CC BY
85
А
нализ и синтез систем управления
УДК 681.51
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ СИСТЕМ С ПИД-РЕГУЛЯТОРАМИ ПРИ ВНЕШНЕМ ВОЗМУЩЕНИИ
А.Г. Александров, Д.А. Хомутов
Получены зависимости ошибок регулирования в системах с ПИ- и ПИД-регуляторами от уровня внешних возмущений. Предложено использовать ПИД-регулятор с производными ошибки регулирования более первой, если ошибки превышают допустимые. Необходимые для определения коэффициентов такого ПИД-регулятора дополнительные сведения об объекте предложено получать путем частотной идентификации объекта.
Ключевые слова: ПИД-регулятор, ограниченное возмущение, частотная идентификация.
ВВЕДЕНИЕ
По различным оценкам [1] ПИД-регуляторы [2—4] составляет 90—95 % всех регуляторов, используемых в промышленности. Однако в сложной продукции, такой как самолеты, корабли, электроприводы и др., ПИД -регуляторы используются редко, и соотношение более сложных регуляторов и ПИД-регуляторов обратное. Это связано с тем, что эта продукция работает в условиях интенсивных внешних возмущений (например, порывы ветра для самолетов, волнение моря для кораблей). Для обеспечения малых ошибок регулирования в этих условиях необходимо увеличение коэффициента усиления регулятора, что приводит к необходимости увеличения числа производных ошибки в регуляторе, которые служат для обеспечения устойчивости системы.
Причины столь широкого распространения ПИД-регуляторов в промышленности разные. Объективные причины состоят в том, что в промышленности низок уровень внешних возмущений либо большие ошибки регулирования, возникающие при интенсивных внешних возмущениях, удовлетворяют требованиям технологического процесса. Субъективные причины заключаются в том, что технологи смиряются с большими ошибками регулирования, а специалисты по автоматизации технологических процессов не сообщают технологам, что эти ошибки могут быть существенно уменьше-
ны с помощью более сложных регуляторов, зная, что это приведет к дополнительным трудностям в настройке и эксплуатации таких регуляторов.
В настоящей работе исследуются системы с ПИ- и ПИД-регуляторами при внешних возмущениях. Получены зависимости ошибок регулирования от уровня внешних возмущений. Если эти ошибки превышают допустимые, то предлагается использовать ПИД -регулятор с производными ошибки регулирования более первой, реализация которого основана на идентификации объекта.
Существо подхода состоит в следующем. Обычно параметры ПИД-регулятора находятся на основе модели объекта, описываемой уравнениями второго порядка и запаздыванием в управлении. Природа запаздывания различна — физическое (транспортное) запаздывание и модельное запаздывание, которое служит для учета неизвестных «малых» постоянных времени. При больших значениях транспортного запаздывания учет дополнительных производных ошибки малоэффективно. Иная ситуация при модельном запаздывании. Здесь точность регулирования может быть значительно увеличена, если известны значения «малых» постоянных времени, и чем больше этих постоянных времени известно, тем большую точность можно обеспечить, определяя по ним коэффициенты регулятора при второй, третьей и далее производных ошибки в ПИД-регуляторе.
Таким образом, для повышения точности ПИД-регулятора необходима идентификация малых постоянных времени. Это затруднено неизвестными внешними возмущениями. Известно несколько методов идентификации в таких условиях: метод инструментальных переменных [5, 6], рандомизированные алгоритмы [7, 8] и метод конечно-частотной идентификации [9]. В этих методах используют идентифицирующее (испытательное) воздействие на объект. Наиболее развит для практического применения метод конечно-частотной идентификации, в соответствии с которым испытательное воздействие представляет собой сумму гармоник с самонастраиваемыми амплитудами и частотами.
Далее исследуются особенности применения этого метода для некоторого класса объектов.
1. СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ С ПИД-РЕГУЛЯТОРОМ
Рассмотрим систему управления
йтУ(т) + ... + У + У = коИ + / < 1 <0, (1)
«(?) = кр
(?) + а0е(0 + |е(т)5т , (2)
е(?) = ,?(?) - У(?), (3)
где у(г) — измеряемый выход объекта (1), и(г) — управление, формируемое регулятором (2), £(<) — задающее воздействие, коэффициенты объекта dj / = 1, ..., т, и ко — неизвестные числа, кр, а0 и ах — коэффициенты ПИД-регулятора, /(г) — неизвестное и неизмеряемое, ограниченное внешнее возмущение, е(<) — ошибка регулирования.
Задающее воздействие £(?) является ступенчатой функцией
£(?) = ^о, г > <0, ,?(<) = 0, г = <о. (4)
Число £0 неизвестно, но удовлетворяет неравенству |£0| < £*, в котором £* — заданное число.
Передаточная функция объекта (1) по управлению имеет вид
к„
П ( т> +1) П ( т> +1)
і = 1 і = п + 1
где п — порядок рабочей модели объекта (1), 7] > 0, / = 1, ..., п, — постоянные времени рабочей модели объекта — известные числа, 7] > 0, / = п + 1, ..., т, — постоянные времени немоделируемой динамики объекта — неизвестные числа.
Постоянные времени Ті, і = 1, упорядочены следующим образом:
т, объекта
І + 1?
і = 1,
т — 1.
(5)
Внешнее возмущение — гармоническая функция с неизвестной амплитудой и частотой из заданного диапазона частот /(г) = акта/г, |а| т /*, г 1 г0 + грег, юа т (0/ < <оь, где юа и — границы диапазона частот внешнего возмущения, /* — заданное число, грег — время регулирования (время затухания переходного процесса, возбужденного задающим воздействием).
Ошибка регулирования в системе е(<) = е^(<) + < 1 г0 + грег, где е^(<) — ошибка регулирования по задающему воздействию, Е/(г) — ошибка регулирования по внешнему возмущению.
Цель управления заключается в том, чтобы ошибка регулирования е(<) удовлетворяла требованию
? 1 ?л + ? ,
0 рег’
(6)
где е* — заданное число.
Пусть цель управления (6) не достигается ни при каких значениях параметров кр, а0 и ах ПИД-регу-лятора (2). Задача состоит в том, чтобы добиться достижения цели (6) с помощью ПИД-регулятора с производными ошибки.
2. СИСТЕМА С ПИД-РЕГУЛЯТОРОМ С ПРОИЗВОДНЫМИ ОШИБКИ
2.1. ПИД-регулятор с производными ошибки
Будем пользоваться следующим дифференциальным уравнением ПИД-регулятора с порядком производной ошибки, равным п — 1:
= к
g, п - 1 п - 1
ип 1 + ... + Jgl« + м(?) =
1£П ( ?) + ... + А1Е ( ?) + Д0 £( ?) + | е(т) 5т
где д., і = 0, ..., п — 1, и Т, і = 1, ..., п — 1, — ко-
I ^
эффициенты регулятора.
Передаточная функция ПИД-регулятора с производными ошибки имеет вид
П (+ 1)
п-1
(7)
где ТР., і = 1, ..., п, — постоянные времени ПИД-ре-
Р
гулятора с производными ошибки.
*
£
0
п
0
п
п
Далее будем полагать, что коэффициент регу-
лятора кр выбран как
кР 4 Т к ,
п к0
(8)
а его постоянные времени удовлетворяют условиям
Трі = Ті, і = 1, ..., п, Tg < Ти.
(9)
здесь опущены, см. работу [9]), р — число гармоник в сигнале, определяемое как
Р = < п>,
(12)
где операция (х) означает округление х вверх до целого.
Выход объекта подается на фильтр Фурье
2.2. Условие достижения цели управления
Утверждение. Пусть параметры регулятора (7) определяются из выражений (8) и (9), тогда найдется такое малое значение 7^, что для достижения цели (6) при условии (5) достаточно, чтобы выполнялось неравенство
4 Тп / * Т1 + Т2 ■
(10)
Отсюда следует, что всегда найдется такой порядок п рабочей модели объекта (1)—(3), при котором ошибка слежения удовлетворяет требованию к точности (6). Таким образом, если вновь выбранный порядок рабочей модели п окажется неудовлетворительным для этого условия, то необходимо увеличивать порядок рабочей модели и строить более сложный регулятор (7) до тех пор, пока это условие не выполнится.
Доказательство этого утверждения приведено в Приложении.
3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТА
Для нахождения постоянных времени регулятора, которые выбираются равными постоянным времени объекта (9), необходимо идентифицировать последние. Приведем особенности метода конечно-частотной идентификации [9] для объекта (1), связанные с видом частотных уравнений, используемых в алгоритме конечно-частотной идентификации.
Для идентификации объекта на него подается гармонический испытательный сигнал в виде
р
и(г) = ^ р^тю^, г0 т г < г0 + т, (11)
к = 1
где параметры р1, ..., рр — испытательные амплитуды, ю1, ... юр — испытательные частоты, т — время идентификации — самонастраиваются в процессе идентификации (алгоритмы самонастроек
а к (т) = --- | У(?^ІПЮк?5ґ,
в к (т) = — [ у(?)ео8юк?5?, к = 1, р. (13)
Ркт -1 к
Для оценивания коэффициентов объекта управления (1) решаются следующие частотные уравнения:
5 04) + 1 =
к0
а к + І Р к
(14)
где d(^) = dm 5т + dm_ 15т + ... + d15 + 1, di, / = 1, ..., т, — оценки коэффициентов dj, / = 1, ..., т, объекта (1).
4. ПРИМЕР
4.1. Постановка задачи
Рассмотрим объект управления (1) при т = 4:
d4y(4) + d3 у' + d2 у + d1 у + у = кои + /,
где d1 = 1,248, d2 = 0,2579, d3 = 0,99*10-2, d4 = = 6,4-10—5, ко = 1.
Его передаточная функция имеет вид
Жо(5) =
( Т15 + 1)( Т25 + 1)( Тз5 + 1)( Т^ + 1)
где 71 = 1, Т2 = 0,2, 73 = 0,04, Т4 = 0,008.
Внешнее возмущение /(г) = акто/г с неизвестной амплитудой а, ограниченной числом /* = 5 (а < 5) и частотой Ю/из диапазона [0,1; 100].
На объект в начальный момент времени подается ступенчатое воздействие (4) величиной £о = 30.
Требуется построить ПИД-регулятор, при котором установившаяся ошибка была бы меньше заданной (е* = 0,7).
0
?л + Т
0
0
4.2. Второй порядок рабочей модели объекта (л = 2, Т, и Т2 известны)
Передаточная функция ПИД-регулятора (7) для такого объекта имеет вид
„(4 = * ( 7Р 15 +1) ( V + 1 ), (15)
р (7^ + 1) 5 ’ V '
где параметры кр, 7р1, 7р2 и 7^ вычисляем по формулам (8) и (9): кр = 1,25, 7р1 = 1, 7р2 = 0,2 7^ = = 0,17р2 = 0,02.
Максимальное значение ошибки Е/ = 2,23 до-
стигается на частоте 1,1 с 1.
Ошибка по возмущению, оцененная по выражению (10),
4/*72 _ 4 • 5 • 0,2
Т1 + Т2
1 + 0,2
На рис. 1 приведен график выхода объекта, замкнутого указанным ПИ-регулятором при внешнем возмущении /(г) = 58т(1,3г). Ошибка регулирования на этом графике не превышает значения е = 2,22.
4.3. Идентификация третьей постоянной времени
При п = 3 объект (1) примет вид
dзу + d2у + d1 у + у = кои + /(г), г 1 г0, (16)
где dl = 71 + 72 + 73, d2 = 7172 + 7373 + 7273, d3 = 717273, постоянная времени 73 — неизвестна, ее значение необходимо идентифицировать.
Процедура идентификации состоит из следующих операций.
Операция 1. К объекту прикладывается испытательный сигнал (11), где р вычисляем по формуле (12) как р = (1,5) = 2
и(г) = р^тю^ + р28тю2г,
Рис. 1. Выход системы с ПИД-регулятором (15) при задающем воздействии и возмущении
где
Р1 = 2,267, Р2 = 45,16, ®1 = 1/71 = 1,
ю2 = Ь/72 = 25,
где значение Ь = 5 выбирается достаточно большим. Операция 2. Получаем оценки по формулам (13). Операция 3. Оценки коэффициентов уравнения (16) вычисляем по формулам
^ = ко Р 2 ю 1 ( а 1 + Р 1 ) ~ ко Р 1 ю 2 ( а 2 + Iе 2 ) = 1 255 ю1ю2(ю2 - Ю1)(а 1 + Р1)(а2 + Р2)
"2 П2 , -і2 = а1 + Р 1 - к°“ 1 = 0,2618,
2 п 2 П 2,
41(а 1 + р1)
(17)
л д2 л2 л ~2 л2
С = ко Р 2 ю 1 ( а 1 + Р 1 ) - ко Р 1 ю 2 ( а 2 + Р 2 ) = 0 01011
1 2 2 л 2 л 2 л 2 л 2 5
Ю1 ю2(ю2 - Ю1 )(а1 + Р1)(а2 + Р2)
Эти формулы следуют из уравнений (14). Их вывод приведен в Приложении.
Операция 4. Формируем полином (16)
d (5) = d151 + d2 / + с115 + 1 =
= 0,010Ш3 + 0,2618/ + 1,2555 + 1. Находим его корни и представляем его в виде
с (5) = (71 + 1)(725 + 1)(7з5 + 1) =
= (1,0045 + 1)(0,2005 + 1)(0,05035 + 1).
4.4. Третий порядок рабочей модели объекта (л = 3, Г,, Т2 и Т3 известны)
Полученные постоянные времени объекта используем для построения ПИД-регулятора (7)
%(*) -р
= к ( Тр 15 + 1) (Тр25 + 1 ) ( Тр 35 + 1 )
( Т.Д + 1) 5
(18)
где параметры кр, 7тр1, 7р2 и 7р1 вычислены по формулам (8) и (9):
кр = 4,97, 7р1 = 1,004, 7р2 = 0,2,
Тр3 = 0,0503, Т = 0,00503.
Максимальное значение ошибки е = 0,776 достигается на частоте 1,94 с-1.
Ошибка по возмущению, оцененная по выражению (10),
4/*Тз _ 4 • 5 • 0,0503
Т1 + Т2 1 + 0,2
Рис. 2. Выход системы с ПИД-регулятором (18) при задающем воздействии и возмущении
На рис. 2 приведен график выхода объекта, замкнутого указанным ПИД-регулятором. Ошибка регулирования на этом графике не превышает значения е = 0,683.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исследована система с ПИД-регулятором с производными ошибки при внешних возмущениях. Показано, что увеличение числа производных ошибки позволяет повысить точность регулирования при внешних возмущениях. Для вычисления коэффициентов предложен метод идентификации.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательство утверждения. Выражение для ошибки 8у (?) имеет вид
= ФуЖ (19)
где Фу (я) — передаточная функция системы, связывающая ошибку регулирования с внешним возмущением (передаточная функция ошибки по возмущению). Покажем, что
Ф/(5) ё( я) [ 1 + Жр ( я) Ж0 ( я) ].
Действительно, преобразуя по Лапласу уравнения (1) и (3), а также учитывая передаточную функцию (7), получим следующее выражение для ошибки регулирования:
1
1
1 + Щ( я) ё (^)[ 1 + Щ,( я )Щ,( ^)]
/
Первое слагаемое в правой части этого выражения представляет собой ошибку е^.(0, обусловленную переходным процессом от ступенчатого воздействия (4), второе — ошибку регулирования (?), обусловленную влиянием внешнего возмущения f(?).
Из выражения (19) следует, что цель управления (6) достигается, если выполняется условие
где
н т 6*//*,
Н = Бир |Ф, (»|.
0 < И < ю 7
(20)
(21)
Найдем амплитудно-частотную характеристику |Ф/( У®)1 системы с ПИД-регулятором (7) с производными по ошибке. Нетрудно показать, что
Ф, (я)
= 1 / ё ( я) = _1_
1
7 Щ(я) + 1 ё(я) Щр(я) Щ0(я) + 1
_ (7^ + 1)п—^
А*) ,
где £(я) — характеристический полином замкнутой системы
п т
т = я П (7> + 1) П (7> + 1)(7/ + 1)" - 1 +
і = 1 і = п + 1
п
+ П (V + 1)к к = крко.
і = 1
С учетом равенств (9)
Ф/(я) =
(7> + 1)п 1 я
П (7> + 1) і = 1
к + я( 7^5 + 1)п 1 П (+ 1)
і = п + 1
Пренебрегая здесь малыми постоянными времени, получим
ф/ (я) = -------пт-------.
[к + я] П (7> + 1) і = 1
При условии (8) это выражение может быть представлено в виде
ф/ (я) =
(47> + 1) П (Ті я + 1)
(22)
471
і = 1
Покажем, что малые постоянные времени 7І, і = = п + 1, ..., т, и 7. будут мало влиять на запас устойчивости по фазе. Для этого запишем передаточную функцию разомкнутой системы
кр П ( 7 я + 1) = і = 1____________________________
Щ(я) = Щр^Щ/я) = к0
, гр Л ч п — 1 п ІИ
(V + 1) я П (7> + 1) П (7> + 1)
і = 1
к
і = п + 1
я( 7^ + 1 )п 1 П (7> + 1)
і = п + 1
п
т
п
п
6 =
т
Ее частота среза близка к значению к, вычисленному по формуле (8):
®ср = к = І/4 Тп.
Действительно, амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы при таком к близка к 1 на частоте среза шср:
ср
і/,)! =
1/4 Tn
n - 2
1 f T
-4 +1
П
І +1
4Tn^16Tn2 J i = n + W 16Tn2
Фазово-частотная характеристика W(s)
ф(щ) = -2 - (n - l)arctg(Tp) - у arctg(Tiщ), (23)
І = n + І
а условие устойчивости с запасом по фазе имеет вид ф(шср) 1 —п + фз, где фз — запас устойчивости системы (1)—(3) по фазе.
Положим фз = п/4. Подставляя это значение в предыдущее выражение и решая его совместно с выражением (23), получим
т
(п - ^аг^Г^ + X ^Т^ < п .
І = n + І
При условии (5)
X аг^(7Хр) < 8 . (24)
I = П + 1
Действительно, ввиду малости углов запишем это выражение в виде
—У Т. <
4Tn . І i 8
n І = n + І
(25)
Сумма Т, г = п + 1, ..., т, при условии (5) удовлетворяет (по свойству суммы геометрической прогрессии) неравенству
х Т < 2Тп + 1 < Тпп + 1
Используя это выражение в формуле (25), получаем, что неравенство (24) выполняется. Следовательно, постоянные времени Т, і = п + 1, ..., т, и Т& будут мало влиять на запас устойчивости по фазе.
Оценим уровень амплитудно-частотной характеристики (22). Имеем
|Ф/ (>)! =
4Т„щ
л/16Т2щ2 ПІ Ті2Щ2 + 1
(26)
Оценка сверху (мажоранта) этой функции при п 1 2 имеет вид
|ф*(/щ)1 =
4Т„щ
Iгр2 2 7 [7р2 2 7
^11 щ + 1 Т2щ + 1
О m щ m го. (27)
Действительно, разность мажоранты (27) и амплитудно-частотной характеристики (26) при п > 2 всегда положительна (случай п = 2 рассмотрен далее). Нетрудно видеть, что
!®*(>)! - |ф/ (>)! = 74Т2
4Tn щ
22 , щ +
1 nJ Т2щ2 +1
І=З
■Лгт^ п V т2«>2 *1
'2-2 п. т22
г = 1
Выражение в квадратных скобках положительно при 0 < ш < го, поэтому все выражение положительно. При ш = 0 и ш ^ го оно обращается в нуль. Таким образом, мажоранта выполняется для случая п > 2.
Покажем, что мажоранта (27) справедлива и для случая п = 2. Имеем
|Ф*(/ш)| - |Ф/(»|л = 2 =
4 І2 щ [ Jie: Г22 щ 2 + 1 - л /І22 щ 2 + 1 і
J Ті2 Щ 2 + 1 ^ 2 8 + 6 2 8 +
Отсюда видно, что выражение в квадратных скобках положительно при 0 < ш < го, а при ш = 0 и ш ^ го оно обращается в нуль. Таким образом, мажоранта (27) выполняется и для случая п = 2.
Найдем максимум мажоранты (27). Ее производная
д| Ф * (/ш ) | = 4ТП ( 1 - Т1 Т2 ш )
,/(Т12ш2 + 1 )^(Т22ш2 + 1)3'
Она обращается в нуль при частоте ш = ш* = 1Д/ Т1Т2, и соответственно
sup |Ф*(»| =
О <а <ю
4 Tn
Ті + І2 •
Таким образом, максимум амплитудно-частотной характеристики (26) H = sup |Ф (/щ)| удовлетворяет
О <<а<со
условию
4T
н m--------n—, О m щ m го, n і 2. (28)
T1 + T2
Максимумы (28) и (21) связаны выражением H =
І = 1
= Н + £, где £ — малое число, зависящее от малых постоянных времени Т. и Г, г = п + 1, т.
При Т. = 0 и Т' = 0, г = п + 1, т, число £ = 0. По непрерывности заключаем, что всегда существуют достаточно малые Т и Т, г = п + 1, т, такие, что для лю-
2 Л 2 m I 'т2
1
m
m
m
m
бого наперед заданного сколь угодно малого £* будет выполняться условие £ < £*. Поэтому для проверки условия (20) будем пользоваться выражением е* > Н/ *. Подставляя сюда условие (20), получаем выражение (10).
Вывод формул (17). Уравнения (14) при п = 3 принимают вид
-М - ^2 + М Шк = ко/( «к + 1Рк ) - 1
Отсюда, выделяя мнимую и действительную части,
получаем следующие уравнения
- ё3 ^ Ш! = к0 -2^, (29)
а 1 + р 1
- ^ ш1 = ко - 1, (30)
а 1 + Р1
- Ъ ш\ + * ш2 = к0 (31)
«2 + в 2
Оценка с12 входит только в уравнение (30). Для определения оценок с11 и ё3 запишем уравнения (29) и (31) в виде следующей системы:
-ko Р 1
- 2 - 2
3 -Si Si d 3 = - 2 P 2 -1 + P1
3 _-S2 s2 d i -ko P 2
-2 -2 - 2 + р2
Решая их, а также выражая из уравнения (30) оценку с12, получаем формулы (17).
ЛИТЕРАТУРА
1. Денисенко В.В. Разновидности ПИД-регуляторов // Автоматизация в промышленности. — 2GG7. — № б. — С. 45—5G.
2. Ротач В.Я. Расчет промышленных автоматических систем регулирования. — М.: Энергия, 1973.
3. Astrom K.J., and Hagglund T. Advanced PID control. — ISA, 2GG6.
4. Voda A.A., and Landau I.D. A method for the auto-calibration of PID-Controllers // Automatic. — 1995. — Vol. 31, N 1. — P. 41—53.
5. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. — М.: Наука, 1991.
6. Wong K.Y., Polak E. Identification of linear discrete-time systems using instrumental variable method // IEEE Trans. Automat. Control. — 19б7. — Vol. AC-12. — P. 7G7—718.
7. Граничин О.Н., Поляк Б.Т. Рандомизированные алгоритмы оценивания и оптимизации при почти производных помехах. — М.: Наука, 2GG3.
8. Бунич А.Л., Бахтадзе Н.Н. Синтез и применение дискретных систем управления с идентификатором. — М.: Наука, 2GG3. — 232 с.
9. Александров А.Г. Конечно-частотная идентификация: самонастройка испытательных частот // Робастное управление и частотная идентификация: Сб. науч. тр. — Электросталь, ЭПИ МИСиС, 2GG4. — С. б7—97.
Статья представлена к публикации членом редколлегии
В.Ю. Рутковским.
Александров Альберт Георгиевич — д-р физ.-мат. наук,
вед. науч. сотрудник, И [email protected],
Хомутов Дмитрий Алексеевич — вед. инженер,
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН,
г. Москва, в (495) 334-7б-41.
Содержание специального выпуска сборника «Управление большими системами», посвященного математической теории игр и ее приложениям (http://ubs.mtas.ru)
^ Васильев В.А. Об одной аксиоматизации обобщенного расширения Оуэна. — С. 5—17.
^ Винниченко С.В. Непрерывная игра НИМ. — С. 18—31.
^ Кацев И.В., Яновская Е.Б. Промежуточные между пред к- и пред п-ядрами решения кооперативных игр. — С. 32—54.
^ Мазалов В.В., Сакагучи М. Равновесие в бескоалиционной игре п лиц с выбором момента времен. — С. 55—78.
^ Наумова Н.И. Ограниченная согласованность, порожденная функциями полезности коалиций. — С. 79—99.
^ ПетросянЛ.А., Зенкевич Н.А. Принципы устойчивой кооперации. — С. 100—120.
^ ПетросянЛ.А., Седаков А.А. Многошаговые сетевые игры с полной информацией. — С. 121—138.
^ Тур А.В. Линейно-квадратичные неантагонистические дискретные игры. — С. 139—163.
^ Чуйко Ю.В. Задача маршрутизации с разделяемым трафиком и неполной информацией. — С. 164—176.
^ Галегов А.И., Гарнаев А.Ю. Налоговая игра в дуополии Курно. — С. 177—192.
^ Гарнаев А. Ю., Торицын А.О. Игровая задача справедливого распределения ресурсов при наличии активных помех. — С. 193—208.
^ ГубановД.А., НовиковД.А., Чхартишвили А. Г. Модели репутации и информационного управления в социальных сетях. — С. 209—234. ^ Зенкевич Н.А., Колабутин Н.В., Янг Д.В.К. Стохастическая модель устойчивого совместного предприятия. — С. 235—269.
^ Ивашко А.А. Игра наилучшего выбора двух объектов с полной информацией. — С. 270—286.
^ Искаков М.Б., Павлов П.А. Равновесие в безопасных стратегиях в модели пространственной конкуренции Хотеллинга. — С. 287—318.
^ Коргин Н.А. Эквивалентность и неманипулируемость неанонимных приоритетных механизмов распределения ресурсов. — С. 319—347.
^ Угольницкий Г.А. Оптимизационные и теоретико-игровые модели управления инвестиционно-строительными проектами. — С. 348—365.
^ Реттиева А.Н. Кооперативное регулирующее условие в задаче разделения биоресурсов. — С. 366—384.
^ Шевкопляс Е.В. Уравнение Гамильтона—Якоби—Беллмана в дифференциальных играх со случайной продолжительностью. — С. 385—408.
