Оценки максимального правдоподобия для параметров распределения семян пунктирной сеялкой Текст научной статьи по специальности «Физика»

9.Ziman Dzh. Jelektrony v metallah (Electrons in metals) Uspehi fizicheskih nauk. 1962, Vol.78, Issue 2, pp.291-306.

10. Vejnik A.I., Prilepin V.I. Efimov L.M. Metod opredelenija teplofizicheskih svojstv metallov i splavov (Method for the determination of thermophysical properties of metals and alloys), Teplofizicheskie svojstva tverdyh veshhestv, M.: Nau-ka, 1976, pp.44-49.

11. Koshman V.S. Ob odnom podhode k obobshheniju opytnyh dannyh po teplofizicheskim svojstvam jelementov pe-riodicheskoj sistemy D.I. Mendeleeva (One approach to the synthesis of experienced data on thermal properties of elements in the periodic system of D. I. Mendeleev), Permskij agrarnyj vestnik, 2014, No. 2, pp.35-42.

12. Lifshic I.M., Azbel' M.Ja., Kaganov M.I. Jelektronnaja teorija metallov (Electronic theory of metals), M.: Nauka, 1971, 325 p.

13. Zinov'ev V.E. Teplofizicheskie svojstva metallov pri vysokih temperaturah: spravochnik (Thermophysical properties of metals at high temperatures: guide), M.: Metallurgija. 1989. 384s.

14. Prihod'ko I.M., Koshman V.S. O zakonomernostjah dlja teploemkosti jelementov periodicheskoj sistemy D.I. Men-deleeva (About the patterns for heat elements in the periodic system of D. I. Mendeleev), Inzhenerno-fizicheskij zhurnal, 1983, Vol.45, No.6, pp. 969-974.

15. SmitlzK.Dzh. Metally: spravochnoe izdanie (Metals: guidebook), perevod s angl. M.: Metallurgija, 1980, 447 p.

16. Da Roza A. Vozobnovljaemye istochniki jenergii. Fiziko-tehnicheskie osnovy (Renewable sources of energy. Physical and technical basics), perevod s angl. Dolgoprudnyj: Izdatel'skij dom «Intelekt», M.: Izdatel'skij dom MJeI, 2010, 704p.

17. Poujell R. Naibolee vazhnye dostizhenija v izuchenii teploprovodnosti metallov (The most important achievements in the study of thermal conductivity of metals), Uspehi fizicheskih nauk. 1971, Vol.105, Issue.2, pp.329-351.

18. Prihod'ko Je.V. Sistema nepoljarizovannyh ionnyh radiusov i ee ispol'zovanie dlja analiza jelektronnogo stroenija i svojstv veshhestv (System polarized ion radii and its application for analysis of electronic structure and properties of substances), Kiev: Naukova dumka, 1973, 65 p.

19. Aisaka T., Shimizu M. Electrical resistivity, thermal conductivity and thermalelectric power of transition metals at high temperatures. // J. Phys. Soc. Japan. 1970, V.28, pp.646-654.

20. Beal-Monod M.T., Mills D.L. Explicit temperature dependence of the Lorents number in nearly ferromagnetic metals. // Sol. Stat. Comm. 1975, V.13, pp.1707-1711.

21. Tellier C.R., Tosser A.J., Hafid L. Energy dependence of transport parameters derived from correlated variations in the thermoelectric power and temperature coefficient of resistivity of polycrystalline metal films. // Jorn. Mat. Sci. 1980, V.15, Issue 11, pp.2875-2878.

УДК 631.3

ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕМЯН ПУНКТИРНОЙ СЕЯЛКОЙ

А.Ф. Кошурников, канд. техн. наук, ФГБОУ ВО Пермская ГСХА, ул. Петропавловская, 23, г. Пермь, Россия, 614990 E-mail: shm@pgsha.ru

Аннотация. Предлагаемая работа направлена на поиск оценок параметров распределения семян, обладающих свойствами эффективности, состоятельности и несмещенности с использованием методов максимального правдоподобия. К настоящему времени разработано несколько математических моделей распределения семян при пунктирном посеве. При достаточно малом среднем расстоянии между семенами относительное влияние факторов, рассеивающих семена (колебания высевающего диска, неопределенность момента выпадения семян из ячеек, разброс траекторий семян, раскатывание их в бороздке) достаточно велико, что приводит к модели простейшего потока. Доказательство принадлежности основных параметров распределения (плотности Л^, дисперсии Dk) к оценкам максимального правдоподобия открывает возможность

их объективного оценивания, в том числе построения доверительных интервалов и определения необходимого числа измерений, гарантирующего заданную точность результатов исследования.

Ключевые слова: распределение семян, оценки параметров, максимальное правдоподобие.

Введение. Проектирование новых технологий возделывания пропашных культур связано с тщательным исследованием закономерностей размещения на поле семян и растений.

Большое количество моделей процесса распределения семян и растений требует проведения их сравнительного анализа, а это невозможно без характеристики точности представляемых результатов.

В современной математической статистике основательно разработаны методы оценки рядов распределения случайных величин, подчиняющихся закону нормального распределения.

Использование этих методов для оценки рядов с другими распределениями не всегда корректно. Поэтому работы, направленные на изучение возможных ошибок в трактовках и оценках результатов исследования и поиск

новых оценок параметров распределения семян, являются важными и актуальными.

Методика. В работе использованы методы теории вероятностей и математической статистики.

Результаты. К настоящему времени разработано несколько математических моделей распределения семян при пунктирном посеве [1].

При достаточно малом среднем расстоянии между семенами относительное влияние факторов, рассеивающих семена (колебания высевающего диска, неопределенность момента выпадения семян из ячеек, разброс траекторий семян, раскатывание их в бороздке) достаточно велико, что приводит к модели простейшего потока (рис.1).

Рис. 1. Схема к выводу уравнения распределения числа семян на отрезке при чисто случайном расположении

Если плотность семян на участке ^ равна Л, то вероятность попадания семян на элементарный участок будет Р = Л-М, а веро-

п

ятность отсутствия семян q = 1 — Л- М.

На основании теоремы о повторении опытов, перехода к пределу при «^<х> и несложных преобразований можно найти вероятность Рк (вероятность попадания к семян на отрезок

Рк = еЛ . (1)

к к!

Уравнение (1) представляет собой распределение Пуансона с математическим ожиданием Л(.

Известно, что расстояние между событиями в пуассоновском потоке подчиняется экс-

поненциальному распределению с дифференциальной функцией /() = Л • е —Л и коэффициентом вариации

V = 100%. (2)

Практически такое распределение наблюдается при среднем расстоянии между семенами I = 1 / Л, равным 1,5.. .2 см. Для высева

ср

с таким шагом на высевающем диске должно располагаться большое количество ячеек. В реальных схемах пунктирного посева среднее расстояние между семенами составляет от 4 до 12 см.

Число ячеек на диске при этом может быть уменьшено, а сам посев часто называют равномерно-изреженным (рис. 2).

Рис. 2. Схема равномерно-изреженного распределения семян

Плотность распределения промежутков Т можно найти как композицию к+1 отрезков с показательным распределением.

Известно, что если распределение и(0 представляет собой сумму элементарных отрезков и, то ее характеристическая функция сри(Х) равна произведению характеристических функций элементов рх^), т.е. при

(3)

I ¡\- /

1=1 к+1

Ри (х) =Пр ) . (4)

1=1

Характеристической функцией р(Х) случайной величины является

к+1

«) = £ Л (О

Р. = | еш/№ '

личины t и Л (/) = Л • е Л можно получить

Р = |(Г)йГ = |ешЛ • е-Л'а =

Л

Л — I

ри ( х)

Л

,к+1

Л — 1х,

I е-Р^к (Г )&

ри(х) =} е Jk ( 0

Р

Л Л + Р

= Р| е-р^к (/)а/ .

fk (0 =

Л- (Л )к —Л

-• е

к!

— математиче ское ожидание Мк =

— плотность потока Эрланга Лк =

к +1 Л:

Л

к+г

— дисперсия Бк =

к +1

(11)

(5)

Использование закона Эрланга (10) затруднено тем, что экспериментально можно определить только Мк и Лк, а не Л.

Зная зависимость между ними уравнение (10) можно пронормировать относительно Лк:

Л (0 = Лк+± [Лк (к +1)/] к • е~Лк (к+* . (12) к!

Численное значение к можно определить на основании экспериментальных значений Лк и Бк по формуле:

1 - (13)

к = -

где х - вспомогательный действительный параметр.

Для принципиально положительной ве-

-Л

-—1

(6)

Характеристическая функция композиции окажется равной

(7)

Характеристическая функция однозначно определяет дифференциальную функцию рас-пределенияискомой композиции.

Заменяя в уравнении (7) ¡х на -Р, можно получить зависимость

(8)

представляющую собой уравнение Лапласа-Карсона:

\к+1 да

(9)

Решение этого интегрального уравнения представляет собой

(10)

Полученное соотношение соответ-

ствует закону Эрланга к-го порядка.

Числовые характеристики этого распределения равны:

При подсчете по этой формуле к может оказаться дробным числом.

Для вычисления к! в этом случае можно использовать равное ему значение гамма-функции Г(к+1).

Уравнение (12) примет вид:

А(0 = Лк+1 [Лк(к+1У] к-е-Лк(к. (14) 1 (к+1)

Это распределение в теории вероятностей известно как гамма-распределение.

Вывод уравнения распределения семян был сделан в предположении неограниченного количества произведенных замеров расстояний между семенами. На практике же приходится иметь дело со статистическим материалом ограниченного объема. Любые значения искомых параметров, вычисленные на основании ограниченного числа замеров, будут содержать элемент случайности и представляют собой лишь их оценки. Среди оценок параметров выделяют обычно точечные и интервальные оценки. Одним из наиболее универсальных методов точечного оценивания параметров является метод максимального правдоподобия, предложенный Р.Фишером (1921) [2]. Он же ввел требования к точечным оценкам, которые должны быть состоятельными, эффективными и несмещенными.

Принцип максимального правдоподобия приводит к утверждению того, что лучшими оценками параметров являются те из них, которые максимизируют вероятность получения выборки [3].

да

0

0

да

0

Пусть у(У, 0) - плотность вероятности выборки ¿1, ¿п, где 0 - параметр распределения.

Если считать, что закон распределения /(¿, 0) известен, а искомой величиной является параметр 0, тогда функцией правдоподобия называют функцию, представляющую собой совместную плотность вероятности результатов выборки и рассматриваемую как функция неизвестного параметра 0.

ь = щ, г2, гъ...гп; 0) =

= №0) • МФ).../п(хп0), (15)

или

Lfc t2;..tn ;0) = П f (Ф)

(16)

i_1

где ft, 0) - плотность распределения случайной величины t.

За точечную оценку неизвестного параметра 0, согласно методу максимального правдоподобия, принимают такое его значение © , при котором функция правдоподобия достигает максимума, т.е.

L(t, 0) _ max L(t, 0) . (17)

Если функция L(t, 0) дифференцируема по аргументу 0, и максимум ее достигается во внутренней из области { 0}, то значение точечной оценки максимального правдоподобия удовлетворяет уравнению

dL(t, 0 )

d0

= 0

д[in(t,0)]_Q , i = .

тическая нормальность, состоятельность, эффективность и несмещенность (только при больших п) [6].

Если этот общий метод применить к оценкам распределения семян, то можно получить следующие результаты.

1. Оценка параметра Л показательного (исходного) распределения.

Плотность показательного распределения имеет вид

/ (/, Л) = Л,если? * 0, [О «гели I < 0

где Л - оцениваемый параметр.

Функция правдоподобия будет равна:

Щ;г2..Хп;Л) = Ле~Л =

= Л • е~Л^4. (21)

Логарифмическая функция правдоподобия окажется равной:

п

1п;^../„;Л) = п 1пЛ-Л^ti .

г=\

Уравнение правдоподобия (20) примет

вид:

d[ln L(t,X)]_ П _£t. _ 0 . (22)

дЛ Л

i=1

Отсюда можно найти искомую оценку: n

Л _ ■

(18)

I ti

i=1

(23)

Если учесть, что IU _ ~ , то

как необходимому условию экстремума. Соотношение (18) является уравнением правдоподобия.

Так как логарифм функции правдоподобия имеет максимум в той же точке, что и сама функция, то для упрощения вычислений удобнее взять логарифм, а затем приравнять производную нулю

1п ь(t, 0) = тах1п Ь(t, 0) , (19)

где функцию 1пЦг, 0) называют логарифмической функцией правдоподобия [4], [5].

Если оценке подлежат несколько параметров 01, 02... 0 распределения, то оценки ~ , ~ .. .~ определяют из системы уравнений с

частными производными.

(20)

Л _ —

cp

(24)

где tcp - выборочная величина среднего значения ¿¡.

2. Оценки закона Эрланга в ненормированном виде.

По уравнению (10)

fk (t) _

Л• (Л )k

--e

k!

тогда функция правдоподобия примет вид

L(ti,t2..tn;Л) _П fk(t) _П

Л(ЛТ , (25)

80

Важными свойствами оценок максимального правдоподобия 0 является их асимпто-

i_i k! а логарифмическая функция правдоподобия примет вид

n

in L(t{,t2...tn ;Л) _Iln fk (ti) _

i _1

n n

_ n(k + 1)ln Л + k in It _ ЛЦ. _ n in k!. (26)

i_1 i_1

n

Уравнение правдоподобия по параметру Л окажется равным:

а 1п /2../п;Л)_ п(к +1) =0 , (27) дЛ Л к*

или

п(к +1)

Л

= к Ь.

*=1

Л =

к +1

сР

Таким образом, оценка Л найдена. Оценкой для к по аналогии может быть

значение:

к =Л-7ср — 1 .

3. Оценки для гамма-распределения. По уравнению (14)

Л (к +1) [Л (к +1) • 1] • е^Лк(к+1)? .

Лк (/) =

Г

(к+1)

Функция правдоподобия примет вид:

¿С, Л) = П

г

(к+1)

Лк =— .

Из уравнения (13) следует:

1 или „ _ 1_ . (33)

л2 =

Щ (к +1)

В этом случае

Лк =

4 Ок (к +1)

Если поделить правую и левую части на

п, то

п

к +1_ М, или к+1 = ~ , (28)

Л п Л с

где ~ - выборочное среднее расстояние

ср

между семенами. В этом случае

Лк (/) =

или

(к +1)

к+1

(к+1)

(V Як (к +1) )к+1 - Г

. • • е ^Ок (к+1)

(к+1)

Лк (1) = ■

к+1 (к +1)"2"

к+1

О 2 •Г

Ок 1 (к+1)

(к+1)

1

• /к • е о} . (34)

(29)

(30)

Функция правдоподобия примет вид

п

щ, Я}) = П Лк (1)'

а логарифмическая функция правдоподобия окажется равной

, т. _ . п(к +1), п(к +1),

1п ¿(1,0}) = 4 у 1п( к +1) —1п О} — п 1п Г(к+1) —

11 п п

— (к +1)2 • Щк 1* + к • 1п к 1.

¿=1 ¿=1 Уравнение правдоподобия по параметру Бк может быть представлено в виде:

д 1п Ь(1, Щ) _ п(к +1)

дО} = 2Щ

л/к+Т •к

= 0

Л+Чк+1)к+1 е—Лк (к+1) • 1 . (31)

2Щ

Упуская промежуточные выкладки, которые ничем не отличаются от рассмотренных выше, можно найти оценку максимального правдоподобия параметра Лк:

I . (32)

После незначительных преобразований оказывается, что

1с„ л/к +1 или

ср_ _ Л

л/Щ 1

откуда

=

с,

л/к+1

к к+1

(35)

К этому же результату приводит и дифференцирование по к.

Таким образом, оценки максимального правдоподобия для к в гамма-распределении не существует.

Поскольку к по уравнению (13) зависит от Вк и Лк, то можно к представить в виде функции от Бк и проверить существование оценки максимального правдоподобия для Вк.

Итак, у гамма-распределения существуют оценки максимального правдоподобия для Лк

и Щ .

Выводы. При достаточно общих допущениях о свойствах потока семян при пунктирном посеве (стационарность, ординарность и равномерно-изреженность) математическая модель приводит к гамма-

*=1

3

2

распределению расстояний между семенами. При использовании этого распределения открытым остается вопрос об оценке ошибок в определении его параметров при том или ином количестве измерений расстояний между семенами, поскольку закон распределения этих параметров не известен.

Доказательство принадлежности основных параметров распределения (плотности ,

Литература

1. Кошурников А.Ф. Математические модели размещения семян и растений при различных вариантах технологии механизированного формирования густоты насаждений // Пермский аграрный вестник №1(1) 2013. С. 18...22.

2. Fisher R.A. Theory of statistical estimation. - Proc. Cambridge Phil. Soc., 1925, v.22, 700-725.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 2002, 576 с.

4. Kendall M., Stuart A. The Advanced theory of statistics. Charles Griffin & Company Limited, London. 1966. - 588 с.

5. Василенко В.В., Василенко С.В. Обоснование предела точности дозирования семян ячеисто-дисковыми аппаратами // Техника в сельском хозяйстве №1. 2000, С. 34.35.

6. Валге А.М. Обработка экспериментальных данных и моделирование динамических систем при проведении исследований по механизации сельскохозяйственного производства. СПб. СЗНИИМЭСХ. 2002.-103.

дисперсии ) к оценкам максимального

правдоподобия открывает возможность их объективного оценивания, в том числе построения доверительных интервалов и определения необходимого числа измерений, гарантирующего заданную точность результатов исследования.

MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION FOR PARAMETERS OF SEED DISPERSAL WITH SINGLE-SEED DRILL

A.F. Koshurnikov, Cand.Ing.Sci. Perm State Agricultural Academy 23 Petropavlovskaya St., Perm 614990 Russia E-mail: shm@pgsha.ru

ABSTRACT

The proposed work aims at the search for seed dispersal parameter estimations with such characteristics as efficiency, viability and unbiasedness using maximum likelihood methods. Several mathematical models were developed for seed dispersal in single-grain sowing. When the average distance between seeds is small enough, relative influence of factors dispersing seeds (fluctuations of sowing disc, uncertainty of the moment when seeds fall down from cells, seeds trajectories, seeds scattering in furrows) is quite high. That leads to the model of simple stream. The proof of basic

dispersal parameters membership (density Ak , dispersion Dk) of the maximum likelihood estimation

enables the possibility of their objective assessment, including construction of confidence intervals and determination of required dimensions that guarantee specified accuracy of research results.

Key words: seed dispersal, parameters estimation, maximum likelihood.

References

1. Koshurnikov A.F. Matematicheskie modeli razmeshcheniya semyan i rastenii pri razlichnykh variantakh tekhnologii mekhanizirovannogo formirovaniya gustoty nasazhdenii (Mathematical models for the placement of seeds and plants with different variants of mechanized technology of formation density plantings), Permskii agrarnyi vestnik, 2013, No. 1(1), pp. 18-22.

2. Fisher R.A. Theory of statistical estimation. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1925. v. 22. 700-725.

3. Venttsel' E.S. Teoriya veroyatnostei (Probability theory), M. : Vysshaya shkola, 2002, 576 p.

4. Kendall M., Stuart A. The Advanced theory of statistics. Charles Griffin & Company Limited. London, 1966, 588 p.

5. Vasilenko V.V., Vasilenko S.V. Obosnovanie predela tochnosti dozirovaniya semyan yacheisto-diskovymi apparatami (Justification the limit of precision seed metering cellular-disk apparatus), Tekhnika v sel'skom khozyaistve. 2000, No.1, pp. 34-35.

6. Valge A.M. Obrabotka eksperimental'nykh dannykh i modelirovanie dinamicheskikh sistem pri provedenii issledo-vanii po mekhanizatsii sel'skokhozyaistvennogo proizvodstva (Experimental data processing and modeling of dynamic systems for research on mechanization of agricultural production), SPb. : SZNIIMESKh, 2002, 103 p.