Повышение качества решения задач транспортной логистики обработкой навигационных измерений подвижных объектов Текст научной статьи по специальности «Физика»

7. Любченко, А. А. Алгоритмы автоматизации проектирования регламента планового обслуживания изделий промышленной радиосвязи [Текст] / А. А. Любченко // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2012. - № 1 (9). - С. 84 - 92.

8. Любченко, А. А. Анализ процессов технического обслуживания элементов сложных технических систем [Текст] / А. А. Любченко // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2011. - № 1 (5). - С. 88 - 94.

9. Лутченко, С. С. Моделирование процессов технического обслуживания радиостанций в среде ANYLOGIC [Текст] / С. С. Лутченко, Е. Ю. Копытов // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2010. - № 2 (2). - С. 86 - 92.

УДК 621.396.963

В. С. Марюхненко, Ю. Ф. Мухопад

ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТРАНСПОРТНОЙ ЛОГИСТИКИ ОБРАБОТКОЙ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ

В контексте решения задачи формирования и соблюдения транспортных коридоров для подвижного состава и совершенствования технологии перевозок различными видами транспорта рассмотрена минимизация геометрического фактора в позиционной навигации, исследованы особенности определения погрешностей координат подвижных объектов вдоль физически фиксированных траекторий, доказано утверждение об апостериорном восстановлении траектории подвижной точки при измерениях одной координаты.

Транспортная логистика как практика планирования, управления и контроля движением материальных, информационных и финансовых ресурсов предполагает поиск максимума эффективности перевозок. В конкретных условиях применения транспортного средства это является определяющим для структурного синтеза комплексной навигационной системы [1, 2]. Поэтому целесообразен поиск различных алгоритмов повышения точности навигационных определений. Для этого предлагается исследовать особенности линий положения позиционной навигации, навигацию подвижных управляемых объектов с «жесткими» траекториями и особенности навигации с одномерными измерениями.

Целью настоящей статьи является разработка алгоритмов третичной обработки навигационных измерений для решения задач минимизации погрешностей определения координат подвижного объекта.

Свойства и оптимизация сочетаний линий положения второго порядка в позиционной навигации. Позиционная навигация основана на определении координат объекта путем поиска точки пересечения линий (поверхностей) положения (ЛП). Погрешность определения координат при позиционировании объекта на плоскости зависит от коэффициента геометрии [3, 4]:

^ = 1/^т 0), (1)

где 0<л/2 - угол взаимного пересечения ЛП.

Целесообразно рассмотреть сочетания ЛП, минимизирующие коэффициент геометрии (1).

Определение 1. Линия положения на земной поверхности - это геометрическое место точек, в которых навигационный параметр P, измеренный по наблюдениям для определения положения наблюдателя, имеет то же значение, что и в точке наблюдений.

В такой формулировке ЛП - результат графических построений, отличающихся относительной простотой, так как следуют непосредственно из навигационных измерений (рисунок 1). Пересечение двух ЛП, проложенных на карте, позволяет определить местоположение наблюдателя [2, 3, 5].

Рисунок 1 - Принцип навигации по измерению расстояний до двух радиомаяков

Предлагается уточнение определения ЛП и дополнение кривых позиционирования.

Определение 2. Линия положения на земной поверхности - это геометрическое место точек, в которых измеренный или вычисленный по результатам наблюдений параметр Р имеет то же значение, что и в точке наблюдений. Из него следует, что ЛП могут служить кривые

у(х,Р) = 0, I = 1, 2, 3, ..., т, (2)

х пересекающиеся в точке навигации Н(хИ,уя).

Из множества (2) образуется q подмножеств (сочетаний) пар линий:

2

q = С т= т!/ т(т - 2)!. (3)

Оптимальной следует считать пару ЛП у(х, Р), I = 1, 2, 3, т, и уА(х,РА), k = 1, 2, 3, т, I Ф А, с углом пересечения касательных к ним в точке навигации 0/А « л/2. Исходные данные для вычисления линий положения.

Если радиомаяки, расположенные в точках А(-Ь;0) и В(Ь;0), координаты которых известны с высокой точностью (см. рисунок 1), излучают сигналы точного времени, то в точке Н для навигации доступны псевдодальности гА и гв: гА = сТА; гв = сТв, где ТА и Тв - промежутки времени, измеряемые часами на борту подвижного объекта:

та = tAи - ¿Ап ; Тв = tви - tвп , где В и соответственно моменты излучения радиосигналов из точек А, В и мо-

о

менты приема радиосигналов в точке Н; с = 3-10 м/с - скорость света.

Согласно определению 2 число возможных ЛП больше, чем количество ЛП, вытекающее из определения 1. К списку кривых, которые принципиально могут быть использованы для позиционирования, добавляются также линии, проходящие через точку Н с параметрами математического описания, однозначно определяемыми отрезками гА, гв и 2Ь.

Конические сечения в качестве линий положения. Из анализа определений 1 и 2 следует, что для позиционной навигации в точке Н плоскости могут быть использованы конические сечения: окружности А, В, окружность с вынесенным центром Оо; эллипс Э; гипербола Г; парабола П (рисунки 2 - 6). Для них на плоскости хОу выведены уравнения кривых и касательных в точке Н(хн;ун) (таблица 1).

Окружности А (В)

; УЬ

Рисунок 2 - Область неопределенности при позиционировании по окружности А (В)

Таблица 1 - Параметры конических сечений, применяемых в качестве линий положения (фрагмент)

Наименование линии положения и уравнения График конического сечения

Окружность с вынесенным центром в т. О0 (окружность О0) У\ / З-""" /Го /^кС"-^-..... 1 / ^ ^

Уравнение линии положения: х2+(у - У о)2 = го2;

Уравнения касательных к ЛП, проходящих через точку Н(Хн; Ун): Уо = - а - Р)/2; Го=Гв /{2^(0 + а - р)/2>

Ш-Ь;0) О У В(Ь;0Л *

Уравнения для угловых коэффициентов касательных к ЛП в точке Н(хн; ун): У =[(го2 + Ун Уо) - Хн х]/( Ун + Уо)

1 ас

Области неопределенности при позиционировании по вычисленным ЛП являются следствием конечной точности измерения расстояний rA и rB. Погрешности измерений дальностей ArA = ArB = Ar подчиняются гауссовскому распределению с нулевым математическим ожиданием и дисперсией D = ar2, где ar - радиальная средняя квадратическая погрешность (СКП). С вероятностью Рзад > 0,9973 результаты измерений укладываются в пределах ±3а [3, 6]. Толщина Ani(xH,yH) области определяет с вероятностью, не меньшей Рзад, точность позиционирования по i-й ЛП при Кг = 1

An. (x , y ) = J(x . - x )2 + (y . - y ■ )2 ,

i V н' ^н/ V v max i min i / v max i S min i / 5

где xmin , ,ymin xmax и ,ymax i есть соответственно решение систем уравнении:

(4)

(5)

Окружность О0

Г™* 1 (х,у) =0;

п (x,y, xн, Ун) =0;

Гтах , (х,У) = 0;

П (x,y,xн, Ун) = 0, где Гтт ¡.(х,у) = 0 и Гтах (х,у) = 0 - уравнения границ области О; п(х,у,хюун) = 0 - уравнение нормали к математическому ожиданию ЛП в точке Н(хн,ун).

Форма области неопределенности навигации существенно зависит от применяемой ЛП. Для рассматриваемых конических сечений выведены уравнения нормали в точке Н(хн,ун), области неопределенности и границ области Рисунок 3 - Область неопределенности неопределенности. при по^иониров^ии

1. Позиционирование по окружности А (В) (см. рису- по окружности °°

нок 2):

а)

б)

ПА(В) (x,y,xH >Ун ) — y - Ун(x ± Ь)/(хн ± Ъ) — 0;

а

А(В)

— fí A(B)min

П а

A(B)max

(6) (7)

где ОА(В)т1П и ОА(В)тах - области на плоскости, ограниченные концентрическими кругами с радиусами гА(в)тт=гА(В)-Аг и гА(в)тах = ЗД+Дг;

^авып=(х±ь? +у2-(^в)-^)2 = 0;

3):

В) FAB)min — (X±Ъ) + У -(А(В) -Ar) — 0; (8)

Г) ^с=(х±Ь)2+у2-(гт) + Аг)2=0. (9) g

£

2. Позиционирование по окружности Оо (см. рисунок ^

Эллипс Э

а) no(x,y,xH ,yH) = (y - Уо)-4(Ун + y oVxJ = 0; (10)

б) = ^min П ^Omax, (11) где Q0mm и Q0max - области, ограниченные концентрическими кругами с радиусами romin = (ro - Aro) и romax = (r0+Ar0),

Aro = romax - rOmin;

в) FomJxy) = X +(y-yomK)2 -tfnax =0; (12)

Г) F0mln(x,y) = + (y - уOmin )2 - in = 0;

Ayo = yomax - yomin, Aro < Ayo.

3. Позиционирование по эллипсу Э (см. рисунок 4):

Рисунок 4 - Область неопределенности при позиционировании по эллипсу Э

(13)

a y

а) пэ x, Ун) — (У - Ун) --т-^ (x - хн) = 0; (14)

d3 Хн

б) Оэ = Оэгшп П Ошах, (15)

где Q этт и Пэтах - области эллипсами с параметрами соответственно аэшт=[(гл + гв)/2] - Ar, dmn а^ -Ь2 ,

аэтах [(гл+гв)/2]+Аг, d, в)

- i 2 -b2 эшах — V аэтах b

(16)

Рисунок 5 - Область неопределенности при позиционировании по гиперболе Г

^шхМ — Х2/Оэшах + хХ2/4шж-1— 0; ^rnnM -Х/Ошп + Х /dmin -1 -0.

4. Позиционирование по гиперболе Г (см. рисунок 5):

а) nT(x, у, Хн, Ун) = (у - Ун) + (агУн / dp^Xx - Хн); (17)

б) "г — (О rnin П "д)и (Йг щ-х П °д), (18)

где Ог min и Q г шах - области, границами которых являются положительная ось Ох и гиперболы с параметрами: °г шт — (rA - rB)/2 -Ar ; аг шах — (гл -rB)/2 + Ar; dг шin — ~

— ^Ь 2 - °2шах .

в) F шах (Х,У) — Х" / °г шах - Х" / dг шах - 1 — 0;

г) F шпСХУ) — Х2/ O шп -Х2/ 4rnn -1 —0.

а.

d

(19)

(20)

5. Позиционирование по параболе П (см. рисунок 6):

а) пп(х,у,хн ,Ун) = (у - Ун)- хы/[р(х - Хн)] = о; (21)

б) " = (йишт П "д)Ц1 ("птах П "д), (22)

где Оп тт и Оп тах - области, границами которых является Рисунок 6 - Область неопределен- ось Ох и параболы с параметрами соответственно Ртах, Хотах и ности при позиционировании ртт, Хот1п;

в) У = 2ртах(х _ Хотах);

по вычисленной параболе П

г)

У 2Ршт(х ХЭштХ

(23)

(24)

Области неопределенности Ог и Оп - открытые, поэтому необходимы дополнительные ограничения по оси Ох.

Радиальная толщина областей неопределенности, образованных вокруг окружностей, эллипса, гиперболы и параболы, является функцией координат. Следовательно, функцией координат является и погрешность позиционирования по этим линиям, которая минимизируется для пары кривых с углом пересечения 9 = л/2.

Алгоритм поиска оптимального сочетания линий положения. В общем случае линиями положения на плоскости (согласно определению 2) могут служить биномиальные, тригонометрические, показательные, логарифмические, циклоидальные и трансцендентные кривые.

Если эти кривые в точке навигации дифференцируемы, то им можно поставить в соот-

, ПЛ Г d[yi (х, Р)] 1

(1хт) , где Ъ ^ Р) = ЗГС^ \-Г при Х = Хн.

ветствие вектор Z( xH )т — [ zt (xH, P)] Анализ наддиагональной матрицы

dx

Хн) =

0 е12(Хн) ... е1ж(Хн)

о о ... е2т(Хн)

0 0 ... ...

0 0 ... 0

ненулевые элементы которой - углы пересечения возможных ЛП в точке Н с координатой хн

если I < k;

(Хн)

ik^ н

I gik (хн) пРи ^/2;

\gik (хн ПРИ gik (хн /2

0, если i > k,

],

(26)

/ = [1,2,...,т] ; к = [1,2,...,т] ; г * К gik(хн) = (хнР) - Zk(Хя,рк)| = 0 позволяет алгоритмизировать на координате х = хн выбор двух ЛП с 9 ~ л/2:

тахг {тахк [^к(хн)} = ^тах(хн) ~ ^ / 2

Расчеты параметров попарного пересечения конических сечений (таблица 2) показали возможность расширения перечня кривых для минимизации коэффициента геометрии.

Таблица 2 - Результаты расчетов коэффициентов геометрии при использовании конических сечений (фрагмент)

Пересечение линий положения

Угол 9у между касательными (в точке Н(хн, ун)) к линиям положения с угловыми коэффициентами кг, к 9У = аг^(к, - к7)/(1 + к/к,)

Графики коэффициентов геометрии = tg0y, где Е, и ^ - нормированные величины: Е, = хн/Ь и ^ = ун/Ь при b = const

Окружность В и гипербола Г

>' А

2 2

0Br = агс^{[ун[хн(аг + dr) -

2 2 2 2 -bar ]]/К ун - dr хн (хн - b)]}

- I I I I - 11=3,0 -л=1,о ---------г)=0,7

!

1 /

У

/ У

— • 1

—

1,0

2,0

3,0 4

Эллипс Э и парабола П

0ЭП = arctg{[aэ ЦyH + (b - хн)

2 2 2 + (b - хн)]yH + dэ хн ]/[aэ yH -

- d х

э-H W Ун + (b - хн) +

+ (ь - хн)]]}

Кт 8 6 4

2

0

— II ----------Г|—3,0

»

-Т|=1 ,0 >Д

— / /

---------т|=0,7

/ у

_, - —.

.....

1,0

2,0

3,0 ^

Оценка точности определения координат объектов с известной траекторией движения. К подвижным управляемым объектам (УО), которые имеют известную и в определенной мере наперед заданную траекторию движения, относятся, например, автомобили на автодорогах, мотор-вагонный подвижной состав на железнодорожных путях, речные и морские суда соответственно на реках и в проливах, самолеты на взлетно-посадочной полосе или на рулежных дорожках. Корреляция между собой координатных составляющих ошибок позиционирования и привязка УО к определенной траектории являются исходными предпосылками к уточнению положения объекта при ограничении степеней свободы.

Пусть в прямоугольной системе координат Оxyz задана ограниченная точками А(хА, уа,

2

Рисунок 7 - Произвольная жесткая траектория движения объекта

zA) и B(xB, yB, zB) линия l0(x,y,z), которая состоит из таких участков: 1) прямолинейного 4F(x,y,z); 2) криволинейного l^(x,y,z); 3) излома ^(x,y,z) (рисунок 7).

Движение УО с одной степенью свободы - только вдоль линии l0(x,y,z) - достоверное событие. Траектория движения УО с тремя степенями свободы с вероятностью Рзад укладывается в криволинейный цилиндр с эллиптическим основанием, осью которого служит линия l0(x,y,z), а основанием - эллипс, оси которого определяются точностью работы систем навигации и управления. В этом кроется избыточность навигационных измерений для УО с фиксированной в пространстве траекторией движения. Далее исследуются только особенности движения УО, связанные с навигационными определениями. Возможны различные положения УО (т. Ci) на траектории l0(x,y,z) (см. рисунок 7).

1) Прямолинейный участок траектории: C¡e 1щ(х,у^) (рисунок 8). Результатом навигационных определений в т. Ci в системе координат Оху являются измеренные координаты подвижного объекта хС изм и уС изм. В общем случае они не совпадают с координатами истинного положения объекта хС ист и уС ист. Дополнительная система координат Oiuv, начало которой т. О1 - совпадает с точкой положения объекта С1, ось О1и совпадает c прямолинейным участком траектории и направлена вправо, а ось 01v образует с осью О1и правую декартовую систему координат, повернута относительно системы Оху на некоторый угол а. В системе 01uv координаты т. С1(0; 0) являются истинными координатами положения объекта на плоскости. Измеренные координаты: uC изм = ОС = Au; vC изм = О1С v=Av - случайные погрешности навигационных определений. Они характеризуются двумерной плотностью вероятностей pA(Au, Av). Можно принять погрешности Au и Av независимыми случайными величинами, что характерно для радионавигационных систем, с плотностями вероятностей соответственно pu(Au) и pv(Av). Случайные величины Au и Av соответственно находятся в пределах интервалов [Au,-Au] и [Av, -Av] с вероятностями

Рисунок 8 - Определение координат подвижного объекта по прямолинейной траектории

Ри м (ru) j pu(Au)dAu > Р

зад u5

(27)

Pv м(гv)= jpv(Av)dAv > P

зад v,

(28)

где Ги= I ОА |, гу = | ОАI; Рзад и = Рзад V = Рзад - заданное значение вероятностей.

Пределы ги и гг, т. е. интервалы [Аи, -Аи] и [Аг - Аг], - суть решения интегральных уравнений (28).

Т. Сизм (см. рисунок 8) с вероятностью не меньше Рзад находится в пределах площади, ограниченной кривой второго порядка, которая заменяется эллипсом допустимых погрешностей [3, 4]

(и/ги)2+(г/гг)2=1. (29)

Из исходного условия о движении подвижного объекта только вдоль известной прямой следует вывод о том, что после навигационных определений величина Аг = гг = | О1Сг | = является измеренным (неслучайным) значением погрешности вдоль оси О1г (см. рисунок 8). При известном значении апостериорной погрешности А^ апостериорная погрешность Аи.р}1

вдоль оси О1и с вероятностью не менее Рзад укладывается на интервале [-Du,Du]. Ее максимальное значение 2Ди.Рц.м, равное величине интервала Du], определяется подстановкой в формулу (29) V = Ду р с учетом выражений (27), (28):

дД,м =и/ l-(ДVps.

(30)

' с; Ъ\ XI \ к л X

0 -ЛД -Е\ с2=О2 -А, Си Е\ )Аи и

2) Криволинейный участок траектории: С2е1кр(х,у^) (рисунок 9). Пусть функция 1кр(х,у) в пределах интервала рассмотрения дифференцируема. Введем дополнительную правую декартовую систему координат О2ж таким образом, что ось О2и совпадает с касательной к траектории в точке С2 и направлена вправо, а начало координат О2 совпадает с точкой С2 (см. рисунок 9). В целом система координат О2ж повернута относительно системы Оху на угол Р: Р = агС£ {d[lк:р,(x,y)/d х] при х = хС2, где хС2 - координата х точки С2 в системе Оху.

В системе О2ж координаты точки С2изм - это апостериорные погрешности измерений Ди.р!1 = |О2Си| и |О2CV|. В отличие от случая прямолинейного движения максимальную погрешность следует искать вдоль траектории 1кр(х,у).

Если реальную кривую 1кр(х,у) заменить аппроксимирующей функцией - окружностью

Рисунок 9 - Определение координат подвижного объекта при движении по плоской кривой

(31)

то максимальная погрешность Д1ш.м с вероятностью Рзад ограничивается на кривой v(u) точками а(иа, vG) и Н(ин vн), где координаты vG и vн определяются подстановкой в выражение (31) значений ин = = Дu.ps.м, а максимальная погрешность Ди.^.м по формуле (30). В системе Оху погрешность позиционирования вдоль линии 1кр(х,у)

Д1ан.м = ]Хр(х, У)Л1.

(32)

Используя явную запись кривой (31), получаем погрешность определения положения объекта на траектории [формула (32)] в системе координат О2ж:

+д„

Д1ан.м = | v (и, Д ,\1 +

d ^ (и, Д v. )]

-Д и

du

du.

(33)

ХсЗи

■"-СЗист

3) Излом траектории Сзelизл(x,y,z). Погрешность определения координат при движении объекта вблизи точки излома траектории (рисунок 10) рассмотрим на примере, когда траектория образуется двумя лучами - 1п1 и 1п2, выходящими из точки излома (см. рисунок 10). Вдоль лучей 1п1 и 1п2 введем дополнительные системы координат О3и^ и О3и2у2 с общим началом, оси которых повернуты относительно системы Оху соответственно на углы

ОС1 и а2. В каждой системе координат согласно выражению (30) определяются погрешности положе- Рисунок 10 - Определение погрешностей кооц-

динат подвижного объекта при движении ния объекта по измеренному положению Еизм с уче- в районе точки излома траектории

том того, что погрешность следует определять

только в сторону положительного направления осей

Оии1 и Оии3. На практике излом траектории представляет собой сопряжение осей Оии1 и Оии3 окружностью.

О'х

Рисунок 11 - Область восстановления траектории

Из геометрических построений (см. рисунок 10) следует, что вблизи точки излома неопределенность сужается до сопрягающей окружности /окр, которая проходит через три точки: Еист, К и L. Таким образом, погрешность определения местоположения УО уменьшается до радиуса излома.

Восстановление траектории движения объекта на плоскости при одномерных навигационных измерениях. Анализ источников показывает, что одномерные измерения координат интересуют исследователей как приложение для решения частных задач: трансформация погрешностей измерений при пересчете координат в различные системы отсчета [6]; поиск альтернативного способа определения координат радиолокационной цели [7]; распознавание рукописных текстов [8]; измерение параметров треков элементарных частиц [9]. Для оценки

возможности использования одномерных измерений для це-у=Ь(х) лей навигации докажем теорему о восстановлении плоской траектории.

Для восстановления траектории точки на плоскости, если вынужденно или преднамеренно выполнены измерения только одной ее координаты (однокоординатные измерения), вторую координату следует определить независимым способом.

Утверждение. Необходимым и достаточным условием восстановления на плоскости хОу (см. рисунок 11) траектории движения точки А

у = ад, (34)

проходящей через точку с известными координатами Ао(хо,уо), при невозможности непосредственного измерения одной ее координаты, является задание базовой функции:

л(х, у, £, ?) = 0, (35)

где

£ = £( х, у, ?), или £ = £(у, 0 (36)

независимо измеряемый параметр движения точки А в области D, содержащей искомую траекторию.

Доказательство. При доступности измерения на плоскости только одной координаты подвижной точки (объекта навигации), например х(?),

?*], (37)

где и tk - моменты границы интервала наблюдения.

Определение второй координаты у(?) возможно либо по известной прямой зависимости у(?) = у(х, ?), либо, при известной базовой функции (35), по однозначной связи в момент t базовой функции с неизмеряемой координатой у?). Поэтому априорное знание функциональной зависимости (35) необходимо для определения недостающей координаты у(?).

Достаточность утверждения обусловлена тем, что в произвольный фиксированный момент времени ? = ?■, удовлетворяющему уравнению (37), на траектории L(x)eD движения точки А, как и для всей области D, в соответствии с формулой (35) справедливо равенство:

л(х„ у, £ ?■) = 0, (38)

где хг = х(?); у = у(?); £■ = £(?■).

В явном виде или численным методом из выражения (38) вычисляется неизмеряемая координата уг

Уг = Пу(хг, £■■, ?■), (39)

где пу(хи £■■, ?■) - функция зависимости координаты у от указанных аргументов.

Учитывая то, что функция (36) зависит от координаты у(?), функция (35) обладает избыточностью. Достаточно иметь базовую функцию трех переменных тс(у,£, ?) = 0, поэтому выражение (39) принимает вид:

у = %(£■, ?■). (40)

Множество значений непрерывно измеряемой координаты х1 = х(?) и соответствующих значений вычисляемой координаты у = у(?) при непрерывно изменяющемся параметре ?е[?0;4] представляется соответственно в виде непрерывных зависимостей х = /х(?); у = /у(?). Решение системы уравнений

I х = 1Х (?);

1У = 1У (?)

(41)

путем исключения переменной ? позволяет получить для траектории движения рассматриваемой точки вычисленную аналитическую зависимость:

у = Lвыч (х). (42)

Если вычисления согласно формулам (39) - (42) выполняются мгновенно и погрешности измерений координаты х(?) и независимо измеряемого параметра £(х,у,?) или £(у,?) отсутствуют, то в соответствии с выражением (34)

Lвыч(x) = L(x). (43)

Утверждение доказано.

Примечание. Базовой функцией (35) может служить уравнение траектории на плоскости, а независимо измеряемыми параметрами (36) могут быть приняты линейные или угловые скорости или ускорения подвижной точки А на плоскости хОу относительно точки с известными координатами.

Особенности восстановления траектории. При определении координат объекта навигации А(х/,у■) в реальных условиях вычисления согласно формулам (39) - (42) производятся в течение конечного промежутка времени Д?в, а измерения координаты х(?) и независимого параметра £(?) выполняются с погрешностями. Это приводит к тому, что тождество (43) не выполняется.

Влияние конечного времени вычисления. Координата х1 и независимый параметр £■ подвижной точки определяются в момент времени ?■, а значение координаты у - только к моменту времени ?Д = (?! +Д?в) после завершения вычислений по формулам (40) и (41). В результате такой обработки формируется функция дискретного аргумента уп = Lвыч(xn), хпе[хш„; хтАх], iеN, где N - целое положительное число.

Следовательно: а) измерения координаты х(?) целесообразно выполнять в дискретные моменты времени п = пД?и; iеN ; Д?и > Д?в; б) для совмещения по времени измеренного хп и рассчитанного уп значений координат подвижной точки А необходимо выполнить временную задержку измеренной координаты xi на время Д?и и вычисленной координаты у на время (Д?и - Д?в). Это приведет к временному смещению отсчетов траектории на время Д?и.

Результатом перечисленных особенностей является следующее:

а) шаг дискретизации измерения координаты х(?) должен соответствовать требованиям теоремы Котельникова:

Ди < 1/2/шах, (44)

где /тах - максимальная частота спектра параметрической функции х(?);

б) значения координат, рассчитанных для момента времени ?п, но полученные в момент ?п+1, устаревают.

Шаг дискретизации определяется на основе априорных сведений о возможной динамике

движения (34). Минимальный радиус ^тт изгиба траектории определяется исходя из допустимой перегрузки объекта. На минимальной скорости Утт радиус Rmm=V тт/атах , где атах -допустимое нормальное ускорение материальной точки.

Отсюда максимальная частота спектра, вычисляемая по формуле (44), определяется временем оборота точки А при радиусе Rmln: ^ах = атах/2л Гт1П.

Старение информации между измерениями рассмотрим как уменьшение ее ценности за время задержки А^ = -

Считаем, что на момент времени ^ нет априорных сведений о движении т. А, а координаты измерены с предельной точностью Ах = Ау. Пусть т. А при t > ^ продолжает движение с неизвестной скоростью У(£). По истечении промежутка времени А^ т. А из круга S0eS(Аtи) с

центром в т. А0(х0, у0) и радиусом г0 Ах2 + Ау2 переместится и с вероятностью не меньше заданной может занять любое положение в пределах области S(Аtи), ограниченной окружностью с радиусом г(Аи) =

0

Увеличение неопределенности (энтропии) положения точки А за время А^

АЯ=^2^и)/5с}, (45)

где S0 и S(Аtи) - площади областей S0 и S(Аtи).

Ценность информации, поставленной через время А^ после ее получения, уменьшается с ростом энтропии, поэтому в качестве показателя старения принимаем функцию

или с учетом формулы (45):

W(Аtи) = АН/^

^(А1и) =(2/А к)1о§ь[г (А ^)/го].

(46)

(47)

Анализ формулы (47) показывает, что скорость старения информации снижается с течением времени и увеличением скорости движения. Это есть косвенное подтверждение относительного возрастания ценности априорной информации для восстановления траектории т. А.

Влияние погрешностей измерений рассмотрим на примере независимого измерения скорости т. А. Пусть имеется счисленная неизмеряемая координата

I

Усч(0 = Уо +1V (0+АКу (№ = усчо(0 + Аусч, (48)

М. о. траектории У к т. А

где усч0(0 - м.о. счисленной координаты у(/); Аусч(0 - предельная погрешность счисленной координаты у(^), которая с течением времени возрастает (рисунок 12).

Т. А с известной вероятностью находится в пределах области SV (фигура BCDE). При восстановлении второй координаты площадь неопределенности области SK определяется «замороженными» погрешностями Аусч(0). Согласно выражению (48) площадь SV(t) фигуры BCDE больше площади SK(t) фигуры ВС^'Е. Восстановление траектории тем точнее, чем меньше погрешности координат до их выпадения.

Следовательно, использование для устранения неоднозначности однокоординатных измерений такого независимого параметра £,(1:), при помощи которого вторая координата образуется методом счисления, приводит к увеличению энтропии навигационных измерений по сравнению с двухкоординатными измерениями на величину АИ(^ = 1og2[SV(t)/SK(t)], где площади

Уо

Уо-Ау _

хо х(1) Ах

Рисунок 12 - Расширение области неопределенности положения траектории с течением времени

у( х )+Ду( х) х^ )+Ах у (х )+Ду х (t)+Ax

Sv ) = Ц ds = | dy | Fv (х, у ^х; Sк ) = Ц ds = | dy | ¥к (х, у ^х;

SV у( х )-Ду(х) х0 SK у( х )-Ду х0

в определении которых функции у(х) и Ду(х), FV(x, у) и Fк(x, у) - соответственно явные и неявные функции, описывающие зависимости координаты у(£) и погрешности Д у(£) от координаты х, и границы областей SV и Sк.

Использование доказанного утверждения позволяет выполнить расчет восстанавливаемой траектории в условиях априорной навигационной неопределенности, обусловленной неполными координатными измерениями.

Эффективное решение одной из задач транспортной логистики, а именно повышение точности навигации подвижного состава, достижимо применением алгоритмов третичной обработки навигационных данных. Для позиционной навигации управляемых объектов в качестве линий положения наряду с окружностью и гиперболой возможно использование окружностей с вынесенными центрами, эллипса и параболы. Перебор различных сочетаний конических сечений позволяет минимизировать коэффициент геометрии.

Алгоритм повышения точности определения координат объектов с известной траекторией движения является резервом для повышения точности и эффективности навигации.

Априорное накопление координат множества точек траектории движения кправляемого объекта двумерными независимыми измерениями позволяет в случае пропадания измерений по одной из координат осуществить апостериорное восстановление траектории с известной точностью.

Список литературы

1. Сетевые спутниковые радионавигационные системы [Текст]/ Под ред. В. С. Шебшае-вича. - М.: Радио и связь, 1993. - 408 с.

2. Оценка эффективности типовой комплексной системы навигации [Текст] / В. С. Марюхненко, Ю. Ф. Мухопад и др. // Полет. - 2012. - № 2. - С. 25 - 35.

3. Ярлыков, М. С. Статистическая теория радионавигации [Текст] / М. С. Ярлыков. - М.: Радио и связь, 1985. - 344 с.

4. Марюхненко, В. С. Оценка влияния геометрического фактора на точность и информативность позиционирования объекта в спутниковой радионавигационной системе [Текст] / В. С. Марюхненко // Успехи современной радиоэлектроники. - 2008. - № 2. - С. 30 - 40.

5. Лавский, В. М. Карманный справочник авиационного штурмана [Текст] / В. М. Лавс-кий. - М.: Воениздат, 1952. - 342 с.

6. Марюхненко, В. С. Системы отсчета в навигационных измерениях [Текст] / В. С. Ма-рюхненко // Информационные системы контроля и управления в промышленности и на транспорте /Иркутский гос. ун-т путей сообщения. - Иркутск, 2005. - Вып. 12. - С. 85 - 91.

7. Определение координат и параметров движения источников радиоизлучений по угломерным данным в однопозиционных бортовых радиолокационных системах [Текст] /

B. С.Чернов, В. В. Дрогалин и др. // Зарубежная радиоэлектроника. - 2002. - № 3. -

C. 64 - 94.

8. Поцепаев, Р. В. Восстановление траекторий написания символов по их изображениям / Р. В. Поцепаев [Электронный ресурс]. - [2003]. - Электронный журнал «Исследовано в России». - Режим доступа: http://zhurnal.ape.rel-arn.ru/articles/2003/120.pdf.

9. Кинчаков, В. С. Оптимизация характеристик стационарного глубоководного амплитудного черенковского детектора мюонов [Текст] / В. С. Кинчаков // Журнал технической физики. - 2001. - Т. 71. - С. 101 - 105.