CC BY
17
ш
https://doi.org/10.38013/2542-0542-2022-4-18-24 УДК 621.396.96
Повышение точности моноимпульсной пеленгации в многолучевых антенных решетках
С. Е. Фетисов
Акционерное общество «Всероссийский научно-исследовательский институт радиотехники», Москва, Российская Федерация
В статье исследуется точность моноимпульсного измерения угловой координаты многолучевой фазированной антенной решеткой. Выводится нижняя граница Крамера - Рао ошибок измерения в зависимости от количества и характеристик приемных диаграмм направленности. Рассчитанные значения ошибок пеленгации показывают, что многоканальный угловой дискриминатор, реализующий измерение по сигналам множества лучей, точнее углового дискриминатора с двумя каналами обработки. Выигрыш в точности зависит от функции амплитудной весовой обработки. В направлении максимума диаграммы направленности выигрыш значительней, чем в равносигнальном направлении. Приводится таблица рассчитанных значений выигрыша при разных параметрах антенной решетки и углового дискриминатора.
Ключевые слова: моноимпульсные РЛС, точность пеленгации, нижняя граница Крамера - Рао, угловой дискриминатор
Для цитирования: Фетисов С. Е. Повышение точности моноимпульсной пеленгации в многолучевых антенных решетках // Вестник Концерна ВКО «Алмаз - Антей». 2022. № 4. С. 18-24. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2022-4-18-24
For citation: Fetisov S. E. Improving the accuracy of monopulse direction finding in multi-beam phased arrays // Vestnik Koncerna VKO "Almaz - Antey". 2022. No. 4. P. 18-24. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2022-4-18-24
Поступила 21.07.2022 Отрецензирована 03.08.2022 Одобрена 10.08.2022 Опубликована 17.01.2023
о см
тг
>и
<и
х Введение
I Измерение угловой координаты в моноим-| пульсных радиолокационных станциях (РЛС) основано на сравнении сигналов, принятых о в двух (или более) пространственных каналах оз с разными характеристиками направленности £ [1, 2]. Моноимпульсное измерение в одной | плоскости в РЛС периода с 1940-х по 1960-е £ годы обеспечивалось обработкой сигнала двух | направленных антенн [1, 3]. Двухканальные о угловые дискриминаторы (УД), реализую-ш щие данную обработку, формируют на вы™ ходе напряжение, пропорциональное угло-
9 вому отклонению цели от равносигнального
■ч-ю см
■г.
(П -
(П
" © Фетисов С. е., 2022
направления (РСН) двух диаграмм направленности (ДН) [1, 3].
В РЛС с многолучевой фазированной антенной решеткой (ФАР) для обзора пространства формируется множество приемных лучей в разных угловых направлениях [3, 4]. В таких РЛС для измерения угловой координаты в одной плоскости нередко применяется амплитудный метод моноимпульсной пеленгации с двухлучевой пеленгационной связкой [1, 2]. При этом на вход УД подаются сигналы двух смежных лучей, сформированных в направлении на цель. В данном случае сигналы других лучей (с меньшей амплитудой) не используются, вследствие чего возникает вопрос о повышении точности пеленгации за счет их обработки.
Для ответа на этот вопрос в статье сравнивается точность измерения двухканаль-ным и многоканальным УД. Потенциальная точность измерения угловой координаты в зависимости от числа каналов определяется нижней границей Крамера - Рао [2, 5]. Проведение исследования вызвано растущими требованиями к точности измерения угловых координат целей. Данные требования могут удовлетворяться снижением случайных ошибок пеленгации при использовании многоканальных УД.
Модель сигнала точечной цели в многолучевой антенной решетке
Рассмотрим М-канальную линейную ФАР, принимающую узкополосный пространственно-временной сигнал точечной цели [6]. Смесь сигнала плоской скалярной волны и шума антенных элементов выразим вектором ж = ах + п, где а - комплексная амплитуда принимаемого сигнала, х - сигнальный вектор, п - белый гауссов шум с нулевым средним и дисперсией о2.
Пусть 6 = [5Ь ..., 5М]Т = 2Л [0, 1, ..., М - 1]Т - вектор фазовых множителей линейной ФАР с длиной волны X и расстоянием между смежными элементами ё. Тогда х = [еу51 0,
e
jb2 sin 0
..., e
j&M sin 0]T
]Т, где 0 - угловая координата цели, отсчитываемая от нормали к решетке.
Принимаемый в Ь диаграммах направленности сигнал многолучевой ФАР выразим умножением матрицы весовых коэффициентов W на вектор ж:
y = Ws = aWx + у,
(1)
w =
w±e
-j-Si SinCEi)
wre
-J-Si-SinCEi)
wMe
wMe
-jSM-SitlCEi)
-;-6MSin(Ei)
где еь ..., 8Ь - направления максимумов Ь диаграмм направленности, w1, ..., wМ - коэффициенты амплитудной весовой обработки, применяемые для снижения уровня боковых лепестков (УБЛ). Применение амплитудного взвешивания сигналов антенных элементов равносильно управлению амплитудным распределением поля в раскрыве ФАР. Далее в расчетах будут использоваться коэффициенты равномерного распределения wМ = 1 (т = 1, ..., М) и коэффициенты распределения Тейлора при заданном УБЛ -30 дБ
Wm = 1 + 0,5853 Vim - 0,0316 v2,m +
+ 0,0044 v
3,mi
(3)
где vkm = cos(nk (2m - M - 1) / M).
Пример многоканального углового дискриминатора
При гауссовой статистике шума максимально правдоподобная оценка угловой координаты 0 может быть рассчитана согласно выражению [6]
8 — argmax в
/ |y"R-i(Ws)|2 \
VCW^^R-HW^J'
(4)
где argmax (/(х)) - значение аргумента х в мак-х
симуме функции /(х).
С учетом свойств квадратичной формы в знаменателе (4) также справедливо
2
0 = argmax е
R-4W*)
где у - вектор случайных значений гауссова шума с нулевым средним и ковариационной матрицей Я. Для станций с цифровым диа-граммообразованием при условии идентичности приемных каналов матрица
R = Щуун] = Щ^п)^п)Н = о2WWH. (2)
Здесь !£[•] - оператор математического ожидания; (•)н - эрмитово сопряжение.
Матрица W образована Ь строками, каждая из которых содержит коэффициенты весовой пространственной обработки, задающие форму и направление диаграммы направленности:
VCWx^R-HW*)
= argmax|r(8) • у е
(5)
где г(8) =
(W*)HR_1
- вектор весовых коэф-
7 (Ш*)нК-1(№|0
фициентов, зависящих от 0.
Возможная структура многоканального УД следует из выражения (5) и приводится на рис. 1.
Согласно структурной схеме на рисунке 1 сигнал приемных ДН у подается на К векторных умножителей, реализующих операцию г(0) • у при разных значениях 0 из множества 01, ..., 0К. Результат К векторных умножений поступает на амплитудный детектор <ф|»
та
X ф
ч
та
Q.
та
О О.
Ё V
ц
(Ч
см см о см
< i
со те
s
I
о
CQ
О.
Ф
О
о
V CQ
СМ ■clin
с?
см ■clin см
(П (П
и затем на блок сравнения «max». Данный блок вырабатывает оценку 0 = 0г- при определении максимума в i-м канале сравнения.
Число векторных умножителей для точного поиска 0 может оказаться слишком большим. Поэтому целесообразно уменьшить число K, а полученную оценку дополнительно уточнить в окрестности 0г-. Алгоритм уточнения зависит от технической реализации и может использовать метод половинного деления, метод градиентного спуска либо приближение функции |г(0) • j| в окрестности 0Л
Нижняя граница Крамера - Рао оценки угловой координаты в многолучевой антенной решетке
Известная из работ [3, 4] формула потенциальной точности измерения угловой координаты эквидистантными антенными решетками не учитывает особенности измерения по сигналу множества лучей. Точный расчет ошибок измерения в многолучевых ФАР возможен при учете коэффициентов амплитудного распределения, количества и направлений приемных ДН. Для оценки величины ошибок выразим нижнюю границу Крамера - Рао (НГКР) [2, 5]. Проведем замену u = sin(0), A = |а|, ф = arg(a) и определим коэффициенты матрицы Фишера [2, 5].
Ф = -IE
д21 д21 д21
ди2 ди дА дид ф
Э21 д21 д21
дА ди дА2 дА дф
д21 д21 д21
-дф ди дф дА дф2
У
0i... 0*
Рис. 1. Структурная схема многоканального углового дискриминатора
где I = -1п(^ |К|) - (у - а№)нК-1(у - а№) -логарифм функции правдоподобия с учетом введенной модели сигнала (1) и плотности вероятности комплекснозначной нормально распределенной многомерной случайной величины [7], |К| - определитель матрицы Я.
Диагональные элементы матрицы Ф-1 определяют нижнюю границу дисперсии оценки синуса угловой координаты, амплитуды и начальной фазы прихода сигнала. Ограничимся рассмотрением первого диагонального элемента Ф-1:
D[ft] = (О"1)!,! =
/ U xxHU\ VU_ xHVx J
2А2 (6 о х)н
(в - ж)
-i
(6)
где ©[•] - дисперсия случайной величины; И -оценка параметра и; (◦) - оператор произведения Адамара; и = - матрица М х М.
С учетом замены и = sin(0) также справедливо Ш)[и] = ©^тф)] = Ш)[sin(e + в)] = Ш)[sin(0) cos(8) + sin(8) cos(e)], где г - случайная ошибка измерения неслучайной величины е. Поскольку при малых ошибках cos(г) ~ 1 и мп(г) ~ г, то Щи] ~ Ш)[г cos(e)] и В[()] = Ш)[г] ~ ©[и] / ^2(е). С учетом выражений (2) и (6) получим дисперсию несмещенной оценки угловой координаты
Р[0] «
(5 о х) cos2(0) ,
(7)
где Q = W^WW^-1)W.
Нижняя граница среднеквадратиче-ской ошибки (СКО) измерения угловой координаты находится, согласно ^(7), как V©[0]. Погрешность вычисления в угловом секторе обзора ±60° менее 0,1 % при ■#[( < 1°.
Важно отметить, что при L = M выражение (7) приводится к формуле потенциальной точности эквидистантной ФАР [3, 4]
l^rnin [0] = q2 П2/3 (M - 1) (dík cose)2, (8)
где q2 = 2M |a|2 /о2.
Выражение (7) приводится к (8) с учетом, что W - квадратная матрица. При существовании W-1 матрица Q = W"(W")-1W-1 W = E -единичная матрица.
Сравнение ошибок пеленгации на примере двухканального и четырехканального угловых дискриминаторов
Используем полученную формулу (7) для сравнения точности двухканального и четырехканального УД. Для моделирования зададим следующие параметры ФАР: число элементов М = 32, расстояние между смежными элементами ё = Х/2, число лучей L = 4, направления лучей е1, ..., е4 = -6, -2, 2, 6 градусов. Для снижения УБЛ применим амплитудное распределение Тейлора (3). На рисунке 2 приводится график зависимости коэффициента усиления (КУ) в полученных ДН. Смежные лучи направлены с разницей 4° и пересекаются по уровню минус 3 дБ.
Согласно (7) рассчитаем нижнюю границу СКО измерения угловой координаты по сигналу двух центральных лучей УШ)[0|Ь = 2] и по сигналу всех четырех лучей = 4]. Данные случаи определят предельную точность измерения, соответственно,
двухканальным и четырехканальным УД. Кривые полученных зависимостей при отношении сигнал/шум 20 дБ в максимуме ДН приводятся на графике рисунка 3.
Зависимость нижней границы СКО измерения угловой координаты по сигналу четырех лучей от направления приема 0 изображена на графике рисунка 3 в виде пунктирной кривой. Аргументом W формулы (7) при построении данной кривой являлась матрица с размерностью 4 х 32. При подстановке в (7) новой матрицы W, составленной из двух центральных строк прежней, получим зависимость нижней границы СКО измерения по двум центральным лучам (с углами -2° и +2°). Данная зависимость изображена на графике рисунка 3 в виде сплошной кривой. Третья кривая, приведенная на графике, определяет потенциальную точность измерения угловой координаты эквидистантной ФАР и построена по формуле (8) [3, 4].
Из графика на рисунке 3 видно, что кривые ошибок измерения двухканальным
20
£ $
-20
-40
-10
0
Луч -6 ° 1 Луч -2 ° 1 Луч 2 ° 1 Луч 6 ° 1
-^Txrsbv
5
Направление приема, ° Рис. 2. ДН четырех лучей с пересечением по уровню -3 дБ
10
0,5
Луч -6 °
Луч -2 °
Луч 2 °
Луч 6 °
О «
и й Я S к й
г?
(Я
S К
0,4
0,3
0,2
0,1
\ /
\ \ \ / / /
* ) \ ^ € * \ /А У / {
\ N -L / У \ \ У/ \ /
......... ........
-6
-4
-2 0 2 Направление приема, °
Рис. 3. Нижняя граница СКО измерения угловой координаты двухканальным и четырехканальным УД
в зависимости от направления приема ■ - 4-канальный УД;--2-канальный УД;--Птц. точность ФАР; О - СКО в макс. ДН; А - СКО в РСН
та
X Ф
ч
та Q.
та
о
.
£
ф ц
(Ч
0
4
6
см см о см
< I
со те
г
о со
о.
<и
о
о <и со
см ■ч-ю
с?
см ■ч-ю см
(П (П
и четырехканальным УД расположены выше кривой потенциальной точности. В равносиг-нальном направлении смежных ДН ошибка пеленгации минимальна и приближается к потенциальной точности ФАР. В направлении максимумов ДН ошибка пеленгации возрастает. Данная особенность в литературе объясняется снижением чувствительности моноимпульсной системы в крайних точках пеленгационной характеристики [1]. Из графика на рисунке 3 также следует, что четырехканальный УД точнее двухканального: в направлении максимумов ДН (-2° и +2°) выигрыш в точности измерения четырехканальным УД выше, чем в равносиг-нальном направлении (0°).
Обобщение результатов сравнительного анализа
Сравним ошибки измерения угловой координаты двухканальным и ^-канальных УД. Для этого определим среднюю ошибку ^-канального УД в равносигнальном направлении
°рснМ = ¿Х^1 соз
^О[0|1 = ЛГ,0 = (е, + е1+1)/2],
среднюю ошибку в направлениях максимума ДН
*млх(Ю = С05(£г) = =
и усредненную ошибку в угловом секторе обзора при 8N > 8/ > 8Ь V/
I ь=лт] ав
ец-е±
Значение орсн на примере четырехка-нального УД поясняется как среднее арифметическое по ординатам точек с треугольной отметкой на графике рисунка 3. Значение оМАХ по тому же графику поясняется как усредненная ордината точек с круглой отметкой.
В приведенных для оРСН, оМАХ и оСР выражениях используется умножение на cos(a) для приведения СКО к величине, рассчитанной в нормали ФАР.
Определим выигрыш в точности измерения угловой координаты многоканальным
УД N > 2) относительно двухканального УД в трех случаях:
крсн(Ю = ОрШ(2) / арсн(^) ),
кмАх(^) = ОМАХ (2) / ОмаЛ№), (9)
кср(Щ = Оср(2) / Оср(Я),
где кРСН(^) - выигрыш ^-канального УД по точности пеленгации в равносигнальном направлении, кМАХ(Ы) - выигрыш ^-канального УД по точности пеленгации в направлении максимума ДН и кСР(Ы) - средний выигрыш ^-канального УД в угловом секторе обзора.
Найдем, согласно (9), значения кРСН, кМАХ, кСР, рассчитав их в зависимости от количества элементов М и количества каналов УД N при соблюдении следующих условий: М > N > 2, смежные ДН пересечены по уровню -3 дБ. Результаты расчета при использовании разных амплитудных распределений приведены в таблице 1. В ячейках таблицы через запятую указаны значения кРСН, кМАХ, кСР, выраженные в процентном отношении как (к - 1)-100%.
При пеленгации цели в равносигнальном направлении антенной решеткой с равномерным амплитудным распределением не наблюдается выигрыша в точности измерения многоканальным УД по сравнению с двухканальным. При использовании спадающего к краям решетки амплитудного распределения Тейлора (3) снижение ошибок измерения в равносиг-нальном направлении зависит от числа каналов УД и лежит в диапазоне 5-18 %.
Среднеквадратическая ошибка измерения угловой координаты за счет применения многоканальных УД значительно снижается при наблюдении цели в максимуме ДН. Трехканальные, четырехканальные и пяти-канальные УД точнее двухканальных, соответственно, на 20, 30 и 40 %. Предельное повышение точности, согласно таблице 1, соответствует случаю N = М и составляет 50 % для ФАР с равномерным распределением и 2,5 раза для ФАР с распределением Тейлора (3). Значительное повышение точности при N = М объясняется реализацией измерительного потенциала антенной решетки. Поскольку при N = М также справедливо Ь = М, то точность пеленгации в этом случае
Таблица 1
Повышение точности кРСН, кМАХ, кСР в процентном отношении при использовании Ж-канальных УД
в М-элементных ФАР
ФАР с амплитудным распределением Тейлора
M = 8 M = 16 M = 24 M = 32 M = 48 M = 64
N = 3 6, 26, 12 5, 23, 11 5, 23, 11 5, 23, 11 5, 22, 11 5, 22, 11
N = 4 9, 44, 20 9, 35, 17 8, 34, 16 8, 33, 16 8, 33, 16 8, 33, 16
N = 5 12, 61, 27 11, 44, 21 10, 41, 20 10, 40, 19 10, 39, 19 10, 39, 19
N = 8 17, 145, 57 14, 67, 30 13, 57, 26 13, 53, 25 13, 50, 24 13, 49, 23
N = 16 18, 147, 58 16, 101, 42 16, 83, 36 15, 69, 31 15, 64, 29
N = 24 18, 148, 58 17, 118, 48 16, 89, 38 16, 77, 33
N = 32 18, 148, 59 17, 112, 46 17, 92, 39
N = 48 18, 148, 59 17, 123, 50
N = 64 18, 148, 59
ФАР с равномерным амплитудным распределением
M = 8 M = 16 M = 24 M = 32 M = 48 M = 64
N = 3 0, 22, 8 0, 20, 8 0, 20, 8 0, 20, 8 0, 20, 8 0, 20, 8
N = 4 0, 33, 12 0, 31, 11 0, 30, 11 0, 30, 11 0, 30, 11 0, 30, 11
N = 5 0, 41, 14 0, 37, 13 0, 37, 13 0, 36, 13 0, 36, 13 0, 36, 13
N = 8 0, 47, 16 0, 46, 16 0, 45, 16 0, 45, 15 0, 44, 15 0, 44, 15
N = 16 0, 49, 16 0, 49, 17 0, 49, 17 0, 49, 16 0, 49, 16
N = 24 0, 49, 17 0, 50, 17 0, 50, 17 0, 49, 17
N = 32 0, 50, 17 0, 50, 17 0, 50, 17
N = 48 0, 50, 17 0, 50, 17
N = 64 0, 50, 17
определяется потенциальной точностью эквидистантной ФАР (8), [3, 4].
Усредненный в секторе обзора выигрыш в точности пеленгации при использовании многоканального УД ограничен 17 % для ФАР с равномерным амплитудным распределением и 59 % для ФАР с распределением Тейлора (3). В последнем случае при использовании трех-, четырех- и пятиканального УД достигается повышение точности относительно двухканального УД на 11, 16 и 19 % соответственно.
Выводы
В статье исследовано повышение точности измерения угловой координаты многолучевой ФАР при использовании многоканального УД. Определена нижняя граница Крамера - Рао для оценок угловой координаты по сигналу приемных ДН. Достоверность результата подтверждается приведением полученного выражения нижней границы к аналитическому выражению, известному из литературы. На основании рассчитанных нижних границ СКО сформирована
справочная таблица со значениями выигрыша в точности пеленгации при использовании многоканального УД.
Применение многоканального УД позволяет снизить среднеквадратическую ошибку пеленгации в равносигнальном направлении до 18 %, а в направлении максимума ДН -до 2,5 раза. Наибольший выигрыш достигается в ФАР со спадающим амплитудным распределением и при увеличении количества каналов УД до количества антенных элементов. В последнем случае реализуется потенциал точности эквидистантной ФАР.
Список литературы
1. Родс Д. Р. Введение в моноимпульсную ра- — диолокацию. М.: Советское радио, 1960. 160 с. |
2. Ратынский М.В., Порсев В.И. Моно- <5 импульсная пеленгация в РЛС с цифровыми 5 ФАР. Монография / под ред. В.И. Порсева. М.: £ Радиотехника, 2019. 160 с. те
3. Радиоэлектронные системы: основы по- I строения и теория. Справочник. Изд. 2-е, ^ перераб. и доп. / под ред. ЯД. Ширмана. М.: ^ Радиотехника, 2007. 510 с.: ил. —
4. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М.: Радио и связь, 1981. 416 с.
5. Радиотехнические системы: учеб. для вузов по спец. «Радиотехника» / под ред. Ю.М. Казаринова. М.: Высшая школа, 1990. 496 с.
6. Журавлев А.К., Лукошкин А.П., Поддубный С.С. Обработка сигналов в адаптивных антенных решетках. Л.: Изд-во Ленинградского унта, 1983. 240 с.
7. Goodman N. R. Statistical Analysis Based on a Certain Multivariate Complex Gaussian Distribution (An Introduction) // Ann. Math. Statist. 1963. № 34 (1). P. 152-177.
Об авторе
Фетисов Сергей Евгеньевич - ведущий инженер-программист отдела 025 акционерного общества «Всероссийский научно-исследовательский институт радиотехники», Москва, Российская Федерация. Область научных интересов: радиолокация, цифровая обработка сигналов.
Improving the accuracy of monopulse direction finding in multi-beam phased arrays
Fetisov S. E.
JSC "All-Russian Scientific and Research Institute of Radio Engineering", Moscow, Russian Federation
The paper investigates the accuracy of monopulse measurement of the angular coordinate by a multi-beam phased array. The Cramer-Rao Lower Bound is determined depending on the number and characteristics of receiving radiation patterns. Calculated values of direction finding errors show that a multi-channel angle dis-8 criminator that enables measurement by signals of a set of beams is more accurate than an angle discriminator ° with two processing channels. The gain in accuracy depends on the amplitude weighting function. The gain is more significant in the direction of radiation pattern maximum as compared with the boresight axis. Calculated
Oi
z values of the gain achieved at different parameters of the phased arrays and angle discriminator are repress sented in tabular form.
>s
V
£ Keywords: monopulse radars, direction finding accuracy, Cramer-Rao lower bound, angle discriminator <
i _
(0 TO
J Information about the author
» Fetisov Sergey Evgenievich - Leading Programming Engineer, Department 025, JSC "All-Russian Scientific and Research
§ Institute of Radio Engineering", Moscow, Russian Federation. OQ
o.
<u
о
о
<D CO
CM ■Clio 9
CM ■Clio
CM
w w
Science research interests: radio detection and ranging, digital signal processing.
