Поворот элемента структуры материала как целого в поле однородного сдвига Текст научной статьи по специальности «Физика»

Поворот элемента структуры материала как целого в поле однородного сдвига

В.В. Неверов, С.Г. Молотков, Р.Ф. Буяковский

Новокузнецкий государственный педагогический институт, Новокузнецк, 654027, Россия

Построена континуальная модель одного из видов ротационного пластического движения, а именно мезоскопического поворота элемента структуры как целого. В литературе, преимущественно в работах В.В. Рыбина, рассмотрены модели “постепенного” поворота, при котором область поворота формируется в ходе деформирования, — постепенно увеличивается размер области и переходный слой, отделяющий эту область от матрицы, постепенно заменяется границей. В предлагаемой модели область поворота сформирована сразу же в начале движения. Найдено поле напряжений поворота. На основании энергетического анализа рассмотрены условия развития поворота. Дано объяснение некоторым экспериментальным наблюдениям. Модель будет полезной при выявлении и исследовании пластических поворотов.

1. Введение

Пластическая деформация твердых тел мезоскопического масштабного уровня развивается за счет трансляционного и ротационного движения частей деформируемых тел. Ротационное движение в деформации играет существенную роль [1-4]. Данная работа посвящена одному из видов ротационного движения — повороту элемента структуры материала как целого. Поворотом элемента как целого будем называть движение, при котором часть деформируемого тела поворачивается разом во всем своем объеме относительно окружающей ее матрицы. Объем, который совершил поворот, далее будем называть ядром. Форма ядра либо не меняется (поворот элемента структуры как жесткого целого), либо смещения точек ядра, обусловленные изменением его формы (поворот элемента структуры с упругим или с пластическим ядром), малы по сравнению со смещениями, вызванными самим поворотом. В данной работе ядро принимается упругим. Другой признак поворота элемента структуры как целого состоит в том, что ядро на всех этапах поворота отделено от матрицы замкнутой границей-поверхностью.

Альтернативным повороту элемента как целого будем считать “постепенный” поворот. При постепенном повороте область поворота вначале небольшая и увели-

чивается в ходе деформирования. От матрицы область поворота может быть отделена с одних сторон границей-поверхностью, с других — широким по сравнению с размером ядра переходным слоем. В этом слое кристаллографическая ориентировка матрицы постепенно переходит к ориентировке ядра. Согласно [3] движущая сила постепенного поворота обусловлена снижением упругой энергии взаимодействия дислокаций и потому он имеет релаксационный характер. Здесь же предложена дислокационно-дисклинационная схема развития и конечного дефектного строения поворота. Поворот элемента как целого отличается от постепенного. Движущая сила поворота элемента структуры как целого обусловлена снижением упругой энергии внешнего поля и (или) работой внешних сил. Такой поворот не требует предварительной пластической деформации и не предполагает определенного уровня плотности дислокаций. На границах ядра межатомные связи могут быть нарушены, и тогда представление о дефектах кристаллической решетки на границе ядра теряет смысл. Наконец, как уже отмечалось, поворачивается сразу весь объем ядра.

Согласно работам [1, 2] пластическая деформация осуществляется за счет комбинаций, состоящих из взаимосвязанных трансляционного движения и поворота

© Неверов В.В., Молотков С.Г., Буяковский Р.Ф., 2002

0 Ь х -1 -0.5 0 0.5 1

а б

Рис. 1. Схема движений точек границы эллипса при повороте (а); схема, показывающая изменение формы эллипса в результате его деформации однородным сдвигом и изменение положения эллипса в результате поворота (б). Углы сдвига а и поворота в увеличены

элемента структуры материала как целого. Повороты элементов как целого наблюдались при деформации сдвигом под давлением тонких слоев [5]. Эти повороты играют важную роль в ряде технических процессов: в образовании механических сплавов путем пластической деформации смесей порошков различных фаз [6], в формировании частиц износа [7] и в поглощении поверхностных пленок при трении [8]. Таким образом, интерес к пластическим поворотам элементов структуры материала как целого обусловлен развитием как теории пластической деформации, так и ряда технических приложений. Однако исследование этого движения осложняется отсутствием его модели.

В статье впервые построена континуальная модель поворота элемента структуры материала как целого, дан энергетический анализ движения, предложена новая трактовка некоторых экспериментальных данных.

2. Модель поворота элемента как целого

Принимаем условие сохранения сплошности. Для поворота элемента как целого это означает, что ядро после поворота должно без наложений и зазоров заполнять дырку в деформированной матрице, которая образовалась при извлечении ядра из недеформированной матрицы. Ядро и матрица считаются упругими, так что совмещение их форм достигается, в том числе, и за счет упругих деформаций. Докажем, что такое согласование возможно, если ядро имеет форму эллипса, а матрица испытывает упругую деформацию однородного сдвига.

Поместим начало координат в центр эллипса, а ось 0у направим вдоль большой полуоси (рис. 1, а). Ось

поворота перпендикулярна плоскости модели и проходит через центр эллипса. Однородный упругий сдвиг создается напряжениями т= т. Углы отсчитываются от оси 0у по ходу часовой стрелки.

Поворот на угол dp смещает точки границы эллипса на DC = где R — радиус-вектор точек границы эллипса. Это смещение представим в виде комбинации двух движений: проскальзывания точки эллипса D по границе матрицы на DB и совместного смещения точек границы эллипса и точек границы матрицы вдоль оси 0х на ВС. Тогда для смещения точек границы эллипса и границы матрицы вдоль оси 0х:

ВС = АС - АВ, (1)

где

АС = R соБв dв = у dp. (2)

Изменение координаты х границы эллипса при проскальзывании по границе матрицы АВ определяется дифференцированием уравнения эллипса

АВ = ((Ь 2 у)/(ха 2))&у = (Ь 2 у/а 2)ёр. (3)

Здесь а, Ь = ka — большая и малая полуоси эллипса, и использовано уравнение dy = хар. После подстановки (2), (3) в (1) получим

ВС = у (1 - Ь 2/ а 2)ар. (4)

Отсюда следует, что горизонтальные смещения границы эллипса при повороте пропорциональны у, а следовательно, такие же, как и у матрицы в результате ее однородного сдвига на величину

ау = ВС/у = (1 - Ь 2 /а2 )ёр = (1 - к2 )ёр. (5)

Таким образом, доказано, что условию сохранения сплошности удовлетворяет движение, состоящее из поворота недеформированного эллиптического элемента и однородной сдвиговой деформации матрицы, вмещающей этот элемент. Соотношение между углом поворота элемента и относительным сдвигом матрицы устанавливает равенство (5). Поскольку у = т/ц, то угол поворота

Р = т/(ц(1 -Ь2/а2)) = у/(1 -к2) (6.1)

пропорционален т.

Отметим, что к таким же выводам приводит прямой анализ изменения формы эллиптического отверстия в результате однородного сдвига. Наибольший “диаметр” отверстия после однородного сдвига матрицы не совпадает с большой полуосью. Угол поворота этого диаметра относительно оси 0у совпадает с тем, что дает уравнение (5).

Геометрическое соответствие форм имеет место как при упругой, так и пластической деформации матрицы, если деформация сдвиговая и однородная. В результате открывается возможность построения ряда моделей поворотного движения для ядра в средах, способных к сдвиговой деформации. Здесь рассматривается случай упругой сдвиговой деформации матрицы.

Можно предложить две предельные схемы развития поворота. Согласно первой, ядро поворачивается одновременно со сдвигом матрицы, и тогда конечное положение ядра достигается в результате поворота на угол по уравнению (6). Сдвиговое поле в ядре не создается. Во второй схеме поворот наступает после того, как сдвиг в матрице достигнет некоторого уровня. Тогда конечное положение ядра достигается в результате однородного сдвига ядра на у и последующего поворота на

р1=р-у=у£2/а-к2). (6.2)

В ядре остаются напряжения сдвига, отвечающие пороговому уровню деформации матрицы. Судя по (6.1) и (6.2), с ростом к эти варианты сближаются. Здесь принята схема, по которой поворот развивается в деформированной матрице и полностью снимает сдвиговую деформацию в ядре.

Поворот вносит вклад в сдвиговую пластическую макродеформацию. В результате, если по условиям деформирования поддерживается постоянным внешнее нагружение, то увеличивается полная макродеформация. Если сохраняется макродеформация (деформируемое тело представляет замкнутую систему), то поворот снижает сдвиговые напряжения. Первый случай отвечает активной деформации, второй — релаксации.

3. Энергия поворота

Для определения реальности и вероятности рассматриваемого движения нужно определить знак и величину

изменения энергии системы в результате движения. Для упрощения трактовки результатов система принималась замкнутой — внешняя граница в ходе поворота остается неподвижной. В расчете учитываются: изменение упругой энергии системы Wj - W2, работа проскальзывания ядра по его границе с матрицей А, увеличение поверхностной энергии границы элемента с матрицей, обусловленное изменением структуры границы вследствие поворота, W3, поправка к изменению упругой энергии, связанная с неточностью модели, W4. Тогда

Wj - (W2 + A + W3 + W4) = A, (7)

и если A > 0, то поворот энергетически разрешен.

Снижение уровня упругих напряжений однородного сдвига определяется пластической макродеформацией, создаваемой поворотом ядра. Как показано выше, такое же как и при повороте изменение формы эллипса может быть получено, если эллипс испытывает деформацию однородного сдвига. Принимаем, что эллипс деформируется сдвигами, проходящими по линиям, параллельным оси 0х. Тогда вклад в макродеформацию от отдельного сдвига

dG = ydy X/l2, (8)

где dG — макродеформация; ydy — вектор сдвига; X — длина участка сдвига; L — размер области, на которую распространяется влияние сдвига. Величина X определяется шириной эллипса. После интегрирования по у получаем пластическую макродеформацию поворота:

Gpias, = nab у/L = S (1 - b7 a2) (р/L2), (9)

где nab = S — площадь ядра. Таким образом, однородная сдвиговая упругая макродеформация до поворота Gj = т/ц и после поворота вдали от эллипса

G2 = Gj -Gphst. (10)

4. Изменение упругой энергии

Для расчета упругой энергии принята схема, близкая к предложенной в [9]. Отличие состоит в том, что в работе [9] источником упругого поля является однородная деформация вставки, помещаемой в полость упругой плоскости, а в нашем случае поле порождается разгру-жением вставки в прежде однородно деформированной плоскости.

1. В упругой ненагруженной плоскости мысленно выделяется эллипс. Плоскость деформируется однородным сдвигом на величину у. Со стороны эллипса на границы вмещающей его матрицы действуют удельные нагрузки f. Эти нагрузки зависят от ориентации участка границы и вычисляются по известному тензору напряжений поля однородного сдвига.

2. Выделенный эллипс вырезается и удаляется из плоскости. Для сохранения формы отверстия и состояния однородного сдвига в матрице к краям отверстия прикладываются удельные нагрузки f

3. Изъятый эллипс разгружается, поворачивается на угол в по (6.1) и возвращается в отверстие. Формы отверстия и эллипса совпадают, поэтому сплошность плоскости восстанавливается. В ядре (эллипсе) напряжений нет. В матрице действует поле однородного сдвига. На границе ядра и матрицы имеется скачок напряжений.

4. Для устранения скачка напряжений к границе ядра и матрицы прикладывают нагрузки (-/). При этом компенсируется нагрузка /и восстанавливается непрерывность напряжений.

5. Полное поле напряжений состоит: вне эллипса из однородного сдвига (пункт 1) и поля удельной нагрузки (-/), распределенной по границе эллипса (пункт 4), внутри эллипса — из поля нагрузки (-/").

6. После разгрузки плоскости от сдвиговой деформации поле состоит: вне эллипса из поля нагрузки (-/"), внутри эллипса из поля нагрузки (-/~) и однородного сдвига.

Упругое поле нагрузки (-/") вычисляется методом суммирования по точкам границы ядра с использованием в качестве функции Грина выражений для компонент тензора напряжений поля точечной силы, приложенной в начале координат, которые известны.

5. Работа проскальзывания

Работа проскальзывания

А = | .Ш[тИЛ, (11)

л

где dЛ — длина элемента границы ядра и матрицы Л; [т] — сопротивление сдвигу на этой границе, величина проскальзывания (рис. 1)

DB = (DA2 + АВ2)°'5 = (12)

= Л[эт2 е + (й/а)4 ^2 е]°'^р.

6. Энергия границы ядра

Энергия поверхности, отделяющей ядро от матрицы, вычислена в предположении, что на этой поверхности в результате поворота формируется большеугловая граница зерен, что завышает оценку. Поверхностная энергия большеугловой границы принята равной ^ = 0.1 Дж/м2. Тогда W3 = ^Л. С уменьшением размера ядра доля этой энергии по сравнению с работой проскальзывания уве-

Таблица 1

аг, м А, Дж ж Д

10-8 3.35 • 10-8 4.84 10-9

10-7 3.35 • 10-6 4.84 10-8

10-6 3.35 • 10-4 4.84 10-7

10-5 3.35 • 10-2 4.84 10-6

10-3 3.35 • 102 4.84 10-4

личивается, но для реальных размеров ядер W3 << А. В таблице приведены результаты расчетов для Ь/а = 0.5, [т] = 0.04ц, (X = 1.2 • 1011 Па. Отметим, что если граница ядра проходит по большеугловой границе зерен и поворот уменьшает разориентацию, то W3 может менять свой знак.

7. Энергия несоответствия формы

Соответствие форм повернутого эллипса и границы матрицы выполняется приближенно: при сдвиге и большая полуось эллиптической дырки, и ее наибольший диаметр меняют свою длину, а при повороте эти отрезки совпадают и не меняются. В результате, в ядре и в матрице после поворота появляются нормальные напряжения вдоль большой полуоси ядра. Если поворот начинается из положения, в котором большая полуось располагается вдоль оси у (рис. 1, б), то напряжения несоответствия формы с увеличением угла поворота усиливаются. Для оценки энергии несоответствия приняты два предположения. 1) Деформация растяжения сосредоточена только в ядре. Это предположение завышает энергию несоответствия, так как распределение деформации растяжения по ядру и матрице, что в действительности имеет место, снизит энергию несоответствия. 2) Деформация растяжения в объеме ядра однородна и равна максимально возможной деформации, вычисленной для деформации большой полуоси. Это предположение так же, как и первое, завышает оценку. Тогда:

W4 = (а2 Б)/(2Е) = (82 ЕБ )/(2а 2), (13)

где Е — модуль Юнга; 8 — разность размеров большой полуоси ядра и наибольшего диаметра дырки. Для малых сдвигов

8/а = 1/соб у-1 ~ у 72 = (14)

= (р2/2)(1 - Ь 7 а 2), откуда следует, что энергия несоответствия является величиной второго порядка малости. После подстановки (14) в (13) и деления на W1 получим:

WA| Wl = (1 + v)Y 72, (16)

где V — коэффициент Пуассона. Для V = 0.3, Y = 0.04 выражение (16) дает 0.001. Выигрыш в энергии, при котором поворот можно считать реальным, должен составлять не менее 0.01 W1. Оценка W4 на порядок меньше. Следовательно, влиянием несоответствия формы можно пренебречь.

8. Обсуждение результатов

Расчет компонентов тензора напряжений производился по формулам, приведенным в приложении. На рисунке 2 показаны поля компонент тензора напряжений в матрице и в ядре для [т] = 0.25т, т = 0.04ц при внешнем однородном сдвиге. Разгрузка изменит только касательные напряжения: поле однородного сдвига

Рис. 2. Распределение компоненты тху поля поворота в матрице и в ядре (а); распределение компоненты а^ поля поворота в матрице и в ядре (б); распределение компоненты аполя поворота в матрице и в ядре (в). Числа на линиях уровня показывают напряжения в долях от X

А

/ Л

^2

1

О 0.2 0.4 0.6 0.8 Ь/а

Рис. 3. Выигрыш в энергии А при повороте элемента как целого в зависимости от отношения b/a при стороне квадратной ячейки, равной 3а (кривая 1), 8а (кривая 2), 16а (кривая 3)

усилится в ядре и снимется в матрице. Полученное поле матрицы в качественном отношении похоже на поле участка с пластическим сдвигом или поле петли краевой дислокации. Отличия от указанных известных полей усиливаются с приближением к ядру.

Результаты расчетов по формуле (7) представлены на рис. 3. Упругая энергия матрицы вычисляется в квадратной области со стороной L. Выигрыш в упругой энергии увеличивается с ростом L. Вероятность поворотов элемента структуры как целого зависит от соотношения осей эллиптических ядер. Невозможны повороты узких ядер, для них мал выигрыш в упругой энергии, и ядер, форма которых близка к круговой. В этом случае велика работа проскальзывания. В интервале b/a, при котором повороты вероятны, выигрыш в энергии и, следовательно, вероятность поворота проходят через максимум. Положение максимума с ростом L приближается к b/a = = 1. Величина выигрыша в энергии составляет 10-60 % от исходной упругой энергии ядра.

С увеличением отношения [т]/т величина L, при которой поворот еще возможен, также увеличивается (рис. 4).

Приведенные выше оценки показывают, что основной вклад в энергетический баланс вносят изменение упругой энергии и работа проскальзывания. Результаты, представленные на рис. 2, 3, получены для [т] = 0.25т и т = 0.04ц. Это довольно высокие значения. Если [т]/т = = const, то работа проскальзывания будет пропорциональна квадрату напряжения (напряжению пропорциональны и сопротивление, и величина проскальзывания). Упругая энергия также пропорциональна квадрату напряжения. Однако разность W1 - W2 зависит еще и от угла поворота, который убывает с понижением т. Поэтому W1 - W2 с уменьшением т убывает быстрее, чем А.

Вычисления показывают, что при [ т]/т = const, L = 8a, W3 = 0, W4 = 0 минимальное т, при котором еще возможен поворот, равно 5.3 -10-3ц для a/b = 0.9 и 8.9 -10-3ц для a/b = 0.5. Отсюда следует, что повороты элементов структуры как целого возможны только при высоких уровнях напряжений внешнего поля. Однако этот уровень может быть снижен. Снижению способствует, в первую очередь, уменьшение работы проскальзывания. Это происходит, если: 1) граница ядра проходит по уже имеющейся границе зерен или фаз или по трещине, что снижает и А и W3 и может изменить знак W3; 2) имеет место совместное движение ядра и прилегающего к ядру материала матрицы. Величина проскальзывания максимальна на участках границы, расположенных в верхней и нижней частях ядра (см. рис. 1, б). Для b/a = 0.5 на этих участках величина проскальзывания в пять раз больше, чем на боковых участках. Поэтому совместное движение на верхнем и нижнем участках способствует повороту в наибольшей степени.

9. Развитие поворотных движений

За одно движение ядро поворачивается на небольшой угол — несколько градусов. В грубом приближении (без учета азимутальной зависимости напряжений или имея в виду только одно сечение деформируемого тела), касательные напряжения в области поворота ослабевают. Поэтому последующие повороты (или пластические сдвиги) развиваются на некотором удалении от первого. Эти повороты (или сдвиги) снижают касательные напряжения в своей окрестности, вследствие чего повышаются касательные напряжения в окрестности первого поворота. Когда пластические движения охватят все сечение деформируемого тела, касательные напряжения в области первого поворота возрастут до первоначального уровня и станет возможным дополнительный поворот первого ядра.

0.25 0.5 [т]/т

Рис. 4. Зависимость размера ячейки L, в которой еще возможен поворот элемента как целого, от отношения сопротивления проскальзыванию по границе ядра к напряжению внешнего поля [т]/т. В области I поворот энергетически выгоден, в области II — невыгоден

После удаления внешнего поля вблизи ядра сохраняется остаточное поле напряжений. Под его влиянием ядро может повернуться в обратном направлении. Энергетический расчет для Ь/а = 0.9, L = 8а, т = 0.04ц, [т] = = 0.25т дает при нагружении прямой поворот на 3° и после разгружения обратный на 0.8°.

10. Сопоставление с данными экспериментов

Схема “зерно в зерне”. Экспериментальное выявление поворотов элементов как целого встречает трудности. Постепенные повороты выявляются [3, 10] по переходным слоям, в которых меняется кристаллографическая ориентировка. Материал переходного слоя либо упруго искривлен, либо содержит дислокационный заряд. В исходных, как правило отожженных, образцах таких областей нет, и их появление объясняют пластическими поворотами. С развитием постепенного поворота в переходном слое формируется граница. Когда эта граница становится замкнутой, полученное состояние не отличается от того, которое формируется при повороте элемента структуры как целого. Таким образом, при наличии в пластически деформированном образце областей, ограниченных границей и разориентированных по отношению к матрице, следует решать вопрос, в результате какого поворота—постепенного или как целого — они образовались. Кроме того, ядро, образовавшееся в результате постепенного поворота, может в дальнейшем совершать поворот уже как целое.

В ряде случаев такое различие сделать можно. Согласно [3, 10] области постепенных поворотов прилегают к границам зерен или к деформационным границам. Так, в [3] установлено, что при фрагментации постепенные повороты начинаются у границ зерен, в первую очередь у тройных стыков, и распространяются вглубь зерен. Если же ядро располагается внутри монокристал-лической области, то связи с существующими в образце границами зерен нет. Поэтому следует считать, что такие ядра образовались в результате поворота элемента как целого.

В [3] описаны так называемые петлеобразные конфигурации дислокационных границ. Они наблюдаются в пластически деформированных материалах и выделены в отдельную группу дислокационных комбинаций ([3], стр. 23). Эти комбинации представляют собой замкнутые поверхности с повышенной плотностью дислокаций, ограничивающие области, расположенные внутри зерен. Области разориентированы по отношению к вмещающему их зерну на углы в несколько градусов. Изложенное дает основание считать области, ограниченные петлеобразными комбинациями дислокаций, ядрами, которые образовались в результате поворота элементов структуры как целого.

Схема “сдвиг качением ”. Схема макросдвига крупных частей деформируемых образцов за счет качения

этих частей по округлым элементам наблюдается в опытах при сдвиге под давлением [5] и, как предполагается в [4] (стр. 168), реализуется в полосах сдвига. Качение по элементам, частично или полностью отделившимся от сдвигающихся тел и представляющим частицы износа, описано в [6, 7]. Примем, что трансляция крупных частей происходит за счет качения по расположенным в полосе сдвига ядрам с Ь/а, близким к единице. Если поворот начинается с отрицательного угла в1, то большая ось эллипса, приближаясь к нулевому углу, укорачивается. Поэтому в ядре и в матрице вдоль большой оси возникают напряжения сжатия. Сопротивление сдвигу на таких участках ядра повышается. Здесь матрица и ядра движутся совместно, без проскальзывания. Касательные напряжения внешнего сдвигового поля на этих участках играют роль активных сил, которые создают вращающий момент и вызывают поворот ядер-катков. На других участках границы ядра действует сопротивление сдвигу, создающее пассивный вращающий момент. Для оценок принято: А в (7) равно нулю; на верхнем и нижнем участках границы ядра, видимых из центра эллипса под углом 2в1, проскальзывания нет; L = 8а, т = = 0.04ц, [т] = 0.25т. Для Ь/а = 0.1; 0.5; 0.9 получено в1 = 2.3; 3.05; 11.5° и напряжения сжатия 0.5; 1; 1.8т соответственно. Сжатие на ядрах создает растяжение в окрестности ядер. Растяжение препятствует образованию последующих ядер. Поэтому ядра-катки располагаются на некотором расстоянии друг от друга, что и наблюдалось в [5].

Следует отметить, что во всех экспериментах [3, 5, 10], где наблюдались повороты элементов как целого, действуют высокие касательные напряжения.

При исследовании тектонических сдвигов в связи с проблемой прогнозирования землетрясений было установлено, что разрушение не всегда распространяется непрерывно вдоль поверхности одного разлома. Непосредственное наблюдение при расчистке разломов в открытых горных выработках показало [11]: сдвиговое разрушение имеет перерывы в масштабе нескольких метров; участки сдвигового разрушения образуют уступообразную картину из коротких трещин, направление которых наклонено к плоскости общего разлома. Проведенный анализ дает основания предполагать, что на месте перерывов сдвиговых разломов располагаются ядра и здесь общее для всего разлома сдвиговое смещение обеспечивается поворотом ядер. Поворот ядер объясняет наклон коротких трещин, расположенных между ядрами.

11. Заключение

На основании установленного соответствия между формой повернутого эллипса и формой эллиптической полости в среде, упруго деформированной однородным сдвигом, предложена континуальная модель мезоскопи-

ческого поворота элемента как целого. Разработана схема расчета упругого поля поворота. Найдено распределение напряжений в ядре и в матрице. Для осуществления поворота достаточно выигрыша в упругой энергии однородного сдвигового поля. Однако, в общем случае, требуются высокие, порядка 0.01-0.001 от модуля сдвига, касательные напряжения. Показано влияние на величину энергетического выигрыша при повороте не-равноосности эллиптической формы ядра и величины области, в которой поворот ослабляет внешнее поле. Основной расход энергии приходится на работу проскальзывания по границе ядра и матрицы. Снижение этой работы за счет сдвига по имеющимся в теле границам или трещинам и (или) совместного движения материала матрицы и ядра облегчает повороты. Проведено сопоставление модели с экспериментальными наблюдениями.

Литература

1. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985. - 230 с.

2. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов. В 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 298 с.

3. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1986. - 224 с.

4. Владимиров В.И., Романов А.Е. Дисклинации в кристаллах. - Л.: Наука, 1986. - 224 с.

5. Неверов В.В., Житников П.П. Поворотные движения материала при сдвиговой пластической деформации тонких слоев // Изв. вузов. Физика. - 1989. - № 2. - С. 78-82.

6. Неверов В.В., Житников П.П. Пластические движения и перемеши-

вание в деформируемых смесях металлов // Изв. вузов. Физика. -1994. - № 2. - С. 10-15.

7. Алексеев Н.М., Горячева И.Г., Добычин М.Н. и др. О движении вещества в пограничном слое при трении твердых тел // Докл. АН СССР. - 1989. - Т. 304. - № 1. - С. 97-100.

8. Неверов В.В., Суппес В.Г. Механизм замуровывания поверхностных пленок при действии больших нормальных нагрузок и сдвиговых деформаций // Трение и износ. - 1991. - № 12. - С. 552-556.

9. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. - М.: ИЛ, 1963. -

247 с.

10. Коротаев А.Д., Дударев Е.Ф., Елсукова Т.Ф., Колобов Ю.Р., Тюменцев А.Н., Чумляков Ю.И. Некоторые актуальные проблемы физики пластичности и прочности моно- и поликристаллов // Изв. вузов. Физика. - 1998. - № 8. - С. 5-15.

11. Райс Дж. Механика очага землетрясения. - М.: Мир, 1982. -С. 38.

Проекции удельной силы Fx и Fy, действующей на границу эллипса, вычисляются по формулам:

dyL dxi_

ds ^ ds

F = -a ^ + т ^

Fy ayy ds ds ’

где

ds =

)2 +f dyiOQ ^dt

dt

dt

(П2)

(П3)

Подставляя (П3) и (П1) в (П2), получим:

Fx (t) =т

Fy (t) =т

k cos в sin t - sin в cos t •Jk2 + (1 -k2)cos2 t cos в cos t + k sin в sin t ijk 2 + (1 - k 2) cos 2 t

(П4)

где параметр t меняется от 0 до 2п и отсчитывается против часовой стрелки от оси х.

Используя двумерное преобразование Фурье, найдено выражение для компонент тензора напряжений упругой плоскости от действия сосредоточенной силы. Подставив в них выражения (П4) и интегрируя по границе эллипса, получим выражения для компонент тензора напряжений в плоскости:

a У =

-1

п(1 -v)

2п(

Fy(t)(У - У1)

(

R( x, y, t)

1 - 2v + 2

(У - У1) R( x, y, t)

Fx (t)(x - x1)

R(x, y, t)

1 - 2v - 2

(x - x1)2 R(x, y, t)

dt,

-1

a x =----------x

n(1 -v)

Fy(t)(x - x1)

R(x, y, t)

1 - 2v- 2

(y - y1)

R(x, y, t)

Fx(t)(y - y1)

R(x, y, t)

1 - 2v + 2

(x - x1)2 R(x, y, t)

dt,

(П5)

(П6)

Приложение

Расчет компонент тензора напряжений производился следующим образом. На бесконечности в упругой плоскости действуют касательные напряжения т. Параметрическое уравнение эллипса, повернутого на угол в, с большой и малой полуосями а, b и отношением полуосей k = b/a, имеет вид

x1(t) = a(k cos в cos t + sin в sin t), y1(t) = a(cos в sin t - k sin в cos t).

(П1)

т xy

-1

n(1 -v)

2n(

Fy (t)(x - x1)

(

R(x, y, t)

1 - 2v + 2

(y - y1)

R(x, y, t)

Fx(t)(y - y1)

R(x, y, t)

1 - 2v + 2

(x - x1)2 R(x, y, t)

dt,

где

(П7)

x

+

x

+

x

+

Цх, у, 0 = (х-х ^))2 +(>>- Уі(t))2.

(П8)

В расчетах интегрирование заменяли суммированием по 100 точкам границы эллипса.

Для упрощенных расчетов получены приближенные аналитические формулы. Распределенная по границе эллипса нагрузка заменена на два механических момента со взаимно перпендикулярными плечами. Величины сил и координаты точек их приложения вычисляли по формулам:

F =

2тka cos в

•\Д — і

1п

-д/!-

* V ; (П9)

п/ 2 '"Ч 7 X Ч

Г Fr(t)dt = агсзіпґ^т/^*21,

П2 VI—^ \ 1

1 п

х« = — Г х1(0^х ОЖ

™ 0 1 п

У« = — Г Л(0Fx ОЖ

П 2

Г х1(0^ ОЖ

(П10)

у^ = }У\^)Ру(t)dt,

^У -гс/2

где (хет, узх), (-хет, узх) — координаты точек приложения сил FSx и -FSx, а (х^ , - Узу), (-Х^у , У^у) - коор-

динаты точек приложения сил Еу и -^ соответственно. Поле напряжений получено путем наложения полей моментов. С учетом обозначений

С1 = д/Сх^^'Су^ = 0-8а

с2 ~ ^,

а также

х1 = с1 sin в, х2 = -х1, х3 = с2 cos в, х4 = -х3,

У1 = ClCOS в, У2 =-У1,

Уз =-с2 в У4 =-Уз>

^ = (х - х1)2 +(у - У1)2, R2 = (х - х2)2 + (У - у2)2> Rз = (х - хз)2 +(У - Уз)2>

R4 = (х - х4)2 + (У - У4 )2

(П11)

найдено

(

а х1 = Fs-

(1 - 2v)

(R2 - Юх - (R2 + Ю х1

+2

(х - х1) (х + х1)

R1R2

Л Л

к

R2

уу

(

а х2 = Fsу

(1 - ^)

(К4 - К3) У - (К3 + К4 ) Уз

+ (П12)

+2

а„ = ■

((У + Уз)3 (У - Уз)3 ^

К42

УУ

-1

4п(1 -V)

(а х1 + а х2 )’

(

а У1 = Fsx

(1 - 2v)

(К2 - К1) х - (К2 + ) х1

+2

(х + х1) (х - х1)

к.

К2

/у

(

а У 2 = ^у

(1 - ^)

(К4 - К3) У - (К3 + К4 ) Уз

+ (П1з)

+2

((У - Уз)з (У + Уз)з ^

К42

/у

-1

УУ

4п(1 -V)

(

(1 - ^)

(а У1 +а У 2)’

(К2 - К1) У - (К2 + К1) У1 К1К2

+2

(х - х1) (У - У1) (х + х1) (У + У1)

к,2

к2

уу

(

(1 - 2V)

(К4 - Кз) х - (Кз + К4 ) хз Кз К4

+2

( (У - Уз)2( х - хз) (У + Уз)2(х + хз)

+ (П14)

-1

4п(1 -V)

Кз2

(т+Т2).

К42

уу

Выражения (П12)-(П14) справедливы для малых углов поворота р. Расчеты по ним дают напряжения, отличающиеся от (П5)-(П7) на расстояниях >1.5а, меньше, чем на 1 %.

+

+

+