CC BY
42
Вычислительные технологии
Том 8, № 6, 2003
ОБ ОДНОЙ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ
СТАРТОВОГО УПРАВЛЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЕМ ТЕПЛА В СТЕРЖНЕ
М. ТухтАСинов Национальный университет Узбекистана, Ташкент e-mail: [email protected]
An optimisation problem of a start control of differential equations system, obtained by discretization of the equation of heat dissemination in a rod is considered. Some components of the solution change according to the law (regime) defined beforehand.
Решается оптимизационная задача в дискретизированном варианте распределения тепла в ограниченном стержне. Цель управления — гарантировать изменение температуры заданных точек стержня по определенному закону (режиму). При этом в качестве функционала, который надо минимизировать, берется норма управляющего параметра, характеризующая начальное состояние распределения тепла в стержне [1-4].
Как известно, распространение тепла в однородном стержне длины t описывается уравнением следующего вида [5]:
zt = a2zxx + f(t,x), t> 0, 0 <x<t, (1)
с граничными
z(t, 0) = z(t,t) = 0, t > 0, (2)
и начальными
z(0,x) = u(x), 0 < x < t, (3)
условиями.
Если отрезок [0,t] разбить равномерно на N +1 частей и ввести обозначение h = t/(N + 1), то имеем
zxx(t,ih) w (zi-i(t) - 2zi(t) + zm(t))/h2,
где zi(t) = z(t,ih), i = 1,...,N, z0(t) = zN+1(t) = 0, t > 0. Тогда задаче (1)-(3) можно поставить в соответствие следующую систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений:
¿i = -2zi + z2 + fi(t), z2 = zi - 2z2 + z3 + f2 (t) ,
......................................................(4)
zN-i = zN-2 — 2zN-i + zN + fN-1(t), zN = zN-i — 2zN + fN (t) © Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2003.
с начальным условием
¿*(0) = и*, г (5)
где и* = и(гЛ), /*(г) = Л2/2/(¿, гЛ), г = 1,..., N г > 0. (Здесь коэффициент а2/Л2 считается равным 1; этого можно добиться путем изменения масштаба времени ¿.)
Определение. Функция т(г), 0 < г < Т, называется реализуемой для индекса г0 системы (4), если существует вектор и = (и1,...,и^), такой, что решение ¿(г) = (¿1(г),..., ¿^ (г)), 0 < г < Т, задачи (4), (5) удовлетворяет условию
¿¿0 (г) = т(г), 0 < * < Т.
Пусть теперь индекс г0 и время Т фиксированы, т(г), 0 < г < Т — любая функция. Через От обозначим множество векторов и = (и1,...,и^), таких, что решение ¿(г), 0 < г < Т, задачи (4), (5) удовлетворяет условию ¿*0 (г) = т(г), 0 < г < Т.
Задача. При заданной функции т(г), 0 < г < Т, найти
гп/«ест ||и| (||и| = (и1 + ... + )1/2).
Если От = 0, то положим гп/адест ||и| = В дальнейшем будем считать, что функция т(г), 0 < г < Т, реализуема.
Лемма 1. Для того чтобы множество От состояло из единственного элемента, необходимо и достаточно, чтобы (г0,^ + 1) = 1 (здесь (г0,г1) означает наибольший общий делитель (НОД) чисел г0 и г1).
Доказательство. Необходимость. Пусть От состоит из единственного элемента, но (¿0,Ж +1) = р > 1. Рассмотрим следующую однородную систему дифференциальных уравнений:
-¿1 = —2^1 + ¿2, ¿2 = ¿1 — 2-2 + ¿3,
.................. (6)
¿р_2 = ¿р_3 — 2—р-2 + ¿p-1, ¿р_ 1 ¿р_2 2—р-1.
Очевидно, что эта система имеет решение при произвольных начальных условиях
¿*(0) = и*, г = 1, ...,р — 1.
Рассмотрим некоторое нетривиальное решение (¿;1(г),...,-гр—1 (г)), 0 < г < Т, системы (6). Непосредственной подстановкой можно убедиться, что -г (г) = (¿;1(г),..., ¿р_ 1(г), 0, —1(г),..., —г1(г), 0, г1(г),..., ¿р—1(г), 0,...) является решением системы (4).
Пусть ¿0(г), 0 < г < Т, г = 1,...,Ж, — решение системы (4), которое соответствует единственному элементу От. Тогда ¿¿(¿) = ¿0(г) + -г*(г), 0 < г < Т, г = 1,...,Ж, также является решением системы (4) и ¿*0 (г) = т(г), 0 < г < Т, т. е. ¿(0) € Ст, но ¿(0) = ¿0(0), что противоречит одноэлементности множества Ст.
Достаточность. Пусть (г0,Ж + 1) = 1. Покажем, что От состоит из единственного элемента. Допустим противное, т. е. От содержит более одного элемента. Решения системы (4), соответствующие двум различным элементам множества Ст, обозначим через ¿/(г),г//(г), 0 < г < Т (заметим, что по определению Ст : ¿*0(г) = ¿*'0(г) = т(г), 0 < г < Т).
Разность этих функций обозначим через 0 < £ < Т. Покажем, что = 0, 0 < £ < Т. После подстановки 0 < £ < Т, в (4) имеем
V 1 = -2^1 + ^2,
¿0-1 = ^¿0-2 — 2^г0-1,
0 = ^¿0-1 + ^¿о+Ъ (7)
¿0+1 = -2^0+1 + ^¿0+2,
= -1 - •
В силу симметрии можно предположить, что г0 < (^ +1)/2. Сложив уравнения с номерами г0 — к и г0 + к, где к = 1,..., г0 — 1, из (7) получим ^¿0-к + ^¿0+к = 0, к = 1,..., ¿0 — 1 и ^¿0 = 0. Повторив эти же рассуждения, имеем ^¿0 = 0, к = 1,..., N1, где (N1 + 1)г0 > N +1. Отсюда следует, что р = N +1 — N^0 < ¿0 и ^¿0-к + ^¿0+к = 0, к = 1,...,Р1 — 1, = 0. Применяя метод индукции, находим, что +1-кР1 = 0, к = где
(N2 + 1)р1 > N + 1.
В силу того что (г0, N +1) = 1, равенства N+ 1 —^р1 = 0, N+ 1 —кр1 = г0, одновременно не могут выполняться ни при каком натуральном к. Если нарушается первое равенство, положим р2 = N+1—р1). Тогда, повторив предыдущие рассуждения, имеем = 0, к =1,..., N3. Если нарушается второе равенство, то положим р2 = N +1 — кр1 — г0(< р1), здесь N +1 — (к + 1)р1 < ¿0. Тогда имеем ^¿0+кр2 = 0, к = ±1, ±2,... Таким образом, каждый раз появляются новые равенства вида V = 0. Следовательно, продолжив этот процесс, имеем V = 0, г = , т. е. ¿'(¿) = ¿"(£), 0 < £ < Т. Это противоречит допущению о
неодноэлементности множества Ст. Лемма 1 доказана. В
Пусть Ст состоит из одного элемента. Как определить этот элемент, зная функцию т(£), 0 < £ < Т?
Допустим, что решение ¿(£), 0 < £ < Т, системы (4) порождается этим элементом. По условию ¿¿0 (£) = те(£), 0 < £ < Т. Подставив это решение в (4), имеем
¿¿0_1(£) + ¿¿0+1 (£) = т(£) + 2т(£) = ¿¿0-2 (£) + ¿¿0+2(£) = ^ 1(£) + 2^(£) + 2т(£) =
= ^2(£),¿¿0(£) = ^¿0(£), 0 < £ < Т.
Повторив рассуждения, использованные при доказательстве леммы 1, определим решение, выраженное через функцию т(-) и ее производные: ¿¿(£) = ^¿(¿), 0 < £ < Т, г = 1,N. Отсюда получим тот единственный элемент и0 = (^1(0), (0)) множества В рас-
сматриваемом случае поставленная задача решена: ||м°|| — значение функционала.
Теперь изучим структуру множества Ст, когда имеется более одного элемента. Из леммы 1 следует, что (г0,N + 1) = р > 1. Допустим, что пр = N + 1 и, не нарушая общности, предположим, что п — нечетное число.
Пусть (£), 0 < £ < Т, — два решения системы (4), соответствующие двум раз-
личным элементам множества Ст. Если положить = ¿'(¿) — (£), 0 < £ < Т, то после подстановки в систему (4) легко убедиться, что <^Р(£) = 0, 0 < £ < Т, к = 1, 2,... Кроме того, функции ^1(£),^Р-1(£), 0 < £ < Т, удовлетворяют тождествам ^¿(£) = —^-¿(¿) = V2p+¿(í) = ... = —= <^(п-1)^(£), г = 1,...,р — 1. Из этих тождеств,
положив £ = 0, заключаем, что любые два элемента множества Ст отличаются друг от друга на вектор вида
а = (ах,..., ар_х, 0 — ар_х,..., —ах, 0, ах,..., ар_х, 0,..., ах,..., ар_х), (8)
где аг, г = 1, ...,р — 1, — действительные числа. Таким образом, доказана
Лемма 2. Множество Ст состоит из векторов, разность любых двух из которых имеет вид (8).
Таким образом, если известен элемент множества Ст, то остальные можно определить исходя из утверждения леммы 2, т. е. прибавлением к нему вектора вида (8).
Пусть Ст содержит более одного элемента, т. е. числа г0 и N +1 имеют НОД, равный р > 1. Из системы (4) имеем
гго_х(£) + гго+х(£) = т(£) + 2т(£), ¿^(^ + ¿^ф = т(£) + 4т(£) + 2т(£),..., (9)
где = ¿¿(¿), 0 < £ < Т, г = 1,...,N, — решение системы (4), соответствующее элементу Ст. Если в (9) правые части обозначить через 0 < £ < Т, г =1,..., (п — 1)р, то при
£ = 0 имеем
^г + ^2р_г = ^(г_1)(га_1)+1, ^2р_г + ^2р+г = 1)(п_ 1)+2, .",£(п_1)р_г + ^(га_1)р+г =
= ^(г_1)(„_1)+„_1, г = 1, ...,р — 1, ¿йр = ^(п_1)(р_1)+к, к =1, ..., п — 1, (10)
где (¿ь ...,2^) е ст, ^ = ^г(0), г = 1,..., (п — 1)р.
Теорема. Решение сформулированной выше задачи имеет вид
П_ 1 П_ 1
= 1)г+1г^(^_1)(п_1)+г/п + 1)г ^(j_1)(n_1)+í,
г=1 г=й
к = 2,4,..., п — 1, 3 = 1, 2, ...,р — 1;
п_1 п_1
= 1)гг^(^_1)(п_1)+г/п + ^ (— 1)г+V(j-1)(n-1)+í, (11)
г=1 г=й+1
к = 0, 2,..., п — 1, з = 1, 2, ...,р — 1,
= ^(га_1)(р_1)+к,
к = 1,..., п — 1.
Доказательство. Пусть (гх,...,г^) е Ст. Тогда по лемме 2 любые другие элементы множества Ст имеют вид
^г ^г + ^2р_г ^2р_г аг, ^(га_ 1)р_г = ^(га_1)р_г — аг, ^(га_1)р+г = ^(га_1)р+г + ^ г =1, 2,...,р — 1, (12)
¿йр = ^(п_1)(р_1)+к, к =1, ..., п — 1, где ах, ...,ар_х — произвольные действительные числа. Так как
р_х
||^||2 = ^[(¿г + а»)2 + (¿2р_г — а»)2 + ...+ г=1
га—1
+ (г(„-1)р— — «¿)2 + (¿(га-1^ + «¿)2] + ^ ^(2га-1)(р-1)+к, (13)
для минимизации функционала ||г|| достаточно найти наименьшее значение каждой квадратной скобки в (13), которая является квадратным трехчленом относительно «¿. Легко определить критическую точку: a¿ = — (^ — ¿2р— + ... + £(„—1)^)/п, г = 1, ...,р — 1.
Подставив эти значения в (12), находим требуемый элемент множества Ст; он будет иметь вид (11). Теорема доказана. В
Замечание 1. Можно решить аналогичную задачу при неоднородных граничных усло-вих (2) приведением этого случая путем несложных преобразований к однородному [5].
Замечание 2. Можно получить аналогичные результаты и в случае, когда даны реализуемые функции для нескольких различных индексов системы (4) соответственно.
Пример. Рассмотрим систему (4) при N =11, г0 = 4 и реализуемой функции т(£) = —е-4, 0 < £ < Т.
Так как (¿0, N + 1) = 4 и п = 3, из леммы 1 следует, что Ст содержит более одного элемента. Можно показать, что функции = е-4 + е-24, ¿2 = е-4, ¿3 = —е-24, ¿4 = —е-4, ¿5 = —е-4 + е-24, ¿6 = 0, = е-4 — е-24, = е-4, = е-24, ¿10 = —е-4, ¿11 = е-4 — е-24, 0 < £ < Т, составляют решение рассматриваемой системы, соответствующее начальному вектору и = (2,1, —1, —1, 0, 0, 0,1,1, —1, —2) £ Ст. Легко определить числа г = 1,..., 8,: = 2, ^2 = 1, ^з = 1, = —1, ^5 = —1, = —2, ^7 = —1, ^8 = 1. Используя формулу (1), получим решение нашей задачи: и01 =
1, и20 = 1, и03 = 0, и40 =
—1, и5 = —1, и0 = 0, и7 = 1, и8 = 1, и0 = 0, и10 = —1, и01 = —1. Отсюда гп/„еСт||и|| = ||и0|| = 2 л/2.
Список литературы
[1] Авдонин С.А., ИВАНОВ С.А. Управляемость систем с распределенными параметрами и семейства экспонент. Киев: УМКВО, 1989.
[2] Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М., 1975.
[3] Черноусько Ф. Л. Ограниченные управления в системах с распределенными параметрами // ПММ. 1992. Т. 56, вып. 5. С. 810-826.
[4] Тухтасинов М. О некоторых задачах в теории дифференциальных игр преследования в системах с распределенными параметрами // ПММ. 1995. Т. 59, вып. 6. С. 979-984.
[5] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., 1976.
Поступила в редакцию 26 июня 2003 г.
