CC BY
245
1УДК 373.545 ББК 74.262.21
ПРАКТИКО-ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Т. А. Воронько, Н. Д. Кучугурова, И. В. Асланян
В статье представлен ряд практико-ориентированных задач, направленных на развитие у учащихся исследовательской деятельности в ходе обучения математике в школе. Исследовательская деятельность школьника является одной из форм творческой деятельности, а реализовать ее можно через решение специальных исследовательских задач или через дополнительную работу над задачей. Авторами предлагается прием переформулирования условия задачи, то есть включения объектов в новые связи и отношения, в которых они могут проявить искомые свойства. Выделяется три этапа работы над задачей: формализации, исследования математическими средствами и интерпретации. Авторами подобран ряд задач на различные темы математики.
Ключевые слова: исследовательская деятельность, практико-ориентированные задачи, прием переформулирования условия задачи.
PRACTICE-ORIENTED PROBLEMS AS MEANS OF FORMATION OF RESEARCH ACTIVITY IN THE COURSE OF TRAINING STUDENTS IN MATHEMATICS
N. D. Kuchugurova, T. A. Voronko, I. V. Aslanian
The article presents a series of practice-oriented tasks directed at developing students' research activities in the course of teaching mathematics at school. The research activity of a student is a kind of creative activity, and it can be implemented through the solution of special research tasks or through additional work on the task. The authors propose a method of reformulation of the problem that is, the inclusion of objects in the new connections and relationships in which they can display the required properties. Three stages of work on a task are allocated: formalization, mathematical methods of research and interpretation. The authors selected a number of problems on various topics of mathematics.
Keywords: research, practice-oriented tasks, method of reformulation of the problem conditions.
Одной из основных задач современной российской школы является формирование у школьников потребности и способности к самостоятельному приобретению знаний. Как средство достижения этой цели можно рассматривать исследовательскую деятельность школьников, которую мы рассматриваем как активную, целенаправленную учебно-познавательную деятельность, направленную на открытие нового для учащегося знания об объекте исследования, способе или средстве деятельности. Ее целью является развитие способностей анализировать, обобщать,
делать выводы, в результате чего формируются исследовательские умения. Формирование умения рассматривается нами как целенаправленная работа по усвоению совокупности действий, составляющих структуру данной деятельности [1].
Одним из средств формирования исследовательских умений являются практико-ориен-тированные задачи. Основным результатом исследовательской деятельности является интеллектуальный, творческий продукт, устанавливающий ту или иную истину в результате процедуры исследования и представленный в
стандартном виде. Исследовательская деятельность является одной из форм творческой деятельности, поэтому ее следует рассматривать в качестве составной части проблемы развития творческих способностей учащихся.
Приобщение обучающихся к исследовательской деятельности можно реализовать путем решения специальных исследовательских задач или дополнительной работой над задачей. Отметим такой важный прием, связанный с творческой переработкой и использованием знаний, как прием переформулирования условия задачи, то есть включения объектов в новые связи и отношения, в которых они могут проявить искомые свойства. Формировать этот прием предлагаем с помощью задач, текст которых создает ситуации, не допускающие непосредственного применения теоретических знаний, имеющихся в распоряжении учащихся. В связи с этим учащиеся, применяя данный прием к задаче, проходят три этапа:
• формализации, этап состоит в переходе от исследования реальной ситуации к исследованию адекватной ей математической модели;
• исследования математическими средствами построенной модели;
• интерпретации, этап состоит в переносе полученных результатов исследования математической модели в реальную ситуацию.
Овладение данным приемом основывается на умении учащихся осуществлять умственные действия, например:
• устанавливать аналогию задач;
• видеть соразмерность компонентов задачи;
• организовать полный или сокращенный перебор;
• обобщить полученный результат и т. д.
Таким образам, задачи, фабула которых отражает реальные условия, ситуации, где необходимо принимать решения, выполнять определенные действия, кроме этого способствуют также формированию и такого вида исследовательской деятельности как постановка проблемы, так как по ходу их решения создается математическая модель задачи.
Предлагаемые ниже задачи позволяют организовать работу по освоению действий анализа, классификации и систематизации информации, что формирует аналитические умения.
Также мы предлагаем школьникам планировать свои действия по указанным этапам, что формирует проектировочные умения.
Обучая исследованию математическими средствами построенной модели и дальнейшей интерпретации, формируем умение доказывать и защищать свои идеи, то есть шлифуются коммуникативные и конструктивные умения. Обсуждение и оценка результатов задачи, видение их дальнейшего применения в реальной жизни позволяет развить прогностические и рефлексивные умения. Овладение комплексом указанных умений способствует развитию творчества обучаемых.
Однако следует заметить, что у некоторых школьников возникают определенные трудности, в частности в правильной постановке вопросов, в поиске аналогий, в построении математической модели. Для ликвидации этих трудностей мы первоначально предлагаем более простые задачи на отработку методов научного познания: анализа, синтеза, аналогии, классификации и т. п. Эту работу мы рекомендуем систематически проводить в 5-7-м классах как на уроках алгебры, так и геометрии. А практико-ориентированные задачи предлагать школьникам после изучения соответствующего материала, но возможно их рассмотрение и в качестве проблемных задач, то есть необходим индивидуальный подход. Отметим, что большая часть школьников справляется с практико-ориентированными задачами и с интересом составляет или находит задачи данного типа в различных источниках по рекомендации учителя или по собственной инициативе.
Приведем примеры задач, переформулированных в практические.
Задача 1. Для снабжения двух ферм, расположенных по одну сторону канала, правление колхоза решило построить водно-насосную станцию. Где выбрать место для ее строительства?
При решении задачи необходимо абстрагироваться от данной ситуации, составить математическую модель задачи. Переформулирование задачи на математический язык позволит учащимся на основе имеющихся у них теоретических знаний решить ее. Задача будет иметь
следующий вид: По одну сторону от прямой даны две точки А и В. Построить на прямой третью точку так, чтобы сумма расстояний от нее до заданных точек была наименьшей («Осевая симметрия»).
Приведем примеры практико-ориентиро-ванных задач с переформулировкой по темам «Арифметическая и геометрическая прогрессии» и «Решение прямоугольных треугольников» (9-й класс).
Задача 2. Отряд механизаторов в весенне-посевную кампанию в первый день вспахал 100 га пашни, а в каждый последующий день - на 3 га больше, чем в предыдущий. Найти, сколько гектаров пашни отряд механизаторов вспахал за 19 дней.
Переформулированная задача на математическом языке имеет вид: Найти сумму первых 19 членов арифметической прогрессии, если первый ее член равен 100, а разность - 3.
Задача 3. За изготовление и установку первого железобетонного кольца колодца заплатили 1000 руб., а за каждое последующее - на 200 руб. больше, чем за предыдущее. Средняя стоимость одного кольца и его установка оказалась равной 2200 руб. Сколько колец было установлено?
Переформулированная задача на математическом языке имеет вид: Первый член арифметической прогрессии равен 1000, а разность - 200. Найти количество членов арифметической прогрессии, если ее средняя сумма равна 2200.
Задача 4. Известно, что бактерия в пита-
тельной среде через каждые 30 мин делится на две. Сколько бактерий может образоваться из одной бактерии через 240 мин?
Переформулированная задача на математическом языке имеет вид: Найти девятый член геометрической прогрессии, если ее первый член равен 1, а знаменатель равен 2.
Задача 5. Кронштейн посредством шарниров соединен с потолком и стеной (рис. 1). К шарнирному болту А подвешен груз весом 300 Н. Стержни АС и АВ образуют угол a.
Переформулированная задача на математическом языке имеет вид: Один из катетов прямоугольного треугольника равен 300. Найдите его гипотенузу, если угол между ними равен 40°.
Задача 6. На обойму подвижного блока действует сила в 150 Н. Тросик, охватывающий ее блок, образует угол a (рис. 2).
Переформулированная задача на математическом языке имеет вид: Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите АО, если АВ = АС = 75, АВАС = 67°.
Задача 7. Из окна, расположенного на высоте 16 м над поверхностью земли, нижний край дома, стоящего на другой стороне улицы, виден под углом понижения в = 32°10' (рис. 3). Вычислить ширину улицы. (Углом понижения называется угол, образованный направлением луча на предмет и горизонтальной прямой.)
Переформулированная задача на математическом языке имеет вид: Одна сторона прямоугольника равна 16 см. Найти другую его
сторону, если она образует с его диагональю угол, равный 32°10'.
Задача 8. В планке требуется сделать паз, размеры сечения которого даны на рис. 4. Вычислить углы наклона боковых граней паза, зная, что они равны между собой.
Переформулированная задача на математическом языке имеет вид: Основания равнобедренной трапеции равны 14 см и 8 см, высота 4 см. Найти углы при большем основании трапеции.
Некоторые задачи учебника учитель может сам переформулировать и подать учащимся в готовом виде, либо проделать такую работу вместе с учащимися, либо дать задание учащимся для самостоятельной работы.
Задача 9. Найдите наибольшее значение функции у = 5х2 + 50х + 20.
Практико-ориентированная задача может иметь следующий вид. С башни выпустили вверх стрелу из лука. Если начальная скорость стрелы равна 50 м/с, высота башни 20 м и t -время полета стрелы (в секундах), то расстояние Ь (в метрах) стрелы от поверхности земли можно найти по формуле Ь = 5^ + 50t + 20 (приближенное ускорение свободного падения считать равным 10 м/с2). Какой наибольшей высоты достигнет стрела?[1]
Следует отметить, что вопрос о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции обычно решается в курсе алгебры с помощью аппарата производной. Рассмотрим иное решение данной задачи.
Решение. Выделим полный квадрат трехчлена: -5^ + 50t + 20 = -5[а - 5)2]+145. Чтобы
данное выражение было максимальным, необходимо, чтобы t - 5 = 0, то есть t = 5. Таким образом, максимальная высота Ь = 145 м.
Задача 10 (на тему «Геометрическая прогрессия»). Первый член геометрической прогрессии равен 800. Во сколько раз четвертый член геометрической прогрессии больше первого, если знаменатель геометрической прогрессии равен 1,9.
Фабулу данной задачи можно представить следующим образом: Срочный вклад, положенный в банк, ежегодно увеличивается на 90%. Во сколько раз увеличится первоначальный вклад через 3 года, если он составлял 800 руб.?
Решение. Пусть д - знаменатель геометрической прогрессии, тогда д = 1,9. Так как первый член Ь1 = 800, то Ь4/Ь, = 6,859. Следовательно, через три года первоначальный вклад увеличится в 6,859 раза.
Таким образом, обучение с использованием практико-ориентированных заданий приводит к более прочному усвоению информации, так как возникают ассоциации с конкретными действиями и событиями. Особенности этих заданий (необычная формулировка, связь с жизнью, межпредметные связи) вызывают повышенный интерес учащихся, способствуют развитию их любознательности и творческой активности.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кучугурова, Н. Д. Контроль учебно-познавательной деятельности обучающихся (технология формирования умения) [Текст]: мо-ногр. / Н. Д. Кучугурова. - 2-е изд. - М.: ООО «АБЛ Принт», 2006. - 128 с.
2. Дышинский, Б. А. Методические этюды в задачах [Текст] / Б. А. Дышинский // Роль и место задач в обучении математике. - М., 1974. - Вып. 2. - С. 29-39.
3. Волович, М. Б. Наука обучать [Текст]: технология преподавания математики / М. Б. Волович. - М.: LINKA-PRESS, 1995. - 280 с.
REFERENCES
1. Kuchugurova N. D. Control uchebno-pozna-vatelnoy deyatelnosti obuchayushchikhsya (tesh-nologiya formirovaniya umeniy): monogr. 2-e izd. Moscow: OOO ABL „PRINT", 2006. 128 p.
2. Dyshinskiy B. A. Metodicheskie etyudy v sa-dachakh. Rol i mesto sadach v obuchenii matematike. Moscow, 1974. Iss. 2, pp. 29-39.
3. Volovich M. B. Nauka obuchat. Technologiya prepodavaniya matematiki. Moscow: LINKA-PRESS, 1995. 280 p.
Кучугурова Нина Дмитриевна, доктор педагогических наук, профессор кафедры элементарной математики и методики обучения математике математического факультета Московского педагогического государственного университета e-mail: [email protected]
Kuchugurova Nina D., ScD in Education, Professor, Elementary Mathematics and Methods of teaching Mathematics Department, Mathematics Faculty, Moscow State Pedagogical University e-mail: [email protected]
Воронько Татьяна Анатольевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математической физики института физики и информационных технологий Московского педагогического государственного университета
e-mail: [email protected]
Voronko Tatyana A., PhD in Education, Associate Professor, Mathematical Physics Department, Institute of Physics and Information Technologies, Moscow State Pedagogical University e-mail: [email protected]
Асланян Ирина Владимировна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры комплексной защиты информации и стандартизации Института сервиса, туризма и дизайна (филиала) Северо-Кавказского Федерального университета в г. Пятигорске e-mail: [email protected]
Aslanian Irina V., PhD in Education, Associate Professor, Complex Information Protection and Standardization, Institute of Service, Tourism and Design (branch) of the North Caucasian Federal University in Pyatigorsk e-mail: [email protected]
