Повышение вычислительной эффективности поляризационно-независимых методов углового сверхразрешения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.301:621.396

Повышение вычислительной эффективности поляризационно-независимых методов углового сверхразрешения

Николай Григорьевич Пархоменко, к.т.н., генеральный директор, e-mail: [email protected] ФГУП «Государственное конструкторское бюро аппаратно-программных систем «Связь»

(ФГУП «ГКБ «Связь»), г. Ростов-на-Дону

Разработан новый подход к цифровой реализации поляризационно-независимых классических и сверхразрешающих алгоритмов синтеза пеленгационного рельефа для аксиально-симметричных многоэлементных антенных решеток, обеспечивающий существенное сокращение объема вычислений.

The author proposes a new approach to digital implementation of a polarization-independent classical and superresolution synthesis of algorithms of DF relief for the axially symmetric multi-element antenna arrays, providing a significant reduction in computation.

Ключевые слова: пеленгационный рельеф, диаграммообразование, быстрые алгоритмы, поляризация, высокое разрешение.

Keywords: DF relief, chart formation, fast algorithms, polarization, high resolution.

Введение

Современные пеленгаторы представляют собой сложные антенно-вычислительные комплексы, синтезирующие распределение энергии в пространстве или пеленгационный рельеф, по которому оцениваются пеленги источников излучения по азимуту и углу места [3, 14 - 18]. Эффективность таких комплексов определяется как вычислительной мощностью аппаратных средств, так и эффективностью математических методов и реализующих их вычислительных алгоритмов и программ. Для повышения эффективности и расширения области применения комплексов пеленгования требуется развитие методов с повышенной разрешающей способностью. Однако методы с разрешением, превосходящим рэлеевский предел, дают пеленгационный рельеф с очень узкими максимумами, локализация которых существенно увеличивает дискретность анализа, и, как следствие, вычислительную сложность используемых алгоритмов и методов. Данное обстоятельство ограничивает применение таких методов в режиме реального времени. В связи с этим повышение вычислительной эффективности алгоритмов реализации сверхразрешающих методов является чрезвычайно актуальным.

Для определения угловых координат источников электромагнитного поля системами с антенными решетками используются, как правило, методы, не учитывающие векторный характер поля, т.е. его поляризацию. Точнее говоря, антенные системы пеленгаторов проектируются в расчете на одну поляризацию электромагнитного поля, преобладание

которой обычно мотивируется условиями распространения. Однако во многих случаях это предположение соблюдается лишь частично, что приводит либо к энергетическим потерям, либо к грубым ошибкам пеленгования, обусловленным поляризационными добавками к пространственной разности фаз между элементами решетки. В связи с этим требуется применение поляризационно-независимых методов пеленгования.

Настоящая работа посвящена применению быстрых алгоритмов синтеза пеленгационного рельефа на основе не только традиционных, но и поляризационно-независимых классических и сверхразрешающих методов для аксиальносимметричных антенных решеток.

Быстрые алгоритмы классического диаграммообразования

Классический метод диаграммообразования без учета поляризации [6] базируется на вычислении комплексной диаграммы направленности (ДН) О (а, в') антенной решетки (АР) согласно выражению

N-1

О(а,р) = ^и* (а,в), (1)

п=0

или в матричной форме -

О(а,в) = f +(а,в)£ ,

где а,в - азимут и угол места соответственно; N-число антенных элементов; £ - N х 1 вектор-столбец амплитудно-фазового распределения поля на элементах решетки с компонентами ¿;п;

/п (а, в) - компоненты N х 1 вектора-столбца

Г (а, в) фазирующей функции, имеющие смысл ДН антенного элемента с учетом пространственной

разности фаз; (•)+ - знак эрмитова сопряжения.

Оценкой угловых координат будут значения а0,во, доставляющие максимум функции

О (а, в) = |Г +(а, в)\\". (2)

Эта функция двух угловых переменных, которую можно назвать пеленгационным рельефом, имеет множество экстремумов (главного максимума и максимумов боковых лепестков), из которых необходимо найти наибольший, т. е. глобальный максимум. Основным методом поиска глобального экстремума функции многих переменах остается метод прямого поиска, т. е. вычисления О (а, в) на достаточно плотном множестве узлов сетки направлений. Чем уже главный лепесток пе-ленгационного рельефа О(а,в), тем большее число узлов сетки по углам а, в необходимо взять для отыскания глобального максимума. Как следствие, объем вычислений может стать препятствием к практическому использованию методов пеленгования, в которых пеленгационный рельеф имеет очень острые максимумы.

Будем рассматривать АР, обладающие аксиальной симметрией. Сюда относятся, например, плоские круговые, цилиндрические и сферические АР с одинаковыми угловыми расстояниями между лежащими в одной плоскости соседними элементами. Очевидно, любую аксиально-симметричную АР можно рассматривать как совокупность плоских эквидистантных круговых подрешеток. Комплексная ДН (1) АР в целом будет суммой ДН этих подрешеток. Поэтому в дальнейшем без ограничения общности достаточно рассматривать алгоритмы вычисления комплексных ДН плоских круговых АР.

В общем случае АР произвольной геометрии ДН вычисляется непосредственно по формуле (1). Однако для плоской аксиально-симметричной круговой АР возможны более экономичные алгоритмы. Действительно, если угловой шаг такой АР Да = 2ж^, то имеют место соотношения

/п(а, в) = /о(а- пДа^ в), (3)

fN (а,в) = /о (а,в)

которые позволяют существенно сократить число операций, требуемых для вычисления ДН [14, 16]. Например, выражение (1) можно записать теперь в виде

N-1

° (а, в) = ХУп/о* (а- пДа, в). (4)

п=0

Если рассматривать значения О (а, в) для углов а + тДа, т е [0,N - 1], то из (4) получим:

Бт (а, в)= О (а + тДа,в) =

N-1

= Х^п/о* [а + Ы - п)Да,в]. (5)

п=0

Выражение (5) представляет собой круговую

свертку последовательностей %п и /* (а, в), что

дает возможность использовать для ее вычисления быстрые алгоритмы дискретных сверток [4, 5, 11].

Для антенных решеток с небольшим числом элементов могут применяться как быстрые алгоритмы вычисления сверток, так и алгоритмы вычисления сверток на основе быстрого преобразования Фурье (БПФ) с минимально возможным числом операций.

Для применения алгоритмов БПФ следует заметить, что если Ок (а,в), к е [о, N -1] - дискретное преобразование Фурье (ДПФ) последовательности От (а,в), то

О (а,в) = 4/;, (6)

где ¿;к и /к - ДПФ последовательностей %п и /п (а,в) соответственно.

Тогда N значений ДН О (а + тДа, в) вычисляются применением к правой части выражения (6) обратного БПФ.

Таким образом, для применения быстрых алгоритмов вычисления комплексной ДН при фиксированном значении угла в на сетке из Ь значений по углу а требуется, чтобы число Ь было кратно N, т.е. Ь = QN, где Q - целое число. Если I е [о,Ь -1], то в узлах сетки азимутальный угол принимает значения а! = д5а + тДа, где д е [о, Q -1], 5а = Да/Q. Тогда, вычисляя Q последовательностей От (д5а,в~), получим значения комплексной ДН во всех узлах сетки по углу а при любом значении угла в.

Для оценки вычислительной сложности каждого из методов считаем, что фазирующие функции /о (а/,в}), ] е[о, 3 -1], где 3 - число узлов

сетки по углу места, вычислены заранее и хранятся в памяти ЭВМ. Для прямого вычисления ДН в узле сетки аг, втребует, согласно (1), N комплексных умножений и N - 1 комплексных сложе-

ний, что в сумме составляет 8іУ - 2 операций с плавающей точкой. При небольшом числе элементов АР для вычисления ДН по формуле (5) алгоритмами быстрых сверток требуется значительно меньшее число операций. Для больших значений N от использования быстрых сверток следует обратиться к использованию алгоритмов БПФ.

Для применения алгоритмов БПФ необходимо предварительное вычисление и сохранение в памяти ЭВМ Q ДПФ последовательностей /* (дЗа) = /0 (д5а + тАа, в) . Вычисляя ДПФ измеренного АФР и применяя обратное БПФ к Q последовательностям (4^0) , получим все Ь

значений комплексной ДН при заданном значении угла в. Для сокращения объема вычислений при малых N используются алгоритмы БПФ Винограда [4, 5]. При больших значениях N алгоритмы БПФ строятся как различные комбинации методов Винограда, Кули-Тьюки и Гуда-Томаса в зависимости от того, на какие сомножители раскладывается число N. Следовательно, для каждого числа N необходима разработка особого алгоритм БПФ, оптимизированного по числу операций. И только для больших простых значений N эффективные алгоритмы вычисления сверток и ДПФ отсутствуют, и тогда приходится довольствоваться прямым вычислением ДН.

Вычислительная сложность быстрых методов сложным образом зависит от N, так что дать простое выражение числа операций в зависимости от N не представляется возможным. Поэтому оценки числа операций для прямого метода, метода быстрых сверток и метода преобразования Фурье для небольших N сведены в таблицу. Для приведенных ниже в таблице значений N число операций подсчитывалось для малых БПФ Винограда. Число операций, необходимых для вычисления ДПФ £ , пренебрежимо мало и при подсчете общего числа операций не учитывается. В число операций алгоритма БПФ включены умножения, необходимые для вычисления произведений по формуле (4).

Таблица. Вычислительная эффективность алгоритмов диаграммообразования

Алгоритм Число операций на одну точку

N=7 N=8 N=9 N=11 N=12 N=16

Прямой 54 62 70 86 94 126

Быстрых сверток 24,6 15 20,7 - - 23,8

БПФ 18,6 13 18 24,9 15,3 16,5

Из таблицы видно, что алгоритмы быстрых сверток и БПФ выигрывают у прямого метода

примерно от 2 до 5 раз и от 3 до 7 раз соответственно в зависимости от числа элементов решетки. Метод БПФ в среднем в 1,3 раза эффективнее метода коротких сверток. Следовательно, в большинстве случаев предпочтительно использование метода БПФ. Метод быстрых сверток имеет преимущество перед методом БПФ, если по тем или иным причинам требуется расчет фазирующей функции или ее ДПФ при каждом вычислении ДН.

Рассмотренные алгоритмы быстрых сверток и БПФ для классического диаграммообразования служат основой для более сложных методов пеленгования. Ниже рассматриваются методы пеленгования с учетом поляризации, методы Бартлетта и основанные на нем методы высокого разрешения. Применение быстрых алгоритмов вычисления комплексной ДН для синтеза пеленгационного рельефа оказывается возможным потому, что эта задача сводится к вычислению нескольких комплексных ДН.

Быстрые алгоритмы диаграммообразования с учетом поляризации

В общем случае комплексные ДН антенных элементов, образующих решетку, зависят не только от направления прихода, но и от поляризации падающей волны. Если от поляризации зависят только общие амплитуда и фаза АФР, то задача пеленгования решается классическим методом диаграммообразова-ния. Это имеет место, например, для однородных решеток, ДН элементов которых совмещаются при совмещении их фазовых центров. В противном случае поляризация падающей волны вносит дополнительную разность фаз между элементами, учет которой необходим для исключения систематических ошибок пеленгования.

В работе [8] показано, что при известном амплитудно-фазовом распределении оценки углов прихода получаются как значения а0, в0, при которых достигается максимум пеленгационного рельефа вида

О (а,в) =

= Я(а,в)((а,в)Ъ(а,в)) й(а,в)+ \, (7)

где Я (а, в) = ( Я* (а, в), (а,в)) - N х 2 поля-

ризационная фазирующая матрица АФР, столбцы которой Я* (а,в) и а - это по сути АФР, создаваемые плоской монохроматической волной двух заданных независимых поляризаций * и у .

Строки матрицы Я (а, в) - это компоненты векторных ДН элементов решетки. Столбцы (а,в) и (а , в) должны быть линейно неза-

висимы, например, соответствовать линейным ортогональным или циркулярным поляризациям. Конкретный вид зависимости векторов Як (а,в) и

(а ,в) от углов а ив определяется длиной

волны, типом и ориентацией антенных элементов, местом расположения и геометрией антенной решетки. Для простейших типов антенн в свободном пространстве эти векторы могут быть найдены аналитически. Для антенных элементов более сложных типов или в сложных условиях размещения антенной решетки они определяются либо экспериментально, либо численным решением соответствующей граничной задачи электродинамики [10].

Рассмотрим другой подход к диаграммообразо-ванию с учетом поляризации. Спектральное разложение NхN матрицы Р(а,в) = К+ (а,в)Я(а,в) ранга 2 имеет следующий вид:

Р (а в) = Миу и (а в) у+ (а в) +

+МУу (а,в)у+(а,в), (8)

где ,мУ - ее положительные собственные значения; Vи (а, в) и уу (а, в) - соответствующие им ортонормированные собственные векторы.

Тогда с использованием спектрального разложения (8) перепишем выражение (7) в простом и компактном виде:

о(a,в) = |у+I(a,в)|| + |у+(а. (9)

Таким образом, пеленгационный рельеф в (а,в) есть сумма двух слагаемых, каждое из которых выражается через комплексные ДН

Ци (а, Й = у+ (а в), Ц (а, в) = у+ (а в) \,

фазирующими функциями которых служат векторы уи (а,в) и уу (а,в). Рассмотрим возможность

вычисления пеленгационного рельефа (9) быстрыми алгоритмами вычисления комплексных ДН.

Покажем, что если каждый из векторов и удовлетворяет соотношению (3), то и векторы у и, уу удовлетворяют такому же соотношению. Действительно, собственные векторы Vи , уу матрицы Р (а, в) с ненулевыми собственными значениями есть линейные комбинации векторов Ян и Яу . Если столбцы 2 х 2 матрицы и - собственные векторы матрицы Я + Я, то матрица V = ( у и, уу) выражается через и и Я соотношением вида V = ЯиЛ-1, где Л = diag {¡ии , М}.

В силу соотношения (3) для векторов Яи (а,в) и (а , в) элементы матрицы

Я+(а, в) К (а, в) , а с ними и матрицы и (а, в) являются периодическими функциями а с периодом Да. Отсюда немедленно следует, что соотношению (3) удовлетворяют также и векторы

уи (а,в) , уу (а,в) .

Таким образом, для вычисления пеленгаци-онного рельефа в(а,в) необходимо вычислить две комплексные диаграммы направленности: Ои (а,в) и Ц (а,в) . Тогда алгоритм вычисления

пеленгационного рельефа заключается в следующем. Предварительно по фазирующим матрицам Я (дс>а, в у) , заданным на сетке направлений д5а,

вj, вычисляются и запоминаются соответствующие им фазирующие векторы уи (д5а,ву),

уу (дс>а, ву ). При каждом измеренном значении вектора АФР \ с использованием метода быстрых сверток вычисляются Ои а,ву) и Ц а ,ву), а

далее - пеленгационный рельеф по формуле (9). Для применения алгоритма БПФ дополнительно следует вычислить и запомнить ДПФ фазирующих векторов уи (д8а, в у ) , Уу ( Ц$а, в у ). Дальнейшие

операции не отличаются от рассмотренных выше. Для оценки вычислительной сложности каждого из быстрых методов число операций каждого метода следует удвоить.

Быстрые алгоритмы для методов высокого разрешения с учетом поляризации

Большинство известных методов высокого разрешения источников излучения [7, 12, 13] восходит к классическому методу Бартлетта [7], в котором пе-ленгационный рельеф рассчитывается по формуле

в(а,в) = f + (а,в)Фf (а,в) , (10)

где Ф - корреляционная матрица сигналов на элементах решетки.

На практике приходится довольствоваться оценкой матрицы Ф по N х К матрице 8 выборки сигналов объема К. Простейшая оценка матрицы Ф может быть получена по формуле

Ф = 88+ .

Чтобы распространить быстрые алгоритмы на метод Бартлетта [9], запишем спектральное разложение матрицы Ф :

N-1

Ф

:£к У n

(11)

n=0

где Хп и уп - соответственно собственные значения и собственные векторы матрицы Ф.

Тогда, подставляя последнее выражение в формулу (10), находим:

N-1

G (а, в) = £к1f + (а, Р)у n

(12)

n=0

G (а, в) = [ f + (а, e)Tf (а, 0)\\

где Т - матрица, которая в зависимости от используемого метода выражается либо непосредственно через корреляционную матрицу Ф, либо через ее собственные векторы.

Так, в исторически первом методе Кейпона

Т = Ф-1,

так что для пеленгационного рельефа имеем:

О(а,в) = [ Г +(а,вФ-1 Г (а,в)Г =

( N-1

£к\ f + (а,в)Уn

n=0

В дальнейшем развитие метода Кейпона привело к появлению методов теплового шума, MUSIC и EV, причем два последних эксплуатируют идею разделения собственных векторов матрицы Ф на сигнальные и шумовые. В методе теплового шума

-2

( N-1

G = [ f +(ав)ф-^ (ав) = £

Сравним объем операций, необходимых для вычисления пеленгационного рельефа по формулам (10) и (12). С учетом симметрии правой части (10) и вещественности О (а, в) вычисление по

формуле (10) требует примерно 19N2/2 операций

на одно угловое положение. С другой стороны, вычислительная сложность выражения (12) оценивается величиной 8N2 операций. Сюда, однако, не входят операции, необходимые для получения спектрального разложения (11). Тем не менее в типичном случае Ы >> N, т. е. когда число пространственных направлений существенно превосходит число элементов решетки, этими операциями можно пренебречь, особенно в связи с наличием быстрых алгоритмов коррекции спектрального разложения матрицы Ф по мере накопления отсчетов сигналов [1]. Кроме того, соотношение (12) сводит задачу синтеза пеленгационного рельефа к расчету N комплексных ДН Г +(а,в)уп, что дает

возможность использовать для этого рассмотренные выше быстрые алгоритмы. Дополнительное сокращение числа операций составляет при этом от трех до восьми и более раз.

В методах высокого разрешения пеленгаци-онный рельеф без учета поляризации определяется формулой

V n=0

в методе EV

T-1

( T-1

(13)

т=J(a )-1 Уп y+,G = Ja-1 f+y,l

t=0 V t=0

где суммирование распространяется на T собственных векторов, образующих шумовое подпространство размерности T.

Метод MUSIC отличается от метода EV заменой в формуле (13) шумовых собственных значений А единицами. Простейший метод разделения собственных векторов матрицы Ф на сигнальные и шумовые заключается в анализе ее собственных значений. Собственные векторы, отвечающие наименьшим значениям Ап, относят к шумовому подпространству. Существуют и более сложные информационные критерии разделения собственных векторов на сигнальные и шумовые [12].

Таким образом, синтез пеленгационного рельефа в методах высокого разрешения сводится к вычислению либо N, либо T<N комплексных ДН, в которых в качестве АФР выступают собственные векторы матрицы Ф. Для вычисления этих комплексных ДН используются рассмотренные выше быстрые алгоритмы классического диаграммообра-зования с тем же выигрышем в объеме вычислений.

Рассмотрим теперь метод Бартлетта и методы высокого разрешения, в которых учитывается поляризация поля. В методе Бартлетта пеленгацион-ный рельеф для каждого узла сетки по углам а и в находится как решение следующей задачи на собственные значения:

(R+ R)-1 R ФRp = wp , (14)

причем пеленгационным рельефом служит наибольшее из собственных значений w . Для применения быстрых алгоритмов в методе Бартлетта требуется явное решение задачи (14), которое через введенные выше фазирующие векторы vh, vv записывается в виде

В отличие от формулы (9) здесь требуется вычисление трех функций угловых переменных -

v+ фу h, v +^v и v+Фvv, а с учетом спектрального разложения матрицы Ф (11) - 2N комплексных ДН v + y n и v + yn , для каждой из которых могут быть использованы соответствующие быстрые алгоритмы.

Метод Бартлетта служит отправной точкой для перехода к методам высокого разрешения [7, 9, 12, 13]. Этот переход получается заменой в выражениях (10) и (14) корреляционной матрицы Ф матрицей (, соответствующей избранному методу высокого разрешения, решением задачи на собственные значения (14), выбором из них наименьшего wmin и вычислением пеленгационного рельефа G = wmin [2]. В явном виде выражение для пе-ленгационного рельефа выглядит теперь следующим образом:

G = 2 {v + Tvh + v+ Tvv -

-[(v+(vh - v + Tvv)2 + 4|v+Tvv|2]1/2} .

Структура этого выражения полностью аналогична структуре выражения (15). Отсюда следует, что при учете поляризации алгоритмы вычисления пеленгационного рельефа для метода Бартлетта и методов высокого разрешения попросту совпадают. При этом методы MUSIC и EV оказываются даже менее трудоемкими по сравнению с остальными методами, поскольку согласно формуле (13) в них используется значительно меньшее число T<N собственных векторов матрицы Ф.

Таким образом, в настоящей статье предложен новый подход, отличающийся приведением вычислительной схемы синтеза пеленгационного рельефа в поляризацонно-независимых классических и сверхразрешающих методах к многократному вычислению по схеме классического диаграммообразования, для которой рассмотрены эффективно реализуемые быстрые алгоритмы вычисления комплексной ДН. Развитый подход обеспечивает многократное повышение вычислительной эффективности синтеза пеленгационного рельефа в интенсивно развиваемых сложных антенно-вычислительных комплексах

различного назначения, построенных на основе круговых многоэлементных антенных решеток.

ЛИТЕРАТУРА

1. Digital beamforming radar system and method with superresolution multiple jammer location: пат. США № 6567034

B1, кл. G01S 7/36, 2003 г.

2. Ferrara, E. R., JR., Parks, T. M, Direction finding with an array of antennas having diverse polarizations // IEEE Transactions on antennas and propagation. 1983. Vol. AP-31, № 2. Р. 231-236.

3. Shevchenko, V. N, Ivanov, N. M, Vertogradov, G. G, The

method of direction to radio emission sources estimation for con-formal antenna arrays // The 2-nd European workshop of confor-mal antennas (Hague, Netherlands, TNO Physics and Electronics Laboratory, 24-25 April 2001). Hague. 2001. Vol. 2. P. 69.

4. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.: Мир. 1989.

5. Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Т. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь. 1990.

6. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. М.: Мир. 1988.

7. Джонсон Д. Х. Применение методов спектрального оценивания к задачам определения угловых координат источников излучения // Тр. института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. 1982. Т. 70. № 9. С. 126-139.

8. Иванов Н.М., Онищенко В.С., Шевченко В.Н. Пространственная локализация источников поляризованного электромагнитного поля // Радиотехника и электроника. 2010. Т. 55. С. 49-56.

9. Иванов Н. М., Шевченко В. Н. Повышение вычислительной эффективности методов высокого разрешения в задачах двумерного апертурного синтеза // Электромагнитные волны и электронные системы. 2009. № 7. С. 18-22.

10. Лерер А. М. Метод коллокации для решения интегральных уравнений трехмерной дифракции во временной области // Радиотехника и электроника. 2006. Т. 51. № 7. С. 843 - 846.

11. Макклеллан Д. Х., Рейдер Ч. М. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов. М.: Радио и связь. 1983.

12. Марлл С.Л. (мл.). Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир. 1990.

13. Ратынский М. В. Адаптация и сверхразрешение в антенных решетках. М.: Радио и связь. 2004.

14. Способ определения двумерного пеленга и частоты источников радиоизлучения: пат. 2150122, Рос. Федерация, № 99106949; заявлено 06.04.1999; опубл. 27.05.2000, Бюл. № 15.

15. Шевченко В. Н., Иванов Н. М., Звездина Ю. А. Метод неквадратичной регуляризации пространственных спектров с фильтрацией ложных составляющих // Автометрия. 2007. Т. 43. № 1. С. 3 - 9.

16. Шевченко В. Н. Двумерная цифровая обработка сигналов в антенных решетках методом коротких сверток // Антенны. 2002. Т. 67. № 12. С. 18 - 22.

17. Шевченко В. Н. Оценивание направления на источник радиоизлучения на основе апертурного синтеза диаграммы направленности конформной антенной решетки // Антенны. 2003. Т. 70-71. № 3 - 4. С. 41 - 44.

18. Марчук В. И., Воронин В. В., Шерстобитов А. И. Методы восстановления значений двумерных сигналов на основе синтеза текстур и структур изображений // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2010. Т. 6. № 2. С. 25 - 33.

Поступила 01.09. 2010 г.