение:
X
V
Kxx /dT\ dT
-u -QT+AdTr
dV +
1
qT + - T^Y
dS,
где 11 = [Кг ^ах)2^' _ часть тепла, которая уходит на повышение внутренней энергии;
V
12 = [qTdS — количество поступающего тепла на стержень;
13 = §2Н(Т — Т^)2йЗ — количество тепла, уходящего через поверхность стержня; /4 = ^дйjIтdV — член, учитывающий нестационарность задачи;
V
— JQTdV — внутренние источники энергии.
V
Для дальнейших исследований введем следующие обозначения: q — тепловой поток (Вт/см2);
Т — температура (°С);
S — площадь поперечного сечения стержня (см2);
Тте — температура окружающей среды (°С);
А=рс ~ коэффициент температуропроводности (^2%)'
h — коэффициент теплоотдачи; ( 2(heat-transPer coefficient)
Вт
см3-°СЛ
^хх _ коэффициент теплопроводности материала уСм-°сУ <3 — источник тепла внутри тела ( Вт р — плотность (^); с — удельная теплоемкость г — радиус стержня;
Ь, Б — длина и площадь поперечного сечения стержня соответственно; п — число элементов аппроксимации; I I. п число узлов.
Проблема заключается в нахождении правил составления системы дифференциальных уравнений для решения нестационарной задачи теплопроводности в стержне для любого заданного количества элементов стержня,
2. Решение задачи. Рассмотрим стержень с температурой 0 в начальный момент времени, с левого конца которого подается поток тепла q, Квадратичная аппроксимация температуры некоторого отрезка стержня длиной 1 есть:
Т _ | 2x2 — Мх + ^ + Т2 + d(2x2^'| Тз,
I2
I2
I2
(1)
где Т1; Т2 и Т3 — температура стержня па левом конце, посередине и па правом конце отрезка стержня соответственно. Если введем векторы
N
T
2x2- 31х + I2 41х - 4x2 2x2 - lx
I2
I2
I2
и T
T
(Ti, T2, Тз),
то (1) можно написать в виде Т = ]МтТ, Возьмем производное от Т по х:
Т =Ё!
Т X л
ах
12
I2
12
(2)
или в матричной форме Тх = Г^Т Рассмотрим функционал:
X
V
кхх (ату
2
ау - /дгау + IА^тау+
v v
+ / чтаБ + -п(т - т^)Ч§ + -н(т - , (з)
Sl
S 2
53
где $1, Б2 и Б3- площадь поперечного сечения левой части стержня, боковая поверхность и площадь поперечного сечения правой части стержня (Б^ Б3=Б), соответственно. Подставляя (1) и (2) в (3), получим
х=^ /тт ^^тау- [^ттау+ /тт/ ^ттаб+Н / тт^тта¡з-
н
v
v
н
v
S2
- н / ^тт^аБ + н I + Н IТт^тТаБ - н[г^тт^аэ + Н I(4)
^2
^2
Sз
S 3
Sз
Берем производное X по Т, Имеем:
А
-^х = кхх / ^^тау - I ^тау + I ^ау + / ^таБ+
v
v
+ Н / N^таБ - Н1 т^йБ + Н / NкттаБ - Н1 т^йБ = 0. (5)
V
т
Sl
т
т
S2
$2
53
^3
Вычислим каждый член выражения (5) в отдельности для трех узлов (один элемент, п =1):
кхх / ^^тау
v
к
Ь4
' (4х - 31)(41 - 8х) (4х - 31)(41 - 8х) (4х - 31)(4х - 31)\ (41 - 8х)(41 - 8х) (41 - 8х)(41 - 8х) (41 - 8х)(4х - 31) I аУТ = V ^ (4х - 1)(41 - 8х) (4х - 1)(41 - 8х) (4х - 1)(4х - 31))
' 14 -16 2 \ /т1 -16 32 -16 I х I т2 2 -16 14} \тз>
БКХ
фг^ау = ^
12
V
'2ж2 — 31х + Р 41х — 4х2 2х2 - 1х
с1х
Т
(7)
6
л г /(2ж2 — 31х + /2)(2ж2 — 31х + 12) (2х2 — 31х + /2)(41х — 4х2) Л / N]\Тт^У = - I (41х — 4х2)(2х2 — 31х + 12) (41х — 4ж2)(41х — 4х2) { ™ 1 V \ (2х2 — 1х)(2х2 — 31х + /2) (2х2 — 1х)(41х — 4х2)
(2х2 — 31х + /2 )(2х2 — 1х)' (41х — 4ж2)(2ж2 — 1х) (2х2 — 1х )(2х2 — 1х)
'атх'
I:,<1у
dt
вЛЛ
75
2 Г
Г 8 Г
_ 1 2
Г 2
атх
А I . (8)
На левом конце стержня имеем:
51
Г
^ЖБ = ЧБ | 0 0,
(9)
3
Ьу N ^ТёБ
5:
2 , г /(2ж2 — ЗЪ. + /2)(2ж2 — ЗЪ. + 12) (2х2 — 31х + /2)(41х — 4х2) ^ | (41х — 4х2)(2х2 — 31х + 12) (41х — 4ж2)(41х — 4х2) 1 (2х2 — 1х )(2х2 — 31х + /2) (2х2 — 1х )(41х — 4х2)
(2х2 — 31х + /2)(2ж2 — 1х)' (41х — 4ж2)(2ж2 — 1х) (2х2 — 1х )(2х2 — 1х)
аут
2пгШ
15
—2 1
1 — г 81 2
х
Т1 Т2
Т3
(10)
5:
2пгЬ
П2
На правом конце стержня имеем:
^ N ^ТаБ
ЬБ
'2ж2 — 31х + Р 41х — 4х2 2х2 - 1х
000 000 ,0 0 1
ёх
5з
ЬБТ
пгЫ
0 0
3
(11)
(12)
(13)
Подставляя все полученные выражения (без учета внутренних источников энергии (7)) в (5), получим следующую систему дифференциальных уравнений для нестационарного, нетеплоизолированного случая:
н 1Т + к19 Т = в19,
Ь 1 1 1 )
где
3
Таблица 1
Исходные данные
К Кхх \=рс Н т т СО Я То К Б
75 15 10 40°С 150 100°С 1 пг2
к1(
14Кх5 + 4пгЬ1 6Ь + 15 16КХх£ + 2пгЬ1
16Кх5 I 2пгЬ1 6Ь + 15 32КХ5 I 16пгЬ1
6Ь 1 15 6£ + 15
2Кх5 | пгЫ 16КХХ5 , 2пгЬ1
6Ь + 15 16Кх5 + 2пгЬ1
КЖХБ
6Ь
X
I П ГШ _
+ ТГ —"
+
6Ь 1 15 6Ь
14 -16 2 \ /0 0 0
-16 32 -16 | + I 0 0 0
00
6Ь
14Кх5 + 4пгЬ1
15
15
+
2 -16 14
ату а^
т = I "Х2
л
т
т1 т2 тз
н1
пгЫ АЯ
15
ЬБ
42 2 16 2 1 2 4
6Ь
-х
1
г1( + о1( + а\(,
2 1
1
8
-2 1
в1(1
-яЯ +
пгЬ1Т0
4пгЬ1Т0
з
з
.ЬЯТоо +
пгЬ1 т0 3
—qS 0
, ЬБТоо
+
пгЫТС
~3~
1 2
в1( + в1(.
и для стационарного случая имеем:
к1( т = в1(,
(15)
Здесь нижние индексы означают нетеплоизолированные элементы, а верхний — общее количество элементов и начальные условия для левого конца стержня, куда подается поток тепла д
Подставляя исходные данные из табл. 1, получим следующую систему дифференциальных уравнений
3375 1687,5 -843,75^ 1687,5 13500 1687,5 843,75 1687,5 3375
х
'ату
41 +
9750 -3750 -375 -3750 30000 -3750 I х
ф/ \ -375 -3750 12000
(К
X
т1 т2 тз
258750 I 90000 \315000,
(16)
Решение этой системы линейных дифференциальных уравнений представлено на рис, 1,
Стационарными решениями являются т1 = 43,66°С, т2 = 40,49°С, тз = 40.26°С. В случае, когда боковая поверхность теплоизолирована, не учитываются члены (10) и (11). В этом случае (14) имеет вид
н 1гГ1 + К1( т = в1(, (17)
где К1( = Г1( + 01(, В этом случае имеем:
к1( т = в1(.
(18)
Подставляя исходные данные из табл. 1, получим следующую систему дифференциальных уравнений для нестационарного случая:
Рис. 1. Изменение температуры в трех узлах для нетенлоизолированншч) случая (слева приложен поток тепла д = —150 Вт/см2)
675 337,5 337,5 2700 -168,75 337,5
—168,75^ 337,5 675
/ 1050 —1200 150 х | ^ I + I —1200 2400 —1200 | х \ 150 —1200 1500
'ТА / 6750
х | Т2 | = I 0
,Т3/ \ 18000,
(19)
Рис. 2. Изменение температуры в трех узлах для теплоизолированших) случая (слева приложен поток тепла д = —150 Вт/см2)
Нестационарное решение этой системы представлено на рис. 2.
Стационарным решением является т1 = 70°С, т2 = 62,5°С и тз = 55°С. Вычислим теперь каждый член выражения (5) в отдельности для пяти узлов (два элемента, п = 2). Имеем
кхх / ^^ТаУ
V
к
I4
V
((4х - 31)(41 - 8х) (4х - 31)(41 - 8х) (4х - 31)(4х - 31) 0 0\
(41 - 8х)(41 - 8х) (4Ь - 8х)(41 - 8х) (41 - 8х)(4х - 31) 0 0
(4х - 1) (4Ь - 8х) (4х - Ь)(41 - 8х) (4х - 1)(4х - 31) 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0/
X
V
т1 т2 тз
т4 т5
ау + к?
V
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 (4х - 31)(41 - 8х) (4х - 31)(41 - 8х)
0 0 (41 - 8х)(41 - 8х) (41 - 8х)(41 - 8х)
\0 0 (4х - 1)(41 - 8х) (4х - 1)(41 - 8х)
х
0 \ т1 14 -16 2 0 0 т1
0 т2 6КХХ 61 -16 32 -16 0 0 т2
(4х - 31)(4х - 31) тз = 2 -16 28 -16 2 X тз
(41 - 8х)(4х - 31) т4 0 0 -16 32 -16 т,
(4х - 1)(4х -31)) т5 0 0 2 -16 14 т5
(20)
фг^ау = ^
I2
V
(2х2 - 31х + Ь2\ 41х - 4х2 2х2 - 1х 0 0
ах
а!
V
1 4 1
0 0
V
((2х2 - ^ + 12)(2х2 - ^ + I2) (41х - 4х2)(2х2 - 3Ъ. + I2) (2х2 — 1х)(2х2 - 31х + I2) (21) 0 0
6
(2х2 - 31х + 12)(4Ы - 4х2) (41х - 4х2)(4Ы - 4х2) (2х2 — 1х- 4х2) 0 0
0 0 0
0 0
(2х2 - 3Ъ. + 12)(2х2 — 1х) (41х - 4х2)(2х2 — 1х) (2х2 — 1х )(2х2 — 1х) 0 0
0 0
0 0 0 0 0
^ (
0 0
0М
ау+
0 0
(2х2 - Ш + 12)(2х2 - 31х + I2) (2х2 - 31х + 12)(4Ы - 4х2)
(41х - 4х2)(2х2 - 31х + I2) (2х2 — 1х)(2х2 - 3Ъ. + I2)
(41х - 4х2)(4Ы - 4х2) (2х2 — 1х)(4Ы - 4х2)
0 0
(2х2 - 31х + /2)(2ж2 — 1х) (4Ьх — 4ж2)(2ж2 — 1х) (2х2 — 1х )(2х2 — 1х) )
На левом конце стержня имеем:
/с1Тх\
ж ж ж
\Ж,
\ Л /
ау
ем
75
2 1
1 -1 о
8
-1 1
1 ' 2 00
1 4 1
1
\ 0 0 —
0 0
1 2
1 2
/с1Тх\
ж ж ж
Д/
\ Л /
^^аБ = qS
51
1 0 0
0 0
Член, учитывающий теплообмен по боковой поверхности стержня, равен:
/(2ж2 — 31х + /2)(2ж2 — 31х + /2) (2х2 — 31х + /2)(41х — 4х2)
Г
иу N ^таБ
$2
/4
V
(41х — 4ж2)(2ж2 — 31х + /2)
(2х2 — 1х )(2х2 — 31х + /2)
V
(2х2 — 31х+/2)(2ж2 "1*) 0 0 т1
(41х -4ж2)(2Ж2 — 1х) 0 0 т2
(2х2 — 1х )(2х2 — 1х) 0 0 Тз
0 0 0 Т4
0 0 0 т5
0 0
ау+
2пгЬ
I4
V
(41х — 4ж2)(41х — 4х2) (2х2 — 1х )(41х — 4х2) 0 0
0 0
(22)
00 00
0 0 (2х2—31х+/2)(2ж2—31х+/2) (23)
0 0 (41х — 4ж2)(2ж2 — 31х + /2)
\0 0 (2х2 — 1х )(2х2 — 31х + /2)
00 00
(2х2 — 31х + /2)(41х — 4х2) (2х2 — 31х + /2)(2ж2 — 1х)
(41х — 4ж2)(41х — 4х2) (2х2 — 1х )(41х — 4х2)
(41х — 4ж2)(2ж2 — 1х) (2х2 — 1х )(2х2 — 1х)
_ 2пгШ = 15
/тЛ
Т2 Тз Т4
21 1
ау
0
—2 0 10 4 1
1 -1
И / N^ТаБ = ИБ
53
0 -1 2 2 2
0 0 0 0 0 /ТЛ ( 0 \
0 0 0 0 0 т2 0
0 0 0 0 0 Тз = 0
0 0 0 0 0 Т4 0
0 0 0 0 1 т5 \I1ST5 )
0 /ТЛ
0 Т2
1 2 Тз
1 Т4
2
и / ^т^аБ
2пгЬ
/2ж2 — 31х + /2\ 41х — 4х2 2х2 — 1х 0 0
(
ах +
0 0
2х2 — 31х + /2 41х — 4х20 2х2 - 1х
\
ах
ппгЫТС
3""
1 4 2
4 1
(24)
(25)
(26)
0
8
2
К
5з
0 0 0
0 1
(27)
Подставляя полученные значения (без учета внутренних источников энергии (7)) в (5), получим следующую систему дифференциальных уравнений для нестационарного случая:
н2 % + к\\т = в
?2д 1,2,
(28)
где
к
2д 1,2
14Кх5 + 4ПГЬ1 61 + 15 16КХх5 + 2пГЬ1
61 + 15
61 + 15 0
0
0 0
61 + 15 32КХх5 + 16ПГЬ1 61 + 15 16Кх5 + 2ПГЬ1
61
15
+
16КХх5 + 2ПГЬ1 6Ь + 15 32КХ5 + 16ПГЬ1 6Ь + 15 16Кх5 + 2ПГЬ1
6£
15
0 0
0 0
2Кх5 + ПЕМ 61 + 15 16Кх5 + 2ПГЬ1 " р.1 +
61 + 15 16Кх5 + 2ПГЬ1 61 + 15 28КХх5 + 8ПГЬ1
61 + 15 16Кх5 + 2ПГЬ1
61 + 15 2КХх5 + ПГМ 61 + 15
14Кх5 + 4ПГЬ1
15
61
15
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0000
Ы)
+
пгЫ
1Е~
14 16 2 0 0
к 11хх 61 Б 16 32 16 0 0
2 16 28 16 2
0 0 16 32 16
0 0 2 16 14
(4 2 1 0 0\
2 16 2 0 0
1 2 8 2 1 = ^29 +
0 0 2 16 2
0 0 1 2 4
+
-<1<?
н2
в
2д 1,2
15
2
1 _ 1 2
0 0
1 8 1 0 0
( +
4ПГЬ1
3
2ПГЬ1 3
ПГЬ1 т0 3
4ПГЫТ0
з
\hSTc
1 4 1
+
ПГЬ1 т0 3
7
А для стационарного случая имеем
0 0 1
8 2
0 0
1 2
( -Яй \
0 0 0
уьзТоо/
I =
/с1Тх\
Ж Ж
ж
\Ж
\ Л /
т
+
пгЫТг
3
1 4 2
4 1
т1 т2
тз т4 т5
в2я + в29
1,2
к?92т = в
2д 1,2.
(29)
2
Подставляя исходные данные из табл. 1, получим для нестационарного случая следующую систему дифференциальных уравнений:
Рис. 3. Изменение температуры в пяти узлах для нетеплоизолированншх) случая (слева приложен поток тепла д = —150 Вт/см2)
/ 73125 \ 225000 112500 . 225000 101250
Решение этой системы линейных дифференциальных уравнений представлено на рис. 3.
Стационарными решениями являются Т1 = 43,84°С, Т2 = 41,45°С, Т3 = 40,57°С, Т4 = 40,23°С и Т5 = 40,13°С. Если сравнить температуру в крайних точках и в середине стержня, то есть решения Т1; Т3 и Т5 с решения ми Т1; Т2 и Т3, полученными для трех узлов, видим, что отклонения незначительны: АТ1 = 0,18°С, АТ2 = 0,08°С, АТ3 = 0,13°С. В случае, когда боковая поверхность теплоизолирована, (27) имеет вид
н 2Т + к21 Т = в21, (30)
где К2(1 = ^2(1 + 02(, А для стационарного случая имеем
К2( Т = В2(. (31)
Подставляя исходные данные из табл. 1, для нестационарного случая получим следующую систему дифференциальных уравнений:
843,75 421,875 — 210,9375 0
421,875 3375 421,875 0
— 210,9375 421,875 1687,75 421,875
0 0 421,875 3375
0 0 — 210,9375 421,875
6375 —5434,5 468,75
—5437,5 16500 —5437,5
+ 468,75 —5437,5 12750
0 0 —5437,5
0 0 468,75
0 0
— 210,9375 421,875 843,75
\
0 0
—5437,5 16500
5437,5
х
/с1Тх\
Ж
ж (1%
0 0
468,75 —5437,5 7500
V л/ \
X
+
Т1 Т2
Т3 Т4 Т5
0,002,05 4,33 6,61 В,69 11,55 14,59 17,63 26,67 23,71 26,75 29,79 32,63 35,67 36,91 41,95 44,99 46,63 51,07 54,11 57,15 66,19 63,23 66,27 69,31
1
Рис. 4. Изменение температуры в пяти узлах для тенлоизолированншх) случая (слева приложен поток тепла д = —150 Вт/см2)
( 84375 421,875 — 210,9375 0
\ 0
421,875
3375 421,875 0 0
— 210,9375 421,875 1687,75 421,875 -210,9375
0 0
421,875
3375 421,875)
0 0
—210,9375 421,875 843,75
\
х
/с1Тх\
Ж
ж ж ж
\ сН /
+
5250 —6000 750 0 0 Т1 /16875\
—6000 12000 —6000 0 0 Т2 0
750 —6000 10500 —600 750 X Т3 = 0
0 0 —6000 12000 —6000 Т4 0
0 0 750 —6000 6375 Т5 45000
+
Нестационарное решение данной системы представлено па рис. 4.
Стационарным решением полученной системы является Т1 = 70°С, Т2 = 67°С, Т3 = 64°С, Т4 = 61°С, Т5 = 58°С и Т6 = 55°С. Если сравнить температуру в крайних точках и в середине стержня, то есть решения Т1; Т3 и Т5 с решения ми Т1; Т2 и Т3, полученными для трех узлов, видим, что отклонения незначительны: ЛТ1 = 0,18°С, ЛТ2 = 0,08°С, ЛТ3 = 0,13°С. Для удобства дальнейшего изложения введем операторы и и V
«11 «12 «13 «11 «12 «13
и I «12 «22 «13 1 = I «21 «22 «23
«13 «12 «11 \«31 «32 «33
и0 ,и1
«11 «12 «13
«12 «22 «13 ,«13 «12 «11,
000 0 0 0 000
«11 «12 «13 и1 I «12 «22 «13
«13 «12 «11.
«11 «12 «13 0 0
«12 «22 «12 0 0
«13 «12 «11 0 0
0 0 0 0 0
V 0 0 0 0 0/
и2
0 0 0 0 0
«11 «12 «13 0 0 0 0 0
«12 «22 «13 1 = 0 0 «11 «12 «13
«13 «12 «11/ 0 0 «12 «22 «12
0 0 «13 «12 «11
^2
И т, д.
«11 «12 «13 0 0
«12 «13 «12 «22 «12 0 0 = и1 «11 «12 «13
«22 «13 1 = «13 «12 2«11 «12 «13 «12 «22 «13
«12 «11/ 0 0 «12 «22 «12 «13 «12 «11
0 0 «13 «12 «11
V0
■VI1
VI
V0
+
+ и2
+ V1
«11 «12 «13 «12 «22 «13 ,«13 «12 «11,
V 0
«1 0 «1 «1 «1 0
«2 0 «2 «2 «2 0
«3 = 0 Л1 «3 = «3 V 2 «3 = «1
«4 0 «4 0 «4 «2
«5 0 «5 0 «5 «3
«1 «1 «1 «1
«2 «2 «2 «2
«3 = V20 «3 + V! «3 + V)2 «3
«4 «4 «4 «4
«5 «5 «5 «5
V2
Р (и,Ь) прибавляет последнему диагональному элементу матрицы Р выражение Ь, Например,
«11 «12 «13 \ \ / «11 «12 «13
Р
«22 «12
«22 «13
«12 «11 + Ь,
Анализируя (14) и (27), можно выявить следующие правила получения системы дифференциальных уравнения при аппроксимации произвольным количеством элементов,
1, Формирование матрицы К при Т для нетеплоизолированного случая.
Анализируя матрицу К для трех (14) и пяти узлов (27), можно выявить следующие правила определения элементов матрицы К для п элементов:
(а) — для одного элемента
к с I 14 -16 2
К19 = /-16 32 -1б| +
61 1 2 -16 14
Ю 0 0 0 0 0 ,0 0 Ъв,
+
пгЫ
55
К С I 14 -16 Р I ^и! | -16
2
61
32 -16 2 -16 14
(б)
для двух элементов
К
к 1,2 ~
61
14 16 2 0 0 0 0 0 0 0
16 32 16 0 0 0 0 0 0 0
2 16 28 16 2 + 0 0 0 0 0
0 0 16 32 16 0 0 0 0 0|
0 02 16 14 0 0 0 0 Ьв/
Кс ( 14 -16 2 \ \
= Р и2 | и2 -16 32 -16 | ,Ь8 |
1 61 2 16 14
(4 2 1 2 16 2 1 2 4,
+ ^ 1-416 126 2 15 1 1 2 4>
пгЫ
1
0 0
+--и2
15 2
8
0 0 2
(4 2 1 2 16 2 2 0 0
4 2 1 -16 16 2 1 2 4
0 0 1
2 16 2 1 2 4)
(в) — для п элементов имеем
К
к 1,2,...,
Р 1
14 -16 2 -16 32 -16 2 16 14
+--ип
15 п
4 2 1 -16 16 2 1 2 4;
Формирование матрицы Н,
Анализируя матрицу Н для трех (14) и для пяти узлов (27), можно выявить следующие правила определения элементов матрицы Н для п элементов:
(а)
для одного элемента
Н1
ЛЯ
15
1 8 1
(б)
для двух элементов:
/ 2
1
Н 2
ЛЯ
15
0
1 8 1 0
1 4 1
1 2
0 0 1
8
15
и1
2 1
1 8 1
0 0
1
\0 0 - 2 2 2/
п
^ *1
1 - Г
8 1
1 2
Нп = ^ ип
15 1
- 2 1
1 - Г
8
3, Формирование матрицы В,
Анализируя вектор В для трех (14) и для пяти узлов (27), можно выявить следующие правила определения элементов матрицы В для п элементов:
(а) — для одного элемента:
В11
—qS 0
„ ЬЯТ™
+
пгЫТс
3
в 1( + V1
3 1
(б)
для двух элементов
2( В1,2
( -яЭ \
0 0 0
\hSTV
+
пгЫТг
3
1 4 2
4 1
+
пгЫТг
3
-V! ( 4
(в) — для п элементов
Впч
( -яэ \
0 0
0
\hSTV
+
пгЫТг
3
1
4 2 4
2
4 1
вч + V, ( 4
Некоторые элементы стержня теплоизолированы, а некоторые — нет при подаче постоянного потока тепла с левого конца стержня. Если не теплоизолированы элементы г1; г2,.,, гк, то имеем:
1. н
ЛЯ
15
ип
2. Кпч- .
г1,г2,...,гк
2 1 — г 181 — 2 1 2
^ п к /14 —16 2 \ \ „к Р ( ( —16 32 —16 | ,Ьв | + ( —16 16 2
6Ь ^ п
3 = 1
2 -16 14
15 ^ п 3=1
4 1 1
21 16 2| 24
в
г1,г2,...,гк
= ВпЧ + пгЫТте ^ ( 4 3=1 " \1
3
Для примера, когда теплоизолирован второй из двух элементов боковой поверхности стержня, получим следующие матрицы К и Н, а также вектор В системы (27):
К
2(
Р
к ^ ,14 —16 2 Кхх -и1 ( —16 32 —16
6Ь
,Ь8 I +
2 -16 14
/ 14КХХ5 + 4пгЬ1
' 61 + 15 16КХХ5 + 2пгЬ1
2^5 + пг ¿5 61 + 15 0
0
16КХХ5 I 2пгЬ1 6Ь + 15 32КХХ5 + 16пгЬ1
16К
6Ь
Э + 2пгЫ
0 0
15
пгЫ,
15
4 2 Г
( -16 16 2
1
пгЬ1
24
_
61 + 15 16КХХ5 I 2пгЬ1
61 + 15 28КХХ5 + 4пгЪ1
«7 +
16КХХ5
61 2КХХ5
61
15
0 0
16КХХ5 61
32КХХ5
166КХХЭ
61
0 0
2^5
61
16Кх5
14Кх5 61
+ 118/
Рис. 5. Изменение температуры в няти узлах для тенлоизолированншх) второх'о элемента (слева приложен поток тепла д = -150 Вт/см2)
В1
2q
В5Ч + СТЫТ^ + 3
VI
/-Б +
4пгЬ1 3
пгЬ1 3
0
пгЬ1 Т0 3
V
/
ЬБТоо
Подставляя исходные данные из табл. 1, получим следующую систему дифференциальных уравнений:
( 843375 421,875 -210,9375
0 0
421,875 -210,9375 0 0 /с1Тх\ Ж ж ж . Ж , \ сН /
3375 421,875 0 0
421,875 1687,75 421,875 - 210,9375) X +
0 421,875 3375 421,875
0 -210,9375) 421,875 843,75 У
( 6375 -5437,5 468,75 0 0 \ Т1 / 73125 \
-5437,5 12000 -5437,5 0 0 Т2 225000
+ 468,75 -5437,5 11625 -600 750 X Т3 = 56125
0 0 -6000 12000 -6000 Т4 0|
0 0 750 -6000 6375 Т5 45000
Решение этой задачи представлено па рис. 5.
Стационарным решением полученной системы является Т1 = 43,96°С, Т2 = 41,62°С, Т3 = 40,97°0, Т4 = 40,81°С и Т5 = 40,65°С. В случае теплоизолированное™ левой половины боковой поверхности стержня матрицы К и Н, а также вектор В системы (27) имеют
к2*
Р
к с ,14 -16 2 К^Ри22 | -16 32 -16 61 1 2 -16 14
,|
пгЫ 0 I 4 21
+иг^ I-!6 2 1
UK^S WK^S
61 6L
16K^S
6l 6L
leAxxS
6l 6L
0 0
0 0
2 KXXS 6l
lGK^s 6l
28K^S i 4тггЫ
RJ *
6l
2K^S
15
0 0
16K^S i 2тггЫ
61 15 32K^S | 167rrhl
6/ "T" 15
16К~хх5 I 2тггЫ
6/ ^ 15
0 0
гАххб1 I тггЫ 61 ' 15 16K^S 2тггЫ
14/b
6l
15
vS" I 47rrhl I
^ 15 ^
B2q B2
g2q TrrhlTpp 2
0
7ГгЫТсю
,3,
4тггЫТ0
3 +
7rrhlT0 3
7
Подставляя исходные данные из табл. 1 получим следующую систему дифференциальных уравнений:
(
843,75 421,875 210,9375 0 0
421,875
3375 421,875 0 0
+
210,9375
421,875
1687,75
421,875
210,9375
0 0
421,875
3375 421,875
0 0
210,9375
421,875
843,75
\
х
Ж Ж ё.
4
+
/ 6375 5437.5 468.75 0 0 /ТД / 73125 \
5437.5 12000 5437.5 0 0 T2 225000
468.75 5437.5 11625 600 750 X T3 = 56125
0 0 6000 12000 6000 T4 0
V 0 0 750 6000 6375 ) W 45000
Решение этой задачи представлено на рис. 6.
Стационарным решением полученной системы является Т\ = 51,44°С, Т2 = 47,69°С, Т3 = 43,94°С, Т4 = 41,59°С и Т5 = 40,91°С.
Сравнительный график стационарных решений для двух элементов, полученных путем использования описанных выше правил, представлен на рис. 7.
Заключение. Получены правила составления систем линейных дифференциальных уравнений для решения задачи распространения тепла в стержне при квадратичной аппроксимации, состоящей из любого количества узлов.
Список литературы
1. Лари Ж.. СегерлиндЛ. Применение метода конечных элементов. Второе издание. М.: Мир. 1985.
2. Зенкевич О. С., МоранК. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир. 1986.
бай
гдайкулов Анар- логий КН МОН РК. Алма-Ата, Респуб-
Кудайкулович — д- лика Казахстан; тел. 87172383958; e-mail:
руководитель проекта Ин-
окоичил Ташкентский государственный универ-
и
вычислительных
техно-
оо
Рис. 6. Изменение температуры в няти узлах для тенлоизолированншх) хюрвох'о элемента (слева приложен поток тепла д = -150 Вт/см2)
Рис. 7. Изменение температуры в узловых точках для различных способов теплоизоляции
ситет им. В.И.Ленина но специальности „Прикладная математика и механика" в 1973 г. В 1979 I'. защитил кандидатскую диссертацию в МГУ им. М. В. Ломоносова. В 1992 г. защитил
докторскую по специальности 01.02.07 „Ме-
"
в Институте гидродинамики СО РАН. Доктор
физико-математических наук профессор, академик Международной академии информатизации, действительный член всемирнохх) общества инженеров-нефтяников.
Известный ученый в области механики де-формируемохх) твердохх) тела и геомеханики. Автор более 110 научных статей и 9 моногра-
фий, из которых 2 монографии изданы в Англии. Удостоен золотой медали имени академика Ж. С. Ержанова. Подготовил 13 кандидатов и 2 доктора наук. В 2009 году прошел научную стажировку в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН. Под руководством член-корреспондента РАН Б.Д.Аннина провел серию экспериментов но определению прочностных характеристик несущих элементов летательных аппаратов. Для АО „КазТран-сОйл" выполнил расчет на термопрочность несущих элементов нсфтснагрсватсльных установок. Совместно с АО НИИ „Каепиймунай-
"
и нефтегазовых месторождений с учетом оптимальных режимов работы основных технологических агрегатов и конструкций, подготовки и транспортировки нефти, газа и пластовой воды.
Является членом объединенного (ИММаш, КазНУ) докторского диссертационного совета ОД 14А.01.08.
Kudaykulov Anarbay graduated from Tashkent State University named after V. I. Lenin
bv specialty „Applied Mathematics and "
thesis at the Moscow State University named after M. V. Lomonosov. In 1992 he defended
doctorate by specialty 01.02.07 — „The mechanics
"
Institute of Hydrodynamics of Siberian Branch of the Russian Academy of Science. Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, academician of the International Academy of Informatization, member of the World Society of Petroleum Engineers.
The famous scientist in the field of mechanics of a deformable solid body and geomeehanies. The author more than 110 scientific articles and 9 monographs from which 2 monographs are published in England. It is awarded a gold medal of a name of the academician Zh. S. Erzhanov. He prepared 13 candidates and 2 doctors of science. In 2009 passed a scientific training in Institute of hydrodynamics of the academician M. A. Lavrentvev of the Siberian Branch of the Russian Academy of Science. Under the leadership of the corresponding member of RAS B. D. Annin made a series of experiments by determination of strength characteristics of the bearing elements of
flight vehicles. For .JSC KazTransOil he executed calculation on thermo-strength of the bearing elements of pctro-hcating installations. Together with .JSC SRI Kaspiymunavgaz he developed the project of arrangement of oil and oil and gas fields taking into account optimum operating modes of the main technological aggregates and designs, preparation and oil transportation, gas and reservoir water.
He is a member of the united doctoral dissertation council D 14A.01.08. (IMES, KazNU).
Ташев Азат Арипович
д-р техн. наук, проф., ве-дущ. науч. сотр. Института информационных и вычислительных технологий КН МОН РК, Алма-Ата, Республика Казахстан; тел.: 87072272469; e-mail: azattash@mail.
Ташев Азат Арипович окончил факультет управления и прикладной математики Московского физико-технического института в 1975 году. В 1985 году защитил кандидатскую диссертацию по специальности 05.13.02, а в 1995 году
защитил докторскую по специальности 05.13.06
"
1975 года работал в области программирования. В 1985 году он стал зав. лабораторией ""
блемам исследования землятряеений, в настоящее время является главным научным сотрудником Института информационных и вычислительных технологий (Республика Казахстан, I'. Алма-Ата).
Им опубликовано свыше 80 работ в таких областях, как распределение и перераспределение ресурсов в условиях неопределенности, экспертные системы, основанные на продукционных правилах и на нечетких множествах, сейсмологии, параллельное вычисление, облачная технология, программирование. Его текущие исследовательские интересы включают технологии параллельных вычислений, языки программирования, включая параллельное, экспертные системы, оптимальное распределение и перераспределение ресурсов. В данное время основным проектом А. А. Ташева является исследование термофизических характеры-
стик различных материалов и программирование.
Tashev Azat graduated the Faculty of Management and Applied Mathematics, Moscow Institute of Physics and Technology in 1975. In 1985 he defended master's thesis by specialty 05.13.02, and in 1995 he defended his doctoral bv specialty 05.13.06 in SIA „Cybernetics" with CS AS UzSSR. Since 1975, he worked in the field of programming. In 1985 he became head of laboratory of the Research Institute „Algorithm" SIA „Cybernetics" research on the problems of earthquakes, is currently the chief researcher at the Institute of Information
and Computational Technologies (Republic of Kazakhstan, Almatv). He has published over 80 papers in the areas of distribution and redistribution of resources in the face of uncertainty, expert systems based on production rules and fuzzy sets, seismology, parallel computing, cloud technology, programming. His current research interests include parallel computing technologies, programming languages, including parallel, expert systems, optimal distribution and redistribution of resources. At this time, the main project of A. Tashev is the study of thermophvsical characteristics of different materials and programming.
Дата, поступления — 26.08.2016
