Повышение достоверности массовой оценки. Метод скользящего усреднения Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

№ 5 (140) 2013

ИМУЩЕСТВЕННЫЕ ОТНОШЕНИЯ В РФ

Повышение достоверности массовой оценки. Метод скользящего усреднения

А.Г. Котов

заместитель генерального директора ООО «СервисИнфоТранс» (г. Москва) Алексей Геннадьевич Котов, kotovag4@yandex.ru

Введение

В работе [1] было предложено применять методы скользящего усреднения для получения текущей индивидуальной оценки стоимости объекта. Эти методы предполагают использование так называемых прямых рабочих статистик, например точечных оценок среднего стоимости объекта оценки. При применении таких методов отпадает необходимость в трудоемких исследованиях на предмет статистической однородности и поиска дефицитных объектов-аналогов. Кроме этого, в работе [2] было предложено использовать методы скользящего усреднения не для непосредственного получения текущей индивидуальной оценки стоимости объекта, а для предварительной обработки входной экспериментальной выборки с целью исключения нетипичных для рынка цен, которые проявляются в виде выбросов. Модернизированную выборку, освобожденную от влияния выбросов, предлагалось применять для построения статистических моделей, в частности, в модели сечений для массовой оценки. В работах [1,2] было показано, что подобное преобразование позволило обеспечить большую надежность и достоверность итоговых результатов всей процедуры массовой оценки.

Однако практическому применению скользящего усреднения препятствует методологическая проблема - первое усредненное значение соответствует центру выбранного интервала усреднения (ширины окна усреднения n), и чем больше выбранная ширина окна усреднения, тем большее количество значений выборочной совокуп-

10 Подписка в любое время по минимальной цене (495)

ности стоимости объекта оценки выпадает из процедуры усреднения. Это ограничение приводит к снижению точности и достоверности оценки в используемой модели массовой или индивидуальной оценки стоимости объекта. Для устранения этого недостатка автором настоящей статьи предложены две процедуры и проведено исследование их качества. Исследования проводились из предположения, что выборочная совокупность стоимости объекта оценки представляет собой временной ряд длиной N.

Анализ качества процедуры

скользящего усреднения и ее ограничения

В работе [2] был проведен анализ модифицированного метода сечений для массовой оценки. Модификация заключалась в предварительной обработке входной выборочной совокупности алгоритмами скользящего усреднения. Если провести предварительную обработку входной выборочной совокупности результатов наблюдений случайного процесса изменения стоимости объекта оценки с помощью алгоритма скользящего усреднения с шириной окна усреднения n, то результат будет таким, как показано на рисунке 1.

На рисунке 1 видно, что из процедуры выпадает k = (n - 1)/2 начальных и столько же конечных значений входной выборочной совокупности. Стандартное отклонение оцениваемого показателя стоимости в случае использования процедуры скользящего арифметического усреднения (для значений стоимости, попадающих в скользящую

4-1950, iovrf@mail.ru

ОЦЕНКА ВСЕХ ВИДОВ СОБСТВЕННОСТИ

номер наблюдений

» случайный процесс изменения стоимости объекта —■—результат скользящего усреднения

Рис. 1. Результат скользящего сглаживания входной выборочной совокупности стоимостей объекта оценки при общем количестве наблюдений случайного процесса изменения стоимости объекта оценки N, равном 156

обработку) согласно, например, [3, 4] имеет следующий вид:

q

ЦП' (1)

где S - стандартное отклонение, равное

s (2)

где xi - i-й элемент выборки;

X - математическое ожидание величины х;

n - ширина окна усреднения.

Чем больше ширина окна усреднения n, тем меньше SE и, соответственно, точнее оценка показателя стоимости. В целом увеличение ширины окна усреднения приводит к повышению точности оценки, но в работах [1,5] указывается, что расширение окна усреднения также приводит к усилению влияния других негативных эффектов, обусловливающих снижение точности оценки.

Увеличение ширины окна усреднения также приводит к увеличению ширины интервалов к, где не происходит усреднение значений стоимости выборочной совокупности. В работе [6] описан один из приемов, позволяющих восстановить потерянные усредненные значения. Для этого необходимо вычислить средний абсолютный прирост на конечном (начальном) участке усреднения между абсолютными значениями двух соседних рабочих статистик. Сглаженное (усредненное) значение в конце (начале) входной выборочной совокупности можно получить путем прибавления среднего абсолютного прироста к последнему сглаженному значению. Очевидно, что подобный подход настолько приблизительный и неточный, что не является методом, а имеет статус только приема. В связи с этим эффективный расчет усредненных значений начальных и конечных значений стоимости выборочной совокупности является актуальной задачей.

Подписка в любое время по минимальной цене (495) 974-1950, iovrf@mail.ru

№ 5 (140) 2013

ИМУЩЕСТВЕННЫЕ ОТНОШЕНИЯ В РФ

Рис. 2. Схема заключительной обработки входной генеральной совокупности стоимостей объекта оценки в окне усреднения шириной n = 11

Алгоритм полного скользящего усреднения входной выборочной совокупности наблюдений случайного процесса изменения стоимости объекта оценки

Представим, что происходит заключительная обработка входной генеральной совокупности, где X1, X2, X3 ... Xn- результаты отдельных наблюдений случайного процесса изменения стоимости объекта оценки, попадающие в последнее скользящее окно усреднения шириной n (в представленном на рисунке 2 варианте n = 11). В результате усреднения вычисляется последнее усредненное значение стоимости объекта в центре окна усреднения S6.

Значения S7 - S11 усредненной стоимости объекта с использованием обычной процедуры скользящего усреднения вычислить уже невозможно в силу отсутствия (дефицита) наблюдений после X11, поэтому как вариант нужно применить усреднение к значениям стоимости X3 - X11 для вычисления S7 (см. рис. 2). Соответственно, для вычисления S8 нужно усреднить значения стоимостей X5 - X11 и так далее. Предложенная процедура довольно проста в реализации, но ее очевидным недостатком является то, что, последовательно приближаясь к конечным значениям выборочной совокупности, ширина окна усреднения последовательно уменьшается на каждом шаге. Таким образом, во-первых, точность

оценивания также последовательно снижается при приближении к конечным выборочным значениям, во-вторых, последнее значение выборочной совокупности усреднить уже невозможно и требуются какие-то дополнительные процедуры для расчета последнего усредненного значения стоимости n выборочной совокупности. Подобная проблема характерна и при начальной обработке выборочной совокупности, то есть расчет первого усредненного значения выборочной совокупности невозможен.

Проведем оценку точности предлагаемого алгоритма (без расчета первого и последнего усредненных значений стоимости выборочной совокупности). Если значения стоимостей в выборочной совокупности имеют стандартное отклонение S, то неусредненные значения стоимостей также будут иметь стандартное отклонение S, а усредненные значения при n нечетном согласно выражению (1) будут:

лЩ-

m

s

где m = 2, 4, ... , n - 3.

(3)

Тогда абсолютную ошибку логично рассчитать по всей совокупности не усредненных значений выборочной совокупности. В случае неполного скользящего усреднения выборочной совокупности абсолютная ошибка составит:

Подписка в любое время по минимальной цене (495) 974-1950, iovrf@mail.ru

ОЦЕНКА ВСЕХ ВИДОВ СОБСТВЕННОСТИ

Рис. 3. График зависимости относительной ошибки усреднения стоимостей объекта оценки от ширины окна усреднения при n = 5^33

Лнп - 2^S = S(n -3). (4)

Коэффициент в выражении (3) учитывает отсутствие усреднения как (n - 3)/2 начальных, так и (n - 3)/2 конечных значений входной выборочной совокупности.

В случае полного скользящего усреднения абсолютная ошибка составит:

Лпн - 2І S

m n - m

где m = 2, 4, ... , n - 3.

(5)

Отношение абсолютных ошибок (относительная ошибка) будет:

А ПН - 2

А нп n - 3

' 4n-

m

(6)

где m = 2, 4, ... , n - 3.

В случае минимального значения n = 5 относительная ошибка будет 0,58, а в случае, например, n = 91 относительная ошибка уже будет 0,18. С увеличением ширины окна усреднения точность будет увеличиваться. На рисунке 3 приведен график зависимости относительной ошибки усреднения в зависимости от ширины окна усреднения

при n = 5^33.

Теперь рассмотрим методику расчета первого и последнего усредненного значения стоимости выборочной совокупности. Но прежде отметим, что в практике оценки значимость (ценность) усреднения первого и последнего значений стоимости оценки, когда выборочная совокупность представляет собой временной ряд, вообще говоря, различны. Обычно оценщику доступны определенные исторические данные об изменении стоимости объекта оценки, и требуется провести оценку стоимости в настоящий момент. По сути, не так уж и важно, с какого момента или значения начинается подобная совокупность. Но последнее усредненное значение является не просто важным, а, как правило, целью всей проводимой процедуры. Вот почему в настоящей работе главное внимание будет уделено оценке последнего усреднения. Для этого используем процедуру арифметического усреднения имеющихся значений X10, X11 и экстраполированного значение X12. Простейшим вариантом экстраполяции является процедура экспоненциального сглаживания. Вычисление X12 можно осуществить экстраполированием входной генеральной

Подписка в любое время по минимальной цене (495) 974-1950, iovrf@mail.ru

№ 5 (140) 2013

ИМУЩЕСТВЕННЫЕ ОТНОШЕНИЯ В РФ

Рис. 4. Схема расчета последнего усредненного значения стоимостей объекта оценки в

окне усреднения шириной n = 11

совокупности при помощи, например, известной процедуры экспоненциального сглаживания, разработанной Р. Брауном (см. [6]). Суть подобной процедуры основывается на предположении, что исследуемый случайный процесс состоит из детерминированной и случайной компоненты, описывается полиномом L-го порядка, и тогда прогноз на Q шагов вперед осуществляется по формуле:

Xa(t) = а1 + а2^ + 2а3^2 + — + LaL+1^L’ (7)

где a1, а2, ... , aL + 1 - оценки параметров.

Фундаментальная теорема метода экспоненциального сглаживания и прогнозирования, впервые доказанная Р. Брауном и Р. Майером, говорит о том, что (L + 1) неизвестных коэффициентов полинома m-го порядка a1, а2, ... , aL + 1 могут быть оценены с помощью линейных комбинаций экспоненциальных средних B®, где i = 1 - L + 1.

На практике используются полиномы не выше второго порядка. В самом простом случае (при m = 0) модель временного ряда (выборочной совокупности изменения стоимости объекта оценки) имеет вид:

X = а1 + (8)

где a1 - const;

£t - случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией б2.

Тогда прогнозная модель будет иметь вид:

Xn(t) = aXt + Щ - 1, (9)

где Bt -1 - значение экспоненциальной средней в момент t -1;

a - параметр сглаживания;

в = 1 - а.

В результате необходимо провести рекуррентную процедуру с входной генеральной совокупностью и получить экстраполированное значение X12 (см. рис. 4), равное экспоненциальному среднему в момент X11. И далее путем усреднения легко получить усредненную оценку стоимости объекта S11.

Предложенная процедура построена на принципе изменения (уменьшения) ширины скользящего окна усреднения и имеет следующие основные этапы:

1) из рабочих статистик, попавших в последнее окно усреднения, отбрасываются первые две рабочие статистики и производится усреднение по оставшимся рабочим статистикам. Из оставшихся рабочих статистик снова отбрасываются первые две рабочие статистики и снова производится усреднение. Процедура осуществляется до тех пор, пока не будут исчерпаны все рабочие статистики в окне усреднения;

2) проводится процедура экспоненциального усреднения (прогнозирования) для вычисления прогнозного значения генеральной совокупности;

Подписка в любое время по минимальной цене (495) 974-1950, iovrf@mail.ru

ОЦЕНКА ВСЕХ ВИДОВ СОБСТВЕННОСТИ

Рис. 5. Схема начальной обработки входной генеральной совокупности стоимостей объекта оценки в окне усреднения шириной n = 11

3) производится усреднение по предпоследней рабочей выборке, последней рабочей выборке и прогнозному значению генеральной совокупности для определения средней стоимости объекта оценки на момент наблюдения последней рабочей выборки в генеральной совокупности.

В случае анализа начальной обработки наблюдений входной генеральной совокупности изменения стоимости объекта оценки X1, X2, X3, ... , Xn (см. рис. 5), попадающих в скользящее окно усреднения шириной n (например при n = 11), может применяться аналогичная процедура, но в обратном порядке. В результате усреднения вычисляется значение стоимости объекта в центре окна усреднения S6.

Значения S - S стоимости объекта с использованием известной процедуры скользящего усреднения вычислить уже невозможно в силу отсутствия (дефицита) наблюдений до X1, поэтому как вариант нужно применить усреднение к наблюдениям X1 - X9 для вычисления S5 (см. рис. 5). Соответственно, для вычисления S4 нужно усреднить рабочие статистики X1 - X7 и так далее. Однако для вычисления S1 необходимо еще одно наблюдение X0, которое отсутствует во входной генеральной совокупности. Поскольку для вычисления X12 использовалась экспоненциальная экстраполяция, аналогично для вычисления X0 может использоваться начальное значение рекуррентной процедуры экспоненциаль-

ного сглаживания, которое в этом случае обычно выбирается как среднеарифметическое всей входной генеральной совокупности [6]. И далее путем усреднения легко получить усредненное значение S1. Или можно использовать значение рабочей статистики X1 в качестве первого усредненного значения. В результате процедура усреднения, построенная на принципе изменения ширины окна усреднения, будет проходить по следующим этапам:

1) из рабочих статистик, попавших в первое окно усреднения, отбрасываются две последние рабочие статистики и производится усреднение по оставшимся рабочим статистикам. Из оставшихся рабочих статистик снова отбрасываются две последние рабочие статистики и снова производится усреднение. Процедура осуществляется до тех пор, пока не будут исчерпаны все рабочие статистики в окне усреднения;

2) проводится вычисление начального значения для экспоненциального усреднения (прогнозирования) как среднеарифметическое всей входной генеральной совокупности или просто используется значение

Xo;

3) производится усреднение по первой рабочей выборке, второй рабочей выборке и расчетному значению для начала экспоненциального усреднения для определения средней стоимости объекта оценки на момент наблюдения первой рабочей выборки в генеральной совокупности.

Подписка в любое время по минимальной цене (495) 974-1950, iovrf@mail.ru

№ 5 (140) 2013

ИМУЩЕСТВЕННЫЕ ОТНОШЕНИЯ В РФ

В работе [4] отмечается, что выбор оптимальной ширины окна усреднения является актуальной задачей. Если предположить, что обработка входной выборочной совокупности осуществляется с использованием оптимального окна усреднения, а принцип предложенной процедуры, в свою очередь, построен на изменении (уменьшении) ширины окна усреднения, это неизбежно приводит к ухудшению качества конечных результатов всей процедуры в целом. Прежде всего это проявляется в увеличении выборочного стандартного отклонения и вследствие этого расширения интервала стоимости под риском. Этот эффект проявляется с самого начала предложенной процедуры и имеет тенденцию к снижению вплоть до того момента, когда ширина окна усреднения достигает своего оптимального значения. На заключительном этапе проведения процедуры усреднения, начиная с момента начала уменьшения ширины окна усреднения, этот эффект вновь начинает проявляться все больше, с приближением к усреднению в момент обработки последнего значения стоимости Xn в выборочной совокупности. Однако этот негативный мо-

мент можно частично сгладить, если предлагаемую процедуру несколько модернизировать.

Модернизированный алгоритм полного скользящего усреднения входной выборочной совокупности наблюдений случайного процесса изменения стоимости объекта оценки

Если предлагаемую процедуру модернизировать таким образом, чтобы не отбрасывать, подобно первоначальному алгоритму, ряд наблюдений стоимости из выборочной совокупности, а использовать их в процедурах усреднения, то это приведет к улучшению качества результатов усреднения. Так, если вернуться к примеру заключительной обработки входной генеральной совокупности X1, X2, X3, ... , Xn (см. рис. 2), то в скользящем окне усреднения шириной n (при n =

11) «отбрасываемыми» рабочими статистиками, которые вообще выпадают из процедуры, должны быть X2, X4, X6 и X8. Если не проводить отбрасывание упомянутых рабочих статистик, а, наоборот, произвести усреднение по наблюдениям X2 - X11, то по-

Рис. 6. Схема заключительной обработки входной генеральной совокупности стоимостей объекта оценки в окне усреднения шириной n = 11

лучим усреднение в момент S6 5 (см. рис. 6). Отметим, что значение S имеет только виртуальный смысл оценки стоимости объекта, поскольку не совпадает с точечным моментом «измерения» стоимости объекта, а происходит либо несколько раньше, либо несколько позже.

Соответственно, произведя усреднение в окне усреднения значений стоимостей

X4 — X1-p X6 — X11, X8 — X11, X10 — X11, получим усредненные значения стоимостей в

моменты S7,5; S8, 5; S9, 5; S10, 5. Для того чтобы получить усреднение в момент S11 5, необходимо произвести усреднение рабочих

Подписка в любое время по минимальной цене (495) 974-1950, iovrf@mail.ru

ОЦЕНКА ВСЕХ ВИДОВ СОБСТВЕННОСТИ

статистик X11 и экстраполированного значения рабочей статистики X12. И теперь для вычисления усредненной оценки стоимости объекта точно в момент «измерения» стоимости объекта полученные усредненные (сглаженные) значения S6; S6 5; S7; S7 5; S8;

S8, 5; S9; S9, 5; S10; S10, 5; Sn; Sn, 5 необх°дим°

подвергнуть дополнительной процедуре линейного сглаживания следующим образом:

S + S + S

уточ 6,5 7 7,5

7 _ 3 ’

Суточ _ S7,5 + S8 + S8,5 .

8 _ 3 .

Суточ _ S10,5 + S11 + S11,5

11 _ 3

(10)

ки, которые «отбрасываются» на первоначальном этапе усреднения. Эти статистики используются для получения виртуальных значений стоимости объекта оценки в промежуточные временные интервалы. Затем осуществляется дополнительное уточняющее усреднение уже предварительно усредненных значений рабочих статистик (повторное сглаживание). Это позволяет снизить возрастающую колеблемость среднего, возникающую вследствие сужения окна усреднения, и, следовательно, повысить точность оценки. Аналогично может быть проведена модифицированная процедура обработки начального этапа входной выборочной совокупности.

Точность расчета каждого усредненного значения стоимости увеличится согласно выражению (1) на величину 1Д/3 _ 0,578, то есть в целом точность возрастет еще приблизительно на 40 процентов для каждого усредненного значения стоимости. В результате предложенная модифицированная процедура использует те рабочие статисти-

Практическое приложение

На рисунках 7 и 8 приведены графики усреднения наблюдений случайного процесса изменения стоимости объекта оценки. Графики рассчитаны на конечном интервале выпадения усредненных значений при использовании скользящего среднего.

—алгоритм полного усреднения Ж—модифицированный алгоритм полного усреднения

Рис. 7. Результаты усреднения входной выборочной совокупности стоимостей объекта оценки на концевом (крайнем) интервале выпадения усредненных значений при применении скользящего усреднения при n = 17 (по горизонтальной оси отложен номер наблюдения на концевом (крайнем) интервале усреднения)

Подписка в любое время по минимальной цене (495) 974-1950, iovrf@mail.ru

№ 5 (140) 2013

ИМУЩЕСТВЕННЫЕ ОТНОШЕНИЯ В РФ

- - выборочная входная совокупность номер наблюдения

—д—алгоритм полного усреднения

Ж—модифицированный алгоритм полного усреднения

Рис. 8. Результаты усреднения входной выборочной совокупности стоимостей объекта оценки на концевом (крайнем) интервале выпадения усредненных значений при применении скользящего усреднения при n = 31 (по горизонтальной оси отложен номер наблюдения на концевом (крайнем) интервале усреднения)

Применялись оба описанных алгоритма с шириной окна усреднения n = 17 и n = 31.

В результате проведенного нами анализа точности алгоритмов усреднения и исходя из графика, представленного на рисунке 3, относительные ошибки усреднения для n = 17 и n = 31 будут составлять соответственно 0,37 и 0,29 в случае полного усреднения. В случае использования модифицированного алгоритма полного усреднения, как уже отмечалось, точность алгоритмов увеличивается приблизительно на 40 процентов и будет составлять 0,22 и 0,17 соответственно. Кроме того, анализ приведенных графиков показывает, что в начале обработки, когда точность обоих методов высокая, результаты точечного усреднения практически идентичны. По мере приближения к концу выборочной совокупности (временного ряда) точность обоих методов снижается, особенно алгоритма полного усреднения. По мере приближения к концу выборочной совокупности расхождение методов может оказаться значительным, и 18

18 Подписка в любое время по минимальной цене (495)

лучше полагаться на модифицированный алгоритм полного усреднения, поскольку, как было показано, его точность выше.

Заключение

Метод скользящего усреднения выбранных экономических показателей является одним из методов (наряду, например, с математической регрессией) статистического моделирования экономических процессов. Прежде всего подобные модели служат для оценки отдельных важных экономических показателей такого процесса, но могут использоваться и с целью моделирования и прогнозирования. По сравнению с другими известными методами достоинством метода скользящего усреднения является возможность включения фактора времени в синтезируемую модель. Говоря проще, при помощи этого метода можно обрабатывать временные ряды, что открывает огромные перспективы в области не только индивидуальной, но и массовой оценки.

974-1950, iovrf@mail.ru

ОЦЕНКА ВСЕХ ВИДОВ СОБСТВЕННОСТИ

Кроме этого, важно отметить хорошую устойчивость скользящего усреднения (при применении соответствующих алгоритмов усреднения) к влиянию выбросов во входной выборочной совокупностях.

Метод скользящего усреднения легко реализуем на практике и позволяет проводить процедуру оценки выбранного экономического показателя в режиме реального времени (иногда говорят «на проходе»), что весьма актуально в условиях ежедневно меняющегося экономического рынка. Однако при применении метода скользящего усреднения возникают определенные специфические проблемы. Наиболее известными из них являются проблема определения оптимальной ширины окна усреднения, а также то, что при обработке методом скользящего усреднения выборочной совокупности интервал выборочной совокупности, равный выбранной ширине окна усреднения, оказывается неусредненным (половина интервала в начале выборочной совокупности и половина интервала в конце выборочной совокупности). В статье предложено решение как раз второй, наиболее известной, проблемы.

Предложены два алгоритма, при помощи которых возможно усреднить значения входной выборочной совокупности, которые выпадают из усреднения при использовании классического скользящего алгоритма. Алгоритмы различаются по точности и вычислительной сложности. В статье описывается принцип каждого предложенного метода и проводится анализ их точности. Результаты анализа качества позволяют сделать вывод о том, что точность обоих методов снижается при приближении к конечным значениям выборочной совокупно-

сти (а также при приближении к начальным значениям), но точность модифицированного алгоритма полного усреднения заметно выше. Если при оценке стоимости планируется использовать начальные и конечные усредненные значения входной выборочной совокупности, то целесообразнее использовать модифицированный алгоритм полного усреднения. Если использование начальных и конечных усредненных значений неактуально, то целесообразнее использование алгоритма полного усреднения, поскольку его алгоритмическая сложность существенно ниже.

ЛИТЕРАТУРА

1. Котов А. Г. Стоимость под риском и особенности оценки в условиях статистической неопределенности // Вопросы оценки.

2011. № 3.

2. Котов А. Г. Анализ и применение модифицированного метода сечений для массовой оценки // Регистр оценщиков. 2012. № 11.

3. Грибовский С. В. Оценка стоимости недвижимости : учебное пособие. М. : Маросейка, 2009.

4. Ковалев А. П., Кушель А. А., Королев И. В., Фадеев П. В. Практика оценки стоимости машин и оборудования : учебник / под ред. М. А. Федотовой. М. : Финансы и статистика, 2007.

5. Котов А. Г. Ширина окна усреднения как инструмент повышения качества оценки // Вопросы оценки. 2012. № 1.

6. Дуброва Т. А. Статистические методы прогнозирования в экономике : учебное пособие, практикум. М. : Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2004.

Подписка в любое время по минимальной цене (495) 974-1950, iovrf@mail.ru