Повышение алгоритмической культуры учащихся при изучении показательных неравенств Текст научной статьи по специальности «Математика»

Тагиева Самира Джамиль- Джахид

Азербайджанский Государственный Педагогический Университет, заведующая кафедрой «Математика и методика преподавания начального курса

математики, кандидат педагогических наук, доцент DOI: 10.24411/2520-6990-2019-10381 ПОВЫШЕНИЕ АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ

ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Tagiyeva Samira Jamil-Jahid

Azerbaijan State Pedagogical University, head of the department "Mathematics and methods of teaching the initial course of mathematics,

Ph.D., associate professor

INCREASE ALGORITHMIC CULTURE OF STUDENTS WHEN LEARNING INDICATIVE

INEQUALITIES

Аннотация.

В работе дана классификация показательных уравнений по методу решения. Представлена методика проведения урока на тему «Показательные неравенства» в XI классе. Даны блок-схемы алгоритма решения показательных неравенств. Эта работа имеет роль в повышении алгоритмической культуры учащихся.

Abstract.

The paper provides a classification of exponential equations for the method of solution. The method of conducting a lesson on "Indicative inequalities" in the XI class is presented. Given the flowchart of the algorithm for solving exponential inequalities. This work has a role in enhancing the algorithmic culture of students.

Ключевые слова: алгоритм, способы описания алгоритмов, блок-схема Keywords: algorithm, methods for describing algorithms, block diagram

В школах эту тему ученики изучают в XI классе.

Можно дать следующую классификацию показательных неравенств, изучаемых в XI классе:

i af(х) > ag(х); af(х) > ag(х);

II af(х) > 1;

af(х) > 1;

III af (х) > b;

af(х) > b;

IV a

1

fX)

> a

g ( X ).

1 1

af(X) > ag(X);

af(X) < ag(X) af(X) < ag(X)

a""' < 1

f ( X)

af(X) < 1 af( X) < b f (X) < b

a

a

a

1

fX) 1

ToX)

< a

< a

1

g(X) 1

g(X)

Эти неравенства отличаются от неравенств I типа тем, что /(X) Ф 0 ; g(x) Ф 0 .

V a.....> bj(X);

j( X)

aj(x) > ьф(x) . VI ma2f (X) + naf (X) + p > 0;

,2 f ( x)

J ( X)

ma J (X) + naJ (X) + p > 0

Эти неравенства подстановкой G^( ) — b

j( х)

j( X)

> b^( х) < bj( X)

y2 f ( x)

ma2f (X) + naf(X) + p < 0

ma2f(X) + naf(X) + p < 0

приводят к квадратным неравенствам.

с

VII

/ (х)

а V Ь у

Г^г(* Ь

>

>

V Ь у

а

Ь

а

Ь

V Ь у

/ ( х)

<

а Ь

^(х) V Ь у

<

а Ь

VIII а1 (х)+п - а1 (х) > Ь; аг(х)+п - аГ(х) > Ь.

а1 (х)+п - а1 (х) < Ь а1 (х)+п - а1 (х) < Ь

/ (х)

Эти неравенства решаются внесением за скобку члена а и заменой его переменной у.

1Х а

/(х) + ц/ (х)+к + а/(х)+п > у (х) - у (х)+к - у (х)+п

а/(х) + а/(х)+к + а/(х)+п < Ь/(- Ь/(х)+к - &(х)+п У (х) + а/(х)+к + а/(х)+п > Ьг(х) - Ь/(х)+к - Ьг(х)+п

а/(х) + а/(х)+к + а/(х)+п < Ь/(х) - Ь/(х)+к - ь/(х)+п

Где к, п произвольные действительные числа.

X а/(х)+к • Ь^(х)+т > Ь/(х)+па!(х)+1 ■

У (х)+к ^ у (х)+т > у (х)+пу (х)+1

а/(х)+к • у (х)+т < у (х)+пу (х)+1 а/ (х)+к • у (х)+т < у (хУт /(х)+1

Где а, Ь положительные целые числа, I, т, п, к произвольные действительные числа.

к/ < та/^ • ах)

Х! V а >л1 а ' • а ;

к/ > • а ~н х ); к/ < • а ~н х)

Где к, т натуральные числа, а целое положительное число.

хп а1 (х) - а~1 (х) > Ь; а/(х) - а~х) < Ь

а1 (х) - а~1 (х) > Ь;

а1 (х) - а-(х) < Ь

Эти неравенства приводят к квадратным неравенствам.

Ьа1 (х) - аЬ1 (х) > 0; Ьа1 (х) - аЬ1 (х) < 0

XIII

Ьа1 (х) - аЬ1 (х) > 0;

Где а, Ь положительные целые числа.

Ьа1 (х) - аЬ1 (х) < 0

/ (х)

XIV

Ы/х)

> ^ (х);

1%/х)

< Вк(х)

^(х)1 > gt (х);

Где к действительное число. XV (а + 4Ъ ) х2 - рх+ (а -4Ъ )

^ígM¡m > gk (х)

х -рх-д

>

с

(а -4Ь)д

(a + 4b ) х2 -px-q + (a -4b ) х2 -px-q < C (a + 4b ) х2 -px-q + (a -4b ) х2 -px-q < (a + 4b ) х2 -px-q + (a - 4b ) х2 -px-q >

(a -4Ъ )q

c

(a -4b )q

c

(а -4Ъ)q где (а + 4Ъ )(а -4Ъ) = 1.

Для решения этих неравенств обе стороны неравенств умножаем на (а + 4Ь)х рх q и заменяя (а + 4Ь)х рх = 7 получим квадратное уравнение.

ХУ1 а/(х) + Ь/(х) > с; а/(х) + Ь/(х) < с

а/(х) + Ь/(х) > с; а/(х) + Ь/(х) < с

где a■b=1.

Хуп (] а - ■!ь )"х) + (>/а + 4ь)/(" > с; {]а -4ь )/'*' + (т/а + 4Ъ)/(" < с

+ (] а + 4ь/ > с; ([а- ТьГ + (л/ а + 4ь)/( ) < с

(а - 4Ь)(а + л/Ъ) = 1. Это неравенство заменой (]а + 4Ъ

г( х)

где (а - V Ь )(а + V ь ) = 1. Это неравенство заменой (V а + V Ь ) = приводят к квадратному неравенству.

Дадим один вариант методики преподавания показательных неравенств в 11-ом классе. Блок-схему алгоритма решения неравенств проектировают на доску или вешают рядом с доской. В учебниках по математике в Азербайджане даны неравенства вида I и IV. Поэтому, достаточно пользоваться блок-схемами 1, 2, 3, 4 и 5.

Блок-схема 1

а> 1 Г 1

Неравенство равносильно с R1<f(x)<k2 Неравенство равносильно с k2<f(x)<k\

1

Реши уравнение

af(x) = t

Реши двукратное неравенство

Неравенство не имеет решений

Конец

Блок-схема - 2

1

mdf(x) +naf(x) + п< 0 Решение неравенств вида ' (да>0)

I

Неравенство не имеет решения

да Замени afW = t

Реши квадратное уравнение

1

Блок-схема - 3

Корнями являются (/1 = t <t1 или t > t1

д

Сорнями являются (¿1 ^ t2) t <t1 и t > t2

d(x) <Г, am >/, Учти замену 1 или

Учти замену

а

Пред-

ставьте tl в

виде степени а

-Л

1

Так как ^ >(' получим_

Любое число из П(/) является решением неравенства

t1 > 0 да

или

Так как " """

аПх} <1

не

имеет решения

ответ Б©

Реши соответственно У(х)>к или _Дх)<к

Представьте tl и t2 в виде степени а

\

12=

Л

tx =dx

/

Любое число из Б(/) является решением неравенства

Реши равносильное неравенство с данным неравенством

Ах)<К Ах)>к2

т

Конец

Реши равносильное неравенство с данным неравенством

т<к2

д

Блок-схема-4 Начало

1

mctf(x) + naf(x) + p> 0 Решение показательного неравенства вида ' (да>0)

1 г

Неравенство не имеет решения Найти D(f) дляfx)

-у 1 н ет

Реши неравенство равно-сиольное с данным неравенством

fx)<ki, j(x)>k2

Реши неравенство равно-сиольное с данным неравенством

fx)>ki, f(x)<k2

С

Конец

Блок-схема 5

с

Начало

Неравенство можно i казать в виде

af(x) < аа(х)

еравенство можно по казать в виде af(x) > аа(х)

Неравенство можно показать в виде

а/Ы > аяМ

Реши неравенство равносильное с данным

Дх)>ё(х)

Реши неравенство равносильное с данным

Дх)<х(х)

edin

Реши неравенство равносильное с данным

Дх) < ф-)

да

a < 1

Реши неравенство равносильное с данным

Дх)>ё(х)

Реши неравенство равносильное с данным

Дх)< »(х)

Реши неравенство равносильное с данным

Д*)>Ф)

да

a < 1

да

Неравенство

можно преобразовать как

ат

Реши неравенство равносильное с данным

Лх)>м(х)

Реши неравенство равносильное с данным

Дх)<ё(х)

^^^ Конец

Учитель объясняет, что при решении показательных неравенств употребляют свойства степенной функции и показывает правило использования блок-схемой при решении упражнений. Далее учитель раздает ученикам карточки (в 3-4 вариантах). В данном этапе целесообразно пользоваться групповой работой. Ученики решают упражнения в течении 15-20 минут. Потом для презентации с каждой группы один ученик выходит к доску. Ученик пишет решение неравенства на доске и объясняет решение.

Остальные ученики решают упражнения, порученные другим группам.

За 15 минут ученики проверяют решенные в своих группах упражнения и так же решают упражнения, порученные другим группам.

Итак ученики активно участвуют при решении

неравенств. Алгоритм решения показательных неравенств в данных уроках является путеводителем для ученика. Далее учитель делает выводы:

- При а > 1 неравенство знак не меняет;

- При 0 < а < 1 неравенство меняет знак.

В конце урока ученикам дают домашние задания.

Библиографический список

1. Ляхович В. Методика составления алгоритмов. Информатика и образование. 2000. №1. ст. 3947.

2. Томас К. и др. Перспективы программированного обучения (Руководство по составлению программ) Пер. с англ. О. А. Бондина и Н. Т. Кобя-ковой. С прил. метод. разработок Службы пед. тестирования США (Пер. с англ. Ю. И. Бирилко) Под ред. (и с предисл.) А. В. Нетушила. М. Мир 2006