CC BY
8
9. Дорошенко В.С. О простых решениях для производства высокопрочного чугуна // Металлургия машиностроения. 2021. №1. С. 5-10.
10. Фесенко А.Н., Фесенко М.А., Корсун В.А. О влиянии модифицирующих добавок на структуру чугуна в отливках // Литейное производство. 2020. №2. С. 6-7.
Бурый Григорий Геннадьевич, канд. техн. наук, доцент, buryy1989@bk.ru, Россия, Омск, Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет
CORRECTION OF THE METALLURGY PROCESS OF HIGH-STRENGTH CAST IRON
G.G. Buriy
The article discusses the relevance of clarifying the process of modifying cast iron. The modifier substances allowing to obtain spherical graphite in high-strength cast iron are considered. A diagram describing the ability to modify spherical graphite has been compiled. The influence of graphite shape on its physical and mechanical properties is considered. Regression dependences of the main physical and mechanical properties on the volume fraction of each type of graphite are given.
Key words: cast iron, modifier, metallurgy, graphite, physical and mechanical properties.
Buriy Grigoriy Gennadjevich, candidate of technical sciences, docent, buryy1989@bk.ru, Russia, Omsk, Siberian State Automobile and Road University
УДК 519.24:658.562.012.7
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-12-668-678
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ
ПОСРЕДСТВОМ УЛУЧШЕНИЯ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ РАВНОМЕРНОГО
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В.П. Рязанский, С.В. Юдин
Статья содержит построение оценок параметров равномерного распределения с помощью классических методов, неклассических методов: методом спейсингов, на основе достаточных статистик, а также при помощи аппроксимации равномерного распределения трехпараметрическим распределением. Некоторые оценки оказались сверхэффективными. Проведен анализ смещения и дисперсии построенных оценок. Обсуждены понятия несмещенности оценок в среднем и несмещенности по моде на примере построенных оценок. Вычислены среднеквадратические ошибки полученных оценок. Проведено сравнение среднеквадратического риска построенных оценок. Проанализировано среднеквадрати-ческое отклонение смещенных и несмещенных в среднем оценок. В некоторых случаях удаление смещения приводит к росту дисперсии, но среднеквадратическое отклонение оценки уменьшается. Оценки максимального правдоподобия при несимметричной плотности оценки оказываются смещенными в среднем, но при этом несмещенными по моде в некоторых случаях. Построены оценки максимального правдоподобия при помощи аппроксимации равномерного распределения трехпараметрическим распределением. Вычислена нижняя граница дисперсии данных оценок. Данная граница проходит ниже дисперсии оценок на достаточных статистиках. Оценки параметров трехпараметрического распределения не имеют достижимости вычисленной нижней границы. Предложенные оценки максимального правдоподобия имеют точность равную точности сверхэффективных оценок.
Ключевые слова: менеджмент качества, метод спейсингов, достаточная статистика, математическая статистика, смещение по моде, смещение в среднем.
Важность равномерного распределения трудно переоценить. Оно имеет фундаментальное значение. Так если случайная величина X имеет непрерывную функцию распределения F ( х), то случайная величина Y = F ( х) равномерно распределена на интервале [0,1] [1]. На этом факте основан метод
моделирования элементов выборочного пространства для заданного распределения методом Монте-Карло. В прикладной статистике, метрологии, при статистической обработке данных измерений, наблюдений признаков изделий оборонной продукции предприятий возникает задача оценки параметров равномерного распределения. Равномерным распределением хорошо описываются погрешности квантования в цифровых приборах, погрешности от округления при расчетах, при отсчете показаний аналоговых приборов, погрешности от трения в стрелочных приборах с креплением подвижной части на кернах и подпятниках, а также в самоуравновешивающихся мостах и потенциометрах со следящим электромеханическим приводом. Обычно принимают гипотезу о равномерном распределении погрешности от измерения температуры окружающей среды для приборов, работающих в цеховых или лабораторных условиях при односменной работе [2].
Таким образом, вопросы точного и надежного оценивания параметров равномерного распределения имеют как практическое, так и теоретическое значение.
Постановка задачи. Пусть выборка х^,...,xn содержит значения некоторого измеренного или
наблюденного признака изделия оборонной продукции. Принята гипотеза о том, что генеральная совокупность данного признака имеет равномерное распределение на интервале^, b]. Параметры a,b неизвестны и подлежат оцениванию. Построим различными методами оценки данных параметров и функций от параметров, математическое ожидание распределения m = (a + b) / 2 и длину интервалаr = b — a .
1.Точечные оценки параметров a, b, m, r. Метод моментов приводит к следующей системе уравнений:
2
a + b _-. (a — b) _ 2
-— x >-— S >
2 12
где X =1V x. " выборочное среднее, s2 = 1 V (x. — X)2 -выборочная дисперсия. n 1 n — 1 '
Данная система позволяет получить следующие оценки для параметров a, b, т,ст: _ А _ ._ А _ А
a = х — Sv 3, b = х + SV 3 , m = х, r = S.
Оценки, найденные по методу моментов, образуют состоятельную последовательность оценок приn ^ю, но редко бывают эффективными. Плотность оценки в виде выборочного среднего по выборке из равномерно распределенной совокупности вычисляется точно [6]. Плотность описывается степенными функциями. Асимптотически выборочное среднее нормально и обладает дисперсией порядка 0(1/ n).
Оценками параметров a, b по методу максимального правдоподобия (МП) являются порядковые статистики:
АА
a = X(1) , b = X(n) ,
где х(1),x(n) - члены вариационногоряда х(1) <...<x(n) или х(1) = min(Xj,...,xn},x(n) = max{x^...,хп}.
На границах интервала [a, b] функция правдоподобия претерпевает разрывы. Аппарат произ-
АА
водных не применим. Убедимся непосредственно, что оценки a , b максимизируют функцию правдоподобия:
f (X a b) = 1 при a < х < b, 0 иначе.
7 (b — a)n
А А
Для любой точки х = (Xj,...,xn) выборочного пространства f (х,a,b) > f (х,a,b) имеем
f (X,А,А) =.> -—- = f (х, a, b)V a,b. (b — a )n (b — a)
Оценки МП эффективны, но в данном случае являются несмещенными только асимптотически. Покажем это ниже.
Оценки по этому методу спейсингов [3] асимптотически эффективны и состоятельны даже для моделей, где глобальной оценки МП не существует.
Пусть X(1) < ... < X(n)- вариационный ряд, построенный по выборке X^...,Xn из совокупности с функцией распределения F(x, в), плотностью F(х,#) и носителем [a,b]. Если параметры a, b неизвестны, их считают компонентами вектора в. Тогда положим, что X(0) = a, X( +1) = b .
По методу спейсингов оценки параметров максимизируют функцию H (в) = ln G(e), где
G(e) = ПГD ,Dk = p f (x,G)dx =F(X(k),в) — F(X(k—1),в), k = 1,...,n +1
Jx( k—1)
В данном случае функция H (в) принимает вид:
H (a, b) = ln( X(1) — a) + V ln( X( k) — X( k—+ ln(b — X( n)) — (n + 1)ln(b — a). В^гчислим производные H(a,b) по a,b и приравняем их нулю. Это приводит к следующей системе уравнений:
—1 n+1- = o,-i__nil = о.
х(1) — a b — a b — x( ) b — a
(1) (n)
Решение системы дает оценки по методу спейсингов:
л = щц - Хо. ь = пХ( п ) Х(1)
п -1 п -1 п -1 п -1
л л
Ниже показано, что полученные оценки а, Ь не имеют смещения.
Построение несмещенных оценок на основе достаточных статистик. Минимальной достаточной статистикой для равномерного распределения является двумерная статистика (х^,Х(п)) [4]. Порядковая статистика Х(ку построенная по выборке х1,...,хп из равномерно распределенной на интервале [0,1] совокупности имеет бета-распределение с параметрами (к,п - к +1) [1]. Если случайная величина W имеет бета-распределение с параметрами а,р, то математическое ожидание и дисперсия распределения таковы [5]:
ЕЖ = апж =. а-Р
а + р (а + р)2(а + р +1) Тогда для случайной величины и ~ -[0,1] имеем Еи =_1_ Еи = П
(1) п +1' (п) п +1
Пусть X равномерно распределена на интервале [а,Ь], тогда X = а + (Ь - а)и. Вычислим математическое ожидание порядковых статистик Х(1), Х( ):
ЕХ(1) = а + ЪьГа, ЕХ(я) = Ь - Ьь-1 (1)
п +1 п +1
л л
Это подтверждает наличие смещения у оценок а, Ь , полученных по методу МП. Сверх того, явно указывает эти смещения:
Ьias(х(1)) = -Ыа$(х( )) = Ь—а. (1) (п) п +1
Смещение пропорционально длине интервала а = Ь - а и для небольших выборок смещение
лл
будет существенным. Смещения МП оценок а, Ь равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Этот факт позволяет построить несмещенную оценку математического ожидания распределения
и = а + Ь . Положим Л = х0) + Х(")
и 2 и= 2
лл Оценка /и не имеет смещения по построению. Кроме того, оценка /и основана на достаточной
статистике и обладает минимальной дисперсией (теорема Лемана-Шеффе) [4]).
Построим оценки параметров а, Ь в классе линейных несмещенных и основанных на достаточной статистике и, следовательно, эффективных:
л
а = $ ' Х(1) + ^ ' Х(п) .
Смещения оценок параметров а,Ь в виде х^,Х(п) равны по модулю и противоположны по знал л ку. Этот факт позволяет представить оценку Ь в следующем виде: Ь = ? • + $ • Х(п).
Числа ? подлежат вычислению. Для этого воспользуемся уравнениями несмещенности:
л л Еа = а,ЕЬ = Ь .
Учитывая (1) выражения для ЕХ(Г),ЕХ(п) данные уравнения перепишутся в следующем виде:
па + Ь пЬ + а . (2)
$--+1--= а . (2)
п +1 п +1
па + Ь пЬ + а
I--+ $--= Ь. (3)
п +1 п +1
Если а,Ь одного знака, то из первого уравнения приходим к следующему уравнению:
а(т + ? - п -1) + Ь($ + п) = 0. (4)
Если а = 0, то из уравнений (2), (3) следует, что $ = п ^ =_Аналогично, если Ь = 0.
п -1' п -1
Если параметры а ф Ь ф 0 и при этом а,Ь одного знака, то уравнение (4) имеет решение только и если
только множители при а,Ь одновременно обращаются в нуль и поэтому ^ = п ^ =_]_. Если
п -1' п -1
а ф Ь ф 0, и при этом а,Ь имеют разные знаки, то система уравнений (2), (3) приводит к интересному
соотношению 5 + ? = 1 и далее получаем тот же результат ^ = п ^ =_. Таким образом, оценки
п -1' п -1
примут вид:
А пх X А пх X
а = ПЛ(1) - Л(п) Ь = (п) - (1) (5)
п -1 п -1' п -1 п -1 В качестве оценки длины интервала г = Ь - а рассмотрим следующую статистику:
А п +1. (6)
г =-7(х(„) - х«). (6)
п -1
Отсутствие смещения данной оценки проверяется непосредственно, учитывая (1). Эффективность оценки следует из факта построения оценки на основе достаточной статистики.
Еще один простой способ построить несмещенные эффективные оценки а,Ь использовать
Ь_а
факт, что смещения оценок в виде Х(1), Х(п) известны и равны__Построим несмещенные оценки,
п п +1
устраняя смещения вычитая его из Х(1) и прибавляя к х^.
А = Ь - а А = Ь - а а — х„ \ , Ь — X/ \ '
(1) п +1 (п) п +1 Сложность в том, что уравнения содержат неизвестные параметры. Заменим эти параметры искомыми несмещенными оценками. Полученная система уравнений также использует соображения несмещенности. Решение системы приводит к оценкам (5), полученным ранее.
Модально несмещенные оценки. Оценки, математическое ожидание которых совпадает с параметром при всех его значениях, называют оценками несмещенными в среднем. Если плотность оценки унимодальна, то оценку равную моде называют модально несмещенной. В случае симметричной плотности оценки мода совпадает с математическим ожиданием. Оценка несмещенная в среднем является оценкой несмещенной по моде. Примером является оценка в виде выборочного среднего из совокупности с нормальным распределением, где выборочное среднее также распределено нормально. В нашем случае оценки параметров а,Ь, полученные по методу МП в виде х^, Х( ), есть оценки несмещенные по моде.
Оценки МП максимизируют функцию правдоподобия. В случае унимодальной несимметричной плотности оценки именно мода и доставляет максимум функции правдоподобия. Следствием этого является наличие смещения в среднем у оценок МП в некоторых случаях. Дисперсии построенных оценок.
Как отмечено выше, если случайная величинаи ~ ^[0,1], то порядковая статистика Ц.к) имеет бета распределение с параметрами (к, п - к +1) , тогда дисперсия и к выражается следующим образом:
ви(к) = к(п -2к+1 .
(к) (п + 1)2(п + 2)
Поэтому
п
£>и(1) = Би, п) =
(1) (п) (п + 1)2(п + 2) Иногда предпочтительнее использовать следующую параметризацию равномерного распределения. Пусть случайная величина X равномерно распределена на интервале [0 -0 + ], поэто-
1 2 2 1 2 2
му Х может быть представлена как х = 0 - + ив .
12 2 2
Несмещенные оценки параметров в, 02 на основе достаточной статистики представятся в следующем виде [9]:
в = х(Р + х(п) в = п + 1 (х -х ). (7)
2 п -1
При этом дисперсии порядковых статистик Х(Г), Х( ) выражаются так:
БХ(,) = БХ(„) --02п-
41) п) , , 1Ч2
(п + 1)2(п + 2)' 671
л л
Для вычисления дисперсий оценок 91,92 заметим, что порядковые статистики не являются независимыми, даже при условии независимости исходной выборки. Данная параметризация равномерного
лл
распределения приводит к тому, что ковариация оценок 91,92 равна 0. Дисперсии оценок принимают следующий вид:
л Х + Х 92 1
В9 = в(Х(1) + Хп)) =-9-= 0(±). (8)
1 2 2( п + 1)(п + 2) п2
ов = при (х( п) - Х(1)))=—292— = о(-1). (9)
2 уп -1 (п) (1) (п + 2)(п -1) п2
л л 1
Дисперсии оценок 91,92 пропорциональны__Такие оценки называют сверхэффективными
п2
Несмещенными оценками для границ интервала а =9 —19 Ь = 9 +19 являются следую-
1 2 2' 2 2 2
л = 1 Л = 1
а = Х(1) - п-1 (Х(п) - Х(1) ), Ь = Х( п) + п-1 (Х(") - Х(1) ) .
Отметим, что ковариация при этом отлична от нуля:
л л 92 cov( а, Ь) = --2--
[3].
щие:
(п2 - 1)(n + 2)
Дисперсии оценок таковы: Х(1)
л л п92 1
Da = Db = 2 П92-= 0(-1).
(п2 - 1)(п + 2) п2
Для сравнения оценок используют такой показатель как среднеквадратическое отклонение
л
(СКО) оценки от истинного значения параметра E(9- 9)2. СКО оценки иногда называют среднеквадратичным риском оценки. Удобным оказывается следующее представление СКО оценки:
E (л- 9)2 = E (л- E9+ E9-9)2 = E (л- Ел)2 + E (Ел- 9)2 = D9 + bias 2(9). Данное разложение СКО оценки позволяет делать осознанный выбор между точностью оценки и ее смещением. Не всегда имеется возможность уменьшить оба слагаемых в разложении СКО оценки одновременно. Для несмещенных в среднем оценок среднеквадратичный риск оценки совпадает с ее
л nx x
дисперсией. Сравним среднеквадратичный риск оценок параметра а в виде и a = (1) (п) . Для это-
п -1 п -1
го вычислим отношение рисков сравниваемых оценок:
- ,л2
41)
E(X(1) - a)2
^ = 2(1 -1/п).
Е(а - а)2
С другой стороны, отношение дисперсий оценок выражается так:
л
Па п +1
ПХ(1) п -1
Асимптотически дисперсии равны, но при объеме выборки п от 10 до 30 несмещенная оценка
л
а теряет в точности от 22% до 7% по сравнению со смещенной оценкой Х^.
Сравним среднеквадратичный риск оценок длины интервала 92 в виде (Х(п) - Х(^) и оценки
л п +1
9 =_(х - X ) путем построения отношения рисков данных оценок:
2 п -1 (п) (1)
2
Е(Х(п) - Х(1) -92) = (2п + 1)(п -1) = о (2)
Е(^2-92)2 " (п +1)2 "
Рассмотрим отношение дисперсий этих оценок:
Рд2 = г(И + 1)т2 . Б(Х(Я) - Хш) (п +1)
л
В данном случае при объеме выборки п от 10 до 30 несмещенная оценка в2 теряет в точности от 49% до 14% по сравнению со смещенной оценкой Х(п) - Х^. Смещение оценки длины интервала в
виде X( ) — X(1) в два раза больше смещения оценки левой границы интервала в виде Х(1). Потери в
(п) (1) (1)
точности оценки длины интервала оказались более чем в два раза выше. Данную ситуацию называют «компромиссом» между дисперсией и смещением.
Построение оценок параметров равномерного распределения при помощи аппроксимации равномерного распределения трехпараметрическим распределением. При статистической обработке данных с измеренными (наблюденными) признаками изделий оборонной промышленности удобным оказалось трехпараметрическое распределение [7] с плотностью:
g (х,ц,ю,у) = -
ехр(— I ~—~Г)
с
2сГ(1 + 1/г)
На рис.1 представлены графики плотности данного распределения при различных значениях V.
0.5
0.4
0.3 0,2 0.1 0.0
-з -г -1 о 1 2 з
Рис. 1. Плотность г]-распределения при т=0, ю=1, г=2 (синяя линия), у=5 (оранжевая линяя),
v=100 (зеленая линяя)
Здесь д - параметр сдвига, ю - параметр масштаба, V -параметр формы. Некоторую универсальность данному распределению придают следующие свойства. Нормальное распределение является частным случаем при г = 2. При этом со2 = 2а2, где с2 -дисперсия нормального распределения. Распределение Лапласа есть частный случаем при г = 1. В данном случае используем свойство трехпараметрического распределения хорошо аппроксимировать равномерное распределение. Так, из рис. 1 видно, что при Г = 100 график плотности мало отличим от графика плотности равномерного распределения. Для оценки близости двух распределений используют понятие расстояния между распределениями [8]. Для оценки качества аппроксимации равномерного распределения на отрезке [а,Ь] с помощью трехпараметриче-ского распределения рассмотрены расстояние хи-квадрат:
(р(х) — g(х)) ^х расстояние Хеллингера Р( х)
Рз (Р( х), g (х)) = \ (V р( х) — )2йХ. В качестве параметра ц примем (а + Ь) / 2, параметр ю положим равным Ь — а . Для выбора
третьего параметра рассмотрим Рис.2, на котором представлены зависимости расстояния хи-квадрата и расстояния Хеллингера от параметра V.
Анализ рис.2 подтверждает, что с увеличением параметра V оба расстояния монотонно убывают. Для расстояния Хеллингера между произвольными распределениями с плотностями р( х), g (х) верна оценка [8]:
Р2( Р( х), g (х)) = |
0 <ръ(p(x),g(x)) < 2.
Так, при изменении V от 10 до 100 расстояние Хеллингера изменяется от 0,0317 до 0,00311, что соответствует изменению в процентах от 1,59% до 0,156% от максимально возможного значения для р3.
На основании этого полагаем данную аппроксимацию удовлетворительной. Выбор конкретного значения параметра V определяется инженером-исследователем и не сильно влияет на сложность вычислений.
Рис. 2. Зависимость расстояния хи-квадрат и расстояния Хеллингера от параметра V
В дальнейшем считаем параметр у известным. Чтобы воспользоваться свойством модуля | а |2 = а2, положим у равным четному натуральному числу. Теперь трехпараметрическое распределение удовлетворяет всем условиям регулярности [3]. Это потребуется для применения неравенства Рао-Крамера. Для построения оценок параметров —,с воспользуемся методом максимального правдоподобия. Для независимой выборкиx1,...,xn, содержащей значения некоторых признаков изделий оборонной продукции, логарифм функции правдоподобия примет вид:
L(x, —, т) = 1п П g(xk , —, с) = -V (хк——)у - п 1п 2т - п 1п Г(1 +1 / у).
со
Приравнивая к нулю производные от функции правдоподобия L(х,—,с)по — ,с , приходим к системе уравнений:
V (хк - — у = o, (10)
ту. (11)
- V(xk-— )у =
Заметим, что при у = 2 система полностью совпадает с системой уравнений для вычисления МП-оценок по выборке из нормального распределения, с учетом, что в данной параметризации с2 = 2а2.
Определим нижнюю границу дисперсии МП-оценки параметра —, вычисленной по уравнению (9), с помощью неравенства Рао-Крамера [4]. Нетрудно проверить, что трехпараметрическое распределение удовлетворяет всем условиям регулярности. В самом деле, © = {(—, с) | — еЯ,с>0}- открытое
множество. Носитель распределения А = {х | g(х) > 0} = Я не зависит от параметров распределения.
Частные производные ^ ^ не обращаются в нуль для Ух е А V— е © Уюе©. Кроме того, для слу-8/89
чайной величины
и =
81п g (х,—) 8—
верно, что Еи1 = 0. Вычислим математическое ожидание и1 путем дифференцирования двух сторон тождества | g (х,—)йх = 1
8g (х,—)
0 =
■8g (х, —) ^ 8—
g (=Е = Еи1
g (х,—)
8—
Выполнение условий регулярности позволяет записать неравенство для дисперсии оценки параметра /:
^ Л 1 1
Б/>-=-,
К (/) п/Д/)
где /1(/) = Би1
Вычислим правую часть неравенства. Для этого найдем дисперсию Ц1:
г2 X 1
/Д/) = ви, = — Б( - )Г—1. — —
X
Для вычисления дисперсии случайной величины у = (_)Г—1, найдем плотность У :
а
¥Т(у) = Р{У < у} = Р{(—Г1 < у} = Р{X < —у1/(Г)} = ¥х(—1/(Г)). —
Ранее принято, что параметр г положен равным четному натуральному числу. Поэтому слу-X
чайная величина у = (_)Г—1 принимает любые действительные значения. Вычислим уу (у) - плотность
—
У:
ъ(у) = — = —Ту-=
Найдем дисперсию У по определению:
БУ = } у2и(уУу = } у2/х —у1Г1))-—-I у Г1 dy =-1-]у |Г/(Г—1) ехр(— | у |Г/Г—=
—I —1 Г —1 2(г — 1)Г(1 + 1/г) —
<х>
1 уГ/(Г—1)ехр(—уГ/(Г—1))dy
I Л
(г — 1)Г(1 + 1/г
В последнем переходе использовано свойство определенных интегралов от четной функции. Теперь заметим, что полученный интеграл представляет собой выражение пропорциональное математическому ожиданию случайной величины с распределением Вейбулла с параметрами (г/(г —1);1):
г — 1
Г(-+1)
БУ =-г--
гГ(1 + 1/г)
Это позволяет определить /(/) :
г — 1
2 Г(— + 1)
V V 1,
/Ли) = ви1 =— БУ =—-г--
^ 1 —2 —2 Г(1 + 1/г)
Нижняя граница для дисперсии оценки параметра ц запишется так
Б Л> 1 = 1 = — Г(1 + 1/г) (12)
/п (/ п/1(/ пГ Г(г —1 +1)
г
Заметим, что при г = 2 нормальное распределение есть частный случай трехпараметрического распределения и нижняя граница для дисперсии оценки параметра сдвига запишется так:
п Л -2 с2
Б/>— ---
2п п
Здесь учтен факт, что —2 = 2с2, где с2 - дисперсия в нормальном распределении.
Сравним нижнюю границу (12) дисперсии МП-оценки и теоретическую дисперсию оценки (8).
л
На рис 3. представлены графики дисперсии (8) оценки 01 и нижняя граница (12) дисперсии МП-оценки
л
/ при — = 1и г = 100.
Верхняя линия на Рис. 3 представляет теоретическую дисперсию (8) оценки математического ожидания равномерного распределения в виде полусуммы первого и последнего членов вариационного
ряда. Дисперсия данной оценки имеет порядок 0(1 / п2). Оценки с подобной дисперсией называют сверхэффективными. Нижняя линия на рис.3 представляет нижнюю границу (12) МП-оценки параметра / равномерного распределения. Данная граница не является точной и достижима только для экспоненциального семейства распределений [4].
л л
Рис. 3. Дисперсии (8) оценки 0 (верхняя линия) и нижняя граница (12) дисперсии МП-оценки ^
(нижняя линия) при со = 1 и v = 100
Для получения фактической дисперсии МП-оценки проведено моделирование методом Монте-Карло с последующей статистической обработкой результатов. При моделировании в каждой из N=2000 серий формировалась выборка, содержащая n=100 значений. Значения выборки получены путем моделирования реализаций случайной величины, равномерно распределенной на интервале [1,3]. По каждой выборке вычислены МП-оценки, полученные как решения уравнений (10), (11). Решения уравнений (10), (11) найдены численными методами с использованием языка программирования Python. Кроме того, по каждой выборке вычислялись оценки (7), основанными на достаточной статистике. По результатам моделирования среди всех серий вычислены среднеквадратические отклонения (СКО) оценок от истинных значений параметров0,02 . На рис.4 представлены гистограммы сравниваемых оценок. Среди всех серий испытаний вычислены СКО оценок. Так значения СКО МП-оценки математического ожидания, равного параметру 0 практически равны СКО оценки (7), основанной на достаточной статистике. При моделировании использованы следующие значения параметров 0 = 2,02 = 2. Тогда теоретическая дисперсия равна:
Л 02 4 D0. =-^-=-4-» 0.000194.
1 2(n + 1)(n + 2) 2(100 +1)(100 + 2)
Рис. 4. Гистограммы МП-оценок и оценок на достаточной статистике
По результатам моделирования численные значения СКО оценок параметра 0 полностью согласуются с численными значениями теоретической дисперсией.
Нижняя граница (12) дисперсии достижима только для экспоненциального семейства распределений [4]. Трехпараметрическое распределение не принадлежит данному семейству распределений. Анализ результатов моделирования также показал недостижимость нижней границы (12) дисперсии МП-оценки. Тем не менее, дисперсия МП-оценки математического ожидания Д практически равна дисперсии
Л Л
оценки, основанной на достаточной статистике. Оценки (7) 0,0 , выраженные через достаточные статистики, являются наилучшими, не только среди линейных несмещенных, но и среди всех возможных
/\ /\ 1
оценок вообще [9]. Дисперсии оценок в в2 пропорциональны _. Такие оценки называют сверхэффек-
1,2 2 п
тивными [3]. Дисперсия построенной МП-оценка математического ожидания равномерного распределения полностью совпадает с дисперсией оценки (7). Таким образом, МП-оценка математического ожидания Д может считаться сверхэффективной.
На рис. 4 представлены гистограммы МП-оценок и оценок (7).
Анализ гистограммы позволяет делать вывод о согласии эмпирических дисперсий МП-оценок и оценок на достаточных статистиках, полученных при моделировании, с теоретическими дисперсиями.
Выводы.
Изложено построение оценок параметров равномерного распределения с помощью следующих методов: методом моментов, методом максимального правдоподобия, методом спейсингов, на основе достаточных статистик. Оценки по методам МП, спейсингов и основанные на достаточных статистиках оказались сверхэффективными. Для построенных оценок вычислены и проанализированы смещение и дисперсия. Дисперсия данных оценок математического ожидания равномерного распределения имеет
порядок 0(—). Практический вывод для инженеров заключается в предложении использовать при ста-
п2
тистической обработке признаков изделий оборонной продукции оценки, полученные с применением трехпараметрического распределения. Данные оценки оказались сверхэффективными. Существует еще один важный аспект данной проблемы, который следует обсудить. Равномерное распределение, как теоретическая модель распределения реальной выборки признаков изделий оборонной продукции — это нулевое (первое) приближение. Трехпараметрическое распределения обладает параметром, это параметр формы, который дает в руки инженеру-исследователю возможность максимально точно аппроксимировать распределение реальных выборок с признаками изделий ОП.
Обсуждены понятия несмещенности оценок в среднем и несмещенности по моде применительно к полученным оценкам. Вычислены среднеквадратические ошибки полученных оценок. Проведено сравнение среднеквадратического риска построенных оценок. Анализ СКО смещенных и несмещенных в среднем оценок показал следующее. В некоторых случаях удаление смещения приводит к росту дисперсии, но СКО оценки уменьшается. Оценки МП при несимметричной плотности оценки оказываются смещенными в среднем, но при этом несмещенными по моде в некоторых случаях. Проведенный анализ СКО рассмотренных оценок приводит к следующим практическим рекомендациям. Устранение смещения у большинства оценок приводит к увеличению их (оценок) дисперсии. В данном случае решение по устранению смещения оценок или уменьшения их дисперсии принимает исследователь (инженер), исходя из целей его исследования.
Построены МП-оценки при помощи аппроксимации равномерного распределения трехпара-метрическим распределением. Вычислена нижняя граница дисперсии данных оценок. Данная граница проходит ниже дисперсии оценок на достаточных статистиках. Оценки параметров трехпараметрическо-го распределения не имеют достижимости вычисленной нижней границы. Предложенные МП-оценки имеют точность равную точности сверхэффективных оценок. Сверх того, применение трехпараметриче-ского распределения позволяет инженеру-исследователю максимально точно аппроксимировать распределение реальных выборок с признаками изделий оборонной продукции предприятий.
Список литературы
1. Уилкс С., Математическая статистика. М.: Наука, 1967. 632 с.
2. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений, Ленинград, Энергоатомиздат, 1991. 302 с.
3. Лагутин М.Б. Наглядная статистика. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009. 472 с.
4. Леман Э. Теория точечного оценивания. М.: Наука, 1991. 444 с.
5. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1967. Т. 2. 752 с.
6. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. М.: Наука, 1966. 587 с.
7. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000. 480 с.
8. Боровков А.А. Математическая статистика: учебник. СПб.: Лань, 2010. 704 с.
9. Афанасьев В.Б, Медведев В.М., Остапенко С.Н., Рязанский В.П. Совершенствование статистических методов исследования в системе управления качеством и надёжностью продукции предприятия. Известия ТулГУ, №7, 2021.
10. Введение в теорию порядковых статистик. Под редакцией А.Я. Боярского. М.: Статистика, 1970. 414 с.
Рязанский Валерий Павлович, ведущий инженер-математик отдела надёжности, Ыи aldo@yandex.ru, Россия, Москва, АО «ГосНИИП»,
Юдин Сергей Владимирович, д-р техн. наук, профессор, svjudin@rambler.ru, Россия, Тула, Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова
INCREASING THE ACCURACY AND RELIABILITY OF PRODUCT QUALITY PERFORMANCE THROUGH IMPROVING ESTIMATES OF UNIFORM DISTRIBUTION PARAMETERS
V.P. Ryazanskiy, S.V. Iudin
The article contains the construction of uniform distribution parameter estimates using classical methods, non-classical methods: the spacing method, based on sufficient statistics, as well as by approximating a uniform distribution by a three-parameter distribution. Some of the estimates proved to be super effective. An analysis of the bias and variance of the constructed estimates was carried out. The concepts of unbiased estimators on average and unbiasedness in mode are discussed using the constructed estimators as an example. The root-mean-square errors of the obtained estimates are calculated. A comparison of the root-mean-square risk of the constructed estimates is carried out. The standard deviation of average-biased and unbiased estimates is analyzed. In some cases, removing the bias leads to an increase in the variance, but the standard deviation of the estimate decreases. The maximum likelihood estimators with asymmetric estimator density turn out to be biased on average, but unbiased in mode in some cases. Maximum likelihood estimates are constructed by approximating a uniform distribution by a three-parameter distribution. The lower bound of the variance of these estimates is calculated. This bound is below the variance of estimates on sufficient statistics. The estimates of the parameters of the three-parameter distribution do not have the attainability of the computed lower bound. The proposed maximum likelihood estimates have an accuracy equal to that of superefficient estimates.
Key words: quality management, spacing method, sufficient statistics, mathematical statistics, mode shift, mean shift.
Ryazansky Valery Pavlovich, leading engineer-mathematician of the reliability department, kot-aldo@yandex.ru, Russia, Moscow, JSC «GosNIIP»,
Iudin Sergey Vladimirovich, doctor of technical sciences, professor, svjudin@rambler.ru, Russia, Tula, Plekhanov Russian University of Economics, Tula branch
УДК 629.488.2
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-12-678-681
СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ УСТРАНЕНИЯ ОБЛЕДЕНЕНИЯ С ХОДОВЫХ ЧАСТЕЙ ВАГОНОВ
А.Н. Шмойлов, Ю.В. Шмойлова
Настоящая статья посвящена вопросам повышение качества работы ходовых частей грузовых и пассажирских вагонов при эксплуатации в различных климатических зонах и времени года. В работе выделен недостаток в работе существующей технологии очистки от льда ходовых частей и подвагонного оборудования пассажирских поездов в международном сообщении. Предложена технология и техническое средство устранения нарастания льда при эксплуатации поезда за счет нанесения на ходовые части вагонов антиобледенительного состава. Проведен сравнительный анализ различных антигололедных составов. Представлена структурная схема мобильного автономного устройства безвоздушного распыления антиобледенительного состава на ходовые части грузовых и пассажирских вагонов в условии пунктов технического обслуживания.
Ключевые слова: ходовые части грузовых и пассажирских вагонов, технологияочистки от льда, антиобледенительные составы, мобильное автономноеустройство безвоздушного распыления.
Обледенение ходовых частей грузовых и пассажирских вагонов создает большие сложности как для работников непосредственно связанных с эксплуатацией поездов, так и для других работников железнодорожного транспорта, уполномоченных следить за техническим состоянием вагонов в процессе эксплуатации. Зимой и в весенне-осенние периоды года на ходовых частях вагонов образуется и скапливается значительное количество льда и снега. Данное негативное явление может привести к нарушению эксплуатационных характеристик данного оборудования, а также повлечь аварийные ситуации в пути следования.
Удаление льда механическим способом является основным способом, применяемым на железнодорожном транспорте при борьбе с обледенением ходовых частей подвижного состава [1]. Зачастую данный способ обладает негативными последствиями и может повлечь повреждение основных узлов ходовых частей вагонов. Помимо прочего, данный метод является наиболее трудоемким и затратным по времени. С общим ростом требований по безопасности движения, скорости обращения подвижного состава и сокращении времени на его обслуживание растет и необходимость применения более эффективных и безопасных методов борьбы с обледенением для железнодорожного транспорта.
