CC BY
23
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 3
УПРАВЛЕНИЕ, КОМПЬЮТЕРНЫЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ НАУКИ MANAGEMENT, COMPUTER AND INFORMATION SCIENCES
Научная статья УДК 681.3+681.5
http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2023-3-5-15
Повышение эффективности алгоритма Плотникова-Зверева
по различным критериям
В.Г. Кобак, В.М. Поркшеян, А.Г. Жуковский, К.В. Подрез
Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия
Аннотация. Рассматривается проблема решения неоднородной минимаксной задачи, являющейся одной из задач теории оптимизации. Сложность данной задачи заключается в том, что получить точное решение для больших размерностей не представляется возможным. Анализируется один из приближенных методов решения, называемый алгоритмом Плотникова-Зверева. Кроме того, описываются несколько модификаций данного алгоритма, разработанных авторами статьи. При помощи вычислительных средств поставлен численный эксперимент, в рамках которого проводилось сравнение алгоритма Плотникова-Зверева и его модификаций по следующему критерию: среднее значение среди полученных решений. В результате сделан вывод о высокой эффективности разработанных модификаций алгоритма.
Ключевые слова: неоднородная минимаксная задача, NP-полные задачи, алгоритм Плотникова-Зверева, теория расписаний, минимаксный критерий, методы оптимизации, списочные алгоритмы
Для цитирования: Кобак В.Г., Поркшеян В.М., Жуковский А.Г., Подрез К.В. Повышение эффективности алгоритма Плотникова-Зверева по различным критериям // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2023. № 3. С. 5-15. http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2023-3-5-15
Original article
Improving the efficiency of the Plotnikov-Zverev algorithm
by various criteria
V.G. Kobak, V.M. Porksheyan, A.G. Zhukovskiy, K.V. Podrez
Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia
Abstract. The article deals with the problem of solving heterogeneous minimax problem, which is one of the problems of optimization theory. The complexity of this problem is that to get an accurate solution for in higher dimensions it is not possible. The article discusses one of the approximate solution methods called the Plotnikov -Zverev algorithm. In addition, several modifications of this algorithm are described, developed by the authors of the article. As part of the study, using a numerical experiment was set up in the framework of computer tools the Plotnikov-Zverev algorithm was compared with its modifications based on the following criteria: average value among the received solutions. During a computational experiment the conclusion was made about the high efficiency of the developed modifications algorithm's.
Keywords: inhomogeneous minimax problem, NP-complete problems, Plotnikov-Zverev algorithm, scheduling theory, minimax criterion, optimization methods, list algorithms
For citation: Kobak V.G., Porksheyan V.M., Zhukovskiy A.G., Podrez K.V. Improving the efficiency of the Plotnikov-Zverev algorithm by various criteria. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Techn. nauki=Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Technical Sciences. 2023;(3):5-15. (In Russ.). http://dx.doi.org/ 10.17213/1560-3644-2023-3-5-15
© Кобак В.Г., Поркшеян B.M., Жуковский А.Г., Подрез К.В., 2023
ISSN1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 3
При решении WP-полных задач теории расписаний [1] точные методы эффективны только для малой размерности задач. Для решения задач большей размерности используются приближенные алгоритмы, основанные на определенных эвристических приемах [1-4]. Одним из таких алгоритмов является алгоритм Плотникова-Зверева [5-7], который ориентирован на решение неоднородной минимаксной задачи.
В терминах теории расписаний однородная минимаксная задача может быть сформулирована следующим образом. Имеется система обслуживания, состоящая из N независимых устройств P = {p1, p2, ..., pn}. На обслуживание поступает конечный поток M - множество независимых параллельных заданий (функциональных операторов) Т = {ti, fr, ..., tm}; T(tpj) - длительность обслуживания задания ti устройством Pj, определяется матрицей Тт. Приборы в общем случае не идентичны, задание ti может быть обслужено любым из устройств, и устройство pj может обрабатывать одновременно не более одного задания. Необходимо определить такое распределение заданий по устройствам без прерываний, чтобы время выполнения всей совокупности заданий было минимальным. Критерием минимизации времени выполнения заданий является минимаксный критерий:
f — max f ■. ^ min,
l<j<n j
где fj — ^ T(tiPj) - время завершения
т(lipj )eT
работы процессора [5].
Теоретическая часть.
Минимаксный критерий
Базовый алгоритм Плотникова-Зверева для решения неоднородной минимаксной задачи состоит из следующих шагов [5].
Шаг 1. Матрица задач сортируется в зависимости от суммы элементов в каждой строке по убыванию.
Шаг 2. Формируется одномерный массив нагрузки, размер которого равен количеству устройств обработки. На первом этапе он заполняется нулями.
Шаг 3. К каждой строке прибавляются значения из массива загрузки. После чего ищется минимальный элемент.
Шаг 4. Значение минимального элемента прибавляется к соответствующему ему элементу массива загрузки с индексом значения.
Шаг 5. Алгоритм выполняется до тех пор, пока не будут обработаны все строки матрицы. Возьмем для примера матрицу, изображенную на рис. 1.
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3
1 12 17 10
2 17 14 12
3 17 12 19
4 16 20 18
5 12 16 13
6 16 12 17
7 14 20 16
Рис. 1. Исходная матрица задач Fig. 1. The initial matrix of tasks
Отсортируем строки по убыванию сумм, как показано на рис. 2.
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3 Сумма
1 16 20 18 54
2 14 20 16 50
3 17 12 19 48
4 16 12 17 45
5 17 14 12 43
6 12 16 13 41
7 12 17 10 39
Рис. 2. Отсортированная матрица задач Fig. 2. Sorted task matrix
Найдем минимальный элемент в первой строке. Он равен 16 и имеет индекс 1. А первый элемент массива загрузки становится равен 16 (рис. 3).
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3
1 16 20 18
2 14 20 16
3 17 12 19
4 16 12 17
5 17 14 12
6 12 16 13
7 12 17 10
Массив загрузки 16 0 0
Рис. 3. Первый шаг алгоритма Плотникова-Зверева Fig. 3.The first step of the Plotnikov-Zverev algorithm
ISSN1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 3
Прибавим ко второй строке содержимое массива загрузки. Найдем минимальный элемент во второй строке. Он равен 16 и имеет индекс 3. Третий элемент массива загрузки становится равен 16 (рис. 4).
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3
1 16 20 18
2 30 20 16
3 17 12 19
4 16 12 17
5 17 14 12
6 12 16 13
7 12 17 10
Массив загрузки 16 0 16
Рис. 4. Второй шаг алгоритма Плотникова-Зверева Fig. 4. The second step of the Plotnikov-Zverev algorithm
Прибавим к третьей строке содержимое массива загрузки. Найдем минимальный элемент в третьей строке. Он равен 12 и имеет индекс 2. Второй элемент массива загрузки становится равен 12 (рис. 5).
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3
1 16 20 18
2 30 20 16
3 33 12 35
4 16 12 17
5 17 14 12
6 12 16 13
7 12 17 10
Массив загрузки 16 12 16
Рис. 5. Третий шаг алгоритма Плотникова-Зверева Fig. 5. The third step of the Plotnikov-Zverev algorithm
Прибавим к четвертой строке содержимое массива загрузки. Найдем минимальный элемент в четвертой строке. Он равен 24 и имеет индекс 2. К первому элементу массива загрузки прибавляется исходное значение 12 (рис. 6).
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3
1 16 20 18
2 30 20 16
3 33 12 35
4 32 24 33
5 17 14 12
6 12 16 13
7 12 17 10
Массив загрузки 16 24 16
Рис. 6. Четвертый шаг алгоритма Плотникова-Зверева Fig. 6. The fourth step of the Plotnikov-Zverev algorithm
Прибавим к пятой строке содержимое массива загрузки. Найдем минимальный элемент в пятой строке. Он равен 28 и имеет индекс 3. К третьему элементу массива загрузки прибавляется 16 (рис. 7).
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3
1 16 20 18
2 30 20 16
3 33 12 35
4 32 24 33
5 33 38 28
6 12 16 13
7 12 17 10
Массив загрузки 16 24 28
Рис. 7. Пятый шаг алгоритма Плотникова-Зверева Fig. 7. The fifth step of the Plotnikov-Zverev algorithm
Прибавим к шестой строке содержимое массива загрузки. Найдем минимальный элемент в шестой строке. Он равен 28 и имеет индекс 1. К первому элементу массива загрузки прибавляется 16 (рис. 8).
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3
1 16 20 18
2 30 20 16
3 33 12 35
4 32 24 33
5 33 38 28
6 28 40 41
7 12 17 10
Массив загрузки 28 24 28
Рис. 8. Шестой шаг алгоритма Плотникова-Зверева Fig. 8. The sixth step of the Plotnikov-Zverev algorithm
Прибавим к седьмой строке содержимое массива загрузки. Найдем минимальный элемент в седьмой строке. Он равен 38 и имеет индекс 3. Третий элемент массива загрузки становится равен 38 (рис. 9).
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3
1 16 20 18
2 30 20 16
3 33 12 35
4 32 24 33
5 33 38 28
6 28 40 41
7 40 41 38
Массив загрузки 28 24 38
Рис. 9. Седьмой шаг алгоритма Плотникова-Зверева Fig. 9. The seventh step of the Plotnikov-Zverev algorithm
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.
TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 3
По итогу работы алгоритма получен массив нагрузки со значениями 28, 24, 38. Возьмем максимальную полученную нагрузку, которая и будет итоговым решением тах= 38.
Теоретическая часть.
Квадратичный критерий
Квадратичный критерий алгоритма Плотникова-Зверева для решения неоднородной минимаксной задачи состоит из следующих шагов [5].
Шаг 1. Матрица задач сортируется в зависимости от суммы элементов в каждой строке по убыванию.
Шаг 2. Формируется одномерный массив нагрузки, размер которого равен количеству устройств обработки. На первом этапе он заполняется нулями.
Шаг 3. Каждый элемент текущей строки прибавляется к текущей загрузке и для каждого элемента вычисляется квадратичный критерий.
Шаг 4. Из п сформированных квадратичных критериев выбирается один минимальный и этот элемент прибавляется к текущей загрузке. Если таких критериев несколько, то для обработки берем самый левый.
Шаг 5. Алгоритм выполняется до тех пор, пока не будут обработаны все строки матрицы. Возьмем для примера матрицу, изображенную на рис. 10.
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3
1 12 17 10
2 17 14 12
3 17 12 19
4 16 20 18
5 12 16 13
6 16 12 17
7 14 20 16
Рис. 10. Исходная матрица задач Fig. 10. The initial matrix of tasks
Отсортируем строки по убыванию сумм, как показано на рис. 11.
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3 Сумма
1 16 20 18 54
2 14 20 16 50
3 17 12 19 48
4 16 12 17 45
5 17 14 12 43
6 12 16 13 41
7 12 17 10 39
Возьмем первую строчку из матрицы. Последовательно возведем каждое число в квадрат, прибавляя его по индексу в массив загрузки. Найдем наименьшую сумму квадратов и запишем новые значения в массив загрузки (рис. 12).
T1 = 162+02+02= =256
T2 = 02+202+02= =400
T3 = 02+02+182= =324
Массив загрузки 16 0 0
Рис. 12. Первый шаг алгоритма Плотникова-Зверева по квадратичному критерию
Fig. 12. The first step of the Plotnikov-Zverev algorithm on the quadratic criterion
Возьмем вторую строчку из матрицы. Последовательно возведем каждое число в квадрат, прибавляя его по индексу в массив загрузки. Найдем наименьшую сумму квадратов и запишем новые значения в массив загрузки (рис. 13).
T1 = 302+02+02= =900
T2 = 162+202+02 =656
T3 = 162+02+162 =512
Массив загрузки 16 0 16
Рис. 13. Второй шаг алгоритма Плотникова-Зверева по квадратичному критерию
Fig. 13. The second step of the Plotnikov-Zverev algorithm on the quadratic criterion
Возьмем третью строчку из матрицы. Последовательно возведем каждое число в квадрат, прибавляя его по индексу в массив загрузки. Найдем наименьшую сумму квадратов и запишем новые значения в массив загрузки (рис. 14).
T1 = 332+02+162= 1345
T2 = 162+122+162 =656
T3 = 162+02+352= 1481
Массив загрузки 16 12 16
Рис. 14. Третий шаг алгоритма Плотникова-Зверева по квадратичному критерию
Fig. 14. The third step of the Plotnikov-Zverev algorithm on the quadratic criterion
Возьмем четвертую строчку из матрицы. Последовательно возведем каждое число в квадрат, прибавляя его по индексу в массив загрузки. Найдем наименьшую сумму квадратов и запишем новые значения в массив загрузки (рис. 15).
T1 = 322+122+162= =1424
T2 = 162+242+162= =1088
T3 = 162+122+332= 1489
Массив загрузки 16 24 16
Рис. 11. Отсортированная матрица задач Fig. 11. Sorted task matrix
Рис. 15. Четвертый шаг алгоритма Плотникова-Зверева по квадратичному критерию
Fig. 15. The fourth step of the Plotnikov-Zverev algorithm on the quadratic criterion
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 3
Возьмем пятую строчку из матрицы. Последовательно возведем каждое число в квадрат, прибавляя его по индексу в массив загрузки. Найдем наименьшую сумму квадратов и запишем новые значения в массив загрузки (рис. 16).
T1 = 332+242+162= 1921
T2 = 162+382+162= 1956
T3 = 162+242+282= 1616
Массив загрузки 16 24 28
Рис. 16. Пятый шаг алгоритма Плотникова-Зверева по квадратичному критерию
Fig. 16. The fifth step of the Plotnikov-Zverev algorithm on the quadratic criterion
Возьмем шестую строчку из матрицы. Последовательно возведем каждое число в квадрат, прибавляя его по индексу в массив загрузки. Найдем наименьшую сумму квадратов и запишем новые значения в массив загрузки (рис. 17).
T1 = 282+242+282= =2144
T2 = 162+402+282= =2640
T3 = 162+242+412= =2513
Массив загрузки 28 24 28
Рис. 17. Шестой шаг алгоритма Плотникова-Зверева по квадратичному критерию
Fig. 17. The sixth step of the Plotnikov-Zverev algorithm on the quadratic criterion
Возьмем седьмую строчку из матрицы. Последовательно возведем каждое число в квадрат, прибавляя его по индексу в массив загрузки. Найдем наименьшую сумму квадратов и запишем новые значения в массив загрузки (рис. 18).
T1 = 402+242+282= =2960
T2 = 282+412+282= =3249
T3 = 282+242+382= =2804
Массив загрузки 28 24 38
Рис. 18. Седьмой шаг алгоритма Плотникова-Зверева по квадратичному критерию
Fig. 18. The seventh step of the Plotnikov-Zverev algorithm on the quadratic criterion
По итогу работы алгоритма получено решение. Возьмем максимальную полученную нагрузку, которая и будет итоговым решением
Fmin max = 38.
Теоретическая часть.
Кубический критерий
Кубический критерий алгоритма Плотникова-Зверева для решения неоднородной минимаксной задачи такой же, как и квадратический, только для каждого элемента вычисляется кубический критерий и выбор минимального элемента происходит из n сформированных кубических критериев [5].
Теоретическая часть. Метод минимальных элементов
Алгоритм метода минимальных элементов для решения неоднородной минимаксной задачи состоит из следующих шагов [5].
Шаг 1. Матрица задач сортируется в зависимости от суммы элементов в каждой строке по убыванию.
Шаг 2. Формируется одномерный массив нагрузки, размер которого равен количеству устройств обработки. На первом этапе он заполняется нулями.
Шаг 3. В каждой строке выбирается минимальный элемент.
Шаг 4. Значение минимального элемента прибавляется к соответствующему ему элементу массива загрузки с индексом значения.
Шаг 5. Алгоритм выполняется до тех пор, пока не будут обработаны все строки матрицы.
Возьмем для примера матрицу из предыдущего примера и также ее отсортируем (рис. 19).
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3 Сумма
1 16 20 18 54
2 14 20 16 50
3 17 12 19 48
4 16 12 17 45
5 17 14 12 43
6 12 16 13 41
7 12 17 10 39
Рис. 19. Первый шаг алгоритма метода минимальных элементов
Fig. 19. The first step of the minimum element method
Найдем минимальный элемент в первой строке. Он равен 16 и имеет индекс 1. Прибавим значение найденного минимального элемента к первому элементу матрицы загрузки (рис. 20).
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3
1 16 20 18
2 14 20 16
3 17 12 19
4 16 12 17
5 17 14 12
6 12 16 13
7 12 17 10
Массив загрузки 16 0 0
Рис. 20. Второй шаг алгоритма метода минимальных элементов
Fig. 20. The second step of the minimum element method
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 3
Найдем минимальный элемент во второй строке. Он равен 14 и имеет индекс 1. Прибавим значение найденного минимального элемента к первому элементу матрицы загрузки (рис. 21 ).
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3
1 16 20 18
2 14 20 16
3 17 12 19
4 16 12 17
5 17 14 12
6 12 16 13
7 12 17 10
Массив загрузки 30 0 0
Рис. 21. Третий шаг алгоритма метода минимальных элементов
Fig. 21. The third step of the minimum element method
Найдем минимальный элемент в третьей строке. Он равен 12 и имеет индекс 2. Прибавим значение найденного минимального элемента ко второму элементу матрицы загрузки (рис. 22).
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3
1 16 20 18
2 14 20 16
3 17 12 19
4 16 12 17
5 17 14 12
6 12 16 13
7 12 17 10
Массив загрузки 30 12 0
Рис. 22. Четвертый шаг алгоритма метода минимальных элементов
Fig. 22. The fourth step of the minimum element method
Найдем минимальный элемент в четвертой строке. Он равен 12 и имеет индекс 2. Прибавим значение найденного минимального элемента ко второму элементу матрицы загрузки (рис. 23).
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3
1 16 20 18
2 14 20 16
3 17 12 19
4 16 12 17
5 17 14 12
6 12 16 13
7 12 17 10
Массив загрузки 30 24 0
Рис. 23. Пятый шаг алгоритма метода минимальных элементов
Fig. 23. The fifth step of the minimum element method
Найдем минимальный элемент в пятой строке. Он равен 12 и имеет индекс 3. Прибавим значение найденного минимального элемента к третьему элементу матрицы загрузки (рис. 24).
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3
1 16 20 18
2 14 20 16
3 17 12 19
4 16 12 17
5 17 14 12
6 12 16 13
7 12 17 10
Массив загрузки 30 24 12
Рис. 24. Шестой шаг алгоритма метода минимальных элементов
Fig. 24. The sixth step of the minimum element method
Найдем минимальный элемент в шестой строке. Он равен 12 и имеет индекс 1. Прибавим значение найденного минимального элемента к первому элементу матрицы загрузки (рис. 25).
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3
1 16 20 18
2 14 20 16
3 17 12 19
4 16 12 17
5 17 14 12
6 12 16 13
7 12 17 10
Массив загрузки 42 24 12
Рис. 25. Седьмой шаг алгоритма метода минимальных элементов
Fig. 25. The seventh step of the minimum element method
Найдем минимальный элемент в седьмой строке. Он равен 10 и имеет индекс 3. Прибавим значение найденного минимального элемента к третьему элементу матрицы загрузки (рис. 26).
№ строки Прибор 1 Прибор 2 Прибор 3
1 16 20 18
2 14 20 16
3 17 12 19
4 16 12 17
5 17 14 12
6 12 16 13
7 12 17 10
Массив загрузки 42 24 22
Рис. 26. Восьмой шаг алгоритма метода минимальных элементов
Fig. 26. The eighth step of the minimum element method
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 3
По итогу работы алгоритма получен массив нагрузки со значениями 42, 24, 22. Возьмем максимальную полученную нагрузку, которая и будет итоговым решением Fmm max = 42.
Показано, что использование барьера для минимаксного критерия дало положительный результат. В данной работе расширяется использование барьера на квадратичный и кубический критерии. Аналитически показать использование барьера в алгоритме Плотникова-Зверева практически невозможно. Из-за этого был поставлен большой вычислительный эксперимент.
Для проведения вычислительного эксперимента использовали компьютер под управлением WindowslOPro x64. В качестве аппаратного обеспечения служил компьютер со следующей конфигурацией: четырехъядерный процессор Intel Core i5-9300H, 8 гигабайт оперативной памяти формата DDR4, накопитель SSD формата M2. Вычислительный эксперимент проводился с помощью программного средства, написанного на языке программирования Python в среде разработки PyCharm.
Результаты экспериментальных исследований
В рамках эксперимента сравнивалась эффективность работы алгоритма Плотникова-Зверева [8-11].
Обобщённые результаты эксперимента для 100 различных матриц заданий для 3, 4, 5 приборов, содержащих значения в диапазоне от 10 до 20, представлены в табл. 1, 3 и 5.
Таблица 1. Результаты вычислительного эксперимента с загрузкой 10.. .20
Table 1. Results of computational experiment with loading 10.20
Обобщённые результаты эксперимента для 100 различных матриц заданий для 3, 4, 5 приборов, содержащих значения в диапазоне от 10 до 40, представлены в таблицах 2, 4 и 6.
Таблица 2. Результаты вычислительного эксперимента с загрузкой 10.40
Table 2. Results of computational experiment with loading 10.40
Число заданий Метод 3 4 5
53 Метод минимальных элементов 371 274 218
Минимаксный критерий ПЗ 357 251 194
Квадратичный критерий ПЗ 331 234 181
Кубический критерий ПЗ 330 233 181
233 Метод минимальных элементов 1496 1059 829
Минимаксный критерий ПЗ 1554 1087 828
Квадратичный критерий ПЗ 1387 958 729
Кубический критерий ПЗ 1386 957 728
533 Метод минимальных элементов 3301 2347 1777
Минимаксный критерий ПЗ 3550 2484 1880
Квадратичный критерий ПЗ 3127 2161 1628
Кубический критерий ПЗ 3123 2155 1626
Таблица 3. Результаты вычислительного эксперимента с загрузкой 10.20
Table 3. Results of computational experiment with loading 10.20
1-й эксперимент
В работе [1] предложен вариант использования Плотникова-Зверева без барьера. Рассмотрим, как ведет себя алгоритм Плотникова-Зверева без барьера по различным критериям.
В результате эксперимента можно сделать вывод, что для интервала 10 - 20 и различных размерностей числа заданий наиболее предпочтительным является квадратичный критерий, а для более широкого интервала - кубический.
Число заданий Метод 3 4 5
Метод минимальных элементов 273 209 174
53 Минимаксный критерий ПЗ 249 182 143
Квадратичный критерий ПЗ 232 171 135
Кубический критерий ПЗ 233 171 136
Метод минимальных элементов 1112 846 694
233 Минимаксный критерий ПЗ 1075 785 615
Квадратичный критерий ПЗ 973 705 551
Кубический критерий ПЗ 976 707 554
Метод минимальных элементов 2533 1898 1537
533 Минимаксный критерий ПЗ 2461 1793 1401
Квадратичный критерий ПЗ 2205 1586 1234
Кубический критерий ПЗ 2208 1592 1240
Число заданий Метод 3 4 5
Метод минимальных элементов 273 209 174
53 Минимаксный критерий ПЗ 229 167 133
Квадратичный критерий ПЗ 232 168 133
Кубический критерий ПЗ 228 166 131
Метод минимальных элементов 1112 846 694
233 Минимаксный критерий ПЗ 973 707 554
Квадратичный критерий ПЗ 997 714 553
Кубический критерий ПЗ 976 701 546
Метод минимальных элементов 2533 1898 1537
533 Минимаксный критерий ПЗ 2223 1605 1252
Квадратичный критерий ПЗ 2278 1632 1263
Кубический критерий ПЗ 2233 1600 1239
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.
TECHNJCAL SCJENCES. 2023. No 3
Таблица 4. Результаты вычислительного эксперимента с загрузкой 10.. .40
Table 4. Results of computational experiment with loading 10.40
Число заданий Метод 3 4 5
53 Метод минимальных элементов 371 274 218
Минимаксный критерий ПЗ 325 231 179
Квадратичный критерий ПЗ 334 234 180
Кубический критерий ПЗ 325 228 176
233 Метод минимальных элементов 1496 1059 829
Минимаксный критерий ПЗ 1383 954 726
Квадратичный критерий ПЗ 1432 984 749
Кубический критерий ПЗ 1404 961 727
533 Метод минимальных элементов 3301 2347 1777
Минимаксный критерий ПЗ 3119 2161 1622
Квадратичный критерий ПЗ 3216 2232 1672
Кубический критерий ПЗ 3177 2191 1635
Вывод: при работе с барьером, описанным в работе [8], наиболее предпочтительным является кубический критерий для размерностей 10 - 20, для 10 - 40 - минимаксный.
2-й эксперимент
В работе [1] предложен вариант использования алгоритма Плотникова-Зверева с барьером. Рассмотрим как ведет себя этот алгоритм по различным критериям, которые вычисляются следующим образом: «Находится сумма минимальных значений элементов в каждой строке и делится на количество приборов».
3-й эксперимент
В данной работе исследуется как влияет часть барьера на квадратичный, кубический, минимаксный критерии на величину барьера. Для этого поставлен 3-й вычислительный эксперимент с барьером, который исследовался для значений 0,1; 0,5; 0,7; 0,9.
Таблица 5. Результаты вычислительного эксперимента с загрузкой 10.20 Table 5. Results of computational experiment with loading 10.20
Барьер Число заданий Метод 3 4 5
Метод минимальных элементов 273 209 174
53 Минимаксный критерий ПЗ 249 182 143
Квадратичный критерий ПЗ 232 171 135
Кубический критерий ПЗ 233 171 136
Метод минимальных элементов 1112 846 694
0,1 233 Минимаксный критерий ПЗ 1075 783 614
Квадратичный критерий ПЗ 972 704 550
Кубический критерий ПЗ 974 705 552
Метод минимальных элементов 2533 1898 1537
533 Минимаксный критерий ПЗ 2450 1785 1394
Квадратичный критерий ПЗ 2203 1584 1232
Кубический критерий ПЗ 2205 1589 1236
Метод минимальных элементов 273 209 174
53 Минимаксный критерий ПЗ 243 177 140
Квадратичный критерий ПЗ 231 169 133
Кубический критерий ПЗ 231 168 134
Метод минимальных элементов 1112 846 694
0,5 233 Минимаксный критерий ПЗ 1032 749 586
Квадратичный критерий ПЗ 970 702 547
Кубический критерий ПЗ 970 701 547
Метод минимальных элементов 2533 1898 1537
533 Минимаксный критерий ПЗ 2352 1703 1326
Квадратичный критерий ПЗ 2202 1583 1229
Кубический критерий ПЗ 2204 1585 1232
Метод минимальных элементов 273 209 174
53 Минимаксный критерий ПЗ 238 173 137
Квадратичный критерий ПЗ 230 168 134
Кубический критерий ПЗ 230 167 133
Метод минимальных элементов 1112 846 694
0,7 233 Минимаксный критерий ПЗ 1007 732 571
Квадратичный критерий ПЗ 971 701 547
Кубический критерий ПЗ 969 700 546
Метод минимальных элементов 2533 1898 1537
533 Минимаксный критерий ПЗ 2296 1661 1294
Квадратичный критерий ПЗ 2204 1583 1229
Кубический критерий ПЗ 2204 1586 1231
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 3
Продолжение таблицы 5
Барьер Число заданий Метод 3 4 5
Метод минимальных элементов 273 209 174
53 Минимаксный критерий ПЗ 232 169 134
Квадратичный критерий ПЗ 230 168 132
Кубический критерий ПЗ 229 167 132
Метод минимальных элементов 1112 846 694
0,9 233 Минимаксный критерий ПЗ 985 715 560
Квадратичный критерий ПЗ 977 704 547
Кубический критерий ПЗ 969 700 545
Метод минимальных элементов 2533 1898 1537
533 Минимаксный критерий ПЗ 2247 1622 1266
Квадратичный критерий ПЗ 2229 1595 1237
Кубический критерий ПЗ 2206 1585 1232
Таблица 6. Результаты вычислительного эксперимента с загрузкой 10.40 Table 6. Results of computational experiment with loading 10.40
Барьер Число заданий Метод 3 4 5
Метод минимальных элементов 371 274 218
53 Минимаксный критерий ПЗ 357 251 194
Квадратичный критерий ПЗ 331 234 181
Кубический критерий ПЗ 330 233 181
Метод минимальных элементов 1496 1059 829
0,1 233 Минимаксный критерий ПЗ 1546 1079 826
Квадратичный критерий ПЗ 1385 957 727
Кубический критерий ПЗ 1382 954 726
Метод минимальных элементов 3301 2347 1777
533 Минимаксный критерий ПЗ 3533 2473 1872
Квадратичный критерий ПЗ 3123 2158 1626
Кубический критерий ПЗ 3117 2150 1621
Метод минимальных элементов 371 274 218
53 Минимаксный критерий ПЗ 344 245 190
Квадратичный критерий ПЗ 327 231 180
Кубический критерий ПЗ 326 231 180
Метод минимальных элементов 1496 1059 829
0,5 233 Минимаксный критерий ПЗ 1488 1029 783
Квадратичный критерий ПЗ 1380 951 722
Кубический критерий ПЗ 1377 946 719
Метод минимальных элементов 3301 2347 1777
533 Минимаксный критерий ПЗ 3362 2341 1761
Квадратичный критерий ПЗ 3119 2150 1618
Кубический критерий ПЗ 3107 2141 1610
Метод минимальных элементов 371 274 218
53 Минимаксный критерий ПЗ 336 239 186
Квадратичный критерий ПЗ 329 232 179
Кубический критерий ПЗ 324 229 178
Метод минимальных элементов 1496 1059 829
0,7 233 Минимаксный критерий ПЗ 1446 1001 761
Квадратичный критерий ПЗ 1383 953 723
Кубический критерий ПЗ 1374 945 715
Метод минимальных элементов 3301 2347 1777
533 Минимаксный критерий ПЗ 3267 2264 1706
Квадратичный критерий ПЗ 3125 2157 1620
Кубический критерий ПЗ 3107 2140 1607
Метод минимальных элементов 371 274 218
53 Минимаксный критерий ПЗ 329 234 181
Квадратичный критерий ПЗ 332 232 178
Кубический критерий ПЗ 324 228 176
Метод минимальных элементов 1496 1059 829
0,9 233 Минимаксный критерий ПЗ 1407 970 738
Квадратичный критерий ПЗ 1407 965 734
Кубический критерий ПЗ 1382 947 716
Метод минимальных элементов 3301 2347 1777
533 Минимаксный критерий ПЗ 3166 2196 1649
Квадратичный критерий ПЗ 3169 2192 1641
Кубический критерий ПЗ 3126 2153 1612
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 3
Заключение
Использование для минимаксного, квадратичного и кубического критериев различных частей барьера приводит к разным результатам. Но применение полного барьера дает наилучшие результаты для минимаксного критерия, а часть барьера от 0,4 до 0,7 даёт лучшие результаты для квадратичного, в случае широкого диапазона - кубического критерия, особенно для больших размерностей.
Список источников
1. Алексеев О.Т. Комплексное применение методов дискретной оптимизации. М.: Наука, 1987.
2. Алгоритмы: построение и анализ / Т. Кормен, Ч. Лейзер-сон, Р. Ривест, К. Штайн; под ред. Л.Н. Красножан. М.: Вильямс, 2013. 1328 с.
3. Полиномиальное время // [СГУ] URL http://rain.ifmo.ru/ cat/view.php/theory/algorithm-analysis/np-completeness -2004.
4. Кононов А.В. Актуальные задачи теории расписаний: вычислительная сложность и приближенные алгоритмы: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 2014, 196 с.
5. Плотников В.Н., ЗверевВ.Ю. Методы быстрого распределения алгоритмов в вычислительных системах // Техническая кибернетика. 1974. № 3.
6. Лазарев А.А. Теория расписаний. Задачи и алгоритмы. М.: Изд-во Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова, 2011. 222 с.
7. КобакВ.Г. [и др.]. Эффективные методы решения однородных распределительных задач на основе минимаксного критерия. Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2013. 99 с.
8. Кобак В.Г, Поркшеян В.М., Кузин А.П. Исследование различных модификаций алгоритма Плотникова-Зверева при решении неоднородной минимаксной задачи // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2020. № 2. С. 5 - 12. 001:10.17213/1560-3644-2020-2-5-12.
9. Поспелов Д.А. Введение в теорию вычислительных систем. М.: Советское радио, 1972.
10. Конвей Р.В., Максвелл В.Л., Миллер Л.В. Теория расписаний. М.: Наука, 1975.
11. Панфилов И.В., Половко А.М. Вычислительные системы. М.: Советское радио, 1980.
References
1. Alekseev O.T. The complex application of discrete optimization methods. Moscow: Nauka. 1987. (In Russ.).
2. Kormen T., Leiserson C., Rivest R., Stein K. Algorithms: construction and analysis. Moscow: Williams. 2013. 1328 p. (In Russ.).
3. Polynomial time. Available at: http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/theory/algorithm-analysis/np-completeness-2004 (accessed 12.10. 2016).
4. Kononov A.V. Actual problems of scheduling theory: computational complexity and approximate algorithms: Author. Diss. Dr. Phys-Matt. (Sci.) Novosibirsk. 2014. 196 p. (In Russ.).
5. Plotnikov V.N., Zverev V.Yu. Methods for fast distribution of algorithms in computing systems. Technical cybernetics. 1974;(3). (In Russ.).
6. Lazarev A.A. Schedule Theory. Tasks and Algorithms. Moscow: M.V. Lomonosov Moscow State University. 2011. 222 p.
7. Kobak V.G. et al. Effective methods for solving homogeneous distribution problems based on the minimax criterion. Rostov-on-Don: Publishing center DGTU. 2013. 99 p. (In Russ.).
8. Kobak V.G., Porksheyan V.M., Kuzin A.P. Investigation of different modifications of the Plotnikov-Zverev algorithm when solving the inhomogeneous minimax problem. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Techn. nauki= Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region.Technical Sciences. 2020;(2):5 - 12. D0I:10.17213/1560-3644-2020-2-5-12. (In Russ.).
9. Pospelov D.A. Introduction to the theory of computing systems. Moscow: Soviet Radio. 1972. (In Russ.).
10. Conway R.V., Maxwell V.L., Miller L.V. Theory of schedules. Moscow: Nauka. 1975. (In Russ.).
11. Panfilov I.V., Polovko A.M. Computing systems. Moscow: Soviet Radio. 1980. (In Russ.).
Сведения об авторах
Кобак Валерий Григорьевичв- д-р техн. наук, профессор, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», valera33305@mail.ru
Поркшеян Виталий Маркосович - канд. физ.-мат. наук, доцент, кафедра «Математика», spu-46@donstu.ru
Жуковский Александр Георгиевич - д-р полит. наук, профессор, канд. техн. наук, доцент, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», zhykovskij@mail.ru
Подрез Кирилл Владиславович - студент, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», podrez.7474@mail.ru
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 3 Information about the authors
Valeriy G. Kobak - Dr Sci. (Eng.), Professor, Department «Software of Computer Facilities and Automated Systems», valera3 3305 @mail .ru
Vitaliy M. Porksheyan - Cand. Sci. (Eng.), Associate Professor, Department «Mathematics», spu-46@donstu.ru
Aleхandеr G. Zhukovskiy - Dr Sci. (Polit.), Cand. Sci. (Eng.), Associate Professor, Department «Software of Computer Facilities and Automated Systems», zhykovskij@mail.ru
Kirill V. Podrez - Student, Department «Software of Computer Facilities and Automated Systems», podrez.7474@mail.ru
Статья поступила в редакцию / the article was submitted 07.07.2023; одобрена после рецензирования / approved after reviewing 17.07.2023; принята к публикации / acceptedfor publication 31.07.2023.
