Повышение точности выполнения технологических операций в судоремонте промышленным роботом Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Полученная формула для средних горизонтальных перемещений после незначительных преобразований, представленных в [3], приводится к виду

А 1п

В +

Гв

2+а2

+ 51п

В

+ ц

ЗАВ

В 1п

А+^А2 + В2 в

ЗАВ

Формула среднего перемещения под площадкой, нагруженной равномерно распределенной касательной нагрузкой, которая направлена параллельно оси X, совпадает с решением, полученным Ф. Фогтом [1]. Совпадение средних горизонтальных перемещений позволяет сделать вывод о правильности формулы для определения

перемещений в произвольной точке под прямоугольной площадкой нагружения.

В статье показано, как в расчетных формулах перемещений и напряжений под прямоугольной площадкой, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, можно перейти от подвижных декартовых систем координат к неподвижным координатам. Расчеты, произведенные по формулам, представленным в работе [2], говорят о том, что ограниченный объем моделируемого основания под сооружениями, принимаемый ориентировочно, может привести к существенным ошибкам. Лучше воспользоваться конечными формулами вертикальных и горизонтальных напряжений [2], определить глубину, где напряжения будут близкими к нулю, и назначить по ним объем моделируемого основания. За пределами фундамента сооружений напряжения лучше определять также по указанным формулам по причине того, что численные методы не соответствуют строгому решению объемной задачи теории упругости.

Для правильного проведения фундаментных работ нужно знать, какие напряжения в месте строительства нового объекта возникли от ранее построенных сооружений. Разрушение старых сооружений вызывает ослабление напряжений под оставшимися домами, приводя к неравномерным осадкам под ними, что в свою очередь приводит к многочисленным трещинам в них.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фогг, Ф. О расчете деформации фундаментов |Текст| / Ф. Фогт; ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. / ОППНТИ НТВ, Перевод № 911,- 1973.

2. Наумов, И.В. Определение напряженно-деформированного состояния упругого полупространства от произвольной нагрузки [Текст]: дисс.

... канд. техн. наук / Иван Васильевич Наумов,— 2009,- 122 с.

3. Наумов, И.В. Средняя осадка упругого полупространства под прямоугольной областью нагружения |Текст] / И.В. Наумов // Научно-тех. ведомости СПбГПУ,- 2009. № 4 (89). Т. 2,- С.163-172.

УДК 681.5

С.О. Барышников, СЛ. Куликов

ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ ВЫПОЛНЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ В СУДОРЕМОНТЕ ПРОМЫШЛЕННЫМ РОБОТОМ

Промышленные роботы и манипуляторы на- ях. Они используются для выполнения сложных ходят широкое применение на отечественных су- технологических операций, обеспечения высо-достроительных и судоремонтных предприяти- кокачественной тепловой резки металлов, про-

изводства сварочных работ, осуществления сборочных и тяжелых рутинных операций при ремонте и сборке судовых механизмов и машин, реализации технологических процессов в агрессивных средах и др.

Компьютерное управление промышленными роботами и манипуляторами связано с реализацией траекторных процессов и изменением пространственно-временных координат, в которых осуществляется перемещение их рабочих органов, в том числе при выполнении операций по смене технологической оснастки и устройств захвата [1]. Операторы, осуществляющие управление ро-бототехническим комплексом, для достижения высокой точности выполнения технологических операций должны производить калибровку для обеспечения соответствия координат точки (х, у) робота на рабочей плоскости координатам (р, д) компьютерной системы [2]. При выборе очередной рабочей области в базисе (х, у) требуется "перенастраивать" координаты и приводить их в соответствие с координатами в базисе (р, Назначение новых координат необходимо производить в случаях, когда требуется прецизионное управление приводами звеньев робота, а также при появлении ошибок вследствие изменения нагрузок и увеличения зазоров в сопрягающихся деталях исполнительных механизмов.

Для задания осей координат в базисе рабочего пространства робота выберем три точки (х0, у0), (Х|, V,) и (х2, у2) таким образом, чтобы каждая пара точек (х0, у0), (х,, у{) и (х0, у0), (х2, у2) образовывала прямоугольную систему координат, в которой должны располагаться все точки траектории движения робота. Поскольку каждой точке (х, V) траектории движения робота должна соответствовать точка (р, ф компьютерного управляющего комплекса, обеспечивающего управление приводами звеньев и вывод траек-торного процесса на дисплей, то задаваемые координатные оси должны быть представлены своим (р, (^-эквивалентом. В компьютерном базисе можно задать оси прямоугольных координат с высокой точностью так, что точкам в базисе робота будут соответствовать [2]:

(х0,у0) • (0,0) — начало координат; (х1, у1) • (/150) — расстояние от начала координат по оси х;

(х2, у2) • (0,12) — расстояние от начала координат по оси у

Для однородных координат в различных базисах по трем приведенным выше парам точек может быть установлена матрица преобразования К, обеспечивающая линейную связь для множеств (х, V) и (/?, д) с помощью соотношения

X р

У = к ч

1 1

где

~Ки К П К13

к= КЦ К 22 к 23

Къх к32 Кзз

(1)

Элементы матрицы К определяются в результате решения уравнений

V ~кп К\2 К\з 0"

•И) = К2\ к22 Къ 0

1 К>\ К32 Кзг_ 1

(2)

X," ~Ки К\2 К\з X

.VI = К21 К 22 к2г 0

1 Кз\ К32 Кзг_ 1

(3)

х2" ~кп К\2 К\з "0

У 2 = К 21 К 22 К23 к

1 Кзх К32 Кзг_ 1

(4)

Нетрудно видеть, что условия (2), (3) и (4) выполняются однозначно, если

Кп = х0, К2Ъ = Къъ = 1; К2[=(у[-К[2)/1[=(х[-х{))/1[;

*з.= 0 ~Кг з)/' 1=0; Кп=(х2-Кп)/12=(х2-х{))/12;

К22 = {У2 ~К2 г)/12 = {У2-Уо )/12> ^32= (1 -Кг г)/12=0.

Матрица преобразования К имеет вид

К =

(Х1 -хо)/1\ (х2 -хохо (-Уо)/ (( ~Уо) Уо 0 0 1

(5)

р X

я = к-1 У

1 1

Заметим, что (5) является матрицей полного ранга, поэтому возможно вычисление {р, д) по измеренным (х, у) и наоборот. Согласно (1) получим

(6)

Однако в "жесткой" системе уравнений при наличии погрешностей в процессе измерений (х,-, .^полностью сохраняется эта погрешность в матрице К. Она без коррекции будет линейно преобразовываться согласно (6). Вместе с тем при наличии дополнительных измерений в точках (х, V) и определении эквивалентных координат в базисе {р, ф можно получить переопределенную систему уравнений для оценки элементов матрицы К и таким образом минимизировать вектор ошибки.

Рассмотрим процедуру оценки. Предположим, что элементы матрицы К необходимо получить по т парам измерений координат в базисах управляющего компьютера (/?, д) и робота (х, у). Введем матрицы размерности Зхт:

PQ =

1

'(2) *(2)

1

XY = .f

х(1) х(2)

<?(0 УО

1

1

()

q(m) 1

()

у(т) 1

(7)

Тогда оценка элементов К, обеспечивающая минимизацию среднеквадратической ошибки измерений, может быть произведена с помощью соотношения

К' = (PQ PQ')"' PQ' XY'

(8)

По оценке матрицы преобразования координат (8) нетрудно получить "модельные" координаты точек в базисе (х, у):

XYm=KPQ,

(9)

х

рицу остатков в терминах МНК

R = XY XY„

(Ю)

Заметим, что элементы третьей строки матрицы У? равны нулю. Квадратические меры ошиб-

ки обладают важным свойством облегчать последующий математический анализ и имеют практическое преимущество, поскольку приписывают большим ошибкам больший вес, чем малым. Однако в целом ряде случаев требуются другие формы амплитудного взвешивания [3].

Обобщенная задача аппроксимации по критерию минимума среднего абсолютного значения остатков может быть сформулирована следующим образом. По заданным измерениям (XY);., / = 1,...,т, требуется оценить элементы матрицы Кй& размерности 3x3, при которых обеспечивается минимум значения res22, определяемого согласно выражению

res22 = sum(sum(abs(Z - PQ 1))). (11)

Входящие в формулу (11) матрицы Z и PQ1 формируются следующим образом. Сначала определяются суммы абсолютных значений столбцов матрицы R по уравнению

resl =sum(abs(XY —K-PQ)). (12)

Затем с помощью функции sort среды

x

го вектора resl в порядке возрастания абсолютных значений разностей. В результате согласно синтаксису функция

[A/I =sort(resl) (13)

возвращает вектор D упорядоченных элементов и массив индексов /, позволяющих восстановить структуру исходного вектора. Для формирования матриц Z и PQ 1 используются соответственно исходные значения XY и PQ, сортировка которых выполняется в соответствующем базисе согласно полученному вектору I.

Заметим, что среднеквадратическая оценка по (8) отвечает определению среднего квадрата множества измерений, в то время как оценка по критерию (11) соответствует нахождению среднего амплитудного значения множества измерений. Использование среднего амплитудного значения в процедуре оценки состоит в определении x

x

(т — число измерений). При этом предполагается, что каждое измерение может подвергаться воздействию шума Гаусса. Использование весовых факторов изменяет дисперсию шума измерений, такчто в целом система измерений может рассматриваться как имеющая шумовую со-

ставляющую, представляемую распределением Гаусса со смешанной дисперсией. Для распределений Гаусса со смешанными дисперсиями, а также для негауссовских распределений средняя амплитудная оценка дает хорошие практические результаты. Это утверждение основывается на целом ряде работ, где проблема минимизации линейного критерия качества решалась с помощью симплекс-метода, являющегося основным методом поиска оптимума в линейном программировании [1, 3]. Предлагаемый алгоритм не содержит итеративных процедур и основывается на обнулении числа остатков, равных рангу матрицы ХУ и имеющих минимальные значения. При этом оптимальная гиперплоскость проходит через 3x3 точек измеряемого множества.

Для реализации алгоритма сначала выполним "вырезки" из матриц Z и Р(31:

Ъ\ =Z(l.r,l.r), Р<22 =Р<21(1.г,1.г), где г — 3.

Затем произведем оценку матрицы преобразования координат по критерию минимума суммы абсолютной ошибки:

К„

(14)

Модельные значения матрицы измерений в базисе (х, V):

Х¥(и1=кй&-рд1, (15)

а матрица абсолютных ошибок имеет вид

Кто^=аЬ8(2-Х¥(и1). (16)

Приведем пример. Оценим элементы КаЬз для следующих измерений.

Координаты точек в базисе (/?, д), согласно уравнению (7):

1,0040 7,7680 7,7680 7,7680 6,3205 6,4478 7,1250 РО= 5,0989 8,4231 10,7594 5,6625 3,0702 15,0030 14,9540

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

Координаты точек в базисе (х, у):

XY =

185,4 464,3

14,3 377,7

14,8 318,2

50,4 448,5

46,6 514,5

213.1

212.2

32,1 211,5

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

К' = 102х

-0,254060345168360 0,002257749258516 2,097297688469922"

-0,002755168762797 -0,254820620742431 5,945102097274188 0,0 0,0 0,0

Модельные координаты точек в базисе (х, у) согласно (9) имеют значения

185.3733 14.2774 14.8049 50.4294 4Ь.Ь099 213.1171 32.0880 464.3031 377.7320 318.1983 448.5766 514.4987 212.2028 211.4884 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Матрица остатков И и вектор гев1 вычисляются по уравнениям (10) и (12)

R =

0,0267 0,0226 -0,0049 -0,0294 -0,0099 -0,0171 0,0120 -0,0031 -0,0320 0,ООП 0,0234 0,0013 -0,0028 0,0116 1.0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

resl

[0,0298 0,0546 0,0066 0,0527 0,0112 0,0199 0,0236].

Сумма абсолютных значений вектора resl, определенных по МНК, равна

resl 1 = 0,1985.

В результате сортировки, реализованной согласно (13), получены векторы

D = [0,0066 0,0112 0,0199 0,0236 0,0298 0,0527 0,0546];

I =[3 567 1 42].

Матрицы Z и PQ1 получены с помощью функций среды MatLAB:

14,8000 46,6000 213,1000 32,1000 185,4000 50,4000 14,3000 318,2000 514,5000 212,2000 211,5000 464,3000 448,5000 377,7000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

PQ1 =

7.7680 6.4478 0.0 7.1250 1.0040 6.3205 7.7680' 10.7594 3.0702 15.0030 14.9540 5.0989 5.6625 8.4231 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Нетрудно видеть, что "вырезки" Zl и Р(}2 для ХУ ранга г— 3 представляются следующими квадратными матрицами:

Zl =

" 14,8000 46,6000 213,1000" 318,2000 514,5000 212,2000 1,0000 1,0000 1,0000

PQ2 =

Используя формулу (8), выполним оценку элементов матрицы преобразования координат в терминах МНК. В результате (в полном формате) будем иметь

7,7640 6,4478 0,0 10,7594 3,0702 15,0030 1,00 1,00 1,00

Оценку элементов матрицы К,Ь5, произведенную по формуле (14), можно записать так:

Kabs 2

-25,4043 0,2261 209,7074" -0,2750 -25,4821 594,5080 0,0000 0,0000 0,0000

Результаты моделирования матрицы измерений по уравнению (15):

14,8000 318,2000 1,0000

4b.b000 213.1000 514.5000 212.2000 1.0000 1.0000

32,0835 185,3545 50,4201 14,2717 211,4896 464,3013 448,4777 377,7338 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

Матрица абсолютных значений ошибок равна

0,0000 0,0000 0,0000 0,0165 0,0455 0,0201 0,0283 ^modei ^ 0,0000 0,0 0,0000 0,0104 0,0013 0,0223 0,0338 0,0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0 0,0000 0,0000

сумма ее столбцов

res2 =[0,0000 0,0000 0,0000 0,0270 0,0467 0,0424 0,0621].

Наконец, сумма элементов res2, представляющая собой минимум критерия (11), численно равна

res22 = 0,1783. Полученное значение меньше оценки res 11 = = 0,1985, что свидетельствует об эффективности представленного алгоритма в сравнении с М НК.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Королев, В.И. Оценка параметров, моделирование динамических систем и электрических цепей в среде MatLAB: учеб. пособие [Текст] / В.И. Королев, В.В. Сахаров, О.В. Шергина,— СПб.: Изд-во СПГУВК, 2006,- 272 с.

2. Schroer, B.J. Calibration of robot used in high precision operations [Текст] / B.J. Schroer, A. Rezapour

// Robotics and Autonomous Systems.— 1988. Vol. 4, № 2,- P. 131-143.

3. Soliman, S.A. A new technique for curve fitting based on minimum absolute deviations [TeKCT] / S.A. Soliman, G.S. Christensen, A. Rouhi // Computational Statistics & Data Analysis. 1988,— Vol 6, № 4,- P.341—351.

УДК 539.4.011.1:611.018.4

A.C. Аврунин, Б.Е. Мельников, Л.К. Паршин, P.M. Тихилов, И.И. Шубняков

О ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЕ ЖЕСТКОСТИ И ПРОЧНОСТИ

КОСТНОЙ ТКАНИ

Костная ткань — биологический композит, являющийся главным компонентом элементов скелета млекопитающих, птиц, пресмыкающихся, земноводных, рыб. Кости — весьма жесткие и прочные несущие элементы организма, роль которых аналогична конструкционным элементам машин и сооружений. Одновременно с этим кости, будучи элементом живого организма, имеют высокий уровень обменных процессов, обеспечивающих перестройку их локальной архитектуры соответственно изменению вектора преобладающих нагрузок [1].

Один из основных элементов костной ткани — гидроксиапатит (вариант фосфата кальция) [2,3]. Аналогичная минеральная структура встречается в земной коре. Это типично хрупкий материал, который, как правило, обладает пре-

делом прочности на сжатие, в несколько раз превосходящим предел прочности на растяжение [4—8]. К хрупким материалам можно отнести и костную ткань, ибо она разрушается при невысоких значениях относительной деформации в 0,5-4,5 % [8]. Однако для дальнейшего обсуждения необходимо подчеркнуть, что пределы прочности костных элементов на растяжение (55-146 МПа) и сжатие (106-215 МПа) в среднем имеют один порядок [8], а именно 133 и 205 МПа соответственно [9]. Таким образом, костная ткань существенно отличается от гид-роксиапатита по механическим характеристикам прочности.

Другое существенное отличие выявляется при сравнении модулей упругости. У природного гидроксиапатита его значение (40—90, в сред-