CC BY
70
Лохин Валерий Михайлович Д.т.н.; профессор.
Маиько Сергей Викторович Д.т.н.; профессор.
Романов Михаил Петрович Д.т.н.; профессор.
Makarov Igor’ Mixajlovich
The State Educational Establishment of the Maximum Vocational Training “the Moscow State Institute of a Radio Engineering, Electronics and Automatics (Technical University)”. E-mail: cpd@mirea.ru; kpu-mirea@yandex.ru.
78, Vernadskogo Pr., Moscow, 119454, Russia.
Phone: +74954349232.
The Department “Problem of management”; Dr. of Eng. Sc.; Academician of the Russian Academy of Science.
Loxin Valerij Mixalovich
Dr. of Eng. Sc.; Professor.
Man’ko Sergej Viktorovich
Dr. of Eng. Sc.; Professor.
Romanov Mixail Petrovich
Dr. of Eng. Sc.; Professor.
УДК 004.41
P.A. Нейдорф, СЛ. Новиков, B.C. Чудаков
ПРАКТИЧЕСКАЯ МЕТОДИКА РАСЧЕТА ДАННЫХ ДЛЯ ВЫБОРА ПРИНЦИПОВ КОДИРОВАНИЯ И ИХ ПАРАМЕТРОВ В ЗАШУМЛЕННЫХ КАНАЛАХ СВЯЗИ СЕТЕЦЕНТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Рассматривается методика расчета данных для выбора параметров систем кодирования в зашумленных каналах связи. В основу расчётов положено значение вероятности искажения одного бита информации как независимого случайного события. На основе этого подхода определены вероятности возникновения ошибки в кодовом слове в зависимости от его длины. Поскольку длина кодового слова определяет количество восстанавливаемых в нём ошибок для используемой системы кодирования, возникает возможность обоснованного выбора декодера и его параметров. Результаты расчетов приведены в таблицах и наглядно отображены диаграммами. Проведен анализ закономерностей формирования значений в зависимости от длины кодового слова и использованного декодера.
Канал связи; кодирование; методика расчета вероятности ошибок; помехоустойчи-.
R.A. Nejdorf, S.P. Novikov, V.S. Chudakov
PRACTICAL DESIGN PROCEDURE OF THE DATA FOR THE CHOICE OF PRINCIPLES OF CODING AND THEIR PARAMETERS IN COMMUNICATION CHANNELS WITH NOISE OF SETETSENTRICHESKY SYSTEMS
This article describes a method for calculating the data for setting coding systems configuration in noisy communication channels. The calculation is based on probability of distortions of one bit of information as independent random events. Based on this approach identifies likelihood of errors in the code depending on its length. It should be possible to make informed choices of the decoder and its parameters, because length of typing keyword specifies the number of correctable
errors for encoding system, it should be possible to make informed choices of the decoder and its parameters. The results are presented in tables and displays charts graphically. Analysis of patterns formation of values depending on the length of code words and used decoder.
Communication channel; coding; a design procedure of probability of errors; noise proof
codes.
Все реальные каналы связи подвержены воздействию помех, которые могут привести к искажению передаваемых по каналу сигналов и, как следствие, к час-( ) . одной из важнейших задач в теории связи является повышение надежности передачи информации путем построения и реализации различных помехоустойчивых кодов. В задачах построения систем связи, управления и автоматизации существенной является проблема выбора кодов передачи сигналов с возможностью их , , -( , ) -тра внешних помех. Это проблема тесно связана с шумовыми характеристиками ,
единичных и групповых ошибок.
В связи со сформулированной проблемой при проектировании каналов связи всегда приходится ориентироваться на результаты анализа наиболее распространён, . Краткая характеристика кодов, исправляющих пакетные ошибки. Одни из давно известных помехоустойчивых кодов представлены семейством кодов Рида-Мштера (RM-коды). Они представляют собой двухпараметрическое семейство блочных кодов с целыми неотрицательными параметрами m (порядок кодового слова) и r (дайна кодируемого информационного слова в битах), для которых 0 < r < m. Важнейшими характеристиками этих кодов являются: длина кодового слова (n = 2m),
r
размерность кода - k = ^ Clm , минимальное кодовое расстояние: d = 2m - r, коли-
i=0
чество гарантированно исправляемых кодом ошибок - t = 2m - r - 1. RM-коды с параметрами m, r принято обозначать RM(r,m). Необходимо отметить, что восстанавливающая способность этих кодов невысока.
Классическим алгоритмом декодирования RM-кодов является мажоритарный алгоритм. Этот алгоритм полностью исправляет количество ошибок веса w(t) < t (где t - количество гарантированно исправляемых кодом ошибок, w(t) - вес Хэм, ). -
бенностью мажоритарного декодера (МДК) является то, что по полученному из канала зашумленному кодовому слову восстанавливается не истинное кодовое ( ), . -комый информационный вектор a=(a1, a2, ... , ak) представляется в блочном виде (a(0), a(1), ..., a(r), длина j-го блока равна CJ. Декодирование производится по блокам справа налево, и при декодировании каждого следующего блока используются полученные ранее результаты [1]. Однако если число ошибок в кодовом слове превышает количество гарантированно исправляемых ошибок, то МДК практически перестает правильно декодировать кодовые слова.
RM- , -
таточно ощутимой вероятностью восстанавливать искаженный кодовый вектор при числе ошибок большем, чем d/2. Одним из таких декодеров является вероятностный декодер Сидельникова-Першакова (СПД). В работе [2], предложен вероятностный алгоритм декодирования кодов Рида-Мдалера при числе ошибок, пре-t.
параметра 5 и к, где яе[1,..,п], к > 0, которые отвечают за глубину перебора при поиске верных значений на одном из этапов алгоритма. Согласно [2] этот алгоритм
имеет сложность порядка н2(т + кд3) и позволяет почти всегда исправлять ошибки веса Г < (п-Ст1/4п3/4)/2 при т ^^,С >1п4.
Значительно более популярными на сегодняшний день являются коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ). В теории кодирования БЧХ-коды - это широкий класс циклических кодов, применяемых для защиты информации от ошибок. Отличаются возможностью построения кода с заранее определёнными корректирующими свойствами, а именно, й0 - минимальным кодовым расстоянием. Эти коды позволяют исправлять кратное число ошибок (две при й0 = 5 и более - при й0 > 5). Минимальное кодовое расстояние зависит от длины кодового слова ДОС).
- , это требует существенного увеличения длины кодовой комбинации, что резко снижает скорость передачи данных.
Широко используемым подмножеством БЧХ-кодов является код Рида-Соломона. Это недвоичный циклический код, который обладает хорошей корректирующей способностью при сравнительно небольшой избыточности. Важнейшей характеристикой кода является количество восстанавливаемых ошибок, которое рассчитывается следующим образом: Г = (п - к)/2, где п - длина кодового слова, к - длина информационного слова, (п - к) - избыточность кода
Коды БЧХ являются циклическими кодами, поэтому к ним применимы все методы, используемые для декодирования циклических кодов. Однако существуют гораздо более эффективные алгоритмы, разработанные именно для БЧХ-кодов: ♦ Алгоритм Берлекемпа-Мэсси (ВМА). По числу операций в конечном поле этот алгоритм обладает высокой эффективностью. ВМА обычно используется для программной реализации или моделирования кодов БЧХ и кодов Рида-Соломона;
( - - ( )). -горитм находит коэффициенты многочлена локаторов ошибок прямым решением, соответствующей системы линейных уравнений. В действительности, так как сложность этого алгоритма растет как куб минимального расстояния й0, прямой алгоритм может быть использован только для малых значений й0, однако именно этот алгоритм лучше всего проясняет алгебраическую идею процесса декодирования.
,
время вполне достаточно подходов, методов кодирования и кодовых систем для решения конкретных задач. Однако при этом необходимо иметь в качестве одного из инструментов методику выбора параметров кодеков, удовлетворяющих условиям передачи сигналов и техническому заданию на канал. Эта методика должна опираться на характеристики помех в канале, предоставляя проектировщику информацию о наиболее вероятном (или максимальном) количестве ошибок, а также
о связи его с параметрами кода, если такая имеется. Исследованию этой проблемы посвящён дальнейший материал данной статьи.
Теоретическое исследование связи вероятностей возникновения одиночных и пакетных ошибок. Как уже указывалось, отличительной особенностью большинства реальных каналов связи является возможность возникновения в них именно групповых ошибок. Это обстоятельство осложняет применение в таких каналах классических помехоустойчивых кодов, построенных на основе парадигмы независимости одиночных ошибок в канале, которые обычно имеют невысокую вероятность появления. Такие коды обладают невысокими восстанавливающими свойствами и оказываются совершенно неэффективными при использова-
нии в каналах с групповыми ошибками. В связи с этим коды, наряду с другими
,
, .
полем большой размерности, то такие коды являются кодами, исправляющими , , , -дый элемент накладываемого вектора ошибок можно представить в виде последовательности бит некоторой длины. При этом, естественно, код, исправляющий , , . Некоторые из таких кодов рассмотрены выше.
С другой стороны, параметры кодов, исправляющих пакетные ошибки, никак , , слове. Таким образом, для современных кодовых систем значение имеет лишь количество ошибок на передаваемую информационную единицу, а структура не .
В силу рассмотренного обстоятельства в данном исследовании не делается акцент на свойствах помех, а считается, что дальнейшему рассмотрению подлежат лишь независимые ошибки, а пакеты суть результат их случайного попадания в интервал кодового слова. При этом единственным параметром, характеризующим свойства таких ошибок, является вероятность их возникновения. Однако в данном случае она должна оцениваться экспериментальными данными о вероятностях появления пакетных ошибок, и оцениваться величинами, делающими их адекватными результатам действия этих ошибок.
В парадигму настоящего исследования заложено предположение, что для расчета вероятности искажения некоторого заданного числа бит в кодовом слове (пакета ошибок) можно воспользоваться формулой Бернулли и принятой из технических, технологических или надёжностных соображений заданной вероятностью искажения одного бита в канале связи. Эта формула применительно к задаче, где в качестве независимого случайного события В рассматривается появление ошибки в произвольном бите кодового слова, имеет следующий вид:
го бита которого рассматривается как независимое испытание; р - вероятность появления события В при передаче одного бита.
Для расчета вероятности искажения КС пакетом длиной к в формуле (1) задается длина кодового слова п, теоретическая вероятность р искажения одного
бита в канале и анализируемое количество к искаженных бит. Результатом вычисления будет искомая вероятность искажения требуемого количества бит в кодовом слове заданной длины.
Если число испытаний п в схеме независимых испытаний Бернулли растет, р , (1) -
- . В этом случае при условии, что п • р -(1- р) < 9 рекомендуется пользоваться приближенными формулами Пуассона, которые получены на основе доказанной им теоремы. Теорема Пуассона построена на том факте, что, если в схеме независимых испытаний Бернулли число испытаний п ^ » , а р ^ 0 таким образом, что
п• р ^Л> 0, то при любых к = 0,1,2,... справедливо свойство
(1)
где Рп (к) - вероятность появления к событий В в КС длиной п, передача каждо-
Рп {к ) =
, -
(1)
формулу
)= (п•р)к • е-п-р , (2)
т.е. использовать формулу Пуассона для Л = п • р .
Как указано выше, на практике пуассоновским приближением пользуются при п • р •( — р) < 9.
(2) , (1).
имеет тот недостаток, что при больших п и к скорость вычислений резко снижа-.
- . , -
к — п • р
го критерия удовлетворяет условию у =
можно воспользоваться формулой
л/п • Р-{1 “ Р)
_г_ " 2
<є> 0 , т.е. ограничена,
(3)
д/2 • ж • п • р • (1 — р)
На практике приближением Муавра-Лапласа пользуются при выполнении соотношения п • р • (1 — р) > 9. Точность формулы (3) растет как с ростом величин п и к, так и по мере приближения значения р (и соответственно 1- р) к 0,5.
,
фона ошибок необходимо учитывать величину п • р • (1 — р)
аппроксимирующих формул (2) или (3) можно воспользоваться табл. 1, в которой приведены результаты расчёта для различных стандартных длин КС и различных значений побитовой вероятности ошибки.
1
Значения критерия выбора аппроксимирующей формулы вероятности пакетной ошибки
Вероятность Длина кодового слова бит
32 64 128 256 512 1024
0,01 0,317 0,634 1,267 2,534 10,138
0,02 0,627 1,254 2,509 5,018 10,035 20,070
0,03 0,931 1,862 3,725 7,450 14,899 29,798
0,05 1,52 3,04 6,08 12,16 24,320 48,640
0,1 2,88 5,76 11,52 23,04 46,080 92,160
0,2 5,12 10,24 20,48 40,96 81,920 163,84
0,3 6,72 13,44 26,88 53,76 107,52 215,04
Практическое исследование связи вероятностей возникновения одиночных и пакетных ошибок. Результаты расчета вероятностей с использованием функций (1)-(3) проиллюстрированы столбчатыми диаграммами на рис. 1-6 и приведены в табл. 2-7, которые можно использовать при решении задач проектирования каналов связи. На диаграммах приведены иллюстративные данные расчета вероятностей появления пакетных ошибок различной величины для кодовых слов длиной от 32 до 1024 бит. В таблицах те же данные приведены в численном ,
ошибок разной величины при использовании КС соответствующей длины.
е
На рис. 2-4 представлены столбчатые диаграммы, иллюстрирующие зависимость вероятностей появления в 32-128-битных КС пакетных ошибок размером от 0 до 9 при вероятности искажения 1 бита р =0,1. Из диаграмм видно, что вероятностно значимая величина пакета для 32-битного КС не превышает 9, 64-битного -16, а для 128-битного - 26.
Кодовое слово длиной п=32 бит
Количество искаженных бит Рис. 2. Вероятностная диаграмма пакетных ошибок в 32-битном КС при р =0,1
Кодовое слово длиной п=64 бит
3 4 5 6 7 В 9 10 11 12 13 14 15
Количество искаженных бит
Рис. 3. Вероятностная диаграмма пакетных ошибок в 64-битном КС при р =0,1
Кодовое слово длиной г = 128 бит
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,М
0,02
п
п
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Количество искаженных бит
Рис. 4. Вероятностная диаграмма пакетных ошибок в 128-битном КС при р =0,1
Далее приведены вероятностные диаграммы для 256-, 512- и 1024-битных . ,
максимум смещаются в область больших значений ошибок, и увеличивается количество вероятностно значимых пакетов ошибок. Однако максимум вероятности пакетной ошибки при этом уменьшается. Это естественно, в связи с тем, что сумма вероятностей всех позиций диаграммы всегда равна единице.
Для стадии выбора и расчёта параметров кодирующей системы наиболее информативна правая нисходящая ветвь вероятностной диаграммы, по наибольшему
пакету ошибок этой ветви, вероятность которого входит в заданный проектировщиком диапазон. Так, из рис. 4 видно, что для 256-битного КС минимальный из максимальных пакет ошибок, вероятность появления которого не превышает 0,5 %, составляет 38. Исходя из этого значения следует выбирать кодек канала.
Рис. 5. Вероятностная диаграмма пакетных ошибок в 256 -битном КС при р =0,1
Количество искаженных бит
Рис. 6. Вероятностная диаграмма пакетных ошибок в 512 -битном КС при р =0,1
Структурой приведённых ниже табл. 2-8 предусмотрено указание в заголовках столбцов теоретических значений вероятностей р) искажения в сигнале одного бита кодового слова. При этом таблицы состоят из двух блоков - в верхнем помещены данные для побитовых вероятностей от 0,01 до 0,05, а в нижнем - для диапазона 0,06-0,1. В столбцах к указано количество бит, которые предположительно могут быть искажены в канале связи с битовой вероятностью помехи р, а в столбцах Р(к)
- вероятность такого пакетного искажения. Значения к, расположенные по строкам, . , -ятность появления пакетом, и заканчиваются при значениях пакетной вероятности 10-6. -, 0.
Количество искаженных бит Рис. 7. Вероятностная диаграмма пакетных ошибок в 1024 -битном КС при р =0,1
Таблица 2
Расчет вероятности искажения заданного числа бит для длины кодового слова п = 32 бит
Рх = 0,01 Р2 = 0,02 Р3 = 0,03 р4 = 0,04 Р5 = 0,05
к Р1 (к) к Р 2 (к) к Р 3 (к) к Р 4 (к) к Р 5 (к)
0 0,724980 0 0,523883 0 0,377308 1 0,361092 1 0,326251
1 0,234337 1 0,342128 1 0,373418 2 0,233205 2 0,266152
2 0,036689 2 0,108224 2 0,179010 3 0,097169 3 0,140080
3 0,003706 3 0,022087 3 0,055364 4 0,029353 4 0,053452
4 0,000271 4 0,003268 4 0,012414 5 0,006849 5 0,015754
5 0,000015 5 0,000373 5 0,002150 6 0,001284 6 0,003731
6 0,000001 6 0,000034 6 0,000299 7 0,000199 7 0,000729
7 0 7 0,000003 7 0,000034 8 0,000026 8 0,000120
8 0 8 0 8 0,000003 9 0,000003 9 0,000017
9 0 9 0 9 0 10 0 10 0,000002
Рб = 0,06 р7 = 0,07 р8 = 0,08 р9 = 0,09 Р10 = 0,1
к Р6 (к) к Р7 (к) к Р8 (к) к Р9 (к) к (к) О Р
1 0,282010 2 0,275528 2 0,260194 2 0,237251 3 0,233622
2 0,279010 3 0,207387 3 0,226255 3 0,234644 4 0,188196
3 0,178091 4 0,113171 4 0,142639 4 0,168248 5 0,117100
4 0,082415 5 0,047702 5 0,069459 5 0,093183 6 0,058550
5 0,029459 6 0,016157 6 0,027180 6 0,041472 7 0,024163
6 0,008462 7 0,004517 7 0,008779 7 0,015234 8 0,008390
7 0,002006 8 0,001062 8 0,002385 8 0,004708 9 0,002486
8 0,000400 9 0,000213 9 0,000553 9 0,001242 10 0,000635
9 0,000068 10 0,000037 10 0,000111 10 0,000282 11 0,000141
10 0,000010 11 0,000006 11 0,000019 11 0,000056 12 0,000027
11 0,000001 12 0,000001 12 0,000003 12 0,000010 13 0,000005
Таблица 3
Расчет вероятности искажения заданного числа бит для длины кодового слова п = 64 бит
Р = 0,01 Р2 = 0,02 Р3 = 0,03 Р< = 0,04 р5 = 0,05
к Р1 (к) к Р 2 (к) к Р 3 (к) к Р 4 (к) к Р 5 (к)
0 0,525596 1 0,358470 1 0,281787 2 0,256701 3 0,227935
1 0,339780 2 0,230445 2 0,274524 3 0,221048 4 0,182948
2 0,108112 3 0,097194 3 0,175469 4 0,140457 5 0,115546
3 0,022569 4 0,030249 4 0,082760 5 0,070229 6 0,059800
4 0,003477 5 0,007408 5 0,030715 6 0,028774 7 0,026078
5 0,000421 6 0,001487 6 0,009341 7 0,009934 8 0,009779
6 0,000042 7 0,000251 7 0,002394 8 0,002949 9 0,003203
7 0,000004 8 0,000037 8 0,000527 9 0,000765 10 0,000927
8 0 9 0,000005 9 0,000102 10 0,000175 11 0,000240
9 0 10 0,000001 10 0,000017 11 0,000036 12 0,000056
10 0 11 0 11 0,000003 12 0,000007 13 0,000012
11 0 12 0 12 0 13 0,000001 14 0,000002
Р6 = 0,06 р7 = 0,07 р8 = 0,08 р9 = 0,09 Р10 = 0,1
к Р6 (к) к Р7 (к) к Р8 (к) к Р9 (к) к (к) О Р
3 0,206545 5 0,196065 5 0,182450 5 0,172531 6 0,166333
4 0,201051 6 0,177091 6 0,156008 6 0,167791 7 0,153132
5 0,153997 7 0,131073 7 0,112403 7 0,137499 8 0,121229
6 0,096658 8 0,081744 8 0,069641 8 0,096892 9 0,083813
Окончание табл. 3
Рб = 0,06 р7 = 0,07 р8 = 0,08 р9 = 0,09 Рю = 0,1
к Рб (к) к Р7 (к) к Р8 (к) к Р9 (к) к (к) О Р
7 0,051120 9 0,043839 9 0,037680 9 0,059626 10 0,051219
8 0,023249 10 0,020531 10 0,018021 10 0,032434 11 0,027938
9 0,009234 11 0,008500 11 0,007693 11 0,015747 12 0,013710
10 0,003242 12 0,003141 12 0,002954 12 0,006879 13 0,006093
11 0,001016 13 0,001044 13 0,001028 13 0,002721 14 0,002466
12 0,000286 14 0,000314 14 0,000326 14 0,000980 15 0,000913
13 0,000073 15 0,000086 15 0,000094 15 0,000323 16 0,000311
14 0,000017 16 0,000022 16 0,000025 16 0,000098 17 0,000098
15 0,000004 17 0 17 0,000006 17 0,000027 18 0,000028
16 0,000001 18 0 18 0,000001 18 0,000007 19 0,000008
17 0 19 0 19 0 19 0,000002 20 0,000002
Таблица 4
Расчет вероятности искажения заданного числа бит для длины кодового слова п = 128 бит
Рх = 0,01 Р2 = 0,02 Р3 = 0,03 р4 = 0,04 Р5 = 0,05
к Р1 (к) к Р 2 (к) к Р 3 (к) к Р 4 (к) к Р 5 (к)
1 0,357174 2 0,254994 3 0,204674 5 0,178730 6 0,162326
2 0,229096 3 0,218566 4 0,197817 6 0,152665 7 0,148901
3 0,097192 4 0,139392 5 0,151727 7 0,110864 8 0,118533
4 0,030679 5 0,070549 6 0,096198 8 0,069867 9 0,083181
5 0,007685 6 0,029515 7 0,051854 9 0,038815 10 0,052098
6 0,001591 7 0,010498 8 0,024256 10 0,019246 11 0,029414
7 0,000280 8 0,003241 9 0,010003 11 0,008602 12 0,015094
8 0,000043 9 0,000882 10 0,003681 12 0,003495 13 0,007089
9 0,000006 10 0,000214 11 0,001221 13 0,001299 14 0,003065
10 0,000001 11 0,000047 12 0,000368 14 0,000445 15 0,001226
11 0 12 0,000009 13 0,000102 15 0,000141 16 0,000456
12 0 13 0,000002 14 0,000026 16 0,000041 17 0,000158
13 0 14 0 15 0,000006 17 0,000011 18 0,000051
14 0 15 0 16 0,000001 18 0,000003 19 0,000016
15 0 16 0 17 0 19 0,000001 20 0,000004
16 0 17 0 18 0 20 0 21 0,000001
Р6 = 0,06 Р7 = 0,07 р8 = 0,08 р9 = 0,09 Рю = 0,1
к Р6 (к) к Р7 (к) к Р8 (к) к Р9 (к) к (к) О
7 0,148279 9 0,136627 10 0,129896 11 0,123234 12 0,116777
8 0,143152 10 0,122377 11 0,121168 12 0,118833 13 0,115779
9 0,121832 11 0,098811 12 0,102729 13 0,104870 14 0,105671
10 0,092540 12 0,072514 13 0,079709 14 0,085197 15 0,089233
11 0,063364 13 0,048703 14 0,056935 15 0,064038 16 0,070023
12 0,039434 14 0,030112 15 0,037627 16 0,044730 17 0,051259
13 0,022460 15 0,017225 16 0,023108 17 0,029145 18 0,035122
14 0,011776 16 0,009157 17 0,013238 18 0,017775 19 0,022593
15 0,005713 17 0,004541 18 0,007099 19 0,010178 20 0,013681
16 0,002575 18 0,002108 19 0,003574 20 0,005486 21 0,007818
17 0,001083 19 0,000918 20 0,001694 21 0,002790 22 0,004225
18 0,000426 20 0,000377 21 0,000757 22 0,001342 23 0,002163
19 0,000158 21 0,000146 22 0,000320 23 0,000612 24 0,001052
20 0,000055 22 0,000053 23 0,000128 24 0,000265 25 0,000486
21 0,000018 23 0,000019 24 0,000049 25 0,000109 26 0,000214
Окончание табл. 4
Рб = 0,06 Р7 = 0,07 Р8 = 0,08 р9 = 0,09 Рю = 0,1
к Рб (к) к Р7 (к) к Р8 (к) к Р9 (к) к (к) О оГ
22 0,000006 24 0,000006 25 0,000018 26 0,000043 27 0,000090
23 0,000002 25 0,000002 26 0,000006 27 0,000016 28 0,000036
24 0 26 0,000001 27 0,000002 28 0,000006 29 0,000014
25 0 27 0 28 0,000001 29 0,000002 30 0,000005
26 0 28 0 29 0 30 0,000001 31 0,000002
27 0 29 0 30 0 31 0 32 0,000001
Таблица 5
Расчет вероятности искажения заданного числа бит для длины кодового слова п = 256 бит
Рх = 0,01 Р2 = 0,02 р3 = 0,03 р4 = 0,04 Р5 = 0,05
к Р1 (к) к Р 2 (к) к Р 3 (к) к Р 4 (к) к Р 5 (к)
2 0,254150 5 0,176949 7 0,146328 10 0,127250 12 0,114041
3 0,217354 6 0,151069 8 0,140860 11 0,118574 13 0,112656
4 0,138865 7 0,110109 9 0,120046 12 0,100870 14 0,102915
5 0,070695 8 0,069941 10 0,091705 13 0,078885 15 0,087387
6 0,029873 9 0,039332 11 0,063429 14 0,057051 16 0,069277
7 0,010777 10 0,019827 12 0,040052 15 0,038351 17 0,051476
8 0,003388 11 0,009049 13 0,023250 16 0,024069 18 0,035973
9 0,000943 12 0,003770 14 0,012481 17 0,014158 19 0,023716
10 0,000235 13 0,001444 15 0,006228 18 0,007833 20 0,014791
11 0,000053 14 0,000512 16 0,002901 19 0,004088 21 0,008749
12 0,000011 15 0,000168 17 0,001267 20 0,002019 22 0,004919
13 0,000002 16 0,000052 18 0,000520 21 0,000945 23 0,002634
14 0 17 0,000015 19 0,000202 22 0,000421 24 0,001346
15 0 18 0,000004 20 0,000074 23 0,000178 25 0,000657
Р6 = 0,06 Р7 = 0,07 Р8 = 0,08 р9 = 0,09 Рю = 0,1
к Р6 (к) к Р7 (к) к Р8 (к) к Р9 (к) к (к) О
15 0,105097 17 0,097109 20 0,091952 23 0,086873 25 0,083057
16 0,101044 18 0,097051 21 0,089858 24 0,083412 26 0,081992
17 0,091054 19 0,091504 22 0,083465 25 0,076556 27 0,077605
18 0,077170 20 0,081616 23 0,073841 26 0,067270 28 0,070522
19 0,061701 21 0,069037 24 0,062336 27 0,056674 29 0,061606
20 0,046670 22 0,055506 25 0,050303 28 0,045842 30 0,051794
21 0,033477 23 0,042505 26 0,038863 29 0,035645 31 0,041955
22 0,022825 24 0,031060 27 0,028787 30 0,026675 32 0,032778
23 0,014823 25 0,021695 28 0,020473 31 0,019233 33 0,024721
24 0,009185 26 0,014508 29 0,013996 32 0,013375 34 0,018016
25 0,005441 27 0,009303 30 0,009209 33 0,008979 35 0,012697
26 0,003086 28 0,005727 31 0,005838 34 0,005824 36 0,008660
27 0,001678 29 0,003389 32 0,003570 35 0,003654 37 0,005722
28 0,000876 30 0,001930 33 0,002107 36 0,002218 38 0,003664
29 0,000440 31 0,001059 34 0,001202 37 0,001305 39 0,002276
30 0,000212 32 0,000560 35 0,000663 38 0,000744 40 0,001372
31 0,000099 33 0,000286 36 0,000354 39 0,000411 41 0,000803
Таблица 6
Расчет вероятности искажения заданного числа бит для длины кодового слова п = 512 бит
Р1 = 0,01 Р2 = 0,02 р3 = 0,03 р4 = 0,04 05 = 0,05
к Р1 (к) к Р 2 (к) к Р 3 (к) к Р 4 (к) к Р 5 (к)
5 0,176078 10 0,125985 15 0,103515 20 0,090089 25 0,080932
6 0,150289 11 0,117336 16 0,099446 21 0,087944 26 0,079785
7 0,109735 12 0,099975 17 0,089737 22 0,081781 27 0,075586
8 0,069970 13 0,078474 18 0,076323 23 0,072596 28 0,068908
9 0,039579 14 0,057082 19 0,061373 24 0,061631 29 0,060529
10 0,020109 15 0,038676 20 0,046789 25 0,050126 30 0,051291
11 0,009270 16 0,024518 21 0,033903 26 0,039121 31 0,041973
12 0,003909 17 0,014599 22 0,023402 27 0,029341 32 0,033206
13 0,001519 18 0,008193 23 0,015419 28 0,021176 33 0,025421
14 0,000547 19 0,004347 24 0,009717 29 0,014726 34 0,018849
15 0,000183 20 0,002187 25 0,005866 30 0,009879 35 0,013549
16 0,000058 21 0,001046 26 0,003398 31 0,006400 36 0,009448
17 0,000017 22 0,000476 27 0,001892 32 0,004008 37 0,006397
18 0,000005 23 0,000207 28 0,001013 33 0,002429 38 0,004209
19 0,000001 24 0,000086 29 0,000523 34 0,001426 39 0,002692
20 0 25 0,000034 30 0,000260 35 0,000811 40 0,001676
21 0 26 0,000013 31 0,000125 36 0,000448 41 0,001015
22 0 27 0,000005 32 0,000058 37 0,000240 42 0,000599
23 0 28 0,000002 33 0,000026 38 0,000125 43 0,000345
24 0 29 0,000001 34 0,000011 39 0,000063 44 0,000193
25 0 30 0 35 0,000005 40 0,000031 45 0,000106
26 0 31 0 36 0,000002 41 0,000015 46 0,000057
Рб = 0,06 Р7 = 0,07 Р8 = 0,08 09 = 0,09 Р10 = 0,1
к Р6 (к) к Р7 (к) к Р8 (к) к Р9 (к) к (к) 0 Р1
30 0,074186 35 0,068958 41 0,064825 46 0,061538 51 0,058749
31 0,073626 36 0,068772 42 0,063215 47 0,060344 52 0,057871
32 0,070640 37 0,066594 43 0,060083 48 0,057816 53 0,055808
33 0,065584 38 0,062655 44 0,055689 49 0,054147 54 0,052708
34 0,058977 39 0,057318 45 0,050363 50 0,049589 55 0,048768
35 0,051412 40 0,051016 46 0,044460 51 0,044428 56 0,044220
36 0,043481 41 0,044206 47 0,038332 52 0,038954 57 0,039307
37 0,035705 42 0,037313 48 0,032290 53 0,033438 58 0,034262
38 0,028488 43 0,030698 49 0,026589 54 0,028110 59 0,029293
39 0,022101 44 0,024629 50 0,021410 55 0,023151 60 0,024574
40 0,016681 45 0,019279 51 0,016865 56 0,018685 61 0,020232
41 0,012258 46 0,014732 52 0,013001 57 0,014784 62 0,016352
42 0,008774 47 0,010994 53 0,009812 58 0,011470 63 0,012978
43 0,006121 48 0,008017 54 0,007253 59 0,008729 64 0,010117
44 0,004165 49 0,005714 55 0,005252 60 0,006518 65 0,007747
45 0,002765 50 0,003983 56 0,003727 61 0,004777 66 0,005830
46 0,001792 51 0,002715 57 0,002592 62 0,003436 67 0,004312
47 0,001134 52 0,001812 58 0,001768 63 0,002428 68 0,003135
48 0,000701 53 0,001184 59 0,001183 64 0,001684 69 0,002242
49 0,000424 54 0,000757 60 0,000777 65 0,001148 70 0,001576
50 0,000250 55 0,000475 61 0,000501 66 0,000769 71 0,001090
51 0,000145 56 0,000292 62 0,000317 67 0,000506 72 0,000742
Анализ закономерностей формирования значений, приведенных в таблицах, , -ствует возможность сразу оценить вероятность возникновения ошибки в кодовом слове в зависимости от его длины и использованного декодера. При этом «пакет» .
,
влияния числа ошибок, параметров кода и вероятностного декодера на вероятность корректного восстановления кодового слова. Это указывает на полезность проведённых исследований и необходимость более тщательного анализа рассматриваемых алгоритмов и явлений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Могилевская КС., Скоробогат В.Р., Чудаков B.C. Экспериментальное исследование декодеров кодов Рида-Мадлера второго порядка // Вестник ДГТУ. - 2008. - № 3 (38), Т. 8.
2. Сидельников В.М., Першаков А.С. Декодирование кодов Рида-Маллера при большом числе ошибок // Проблемы передачи информации. - 1992. - № 3 (28). - С. 80-94.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор А.Р. Гайдук.
Нейдорф Рудольф Анатольевич
Донской государственный технический университет.
E-mail: ran_pro@mail.ru.
344000, . - - , . , 1.
Тел.: 88632738727.
Кафедра программного обеспечения вычислительной техники и автоматизированных систем; зав. кафедрой; д.т.н., профессор.
Новиков Сергей Петрович
E-mail: n_serg7@mail.ru.
Кафедра программного обеспечения вычислительной техники и автоматизированных систем; ст. преподаватель; аспирант.
Чудаков Виктор Сергеевич
E-mail: victor.chudakov@gmail.com.
Кафедра программного обеспечения вычислительной техники и автоматизированных систем; магистрант.
Nejdorf Rudolf Anatolevich
Don state technical university, Rostov-on-Don.
E-mail: ran_pro@mail.ru.
1, Gagarin Square, Rostov-on-Don, 344000, Russia.
Phone: +78632738727.
The Department of the Software of Computer Facilities and the Automated Systems; Head the Department; Dr. of Eng. Sc., Professor.
Novikov Sergei Petrovich E-mail: n_serg7@mail.ru.
The Department of the Software of Computer Facilities and the Automated Systems; Postgraduate Student.
Chudakov Vikor Sergeevich
E-mail: victor.chudakov@gmail.com.
The Department of the Software of Computer Facilities and the Automated Systems; Undergraduate.
