Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

КОНЦЕПТ

Калинин С. И. Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач // Концепт: научнометодический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совёнок» и «Прорыв». - Январь 2012, ART 1203. - Ки-

научно-методический электронный журнал ^O^n°~ФС77 4^2l://WwWjC02250,^lS/k0nCePt/2012/1203"htm" ~

ART 1203 УДК 372.8:517.16 рег л - . - .

Калинин Сергей Иванович,

доктор педагогических наук, заведующий кафедрой математического анализа и методики обучения математике ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров Kalinin gu@mail.ru

Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач

Аннотация. В статье рассматривается новое доказательство обобщенного неравенства Коши для арифметико-геометрических средних положительных чисел, использующее метод прямой и обратной индукции. Приводятся примеры применения простого и обобщенного неравенств Коши при решении задач повышенного уровня сложности школьного курса математики.

Ключевые слова: средние арифметическое и геометрическое, неравенство Коши, задачи повышенного уровня сложности школьного курса математики.

Напомним читателю упоминаемое в заголовке неравенство для средних ариф-

л а ^ ■■■ ^ ап ^ I

метического A = —----------- и геометрического Gn = -а • ■■■ • а положительных чисел

а ,■■■, а — ^ 2). Это есть неравенство

G- < A—, (1)

в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда о, = ■■■ = а. Данное неравенство было открыто великим французским математиком Огюстеном Луи Коши в

1821 г. и потому по праву носит его имя. В образовательной математике неравенство

Коши хорошо известно, оно регулярно обсуждается на страницах научно-методических и научно-популярных изданий, с его помощью эффективно решаются многие задачи на доказательство алгебраических и тригонометрических неравенств, геометрических соотношений, на решение уравнений и их систем, на нахождение наибольшего и наименьшего значений переменных величин, а также геометрических экстремумов.

Наряду с неравенством (1) в тематике средних величин часто рассматривается и так называемое обобщенное, или весовое неравенство Коши

G— < A—, (2)

где Ап = р1а1 + ■■■ + Рп°п , ~ = (°р .....аР„^+...+Рп - взвешенные среднее арифметиче-

р1 + ■■■ + рп

ское и среднее геометрическое чисел ° ,■■■, ° соответственно, а р ,■■■, рп (рк > 0, к = 1,_, п) - числа, называемые весами. В (2) равенство снова достигается только при условии ° =,,, = ап.

Ясно, что неравенство (1) получается из (2) при совпадении всех весов.

В учебном пособии по спецкурсу [1] мы рассмотрели не один десяток доказательств неравенств (1)-(2), использующих принципиально различные подходы. В частности, в § 2 главы 3 цитируемого пособия приводится индуктивное доказательство неравенства (1), приписываемое самому Коши.

пи ■Л пи

КОНЦЕПТ

Калинин С. И. Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач // Концепт: научнометодический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совёнок» и «Прорыв». - Январь 2012, ART 1203. - Ки-

научно-методический электронный журнал р1^ 2012 Г. - URL http-//www.covenok.ru/koncept/2012/1203.h1:m.

ART 1203

УДК 372.8:517.16

Гос. рег. Эл № ФС 77-46214. - ISSN 2225-1618.

Подчеркнем, что доказательство Коши основывается на методе прямой и обратной индукции (по-другому, индукции вверх и вниз [2, с. 13-14], или «ветвящейся» индукции [3, глава 9 И. С. Рубанова, с. 105]). Его суть состоит в том, что после установления базы индукции для п = 2 переходом от п = 2к к п = 2к+1 неравенство (1) доказывается для всех п, являющихся степенями двойки (что соответствует прямой индукции). Затем показывается, что справедливость неравенства (1) для п чисел, влечет его выполнение и для п - 1 чисел (обратная индукция).

В настоящей заметке мы описанную технику Коши при установлении (1) хотим реализовать иначе. Выполним это, нацеливаясь одновременно на обоснование неравенства (2), обобщающего (1).

Сначала установим базу индукции, т. е. покажем, что справедливо неравенство

(о?о?2)

P1 + P2 <

P0 + P2O2

P + P2

(З)

в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда ° = °2. Для доказательства (3) применим неравенство Иенсена [4, с. 58]

/(Хи + X2и2) > Х/(и.,) + X/(и2) > 0, Х2 > 0; Х1 + X2 = 1)

для вогнутой (выпуклой вверх) функции f(x) = Inx , полагая

U = О, u2 = О, =

P1 Л _ P2

, Х2 = '

P1 + P2 2 P1 + P2

Будем иметь:

In

P1

V P1 + P2

О +■

P2

P1 + P2

■Оо

>

P1 Ino +—p—Ino2,

P1 + P2

P1 + P2

равенство в последнем соотношении достигается только при условии ° = °2 (логарифмическая функция не есть линейная функция). Отсюда следует неравенство (3) вместе с обоснованием условий достижения в нем равенства. База индукции установлена. Предположим теперь, что неравенство (2) справедливо для п = к, т. е.

(оГ •... • О?)

1

Ip+...+Pk <

P1O + - + Pk Ok

P1 + - + Pk

(4)

при этом равенство в (4) достигается тогда и только тогда, когда а = ■■■ = а. Покажем, что неравенство (2) будет иметь место и для п = 2к, при этом равенство в нем будет достигаться только, если а = ■■■ = а*<. Имеем:

3 p1a1 + ... + p2k02k _ p1a1 + ... + pkak p1 + ... + pk . pk+10k+1 + ... + p2k02k pk+1 + ... + p2k ^

A2k = -------------------------=--------------------------------------+-------------------------------------------------->

p1 + ... + p2k p1 + ... + pk p1 + ... + p2k

1

pk+1 + ... + p2k

> P1 +... + Pk • (op1 •... • a?k)p + '+Pk + Pk+1 +... + ?2k • (a?*1 •... • apk)

P1 + ... + P2k P + ... + P2k

> Of1 •... • a?k)*+...+?2k •(a^ •... • o2Pkk)p+.. + p2k = (32k

p1 + ... + p2k

1

+1 + ...+ f2k >

КОНЦЕПТ

Калинин С. И. Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач // Концепт: научнометодический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совёнок» и «Прорыв». - Январь 2012, ART 1203. - Ки-

научно-методический электронный журнал ^O^n°~ФС77 4^2l://WwWjC02250,^lS/k0nCePt/2012/1203"htm" ~

ART 1203 УДК 372.8:517.16 рег л - . - .

(в цепочке преобразований сначала мы дважды применили оценку снизу на основании индуктивного предположения, а затем еще одну аналогичную оценку - на основании базы индукции). Нетрудно видеть, что равенство в соотношении A2k > G2k будет достигаться только тогда, когда а = ■■■ = а, O+i = ■■■ = °2*< и ар1 •... • аРк = аР^1 •... • apkk, т. е. при условии о = ■■■ = О к. Нужное показано.

С учетом базы реализованная прямая индукция позволяет заключить, что неравенство (2) справедливо для всех п, являющихся степенями двойки. Реализуем обратную индукцию.

Предположим, что неравенство (2) справедливо для некоторого п > 2. Покажем, что оно будет выполняться и при n -1. Действительно, в неравенстве

Ра о + ■■■ + рп ап > (р., + ■■■ + рп )(о1Р1 •... • ар )р +...+Рп положим а = Ап_,. Будем иметь:

(Pl°1 + ... + рп-1ап-1)+ pnAn-1 = (р1 + ... + рп-1^ Ап-1 + РпАп-1 >

> (Р1 +... + Рп-1 + Рпiap •... • aft • Ап_ 1 )р1+ . +Рп-1+Рп =

= (Р1 + ... + Рп-1 + Рп)^1Р+ .+Рп-1 • A*1 )Р1+.+Рп-1+Рп .

Отсюда следует, что

Р1 + ...+Рп-1 Рп __

Л ■> ПР1 + ...+Рп- 1 + Рп Л Р1 + ...+ Рп- 1 + Рп Л ■> (Л

Ап-1 > °п-1 • Ап-1 ^ Ап-1 > °п-1 .

Легко видеть, что равенство в последнем неравенстве будет иметь место только при совпадении всех чисел о = ■■■ = О 1. Неравенство (2) полностью обосновано.

Замечание. Предлагаем читателю реализовать подход Коши к доказательству неравенства (1) в отношении обобщенного неравенства (2).

Рассмотрим несколько применений неравенств (1)-(2).

3 4

Задача 1 [5]. Докажите неравенство а10 + ^ + — > 8, а > 0.

а а

Решение. Данное неравенство можно доказать как с помощью простого неравенства Коши (1), так и обобщенного (2), потому рассмотрим два способа решения задачи.

I способ.

jo , 3 , 4 С~ 10 , 1 ' , 2 , 4 о /18 ,2 4 _С 4 1 ' 4

а10 + ^ + - = I а10 + -L I + JL. + _ > 2Vа8 + + - = 21 а4 + -L I + - >

а а I а J а а а а I а J а

4

а V а

В цепочке соотношений трижды применялось неравенство Коши (1) для двух положительных чисел.

II способ. о10 + 3а 2 + 4а 1 > 8(а10а 6а 4)8 = 8. Здесь применяется неравенство Коши (2) к величинам а10,а 2,а 1 с весами 1, 3, 4. Второе решение задачи - экономичнее.

С 2п + 1' 2

Задача 2 [6]. Докажите неравенство 1- 22 • 33 •... • пп < ----I (п eN) .

п(п+1)

-1'

(V Q ли

КОНТ TFTTT

Калинин С. И. Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач // Концепт: научнометодический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совёнок» и «Прорыв». - Январь 2012, ART 1203. - Ки-

научно-методический электронный журнал ^O^n° ФС77 4^2l://WwWjC02250,^lS/k0nCePt/2012/1203"htm"

ART 1203 УДК 372.8:517.16 рег л - . - .

Решение. По обобщенному неравенству Коши можно записать:

1 1 о о n (n + 1)(2n +1) _ ,

2 03 nn\r^ 1-1 + 2 • 2 +... + n • n 6( )( 1 2n +1

(l- 22 • 33 •... • nn)l+2+...+n <

1 + 2 +... + n n(n +1) 3

2

В произведенной оценке знак неравенства строгий, так как числа 1,2,..., п являются различными. Отсюда следует доказываемое неравенство.

1-^

Задача 3 [7]. Докажите, что 25|пх + 2С05Х > 2 2 . Решение. В силу неравенства Коши (1), имеем оценку:

Л

2

I---------- T/2sirfx+—1 I рг 1-

2sinx 2c°sх > 2*\/2sirx+c°sx ____2д[2 ^ 4) > 2л/2 2 __2

Задача 4. Для треугольника со сторонами a, b,c докажите неравенство

12ab2c3(p -a)(p - b)2(p - c)3 < p,

где р - полупериметр треугольника.

Решение. Используя неравенство Коши для взвешенных среднего арифметического и среднего геометрического величин а, Ь,с, р - а, р - Ь, р - с c весами 1, 2, 3, 1, 2, 3, имеем оценку:

12аЬ2с3(р - а)(р - Ь)2(р - с)3 < а + 2Ь + 3с + (р - а) + 2(р - Ь) + 3(р - с) = р,

в котором знак неравенства - строгий, ибо не выполняется условие а = Ь = с = р - а = р - Ь = р - с.

Задача 5 [8]. Докажите, что среди всех треугольников данной площади наименьший периметр имеет правильный треугольник.

Решение. Пусть а,Ь,с - стороны треугольника, р - его полупериметр. По формуле Герона площадь Э треугольника выразится так: Э = Vр(р - а)(р - Ь)(р - с). Оценим Э сверху, применив неравенство Коши для чисел р - а, р - Ь, р - с:

3

3 £ ^(р - а)+(р 3 Ь)+(р - с) ^2 =_17 р1 р3 р 2.

Таким образом, р2 > л/275, откуда 2р > 2^/27з)2. В последнем неравенстве равенство возможно лишь при условии р - а = р - Ь = р - с, т. е. при а = Ь = с. Это говорит о том, что наименьший периметр будет у правильного треугольника.

.----- х2 + 3

Задача 6. Решите уравнение ^2х -1 =----------.

4

гм yj nj

КОНЦЕПТ

Калинин С. И. Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач // Концепт: научнометодический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совёнок» и «Прорыв». - Январь 2012, ART 1203. - Ки-

научно-методический электронный журнал о~ФС77 4^2l://WwWjC02en0,^lS/k0nCePt/2012/1203"htm" ~

ART 1203 УДК 372.8:517.16 ^ рег. л - . - .

Решение. Область определения неизвестного данного уравнения есть промежуток [0,5;+^). На этом промежутке правую часть уравнения оценим снизу, используя неравенство Коши (1):

гЧЗ = х2 +1 +1 +1 > 4Jх2 • 1^ 1 =jx.

4 4

Заметим, равенство в произведенной оценке достигается только, если х2 = 1, или х = 1.

Легко видеть, что Тх > 42х -1, причем равенство в этом соотношении достигается только при х = 1. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень х = 1.

х2 + 3

Замечание. В приведенном решении оценку ----------

4

средством применения обобщенного неравенства Коши:

> sfx можно получить по-

x2 + 3 1- x2 + 3 • 1

А

А

> А x2 • 13 = 4x .

Задача 7. Решите систему уравнений

2x -1 + , y+2 = 2,

\ у + 2 V 2х -1 х + у = 12.

Решение. По простому неравенству Коши из первого уравнения системы имеем

оценку

2x -1 y + 2 _

+ ,14---: > 2, следовательно, первое уравнение эквивалентно усло-

вию

y + 2 V 2x -1 2x -1 y + 2

1, или |2х -1 = \у + 2| . Отсюда, в силу второго уравнения системы,

у + 2 2х -1 1 11 1

получаем уравнение относительно х : |2х -1| = |14 - х|. Оно имеет два решения х =-13, х2 = 5 , значит, соответствующие значения для у будут у = 25, у2 = 7.

Проверкой убеждаемся, что данная система имеет единственное решение х 5

y = 7

Задача 8. Решите уравнение

x

+2

1

= 3.

(3^/9—х2^ д/(э — V9 - х21

Решение. Рассматриваемое уравнение задано на множестве х є [—3;3] \ {о}. Перепишем его в виде

3

x

3 + л/9-

x2 У

Л3 2{ + 3

= 1.

Левую часть последнего уравнения оценим снизу, используя неравенство Коши (2) для взвешенных среднего арифметического и среднего геометрического степеней

, 3

^ '''Г 1 ^2 12

и -----, с весами — и —:

3 3

x

3 + л/9-

x2 у

3-л/9-

1

1

С їх»

КОНЦЕПТ

Калинин С. И. Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач // Концепт: научнометодический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совёнок» и «Прорыв». - Январь 2012, ART 1203. - Ки-

научно-методический электронный журнал о~ФС77 4^2l://WwWjC:02250,^lS/k0nCePt/2012/1203"htm" ~

ART 1203 УДК 372.8:517.16 ^ рег. л - . - .

(

3

x2

Л3

3 + л/9-

x2 у

(

+

3

3-л/э-

x2 у

>

x2

3 W 9 - x2 3 -л/ 9 - x2

= 1.

Следовательно, данное уравнение равносильно уравнению

x

3 + 4 9 - x2

з

Л2

3-ЛІ9-

x 2 у

Так как

x2

3 + V9-

= 3 -V9-

x2 , то все сводится к решению уравнения

x2

(з-V 9 - x2) =

3-у/ 9 - x2

Из последнего находим, что х = ±л/б . Найденные значения лежат в области допустимых значений уравнения, значит, это искомые корни.

Рассмотрим уравнение, навеянное задачей 8.

Задача 9 [9]. Решите уравнение

x

3 + V9-

x2 у

у ,

+ (n-1)

1

'N\n-1

з -79-

x2 у

= n.

Решение. Данное уравнение схоже с предыдущим. Очевидно, оно также определено на множестве [-3;3] \ {0}. Запишем его в равносильной форме

x2

3 + V9-

x2 у

n

+ (n-1)

n

3 -V 9 - x2 у

n-1

= 1.

Левую часть последнего уравнения оценим снизу, применяя неравенство (2).

Для этого положим a =

x

у

3 + V9-

x 2 у

a2 =

1

'N\n-1

3-л/9-x2 у

, p = 1, p2 = n -1. Имеем:

n

x

x2 у

+

n-1

n

з-V9-

x2 у

n-1

>

x

3 W 9 - x2 3-л/ 9 - x2

= 1.

В произведенной оценке равенство достигается лишь при условии

у ^

x

з + V9-

x2 у

1

n

^n-1

x 2 у

которое в силу равенства ___________

3 + V 9 - х2

Отсюда находим искомые корни х = ±л/б .

х2 эквивалентно условию

3-V 9 - x2 = 1.

1

1

n

1

n

n

1

1

1

2

б

КОНЦЕПТ

Калинин С. И. Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач // Концепт: научнометодический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совёнок» и «Прорыв». - Январь 2012, ART 1203. - Ки-

научно-методический электронный журнал о~ФС77 4^2l://WwWjC:02250,^lS/k0nCePt/2012/1203"htm" ~

ART 1203 УДК 372.8:517.16 ^ рег. л - . - .

Ссылки на источники

1. Калинин С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: учебное пособие по спецкурсу. - Киров: Изд-во ВГГУ, 2002. - 368 с.

2. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. - М.: Мир, 1965. - 276 с.

3. Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для

внеклассной работы. - Киров: Изд-во «АСА», 1994. - 272 с.

4. Ижболдин О., Курляндчик Л. Неравенство Иенсена // Квант. - 1990. - № 4. - С. 57-62.

5. Галицкий М. Задачи по алгебре для 8-9 классов // Математика: Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». - 1998. - № 6. - С. 7-10.

6. Вересова Е. Е. и др. Практикум по решению математических задач. - М.: Просвещение, 1979.

7. Квант. - 1985. - № 11. - С. 25.

8. Курляндчик Л. Д. Приближение к экстремуму // Квант. - 1981. - № 1. - С. 21-25.

9. Калинин С.И. Два «родственных» уравнения // Математика в школе. - 2002. - № 6. - С. 70-71.

Kalinin Sergey,

Doctor of Education, Chief of mathematical analysis and methods of teaching mathematics chair in Vyatka State University of Humanities, Kirov Kalinin qu@mail.ru

Inequality Cauchy: a new inductive proof and some applications to solving problems Abstract. The article is devoted to a new proof of the generalized Cauchy inequality for arithmetical and geometrical mean of positive numbers, using the method of forward and backward induction. We give examples of simple and generalized Cauchy inequalities to solve problems of high levels of school mathematics. Keywords: arithmetic and geometric averages, the Cauchy inequality, the problem of high levels of school mathematics.

ru "7 M