CC BY
65
КОНТ ТЕПТ
Горев П. М. Практикум по математическому анализу на младших курсах: методические находки // Концепт: научно-методический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совёнок» и «Прорыв». - 3 квартал 2011, ART 11-3-01. - Киров,
научно-методический электронный журнал -„URL 7^714б2/14^7550'/2225 Г1б/18ПСеР1/2011/11301^1т. ~ Г°с.
ART 11-3-01 УДК 378.147:517.16 реГ л - . - .
Горев Павел Михайлович,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и методики обучения математике ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров [email protected]
Практикум по математическому анализу на младших курсах: методические находки
Аннотация. В статье описан подход к обучению студентов (бакалавров) младших курсов математических специальностей (направлений подготовки) математическому анализу, основанный на взглядах автора, выработанных в процессе практической деятельности в течение последних десяти лет. Раскрывается типизация занятий практикума, этапы каждого из них, приводятся содержательные примеры, используемые в ходе работы со студентами в рамках практикума. Ключевые слова: практикум по математическому анализу, адаптация, студенты младших курсов, преподавание математики.
Модернизация отечественного высшего образования предполагает переход на новые образовательные стандарты, одним из ключевых моментов которых является внедрение в образовательный процесс активных методов обучения и контроля знаний обучающихся. Важным моментом в обучении, в частности математическим дисциплинам, остается проблема оптимальности выбора технологии, то есть взаимосвязанной совокупности методов, форм и средств обучения. Традиционно при обучении студентов математическому анализу в вузе используются технологии, базирующиеся на лекционно-семинарской системе, включающей лекционные, практические занятия, семинары, лабораторные работы, консультации, занятия контроля знаний и умений студентов, зачеты и экзамены. В процессе преподавания практикума по математическому анализу в рамках этой системы возникает ряд проблем, как при традиционном, так, и особо, при инновационном подходе к организации учебного процесса, часть из которых можно решить, модернизируя технологию обучения. Ниже описан подход к обучению студентов (бакалавров) младших курсов математических специальностей (направлений подготовки) математическому анализу.
В начале обучения большинство первокурсников испытывает ряд трудностей, связанных в первую очередь с различием образовательных систем школы и вуза. В течение первого семестра происходит процесс адаптации к новой образовательной среде, однако студенты не в равной мере осуществляют переход к новым формам обучения, при которых доля самостоятельной работы над материалом значительно выше, нежели это было в школе. Отсутствие самостоятельной работы, недостаточность контроля со стороны преподавателя (в сравнении со школьным учителем), слабая базовая подготовка служат причиной плохого усвоения учебного материала и, как следствие, плохой успеваемости. Поэтому целесообразно обучение на младших курсах приблизить к школьным формам (но не заменить ими), усилить контроль над выполнением самостоятельной работы.
Выделим среди занятий практикума основные виды и постараемся показать, как решаются различные образовательные вопросы на этих занятиях.
В начале учебного года в рамках практикума проводится вводное занятие, основной целью которого является организация процесса обучения. Студентам разъясняется, какой материал они будут изучать, какие занятия и в каком количестве будут
IVI ^ OJ
КОНЦЕПТ
Горев П. М. Практикум по математическому анализу на младших курсах: методические находки // Концепт: научно-методический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совёнок» и «Прорыв». - 3 квартал 2011, ART 11-3-01. - Киров,
научно-методический электронный журнал -oURL' wWWsC2jVe225 r^^^1Sncept/2011/11301'htm. - Гос.
ART 11-3-01 УДК 378.147:517.16 реГ л - . - .
проведены в семестре, как необходимо готовиться к занятиям, каковы сроки выполнения контрольных работ (в том числе и домашних), как будут оцениваться результаты работы в семестре (за что и в каком количестве выставляться рейтинговые баллы) и т. п. Необходимость такого занятия предполагает реализация принципа открытости информации: в каждый момент времени студент должен знать, что ему необходимо знать и уметь, что для этого необходимо сделать, каковы результаты его деятельности в этот момент и т. д.
На вводном занятии студенты также получают программу вводного минимума -список вопросов школьной программы, знание которых необходимо для успешного усвоения курса математического анализа. На самостоятельную подготовку и консультации с преподавателем, как правило, дается две-три недели, по истечении которых вводный минимум сдается в два этапа (теоретическая и практическая части) в форме теста вне учебных занятий. Проведение зачета по вводному минимуму позволяет сориентировать студентов на повторение школьного курса, выявить пробелы в базовых знаниях первокурсников, что дает преподавателю возможность эффективнее вести образовательную деятельность. Кроме того, не меняющийся из года в год тест дает сравнительную характеристику выпускников различных лет, поступающих на математические специальности (направления подготовки) факультета.
Приведем здесь список вопросов теоретической части вводного минимума.
1. Выражения и преобразования. Многочлены от одной переменной. Формулы сокращенного умножения. Формула корней квадратного трехчлена, нахождение рациональных корней многочленов высоких степеней. Разложение многочленов на множители. Деление «уголком». Модуль действительного числа, его свойства. Корень n-й степени и его свойства. Степень с рациональным показателем, свойства степеней. Логарифм и его свойства. Тождественные преобразования иррациональных, степенных, логарифмических выражений. Арифметическая прогрессия, формулы общего члена, суммы первых членов арифметической прогрессии. Геометрическая прогрессия, формулы общего члена, суммы первых членов геометрической прогрессии, суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии.
2. Тригонометрия. Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента. Формулы сложения аргументов, сложения функций, произведения функций, двойного угла, понижения степени, приведения. Универсальная тригонометрическая подстановка. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числового аргумента. Основные соотношения для обратных тригонометрических функций. Тождественные преобразования тригонометрических выражений.
3. Функции. Область определения функции, множество значений. Нули функции, промежутки знакопостоянства. Свойства функций: четность (нечетность), периодичность, монотонность. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции. Элементарные функции, их свойства и графики: линейная, квадратичная, дробно-линейная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические. Основные приемы преобразования графиков функций: сдвиги, растяжения, отображения относительно осей. Построение графиков функций, содержащих знак модуля.
4. Метод координат на плоскости. Координаты точки на плоскости. Расстояние между точками. Взаимное расположение двух прямых на плоскости: параллельность, перпендикулярность. Угол между прямыми. Уравнение окружности.
Основной единицей практикума является практическое занятие. Предполагается, что каждое занятие реализуется на четырех основных этапах: подготовка к занятию, аудиторная, самостоятельная работы и контроль знаний и умений студента. При этом на первое место выходят принципы сознательности и самостоятельности в обучении. При подготовке к занятию студент изучает теоретический материал, обозначенный в вопросах к обсуждению, разбирает примеры решения задач, представленные в специальном учебном пособии [1]. Как правило, практические
КОНЦЕПТ
Горев П. М. Практикум по математическому анализу на младших курсах: методические находки // Концепт: научно-методический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совёнок» и «Прорыв». - 3 квартал 2011, ART 11-3-01. - Киров,
научно-методический электронный журнал -oURL' wWWsCSjVen25 r^^^1Sncept/2011/11301.htm. - Гос.
ART 11-3-01 УДК 378.147:517.16 реГ л - . - .
занятия проводятся после прочтения соответствующих вопросов в лекционном курсе. Аудиторная работа направлена на обсуждение основных теоретических вопросов и ключевых задач темы занятия. Она проводится, как правило, фронтально с использованием непродолжительных самостоятельных работ для решения задач. Цель аудиторной работы заключается в предоставлении студенту возможности получить наиболее полные представления о решении задач и их теоретическом обосновании. На этапе самостоятельной работы студент решает предложенные задачи и выявляет пробелы в знаниях при помощи теста «Проверь себя» с открытыми ответами. Количество задач в домашних заданиях обусловлено требованиями учебных программ нового поколения, предполагающих большой объем самостоятельной работы; возникает также необходимость расширить спектр задач, определить их место и значение во всем курсе «Ведение в анализ», что обеспечивается включением заданий, связывающих тему занятия с предыдущим материалом. Каждое следующее практическое занятие начинается с контрольного теста по изученному ранее материалу, дающего оценку знаниям и умениям студента. Цель такого теста - дать информацию (и в первую очередь самому первокурснику) о результатах обучения математическому анализу.
В качестве примера приведем содержание занятия, посвященного понятию и свойствам последовательностей из авторского пособия к практикуму [2].
П оследо вательности
1. Вопросы к обсуждению.
Последовательность, ее график. Рекуррентно заданные последовательности. Подпоследовательности. Ограниченные и монотонные последовательности.
2. Примеры решения задач.
Пример 1. Дана последовательность 2; 1; 4; 1; ... . Из следующих формул выберите формулу
2. 1 . 4. 1 .
дапа моследиоаіелопиою — — — —
ее общего члена:
п + (-1)п. = п + (-1)” + 2. п + (-1)”+1
п п + 2 ; ) п п + 2 ; ) п п + 2 .
► Находим х1 для всех данных последовательностей: 1) Х1 = 0, значит, эта формула пе подходит; 2) Х1 = 2 ; 3) Х1 = 2 . Находим Х2 для оставшихся последовательностей: 2) Х2 = 5, значит, эта формула не подходит; 3) Х2 = 1. Вычислим по формуле 3) остальные данные нам члены: х3 = 4,
X 4 = 2 . Xn = n +n( + 2
n +1
Пример 2. Дана последовательность 0; -1; 0; -1; 0; -1;.... Из данных формул выберите формулу
дана последовательность 0" 1 ' 1 ' 1 '
ее общего члена:
1) хп = ^; 2) хп = ^ 3) хп = ^ 4) х„ = .
п +1 п + 2 п + 2 п + 2
► Так как числители при нечетных номерах должны равняться нулю, то формулы 2) и 4) не подходят, а формулы 1) и 3) этому условию удовлетворяют. При четных номерах п = 2к в формуле 1) получа-
2 2 1 ем хп = ^—^ , а в формуле 3) хп = ——- = —- , что совпадает с видом членов последовательности.
о
Пример 3. Дана последовательность хп = п2 - 2п + 39. Найдите разность между 31-м и 30-м членами этой последовательности.
► Составим разность х31 -х30 = (312 -2 • 31 + 39) - (302 - 2• 30 + 39) = (312 - 302) -2(31-30) = 61-1-2 = 59.
КОНТ ТЕПТ
Горев П. М. Практикум по математическому анализу на младших курсах: методические находки // Концепт: научно-методический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совёнок» и «Прорыв». - 3 квартал 2011, ART 11-3-01. - Киров,
научно-методический электронный журнал -oURL' 7h7t462/i4WWsCNVen25.ri6/l8nCePt/2011/11301 htm. ~ Гос.
ART 11-3-01 УДК 378.147:517.16 реГ л - . - .
Пример 4. При каких значениях a последовательность xn = 2—является убывающей?
► Составим разность
2 - a(n +1) 2 - an 6n + 4 - 3n2a - 5na - 2a -10 + 5an - 6n + 3n2a -2a - 6
X A - X = ______-____- - ___ = ___________________________________________ = _____________
n+1 n 3(n +1) + 2 3n + 2 (3n + 5)(3n + 2) (3n + 5)(3n + 2)'
Так как знаменатель этой дроби всегда положительный, то дробь будет отрицательной при -2a - 6 < 0, т. е. при a > -3.
Пример 5. Приведите пример последовательности, удовлетворяющей условию, и пример последовательности, ему не удовлетворяющей (если такие существуют): (3nеN)(Vs >0)[|xn -5 <s].
► Условие означает, что для некоторого номера n величина |xn - 5 меньше любого положительного числа. Но это возможно только тогда, когда она равна нулю, т. е. в последовательности должен быть хотя бы один член, равный 5. Итак, данному условию удовлетворяет, например, последовательность 5,1,1,..., и не удовлетворяет, например, последовательность 1,1,1,....
3. Задачи для обсуждения в аудитории
1. Дана последовательность 0; 1; -1; 1; 2;.... Из данных формул выберите формулу ее общего
n + (-1)n +1 .. n + (-1)n+1 n - (-1)n+1
члена: 1) xn =------------------- — -; 2) xn =- —-—; 3) xn =- —-— .
n n +1 ) n n +1 n n +1
2. Дана последовательность 2;0;-4;0;6;0;-8;0;.... Изобразите график этой последовательности. Из данных формул выберите формулу ее общего члена: 1) xn =(1 + (-1)n)n ; 2) xn =4n - (-1)nn ;
... _ Ж . .. . Ж , Tin
3) xn =2 + n cos—; 4) xn =(n + 1)sm —; 5) xn=n tg —.
3. Найдите пятый член последовательности (xn), заданной соотношениями x1 =-1, x2=2, xn+1 = xn + 0,5xn_1.. Изобразите ее график.
4. Докажите, что последовательность xn =n2 -n является возрастающей.
5. Приведите пример последовательности, которая не являлась бы монотонной, но возрастала начиная с третьего члена.
6. Последовательность (xn) задана соотношениями x1 =1, xn+1 =1,5xn + 0,5 . Докажите, что она возрастает.
о
7. Дана последовательность xn =n2 - 10n - 20. Начиная с какого номера она является возрастающей?
8. Последовательность (xn) задана соотношениями x1 = 1, xn+1 = -Jxn + 2 . Докажите, что она ограничена.
9. Известно, что у данной последовательности члены с четными номерами и члены с нечетными номерами образуют ограниченные подпоследовательности. Верно ли, что сама последовательность также является ограниченной?
10. Привести пример последовательности, удовлетворяющей данному условию, и пример последовательности, ему не удовлетворяющей (если такие существуют):
1) (Vn)(3s > 0)[|xn - a < s]; 2) (3s > 0)(Vn)[|xn - a < s]; 3) (Vs > 0)(Vn)[|xn - a| < s] ?
4. Задачи для самостоятельного решения
11. Дана последовательность xn = n . Изобразите ее график. Найдите разность между 21-м
n +1
и 20-м членами.
12. Дана последовательность 0;2;6;12;.... Из данных формул выберите формулу ее общего члена: 1) xn = n2 - 2n ; 2) xn = n2 - n ; 3) xn = n2 + n - 2.
13. Дана последовательность 2;0;6;0;10;0;14;0;.... Из данных формул выберите формулу ее
общего члена: 1) xn =(1-(-1)n)n; 2) xn =4n + (-1)nn ; 3) xn =1 + ncosT ; 4) xn =nsinT ; 5) xn =ntgT.
КОНЦЕПТ
Горев П. М. Практикум по математическому анализу на младших курсах: методические находки // Концепт: научно-методический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совёнок» и «Прорыв». - 3 квартал 2011, ART 11-3-01. - Киров,
научно-методический электронный журнал -oURL' 7h7t462/i4WWsCNVen25.ri6/l8nCePt/2011/11301 htm. ~ Гос.
ART 11-3-01 УДК 378.147:517.16 реГ л - . - .
14. Найдите сотый член последовательности, задаваемой соотношениями x1 =2, xn+ = -jxn + 2 .
1
15. Докажите, что последовательность xn =-------- является убывающей.
1
16. Дана последовательность xn = —------------------. Начиная с какого номера она является убы-
n2 - 12n + 41
вающей?
17. Известно, что у данной последовательности члены с четными номерами и члены с нечетными номерами образуют возрастающие подпоследовательности. Верно ли, что сама последовательность также является возрастающей?
18. Приведите пример последовательности, которая не является ограниченной, но имеет ограниченную подпоследовательность.
19. Даны ограниченные последовательности (xn) и (yn). Докажите, что последовательность zn =max{xn, yn} также является ограниченной.
20. Дана ограниченная последовательность (xn). Верно ли, что последовательность (nxn) является неограниченной?
21. Даны последовательности (xn) и (yn), имеющие ограниченные подпоследовательности. Обязана ли последовательность zn =xn + yn также иметь ограниченную подпоследовательность?
22. Приведите пример такой ограниченной последовательности (xn), что последовательность x1,1/x2, x3,1/x4,... является 1) неограниченной; 2) ограниченной.
23. Приведите пример последовательности, удовлетворяющей данному условию, и пример последовательности, ему не удовлетворяющей (если такие существуют):
1) (Vn)(3s > 0)[|xn - a > s]; 2) (3s > 0)(3n)[|xn - a| > s]; 3) (Vs > 0)(Vn)[|xn - a| > s].
5. Тест «Проверь себя»
А1. Последовательность 2;0;2;0;2;0;... задается формулой
2 -П- 2 -П- 2 -П- .. задае1ся формулой
n+1
1) xn= 1+^; 2) ; 3) xn= 1+^; 4) xn = 1 +(-1)
п +1 п п + 2 п п + 2 п п + 2
А2. Последовательность хп =п + —
1) не ограничена; 2) возрастает; 3) немонотонна; 4) ограничена.
о
А3. Наибольшей из разностей между членами последовательности хп =п2 - 5п будет 1) Х2 - Х1; 2) хз - Х2; 3) Х4 - хз ; 4) Х5 - Х4 .
(- 1)пп
А4. Последовательность Хп = -к-~^— в некоторых точках принимает значения
п2 +1
1) 0; 2) $; 3) - 26; 4) 2.
А5. Сотый член последовательности, заданной соотношениями Х1 =2, Хп+1 =3Хп -2 равен
1) 3. 2100 - 2; 2) 2" +1; 3) з100 - 2 ; 4) з99 +1.
А6. Последовательность Хп =——3 возрастает при значениях а из промежутка
п +1
1) (3;+»); 2) (- 3;+х>); 3) (0;3); 4) (- 3; 0).
В1. Приведите пример последовательности (если такая существует), удовлетворяющей условию (Зп е N(Уе > 0)[|Хп +1 < е].
В2. Приведите пример последовательности, заданной формулой п -го члена, такой, что она принимает значение 0 ровно два раза и Х5 = 12.
о
г™ ,, п2 + 7п
В3. Начиная с какого номера все члены последовательности Хп =—-—— не меньше 6?
В4. Приведите пример рекуррентно заданной ограниченной убывающей последовательности.
КОНЦЕПТ
Горев П. М. Практикум по математическому анализу на младших курсах: методические находки // Концепт: научно-методический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совёнок» и «Прорыв». - 3 квартал 2011, ART 11-3-01. - Киров,
научно-методический электронный журнал -„URL 7h7t462/i4W7sSNVenOk.riU^k8nCePt/2011/11301 htm. ~ Г°с.
ART іі-З-OI УДК 378.147:517.16 реГ л - . - .
На семестр планируется несколько семинарских занятий, основная цель которых - разобрать со студентами наиболее сложные вопросы лекционного курса. Семинар проводится по заранее оговоренным вопросам и, как правило, проходит в форме ответа студента на теоретический вопрос у доски (подробнее см. [З]).
Лабораторные работы направлены на отработку навыков решения алгоритмических задач. Они проводятся по инструкциям - подробным алгоритмам с примерами решения задач. На таких занятиях резко возрастает объем самостоятельной работы студентов. Преподаватель на лабораторной работе выступает в роли консультанта: помогает слабым студентам разобрать материал, помочь подобрать похожие примеры, проверить правильность выполнения заданий.
В течение семестра проводятся две-три аудиторные контрольные работы, цель которых - дать оценку знаниям студентов по изученному материалу. За несколько недель до аудиторной работы студенты получают домашнюю контрольную работу. Домашние контрольные работы предназначены для обобщения знаний по теме, заполнению пробелов в знаниях, подготовке к аудиторной работе. Непосредственно перед контрольной работой проводится занятие-обобщение по изучаемой теме.
Таким образом, в течение семестра каждый первокурсник получает более 20 отметок, включая оценки за тесты к каждому занятию, контрольные работы, домашние контрольные работы, семинары и т. п. Такая система оценки очень близка к школьной и обеспечивает работу студентов с учебным материалом в течение семестра. Все оценки переводятся в стобалльную систему и заносятся в специальную рейтинговую таблицу, которая доступна каждому студенту. При этом реализуется принцип соревновательности. Однако не стоит заострять внимание на различиях в результатах между студентами, необходимо разъяснить, что главное - личностный рост: каждая следующая оценка должна быть лучше предыдущей, это говорит о заинтересованности студента в обучении. Кроме того, необходимо установить приоритет оценок - отметки за контрольные работы и семинары должны цениться выше оценок за текущие тесты. Это дает возможность оценивать конечный результат обучения, а студентам с плохими первыми результатами не «опускать руки» - у каждого должен быть шанс исправить положение. С таких позиций разрешается пересдача тестов, написанных на низкий балл через некоторое время, после того, как у студента материал «уляжется» в голове. Однако есть опасность, что некоторые из студентов привыкнут получать баллы именно на переписывании и перестанут учиться на занятиях. Во избежание этого к баллам, полученным на переписывании (которое проводится только один раз по каждому тесту), применяется понижающий коэффициент 0,85.
При работе по описанной выше системе оценивать результаты работы студентов за семестр гораздо легче. Рейтинговая система дает возможность выяснить, в каких темах у студентов есть пробелы в знаниях и умениях и закрыть эти пробелы. Зачет в этом случае перерастает в заключительное занятие подведения итогов. Большинство студентов могут получить зачет по итогам работы в семестре; зачетным испытаниям подвергаются лишь слабоуспевающие и имеющие значительные пропуски учебных занятий студенты.
Ссылки на источники
КОНЦЕПТ
Горев П. М. Практикум по математическому анализу на младших курсах: методические находки // Концепт: научно-методический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совёнок» и «Прорыв». - 3 квартал 2011, ART 11-3-01. - Киров,
научно-методический электронный журнал -oURL' 7h7t462/i4W7sSNVenOk.riU^k8nCePt/2011/11301 htm. ~ Г0с.
ART іі-З-OI УДК 378.147:517.16 реГ л - . - .
1-2. Горев П. М., Подгорпая И. И. Введение в анализ: практикум по решению задач. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006. - 68 с.
З. Подгорпая И. И. Семинарские занятия в курсе математического анализа // Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России: тезисы докладов III Всероссийской паучпой конференции. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. - С. 43-47.
Gorev Pavel,
Ph.D., assistant professor of mathematical analysis and methodology of teaching mathematics Vyatka State
University of Humanities, Kirov
Workshop on mathematical analysis to undergraduate: Methodological findings Abstract. The paper describes an approach to teaching students (bachelors) undergraduate students specializing in mathematics (training areas) mathematical analysis based on the author's views developed in the course of practice in the last ten years. Disclosed typing lessons workshop stages each of them, are interesting examples used in the course of working with students in the workshop.
Keywords: workshop on mathematical analysis, adaptation, younger students, the teaching of mathematics.
