СОВМЕСТНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВЫХ КООРДИНАТ БЛИЗКОРАСПОЛОЖЕННЫХ ЦЕЛЕЙ ЛИНЕЙНОЙ АНТЕННОЙ РЕШЕТКОЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

https://doi.org/10.38013/2542-0542-2022-3-59-66 УДК 621.396.96

Совместное измерение угловых координат близкорасположенных целей линейной антенной решеткой

С. Е. Фетисов

Акционерное общество «Всероссийский научно-исследовательский институт радиотехники», Москва, Российская Федерация

В статье рассматривается метод совместной оценки угловых координат близкорасположенных целей линейной антенной решеткой по сигналам после пространственно-временной обработки. Данный метод позволяет повысить точность траекторного сопровождения в условиях высокой плотности воздушного движения и низкой разрешающей способности по дальности. Полученное выражение совместной оценки угловых координат обобщает формулу максимально правдоподобной оценки угловой координаты одиночной цели. При отношении сигнал/шум выше 11 дБ дисперсия оценки угловой координаты одиночной цели приближается к нижней границе Крамера - Рао. Оценки угловых координат двух близкорасположенных целей с одинаковой амплитудой не имеют систематической ошибки, вызванной интерференционным искажением сигнала.

Ключевые слова: измерение угловых координат, максимально правдоподобная оценка

Для цитирования: Фетисов С. Е. Совместное измерение угловых координат близкорасположенных целей линейной антенной решеткой // Вестник Концерна ВКО «Алмаз - Антей». 2022. № 3. С. 59-66. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2022-3-59-66

For citation: Fetisov S. E. Simultaneous measurement of the angular coordinates of closely located targets by a linear array // Vestnik Koncerna VKO "Almaz - Antey". 2022. No. 3. P. 59-66. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2022-3-59-66

Поступила 10.02.2022 Отрецензирована 02.03.2022 Одобрена 11.05.2022 Опубликована 24.06.2022

Введение

Для измерения угловой координаты точечного источника излучения в фазированных антенных решетках (ФАР) часто применяется суммарно-разностный метод [1-3], позволяющий достичь высокую точность измерения при низких вычислительных затратах. Однако суммарно-разностный метод при моноимпульсном измерении не позволяет совместно оценить угловые координаты близкорасположенных целей [2].

Необходимость измерения угловых координат близкорасположенных целей возникает с возрастанием плотности воздушного движения и в радиолокационных станциях с низкой

© Фетисов С. Е., 2022

разрешающей способностью по дальности. Как указано в [4], в случае наблюдения скоростных целей с использованием немодули-рованных зондирующих импульсов разрешающая способность по дальности может достигать десятков километров.

Известные методы углового разрешения и совместной оценки угловых координат подразделяют на четыре группы [5]: методы —

~ га

линейного предсказания, методы группы | «Кейпон», проекционные методы и методы |

параметрического поиска [6, 7]. Методы пер- о

вых трех групп используют стохастическое !? описание принимаемого сигнала и требуют ,,

оценки ковариационной матрицы, что огра- |

ничивает их применение со сжатыми сиг- &

налами. В сравнении с методами первых о трех групп методы параметрического поиска ^

см см о см

< I

со та

г

о со

о.

<и

о

о <и со

см ■ч-ю

с?

см ■ч-ю см

применимы к временным рядам малой длины [5]. Важно отметить, что методы параметрического поиска по сравнению с другими методами дают наилучшее разрешение и высокую точность оценок при корреляции сигналов от нескольких источников излучения [5].

В статье предлагается метод совместной максимально правдоподобной оценки угловых координат, относящийся к группе методов параметрического поиска. В отличие от методов [8] и [9], вычисление оценок возможно по временному ряду малой длины, что позволяет его использовать после пространственно-временной обработки и обнаружения. Также предлагаемый метод отличается от метода [9] учетом корреляционных свойств шума, что при равных условиях повышает точность оценки угловых координат.

5 = [8(0!).....8(0*)] = [в!.....в*] =

Введем лучеобразующую матрицу [1]

Модель пространственных сигналов после диаграммообразования

Фазовое распределение поля плоской волны, падающей под углом 0 на М ненаправленных элементов линейной ФАР, выражается сигнальным вектором [1] [10]

8(0) = [е /х5^т(0), е/х5мХзЬ(0)]:Г

где 5 = [5!, ..., 5М]Т - вектор-столбец действительных множителей. Для эквидистантной линейной ФАР с длиной волны X и расстоянием с1 между фазовыми центрами смежных элементов 5 = [0, ..., М - 1]гх 2жd /1.

Сумму YN=lai ®(0/) сигналов N источников с комплексными амплитудами а = [аь а2, ..., аы] и угловыми координатами 0 = [0!, ..., 0^ представим векторным произведением S х а. Здесь 8 - сигнальная матрица, составленная из N сигнальных векторов:

е7'х51х8т(01) .е7Х5мХ5т(01)

е7Х51Х5т(0м)

,;хбмх5т(едг)

Ш =

м^е

-ухб^втСе^)

юме

и1ме

-jx8мxsin(.EL)

где 81, ..., 8Ь - угловые направления Ь приемных лучей суммарных ДН, w1, ..., wм - весовые коэффициенты амплитудного распределения ФАР.

Смесь сигнала и шума в суммарных ДН Ь приемных лучей после весовой пространственной обработки выразим вектором

у = W Sa + у, (1)

где у - вектор-столбец случайных нормально распределенных комплексных значений шума с ковариационной матрицей Т. Для радиолокатора с цифровым диаграммообразованием Т = Е[^п)^п)я] = о2ШWWя, где Е[-] - оператор математического ожидания, (^)я - оператор сопряженного транспонирования, п - пространственно-временной белый гауссов шум приемных каналов ФАР с нулевым средним и дисперсией оШ [10]. Действительная и мнимая части случайных значений такого шума счита-г ются статистически независимыми и имеют ^ дисперсию оШ/2 [11]. Для радиолокационных

станций с аналоговым диаграммообразовани-ем коэффициенты матрицы Т в общем случае неизвестны и должны измеряться.

Метод оценки угловых координат

Апостериорная плотность вероятности (ПВ) неизвестных параметров N целей при приеме реализации у определяется согласно формуле Байеса: р(а, в | у) = в).

При отсутствии априорной ПВ р(а,0) и выборе дельта-функции риска неизвестные параметры находятся в максимуме функции правдоподобия р(у | а,0) или, что равносильно, в максимуме логарифма отношения правдоподобия (ЛОП) [1] [2]. Запишем ЛОП I = 1п(р(у | а,0)/р(у)) принятого сигнала у с учетом (1), указанных свойств шума и вида

совместной ПВ нормально распределенных комплексных случайных величин [11]:

I = -(У - WSa)H Т-1 (у - WSa) + ун Т-1 у. (2) Раскрыв скобки в выражении (2), получим

I = ун Т-1 WSa + (WSa)H Т-1 у -- (WSa)H Т-1 WSa

или

I = (ун Т-1 WSa) + (ун Т-1 WSa)H - ан В а, (3)

где В = ^)н Т-1 (WS).

Найдем экстремум ЛОП (3), приравняв к нулю производную I по а:

д((А/\ГС)нЧ'-1у)на

да

+

+--—- —(анВа) = 0.

да да

Используя формулы дифференцирования скаляра по вектору [12]

дунх _ дхну дхнА х _

где (•) - оператор комплексного сопряжения, после преобразований получим

(WS)H Т-1 у = Ва. (4)

Из уравнения (4) следует, что ЛОП достигает максимума при

а = В-1 ^)н Т-1 у. (5)

Подставив (5) в (3), получим ЛОП, значение которого определяется только количеством целей и их угловыми координатами

0 = (ёь ..., = а^тахе (ун С у), (6)

где С = Т-1 В-1 (WS)H Т-1.

Важно отметить, что для N = 1 выражение (6) упрощается и совпадает с известным выражением максимально правдоподобной оценки угловой координаты одиночной цели [13]:

N = 1.

На рисунке 1а показан график функции ЛОП, полученный при моделировании сигналов одиночной цели. Функция меняет свое значение в зависимости от угловой координаты и достигает своего максимума в точке с абсциссой, приближенной к истинному значению угла (1° на рисунке).

График функции ЛОП при моделировании сигналов двух целей приводится в виде линий уровня на рис. 1б. Ввиду равнозначности параметров ё1 и ё2 график симметричен относительно диагональной прямой1 ё1 = ё2 .

Подбор значений параметров ё1, ..., ёN для обеспечения максимума (6) при известном

1 Поиск оценок для экономии вычислительного ресурса следует проводить в одной полуплоскости относительно диагонали.

50 40 30 20 10 0

-6° 1 -3° 0 1 ° 3° 6° 1

1 1 1 ' \ 1 1

1 1 1

1 1 / \ 1 1

1 -1 - V 1 j-

-5

0

0р градусы

6 4

g 2 I о

а^ -2 -4 -6

0j, градусы б

Рис. 1. График функции логарифма отношения правдоподобия в зависимости от угловой координаты одиночной цели а) и угловых координат двух целей б) --значения ЛОП;--направления ДН

га

X ф

ч

га Q.

га

о о.

Ё V

ц

(Ч

5

а

см см о см

< I

со та

s |

о

CQ

О.

Ф

О

о

V CQ

СМ ■Clin

с?

см

■Clin см

(П (П

количестве целей может происходить последовательно сначала в грубом приближении, потом в виде уточнения. Для грубой оценки угловых координат N целей с разделением углового сектора обзора на K - 1 равных интервалов потребуется выполнить 2 Пи=о

векторно-матричных умножений. Так, например, при угловом секторе обзора 60° и шаге проверки 2° (K = 31) при количестве целей 1, 2, 3 и 4 потребуется выполнить 62, 930, 8990 и 62930 векторно-матричных умножений соответственно. С использованием аппаратного ускорения указанное число матрично-вектор-ных умножений при N < 4 на сегодняшний день не является значительным. Однако при N = 4 проверка гипотез может оказаться затратной как по времени вычисления, так и по занимаемой памяти для хранения предварительно рассчитанных матриц C. Процедура уточнения после грубой оценки угловых координат занимает меньшее время и может проводиться методом половинного деления тестируемого интервала, что требует 3Nn проверок (6), где n - число уточнений, а основание 3 соответствует трем гипотезам: значение угловой координаты цели меньше, больше, либо неизменно на текущем шаге. Использование итеративного уточнения элементов матрицы B-1 методом Ньютона позволит избежать необходимости прямого обращения матрицы B на этапе уточнения оценок. Заметим, что матрица B обратима и функция (6) имеет максимум при N < min (L, M), что ограничивает количество одновременно оцениваемых угловых координат.

Точность оценки угловых координат

Эффективность несмещенных оценок определяется близостью их дисперсии к нижней границе Крамера - Рао (НГКР) [2]. Поскольку выполняется условие дифференцируемости по параметрам a и 0, то оценки асимптотически не смещены и можно ограничиться исследованием их дисперсии [2].

Выразим НГКР для дисперсии оценки угловой координаты одиночной цели по сигналу суммарных ДН. Следует отметить, что известное из [1] выражение

потенциальной точности для М-канальной эквидистантной ФАР не учитывает специфику оценки по сигналам суммарных ДН и поэтому в данном исследовании не используется.

Произведем замену и = sin(01), А = |а1|, ф = а^а^) и определим коэффициенты матрицы Фишера [2]

Ф = -IE

г д21 д21 д21

ди2 ди дА ди 9ф

д21 д21 д21

дА ди дА2 дАд ф

д21 д21 д21

-Зф ди дф дА дф2

Диагональные элементы матрицы Ф-1 определяют нижнюю границу дисперсии оценки неизвестных параметров одиночной цели: синуса угловой координаты и, амплитуды А и начальной фазы прихода сигнала ф. Ограничимся рассмотрением первого элемента на диагонали матрицы Ф-1:

D[fl] = (Ф-1)^ =

2i42(sf (6 о U о

о 6r)Sl) - 2А2

s?(6oU)Sl|

21

sfUs!

(7)

где и = Wя - матрица М х М; (°) - оператор произведения Адамара.

Дисперсия оценки угловой координаты одиночной цели Ш)[()1] связана с дисперсией оценки синуса угловой координаты Ш)[й] приблизительным равенством Щбу ~ Ш)[й]/со$2 (01). Далее знак приблизительного равенства опустим, пренебрегая несимметричностью распределения случайной величины оценки 01 на больших углах приема сигнала 01 относительно нормали ФАР. Для ФАР с цифровым диаграммообразованием выражение (7) с учетом сказанного преобразуется:

(«о (а -

-1 (8)

(6 о 51) СО82(01)

где 0 = Wн (WWH)-1 W.

Величина |а1|2 / оШ в выражении (8) определяет отношение сигнал/шум (ОСШ) в приемном канале ФАР. Величина ОСШ в децибелах после пространственно-временной обработки

= 10 X ^1о(К|2 / о2ш) + g,

где g - коэффициент увеличения ОСШ в децибелах при наблюдении цели в максимуме пространственно-временной функции неопределенности [1].

На графике рисунка 2 сплошной кривой показана зависимость нижней границы сред-неквадратического отклонения (СКО) оценки

угловой координаты одиночной цели ^Щв^

от значения ОСШ Отмеченные точки в окрестности этой кривой были получены статистической обработкой результатов многократной оценки с использованием выражения (6).

Приведенные на графике рисунка 2 данные рассчитывались при моделировании сигналов ФАР, содержащей 32 ненаправленных элемента с расстоянием Х/2 между фазовыми центрами смежных элементов и спадающим к краям ФАР амплитудным распределением. Согласно графику, значения СКО оценки угловой координаты одиночной цели приближаются к нижней границе Крамера - Рао при ОСШ более 11 дБ. При меньших значениях наблюдается отклонение от предела, что объясняется ростом числа аномальных измерений [1].

При оценке координат двух близкорасположенных целей с одинаковой амплитудой проверялось отсутствие систематического смещения оценок. Для этого анализировалась статистика оценок при ОСШ ^ 12 дБ и 15 дБ при угловом расстоянии между целями в 1,0

и 1,5 ширины ДН по уровню половинной мощности. Полученные гистограммы оценок приводятся на рисунке 3.

Наименее точный результат наблюдался при угловом расстоянии в одну ширину ДН и ОСШ 12 дБ - в 5% случаев сигналы двух целей не различались, что соответствует на графике рисунка 3 локальному возрастанию плотности оценки в районе 0°. Такой исход наблюдался при синфазном приходе сигнала двух целей и существенном влиянии шума. При повышении ОСШ до 15 дБ такой исход наблюдался в два раза реже, а при угловом расстоянии между целями в 1,5 ширины ДН практически исчезал.

При ОСШ больше 11 дБ и угловом расстоянии между целями более 1 ширины ДН плотность распределения оценки угловой координаты каждой цели имеет симметричный унимодальный вид. Математическое ожидание оценки близко соответствует ее моде, что говорит о незначительной ошибке смещения при взаимно мешающем влиянии двух целей, сигналы которых моделировались со случайной начальной фазой. Отдельные эксперименты также показывают незначительное отклонение гистограмм от симметричной формы при синфазном либо противофазном приходе сигналов.

Заключение

В статье предложен метод совместной оценки угловых координат близкорасположенных целей по сигналам суммарных диаграммах направленности линейной ФАР. Полученное выражение совместной оценки обобщает формулу максимально правдоподобной оценки угловой координаты одиночной цели.

40

30

С 20

10

0

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

ОСШ, дБ

Рис. 2. Сравнение СКО оценки угловой координаты с нижней границей Крамера - Рао

--НГКР; о - СКО оценки

га

X Ф

ч

га Q.

га

о

.

£

ф ц

(Ч

Разница в 1 ширину ДН

Разница в 3/2 ширины ДН

2 §

о

см см о см

< I

со та

s

I

о

CQ

о.

ф

о

о ф

CQ см

■Clin

с?

см

■Clin см

(П (П

4000

2 3000

Щ

S

И

g 2000

1000

6° -3° J 0 О ж 3° 6

1 ■ 1 1 ш

4000

и

I

Щ

S S £Р

3000

2000

1000

'О J I 0 о i 6

Г А j!

-4-2 0 2 Угловая координата, гр

-4 -2 0 2 4 Угловая координата, гр

4000

а

о о

и g

Ö S S

<U

с

3000

2000

1000

| 1 1

6° т! 0 0 1 3° 6

J J L

4000

и

I Ö S S

<u С

3000

2000

■

■

-4

-2 0 2 Угловая координата, гр

-4-2 0 2 Угловая координата, гр

Рис. 3. Гистограммы максимально правдоподобных оценок угловых координат при разном угловом расстоянии

между двумя целями и разных значениях ОСШ --оценка 0!;--оценка 02

Отличительной особенностью метода является его применимость с временными рядами малой длины, что позволяет использовать метод после пространственно-временной обработки и обнаружения. Результаты статистического моделирования по временному ряду единичной длины подтвердили, что случайная ошибка оценки угловой координаты одиночной цели незначительно отличается от нижней границы Крамера - Рао при отношении сигнал/ шум выше 11 дБ.

При моделировании сигналов двух близкорасположенных целей с одинаковой амплитудой было установлено отсутствие систематической ошибки измерения их угловых координат, вызванной интерференционным искажением принятого сигнала. Отсутствие систематической ошибки позволяет повысить точность траекторного сопровождения близкорасположенных целей. Увеличение

точности достигается использованием параметрической модели, более полно описывающей характер принимаемых сигналов по сравнению с моделью суммарно-разностного метода оценки.

При исследовании статистических свойств оценок считалось, что количество наблюдаемых целей известно. Если количество целей неизвестно, то оно может определяться последовательной проверкой гипотезы о наличии мешающего сигнала [9] с учетом условия N < min (L, M). На практике количество оцениваемых угловых координат ограничено сложностью вычислительного процесса. Исходя из рассчитанного числа векторно-мат-ричных умножений, применение метода с использованием распространенных средств аппаратного ускорения возможно для совместной оценки угловых координат до четырех точечных целей.

0

4

6

6

0

4

6

4

6

Список литературы

1. Ширман Я. Д., Манжос В. Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. - М.: Радио и связь, 1981. -416 с.

2. Радиотехнические системы: Учеб. для вузов по спец. «Радиотехника» / Ю. П. Гришин, В. П. Ипатов, Ю. М. Казаринов и др.; Под ред. Ю. М. Казаринова. - М.: Высш. шк., 1990. -496 с.

3. S. M. Sherman and D. K. Barton, Monopulse Principles and Techniques, Artech House Publishers, 2011.

4. Порсев В. И., Николаев А. П., Кривонож-ко И. С. Многоканальное накопление радиолокационных сигналов, отраженных от высокоскоростных целей, движущихся с ускорением. Вестник Концерна ВКО «Алмаз - Антей». 2018;(1):23-34.

5. Nickel U. Angular superresolution with phased array radar: a review of algorithms and operational constraints. "IEE Proc.", Pt.F, 1987, Vol. 134, No. 1, pp. 53-59.

6. Ратынский М. В. Адаптация и сверхразрешение в антенных решетках. М.: Радио и связь, 2003, 200 с.

7. Ермолаев В. Т. Методы оценивания параметров источников сигналов

и помех, принимаемых антенной решеткой / В. Т. Ермолаев, А. Г. Флаксман; Федер. агентство по образованию, Нижегород. гос. ун-т им. Н. И. Лобачевского. - Н. Новгород : [б. и.], 2007, - 98 с.

8. J. Bohme. Source-parameter estimation by approximate maximum likelihood and nonlinear regression. IEEE Journal of Oceanic Engineering, 1985, vol. 10, no. 3, pp. 206-212.

9. Nickel U. Superresolution using an active antenna array. IEE Conf. Publ., 1982, vol. 216, pp. 87-91.

10. Кремер И. Я. Пространственно-временная обработка сигналов / И. Я. Кремер, А. И. Кремер, В. М. Петров и др.; Под ред. И. Я. Кремера. - М.: Радио и связь, 1984. -224 с.

11. N. R. Goodman. «Statistical Analysis Based on a Certain Multivariate Complex Gaussian Distribution (An Introduction).» Ann. Math. Statist. 34 (1) 152-177, March, 1963.

12. Kay, S. M., Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory, PTR Prentice Hall, 1993.

13. Журавлев А. К., Лукошкин А. П., Поддубный С. С. Обработка сигналов в адаптивных антенных решетках. - Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1983, 240 с.

Об авторе

Фетисов Сергей Евгеньевич - ведущий инженер-программист отдела 025 акционерного общества «Всероссийский научно-исследовательский институт радиотехники», Москва, Российская Федерация. Область научных интересов: радиолокация, цифровая обработка сигналов.

| Эnектронмка. PaguoTexHUKa|

m

Simultaneous measurement of the angular coordinates of closely located targets by a linear array

Fetisov S. E.

JSC "VNIIRT", Moscow, Russian Federation

The paper considers the method of simultaneous estimation of the angular coordinates of closely located targets by a linear antenna array after space-time signal processing. This method makes it possible to improve the accuracy of flight trajectory tracking under conditions of high air traffic density and low resolution by range. The obtained expression for simultaneous estimation of the angular coordinates generalises the formula of the maximum plausible estimate of the single target's angular coordinate. At signal-to-noise ratio above 11 dB, the dispersion of single target's angular coordinate estimate approaches the Cramer - Rao lower boundary. The estimates of the angular coordinates of two closely located targets having the same amplitude are free from the systematic error caused by moiré signal distortion.

Keywords: angular coordinate measurement, maximum plausible estimate

Information about the author

Fetisov Sergey Evgenievich - Leading Programming Engineer, Department 025, JSC "All-Russian Scientific and Research

Institute of Radio Engineering", Moscow, Russian Federation.

Science research interests: radio detection and ranging, digital signal processing.