CC BY
14
Информатика, вычислительная техника и управление
DOI 10.25987/УВТи.2019.15.5.001 УДК 621.316.544.1
ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ОБЪЕКТАМИ НА БАЗЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ С ДИНАМИЧЕСКИМ ИЗМЕНЕНИЕМ НАСТРОЕК
В.И. Захватов, С.Л. Подвальный, А.В. Михайлусов
Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия
Аннотация: рассмотрена задача повышения качества управления сложными объектами на базе полиномиального регулятора с динамическим изменением настроек на примере обратного маятника на каретке. Построена математическая модель объекта управления, синтезирован полиномиальный регулятор с помощью метода символьных вычислений систем дифференциальных уравнений с дополнительным входом для задания среднегеометрического корня извне и подобраны настройки ПИД-регулятора для управления положением каретки стандартными средствами MATLAB БтиПпк. Для анализа качества и параметров созданной системы управления были созданы модель обратного маятника на каретке и модели регуляторов с помощью визуальной среды моделирования МАТЪАВ БтиПпк. В результате моделирования была получена прямая зависимость времени установки положения маятника от значения среднегеометрического корня, что подтверждает возможность внешнего управления быстродействием представленной системы управления. Также исследована и подтверждена возможность контроля уровня управляющих воздействий для предотвращения насыщения исполнительных устройств. В результате анализа работы системы управления были выделены несколько направлений для дальнейших исследований: повышение качества предотвращения насыщения исполнительных устройств, управление полосой пропускания исходя из спектральных характеристик помех измерений, управление быстродействием систем без перенастройки регулятора, динамическое управление областью притяжения систем, разработка многоальтернативных систем. Фактически была создана система внешнего параметрического управления динамикой процессов, причем описанный регулятор не требует адаптации и обучения
Ключевые слова: система управления, полиномиальный регулятор, параметрическое управление, обратный маятник, сложный объект
Введение
В связи с постоянным ростом сложности проектируемых систем усложняются и средства управления протекающими в них динамическими процессами. И уже не обойтись без применения компьютерной поддержки на всех этапах разработки, отладки и эксплуатации. Вовлечение современных информационных и компьютерных технологий в сферу управления динамическими объектами происходит по многим взаимосвязанным направлениям, включающим как использование в качестве инструментальных средств проектирования, так и применение в режиме реального масштаба времени. Кроме того, существенно расширяется объем требований к системам автоматизации технических процессов, протекающих обычно в условиях значительной структурно-параметрической и информационной неопределенности.
Особенную сложность представляет управление сложным объектами, так как оно обуславливает необходимость в создании регу-
© Захватов В.И., Подвальный С.Л., Михайлусов А.В., 2019
ляторов, способных работать в различных режимах для обеспечения специфических требований к используемым техническим средствам.
Например, иногда задача повышения качества управления сложными объектами возможна при условии контроля управляющих воздействий для предотвращения насыщения исполнительных устройств при использовании определенного типа электроприводов [1, 2].
Классическим примером сложного объекта является обратный маятник на каретке, который рассматривается в настоящей работе. Разные положения маятника требуют различного режима управления, что делает невозможным использование статичного регулятора в случае необходимости в максимальной области притяжения.
Постановка задачи
Требуется синтезировать полиномиальный регулятор с возможностью динамического изменения настроек.
Кроме обеспечения необходимого времени установки, регулятор должен решать ряд наиболее важных и актуальных проблем управления подобными объектами.
При этом актуальными является задача предотвращения насыщения исполнительных устройств, управление полосой пропускания без перенастройки регулятора для контроля шумов датчика и для изменения быстродействия системы.
Еще одной задачей является синтез регулятора минимального порядка с максимальной областью притяжения (возможно динамическое изменение области притяжения) для упрощения конечного вида системы управления.
Методы исследования
В рамках поставленной задачи для синтеза регулятора и последующего моделирования и оценки его качества будет использоваться средство визуального моделирования МА^АВ Simulink.
МА^АВ Simulink позволяет моделировать работу линейных и нелинейных объектов, что актуально для моделирования обратного маятника на каретке.
Для анализа результатов работы системы управления будут использованы стандартные средства визуализации Simulink.
Начальные условия
Тележка с обратным маятником, показанная на рис. 1, управляется силой F. На модели указаны действующие силы, и нужно отметить, что направление отсчета угла маятника относительно вертикальной оси направлено против часовой стрелки. А рост горизонтальной координаты перемещения каретки направлен слева направо (подобная система рассмотрена в [3]).
Далее приведем физические параметры системы:
- М (масса тележки - 0,5 кг);
- т (масса маятника - 0,2 кг);
- Ь (трение тележки - 0,1 Н/м/с);
- L (длина до центра масс маятника - 0,3
м);
- I (инерция маятника - 0,006 кг м2);
- F (сила, приложенная к тележке);
- х (координата положения корзины);
- 0 (угол маятника от вертикали).
Построение математической модели маятника
На рис. 2 и 3 показаны силы, действующие на маятник и на каретку.
Рис. 2
Рис. 1
Рис. 3
Опишем указанные параметры:
сил); сил);
- х ' (скорость каретки);
- х '' (ускорение каретки);
- 0 ' (угловая скорость маятника);
- 0 ' ' (угловое ускорение маятника);
- Р (сумма вертикально действующих
;
- N (сумма горизонтально действующих
- g (ускорение свободного падения). Описанная физическая система имеет две степени свободы, которые представлены координатой положения каретки и углом отклонения маятника. И руководствуясь законами Ньютона, составим уравнения (1, 2) для обеих степеней свободы.
Ц = 1ЪсаггРх=-(Р-ЫЬ^), (1)
(2)
= 7 Zpend т = j(NL cos(9) +
PL sin(6)),
d2yv 9 = ^ + 9),
AT d XV
N = m—r,
dt2 '
(3)
(4)
dt2 = dt2
/dB\¿ d2B
Lsin(e)(-) -Lcos(e)—, (5)
d2yp dt2
fdO\¿
= -Lcos(6)¡ — ) -Lsin(e)
dt2' d2e
dt2'
(6)
После построения математической модели требуется ее линеаризовать для последующего синтеза регулятора.
Линеаризация системы
Так как стабилизация происходит около нулевого угла отклонения маятника, то можно произвести ряд замен:
- cos (0) = 1;
- sin (0) = ф;
- в
2 _
0.
После подстановки замен получи новые уравнения движения (7) и (8).
(I + т12)ф — тд1ф = mix (М + т)х + Ьх — т1ф = и
(7)
(8)
Далее для осуществления линеаризации проведем преобразования Лапласа для уравнений (9) и (10).
(I + т12)Ф(Б)Б2 - тд1Ф(Б) = т1Х(Б)Б2, (9) (М + т)Х(5)Б2 + ЬХ(Б)Б - т1Ф(Б)Б2 = и (Б). (10)
Получение передаточной функции
Имея линеаризованные уравнения, мы можем составить передаточную функцию системы обратного маятника на каретке, которая необходима в дальнейшем для синтеза регулятора.
Так как входом системы является и^) (прикладываемая сила), Х^) - положение каретки, а выходом Ф^) (угол отклонения маятника), составим уравнение координаты (11).
«^PSr2- Я*«.
(11)
Для более удобной записи произведем замену (12).
ц = [(М + т)(1 + т12) - (т1)2]. (12)
И после подстановки имеем передаточную функцию (13).
4s) =_
U(s) „4 I b(I+rnl')дз (М+т)тд1^? bmgl ^ Ч
ml 9 — S¿ Ч
(13)
s^--s
ч ч
Проведя сокращение, получим законченный вид передаточной функции маятника (14).
ml — S
Ч
Ф(х) =_
U(s) S3 + b(I+mí2) (M+m)mgl ^ bmgl'
Ч Ч Ч
(14)
И в уравнении (15) показана передаточная функция каретки:
í'+ml2)0? mlg Ч_Ч
= _
U(s) 1i.b(I+ml2)14 (M+m)mgl7 bmgl '
(15)
Несложный анализ уравнений (14) и (15) показывает, что мы имеем дело с объектами неминимально-фазового типа, вопросам управления которыми посвящена обширная литература при подробном моделировании средствами МайаЬ [4]. При этом, как правило, строятся системы адаптивного управления с наблюдателем или эталонной моделью [5, 6].
Особую сложность представляют в этих системах задачи идентификации таких моделей, что существенно усложняет итоговый вариант замкнутой системы управления. В силу указанных обстоятельств, поиск более простых алгоритмов управления постоянно ведется. Именно поиску упрощенных вариантов управления и посвящено дальнейшее рассмотрение.
Метод полиномиальных уравнений и символьных вычислений при проектировании алгоритмов управления
Несмотря на то, что методы компьютерной математики широко используются в современной теории и практике автоматического управления, символьные (аналитические) вычисления на основе компьютерной алгебры здесь пока еще не получили распространения. Между тем, алгебраические методы и символьные вычисления активно используются и нашли применение в различных научно-технических областях, открывают в них новые возможности.
В современной теории динамических систем разработан разнообразный арсенал мощных, аналитических и численных методов синтеза. Так, алгоритмы проектирования, рекомендуемые сегодня ТАУ, в качестве базовой основы становятся все более сложными, но методы оптимизации и адаптации так и не смогли в полной мере оправдать возлагавшиеся на них большие надежды. В настоящее время не существует ни одного вполне удовлетворительного, способного стать инженерным стандартом, каким, например, был в свое время метод логарифмических частотных характеристик. На этапе реализации важно уложиться в предписанные ограничения и выбрать параметры желаемых характеристик системы в форме, пригодной для осуществления имеющимися техническими средствами.
Синтез систем является многокритериальной проблемой, которую трудно вместить в узкие рамки какого-то одного, пусть и удачно выбранного, критерия оптимизации. Применение в качестве координатного базиса при синтезе пространства состояний также не всегда приемлемо, поскольку предполагает наличие точной модели объекта управления. Синтез традиционными, классическими операторными методами, в пространстве изображений в последнее время получает новое развитие, привлекает внимание исследователей [6, 7]. Попытки выявить в нем новые возможности с
учетом достижений классической алгебры, и особенно ее новой ветви - алгебры компьютерной, насколько известно, применительно к задачам ТАУ, пока еще не предпринимались. Ввиду этого очевидного и явного дефицита сегодня приемлемых для инженерной практики методов проектирования и соответствующих алгоритмов, способных обеспечить высокую эффективность и точность управляемых систем, существует насущная потребность в их разработке.
В развитии известных алгебраических методов синтеза управляемых систем рассматриваются возможности численно-аналитического подхода на основе решения систем нелинейных алгебраических уравнений и неравенств [8]. Математическим инструментарием нового подхода являются методы компьютерной алгебры и полиномиальных уравнений.
Стандартная постановка задачи синтеза регуляторов методом численного решения систем линейных полиномиальных уравнений относительно комплексной переменной р, для объекта с передаточной функцией Wo(p)=B(p)/A(p) и желаемого эталона (характеристического полинома) системы управления С(р), заданных в численном виде, заключается в следующем [7, 8]. Требуется найти численные значения неизвестных параметров регулятора W(p)=Y(p)/X(p), доставляющего ту или иную степень приближения свойств замкнутой системы к желаемому эталону. Все желаемые полюсы системы, являющиеся корнями полинома С(р), назначаются заранее. Полиномиальное уравнение синтеза (16) решается в численном виде относительно неизвестных полиномов Х(р)^(р):
А(рЩр)+В(рЩр)=С(р). (16)
Новая постановка задачи численно-аналитического синтеза состоит в замене численных значений параметров объекта и эталона на аналитические эквиваленты. Для объекта и желаемого эталона системы управления !(р,а.1,Р],у]), заданных в аналитическом либо в численно-аналитическом виде, найти численно-аналитические значения параметров регулятора W(p)=Y(p)/X(p), а затем, в результате анализа полученных аналитических соотношений, можно определить те численные значения параметров, которые отвечают комплексу технических требований к управляемой системе при ее текущем состоянии в данный момент времени. Полиномиальное уравнение синтеза
(17) решается в символьном либо в численно-аналитическом виде относительно неизвестных полиномов Х(р)^(р) и 2(р):
А(р)Х(р)+В(р)Г(р)=2(р,а1,р];У1), г(р, = ^(р + аг) * (р2 + + уу).
(17)
При этом параметры эталона ,
определяющие величины желаемых полюсов синтезируемой замкнутой системы, должны иметь вещественные положительные значения. С учетом этого, и приравнивая коэффициенты при различных степенях переменной р в уравнении синтеза (16), получаем систему нелинейных уравнений и неравенств. Решение последней позволяет определить, существует ли в пространстве варьируемых параметров эталона и регулятора заданного порядка такая точка или область, которая удовлетворяет построенной системе нелинейных уравнений и неравенств.
Метод полиномиальных уравнений позволяет рассчитать регулятор для объекта сколь угодно высокого порядка и с любым порядком астатизма.
Особенность аналитически заданного эталона - области локализации корней характеристического полинома являются в общем случае неопределенными и рассредоточенными в комплексной полуплоскости. При необходимости обеспечения требуемых динамических свойств проектируемой системы часть доминирующих корней эталона
аиР]>У]) может бЫТЬ назначена в численном виде.
Синтез регулятора
В рамках поставленной задачи требуется синтезировать полиноминальный регулятор, который удовлетворял бы всем необходимым условиям и имел минимальный порядок [11, 12].
Для снижения порядка системы мы можем пренебречь трением каретки, что позволит получить передаточную функцию маятника второго порядка (18).
Ф(£)
и(5)
т1 Я
г2 -
(М+т)тд1'
(18)
Подставим значения и получим передаточную функцию (19).
=
50
11^-343
(19)
Так как итоговая передаточная функция имеет второй порядок, то мы можем синтезировать полиноминальный регулятор первого порядка, используя символьные методы решения систем дифференциальных уравнений по методике, представленной в [7].
Используя методику синтеза полиномиального регулятора, представленную в [12], была получена передаточная функция регулятора Wр.
В ходе синтеза был введен дополнительный параметр, который будет являться дополнительным входным параметром итогового регулятора. Этот параметр представляет собой среднегеометрический корень характеристического уравнения (О), который, в свою очередь, будет задавать полосу пропускания системы.
Итоговая передаточная функция регулятора Wр с дополнительным параметром О показана в (20).
щ =
(0.66П2 + 6.86)5 + (0.22 П + 20.58П) Т+зП '
(20)
Введение возможности динамического изменения настроек регулятора дает целый ряд разнообразных возможностей, изучение которых необходимо произвести с помощью моделирования.
Моделирование системы
Для анализа результатов использования синтезированного полиномиального регулятора требуется построить модель обратного маятника на каретке и модель системы управления с обратной связью по углу отклонения маятника и по положению каретки средствами MATLAB ВтиНпк.
После подстановки физических параметров системы и добавления дополнительного входа установки начальных условий у Ш^га-Шг1, который отвечает за начальный угол отклонения маятника, получим работоспособную модель, которая показана на рис. 4.
На рис. 4 показана модель полиномиального регулятора, где присутствуют входы для подключения обратной связи по углу отклонения маятника и вход для установки среднегеометрического корня.
После создания моделей регулятора и обратного маятника требуется их объединить в общую модель с обратными связями. Общая
модель показана на рис. 5. Настройки регулятора каретки получены с помощью стандартного инструмента настройки Simulink.
Рис. 4. Модель обратного маятника
Рис. 5. Общая модель системы управления
Анализ работы системы
После создания работоспособной модели всей системы управления требуется провести анализ ее работы и проверить, удовлетворяют ли ее свойства поставленным условиям и задачам.
Одной из важных задач созданной системы управления является установка угла отклонения маятника в ноль за минимальное время. Потому требуется построить зависимость времени установки от начального угла, а также зависимость времени установки от полосы пропускания.
Стоить отметить, что временем установки будет считаться время, за которое маятник устанавливается в положение с углом отклонения <0.01 радиан.
На рис. 6 показана осциллограмма, посредством которой производится оценка времени установки маятника. В данном случае начальный угол составляет 0.5 радиан, а среднегеометрический корень равен 36.
симости максимального уровня управляющих воздействий от значения Q.
1 Угс >л о™ лоне ния [f >ад]
IV/
1 Пс >ложе ние к ареть (И [м]
t, И
О 0.5 1 1.5 2 2.5 Э 3.5 4 4.5 5
Рис. 6. Осциллограмма выхода маятника
Анализируя рис. 6, мы видим, что время установки составляет 2 секунды. Это значение обусловлено большим значением начального отклонения и малым значением среднегеометрического корня.
Рассмотрим зависимость времени установки от среднегеометрического корня. Для этого проведем серию экспериментов и запишем результаты при начальном угле отклонения равном 0.3 радианы. Результирующий график зависимости представлен на рис. 7.
Рис. 7
Результаты экспериментов подтверждают зависимость времени установки от значения среднегеометрического корня.
Далее требуется рассмотреть управление уровнем управляющих воздействий.
В рамках разработанной системы есть возможность управлять уровнем управляющих воздействий с помощью изменения среднегеометрического корня. На рис. 8 показаны результаты экспериментов при изменении О и при неизменном стартовом угле в виде зави-
Рис. 8
После аппроксимации полученных данных с помощью типовых регрессий было выяснено, что минимальную ошибку аппроксимации (1.1720%) обеспечивает кубическая регрессия (21).
у = -0.0001х3 + 0.0796х2 --0.8741х +13.5443.
(21)
Проведенная серия экспериментов подтвердила возможность управления максимальным уровнем воздействия через изменения среднегеометрического корня характеристического уравнения.
Еще одной важной задачей было исследование области притяжения системы управления. Область притяжения является важным параметром, так как иллюстрирует универсальность регулятора.
Для проверки области притяжения был проведен ряд экспериментов, которые показали, что при применении регулятора каретки, оказывающего существенное воздействие на ее положение, она ограничена углом отклонения в 1 радиан.
При превышении данного угла система становится нестабильной и происходит насыщение исполнительного устройства.
Эксперименты, проведенные без использования регулятора каретки, показали, что область притяжения в таком случае меняется. И система начинает работать в двух областях, а именно в окрестности 0 рад и в окрестности Пи рад.
Но в окрестности угла отклонения в 180 градусов стабилизация происходит около нулевого угла на некотором постоянном значе-
нии, в случае с начальным углом отклонения в 3 рад и О равном 40 маятник фиксируется в положении 0.1 рад.
Заключение
В представленной работе была создана система управления сложным объектом (обратный маятник на каретке) на базе полиномиального регулятора с возможностью динамического изменения настроек.
В ходе моделирования синтезированной системы управления и последующих экспериментов была установлена прямая зависимость скорости установки от среднегеометрического корня.
Использование современных инструментов моделирования в виде МА^АВ Simulink позволило вести максимально эффективную разработку с последующим анализом качеств полученной системы.
Также подтверждена возможность управления уровнем управляющих воздействием, что позволило контролировать насыщение исполнительных устройств.
Дополнительно была исследована область притяжения разработанной системы управления и установлена зависимость ее от регулятора каретки. С применением регулятора каретки область притяжения составляет от 0 рад до 1 рад.
Сравнение полиномиального регулятора с ПИД-регулятором показало, что при малых углах отклонения регулятор работает с сопоставимым качеством, но при увеличении начального угла маятника полиномиальный регулятор работает лучше.
При анализе параметров рассматриваемого регулятора были выделены несколько перспективных направлений для последующих исследований:
- повышение качества предотвращения насыщения исполнительных устройств;
- управление полосой пропускания исходя из спектральных характеристик помех измерений;
- управление быстродействием систем без перенастройки регулятора;
- динамическое управление областью притяжения систем;
- разработка многоальтернативных систем.
Фактически была подтверждена возможность внешнего параметрического управления динамикой процессов, причем описанный регулятор не требует адаптации и обучения (настройки изменяются мгновенно).
Все поставленные задачи были выполнены, и итоговые параметры системы управления удовлетворяют заданным условиям.
Литература
1. Boubaker O. The Inverted Pendulum Benchmark in Nonlinear Control Theory: A Survey // International Journal of Advanced Robotic Systems. 2013. Volume 10. Issue 5. pp. 1-9.
2. Krishna N. Modeling and controller design of cart inverted pendulum system using MRAC scheme // Frontiers of current trends in engineering and technology. 2016. SI:1, pp. 21 - 24.
3. Гудвин Г.К., Гребе С.Ф., Сальгадо М.Э. Проектирование систем управления: пер. с англ. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. 911 с.
4. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке Matlab. СПб.: Наука, 1999. 467 с.
5. Изерман Р. Цифровые системы управлениям. М.: Мир, 1984. 541 с.
6. Круглов С.П. Адаптивное управление неминимально-фазовым скалярным объектом второго порядка с обеспечением заданных характеристик переходного процесса // Научный вестник НГТУ. 2016. Т. 65. № 4. С. 3353.
7. Гайдук А.Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления. М.: Физма-тлит, 2012. 360 с.
8. Ким Д.П. Алгебраические методы синтеза систем автоматического управления. М.: Физматлит, 2014. 164 с.
9. Захватов В.И. Развитие алгебраических методов синтеза систем управления // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. 2016. № 5-1. С. 133-134.
10. Михайлусов А.В. К задаче полиномиального синтеза цифровых систем управления. Воронеж: МКМИТУ, 2016. С. 138-142.
11. Тарарыкин С.В. Методика проектирования цифровых полиномиальных регуляторов электромеханических систем // Вестник ИГЭУ. 2005. Вып. 3. С. 23-29.
12. ВСПУ. XIII Всероссийское совещание по проблемам управления. 2019. URL: https://vspu2019.ipu.ru/files/vspu/Доклады_ ВСПУ-2019/18_В_БКЗ/ЗахватовВИ^£
Поступила 12.08.2019; принята к публикации 14.10.2019 Информация об авторах
Захватов Владимир Иванович - электроник 1 категории, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: [email protected]
Подвальный Семён Леонидович - д-р техн. наук, профессор, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: [email protected], ORCID: http://orcid.org/0000-0003-1260-4883
Михайлусов Алексей Вячеславович - студент 2-го курса магистратуры, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: [email protected]
IMPROVING THE QUALITY OF CONTROLLING COMPLEX OBJECTS ON THE BASIS OF POLYNOMIAL REGULATORS WITH DYNAMICLY CHANGING SETTINGS
V.I. Zakhvatov, S.L. Podvalny, A.V. Mikhaylusov
Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia
Abstract: the task of improving the quality of managing complex objects based on a polynomial controller with dynamic changes in settings is considered using the example of a backward pendulum on a carriage. A mathematical model of the control object was constructed, a polynomial controller was synthesized using the method of symbolic calculations of systems of differential equations with an additional input for specifying the geometric root from the outside and the PID controller settings for controlling the position of the carriage using the standard MATLAB Simulink tools were selected. To analyze the quality and parameters of the created control system, a reverse pendulum model on the carriage and regulator models were created using the MATLAB Simulink visual modeling environment. As a result of the simulation, a direct dependence of the installation time of the position of the pendulum on the value of the geometric mean root was obtained, which confirms the possibility of external control of the speeds of the presented control system. Also studied and confirmed the possibility of controlling the level of control actions to prevent the saturation of actuators. As a result of the analysis of the control system, several areas were identified for further research: improving the quality of preventing actuator saturation, controlling bandwidth based on the spectral characteristics of measurement noise, managing the speed of systems without adjusting the controller, dynamically controlling the area of attraction of systems, developing multi-alternative systems. In fact, an external parametric control system for the dynamics of processes was created, and the described controller does not require adaptation and training
Key words: control system, polynomial controller, parametric control, inverse pendulum, complex object
References
1. Boubaker O. "The inverted pendulum benchmark in nonlinear control theory: a survey", International Journal of Advanced Robotic Systems, 2013, vol. 10, issue 5.
2. Krishna N. "Modeling and controller design of cart inverted pendulum system using MRAC scheme", Frontiers of Current Trends in Engineering and Technology, 2016, SI: 1, pp. 21-24.
3. Goodwin G.K., Grebe S.F., Salgado M.E. "Design of management systems", trans. from Eng., Moscow, BINOM, 2004, 911 p.
4. Andrievskiy B.R., Fradkov A.L. "Selected chapters of the theory of automatic control with examples in the Matlab language" ("Izbrannye glavy teorii avtomaticheskogo upravleniya s primerami na yazyke Matlab"), St. Petersburg, Nauka, 1999, 467 p.
5. Iserman R. "Digital management systems" ("Tsifrovye sistemy upravleniyam"), Moscow, Mir, 1984, 541 p.
6. Kruglov S.P. "Adaptive control of a non-minimum-phase scalar object of the second order with the provision of the specified characteristics of the transition process", Scientific Bulletin of Nizhny Novgorod State Technical University (Nauchnyy vestnik NGTU), 2016, vol. 65, no. 4, pp. 33-53.
7. Gaiduk A.R. "Theory and methods of analytical synthesis of automatic control systems" ("Teoriya i metody analiticheskogo sinteza sistem avtomaticheskogo upravleniya"), Moscow, Fizmatlit, 2012, 360 p.
8. Kim D.P. "Algebraic methods for the synthesis of automatic control systems" ("Algebraicheskie metody sinteza sistem avtomaticheskogo upravleniya"), Moscow, Fizmatlit, 2014, 164 p.
9. Zakhvatov V.I. "The development of algebraic methods for the synthesis of control systems", Some Questions of Analysis, Algebra, Geometry and Mathematical Education (Nekotorye voprosy analiza, algebry, geometrii i matematicheskogo obrazovaniya), 2016, no. 5-1, pp. 133-134.
10. Mikhaylusov A.V. "On the problem of polynomial synthesis of digital control systems" ("K zadache polinomial'nogo sinteza tsifrovykh sistem upravleniya"), Voronezh, MKMITU, 2016, pp. 138-142.
11. Tararykin S.V. "The methodology of designing digital polynomial regulators of electromechanical systems", Bulletin of IGEU (VestnikIGEU), 2005, issue 3, pp. 23-29.
12. "VSPU. XIII All-Russian meeting on governance", 2019, available at: https: //vspu2019.ipu.ru/files/vspu/Posts_VSPU-2019 / 18_V_BKZ / Captures VI.pdf.
Submitted 12.08.2019; revised 14.10.2019 Information about the author
Vladimir I. Zakhvatov, First Category Electronic, Voronezh State Technical University (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail: [email protected]
Semyen L. Podvalny, Dr. Sc. (Technical), Professor, Voronezh State Technical University (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail: [email protected], ORCID: http://orcid.org/0000-0003-1260-4883
Aleksey V. Mikhaylusov, Student, Voronezh State Technical University (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail: [email protected]
