CC BY
1ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
Ангархаева Л.Х. Кандидат физико-математических наук, доцент Балханов В.К. Кандидат технических наук Башкуев Ю.Б. Доктор технических наук, профессор Отдел физических проблем Бурятского научного центра СО РАН
УДК 519.6
ПОВЕРХНОСТНЫЙ импеданс ГРАДИЕНТНЫХ ПОЛУПРОВОДЯЩИХ СРЕД
Аннотация. Для решения прямой задачи распространения электромагнитной волны в неоднородной градиентной полупроводящей среде разработан численный метод, алгоритм и создана программа расчета поверхностного импеданса с учетом зависимости от вертикальной координаты проводимости и диэлектрической проницаемости.
Ключевые слова: импеданс, градиентная среда, частотные зависимости
Abstract. For the decision of a direct problem of propagation of electromagnetic wave in inhomogeneous gradient semi conducting medium the numerical method, algorithm and the program for calculation of a surface impedance with vertical coordinate conductivity and dielectric permeability are developed
Keywords: impedance, gradient medium, frequency dependences
1. Введение
Важным источником информации о строении и физических свойствах приповерхностного слоя земной коры служит метод радиоимпедансного зондирования [1]. Метод основан на измерении поверхностного импеданса 5 , определяемого как отношение тангенциальных компонент электромагнитного поля на поверхности Земли: 5 = Et / cBt, где E - электрическое поле, B - магнитная индукция, c - скорость света. Интерпретируя результаты измерений, можно судить об электрических параметрах приповерхностного слоя. Верхняя часть земной коры характеризуется сложным геоэлектрическим строением. Для интерпретации данных радиоимпедансного зондирования традиционно используют одномерные дискретно-слоистые модели геоэлектрических разрезов. Однако для более полного описания реальной ситуации необходимо учитывать неоднородное градиентное строение полупроводящей среды, когда проводимость s и диэлектрическая проницаемость e зависят от вертикальной координаты z .
2. Уравнение для магнитной индукции
Вблизи земной поверхности магнитное поле имеет только одну ненулевую компонен-
Декартовы координаты ориентированы так, что ось г направлена по нормали к поверхности, а вдоль оси х происходит распространение электромагнитного поля. Для однородной среды поверхностный импеданс [2]:
THE SURFACE IMPEDANCE OF GRADIENT SEMICONDUCTING MEDIA
Angarkhaeva L.Kh., Balkhanov V.K., Bashkuev Yu.B.
ту:
(1)
где w - круговая частота.
Из (1) следует, что электрическое поле имеет две ненулевые компоненты, каждая из которых подчиняется дифференциальному уравнению второго порядка, причем эти уравнения содержат вторые производные от электрических параметров. От рассмотрения уравнений для электрических полей выгодно отличается уравнение для магнитной индукции:
к 2
1
к
(
8+-
го дг
£0Ш
е +-
го
Л дБ
к
у а + -
.2 (
е +-
2 л2 ^
го с 1
еоа а
2
бу =
(3)
Здесь 1 - параметр разделения волнового уравнения, поле зависит от координаты х как ехр(гАх), а от времени I как ехр(- га). На рис. 1 показана принятая модель неоднородной среды. Особенность ее в том, что разрез среды при г <0 и г > Ь считается однородным.
2 = 0
г = Ь
0, £
Рис. 1. Модель неоднородной среды.
В свободном пространстве (3) принимает следующий вид:
2 ( 2л2 ^
" а
Бу +
2
1 -
С 1
а
2
Бу = 0.
Его решение
Бу = Бу о ехр
.а г — с
1-
2 я 2 С 1
■ г
а
Отсюда находится поверхностный импеданс:
8 = 1 -■
с 212
а
2
(4)
(5)
(6)
Это соотношение позволяет в дальнейшем вместо параметра 1 использовать поверхностный импеданс. Так, вместо (3) будем иметь
к2 БУ
к2
1
к
(
е +-
го дг
е +-
го
Л
еоа
дБ
кг
у а + —
2
го 2
е-1 +-+ 82
еоа
Л
БУ = 0.
(7)
еоа
Во второй однородной среде (7) примет вид
" а
Бн
2 (
ен -1 + + 82 еоа
Бн = о.
Его решение, с учетом затухания Бн = Аехр
. а г — с
(ен -1 + + 82^ еоа
(8)
с
2
2
с
2
с
г
Численное решение
Чтобы понизить порядок производной в уравнении (8), проведем следующее интегральное преобразование:
~(г г У
(10)
в(г ) =
ехр
^0®
г(о)
| и..х - г | Уёг
чО 0
Отсюда находим эффективное удельное сопротивление
и о2 + Го2
Ре// = Р(0У
1 + [£0®ф)р(0)]2
и фазу импеданса
р = + аг^£0юе (0)р(0).
и 0
(11)
(12)
Таким образом, для определения поверхностного импеданса необходимо знание величин и и V на поверхности земли. Введем для удобства следующие величины:
5= N - гМ , А(г) =
£(г £' (г
£0 ®
'(г) +
^ Л 2
ч£0® 0
£0®
Тогда для и и V окончательно получаем
г2^
вг)= 1 £(гУ (г)-о(г£ (г)
(
2 (г)+
Л2
о
к£0® 0
у
- и' =
- V' =-2
2 - и 2)- Аи - BV -£Р)®(£-1 + N),
Р(0)
о
- AV + ви + -,1£0ар(0)
Р(0) с ^£0®
Начальные условия
с
. + . Л
- М
(13)
(14)
Чтобы начать численное решение системы уравнений (13)-(14), необходимо задать начальные условия. Для их нахождения воспользуемся тем, что, начиная с глубины г = И, среда становится однородной и, как в ней, так и на самой границе все производные исчезают.
Тогда
где для краткости обозначили
V2н - и2н + 2^ = 0| и^н = Б
1 1 (о Л
^ = -£0®р(0Х£Н -1 + N), Б = -£0ар{0) -М
2 2 ^£0® )
Отсюда находим
ин = V л/^ 2 + Б 2 - ^
Vн = V ^ 2 + Б 2 + ^
(15)
Теперь осталось конкретизировать N и М , и выразить производные через разностные соотношения. Используя наше определение для N и М :
находим:
N = M =
Veowr(o)
1 + [eo®e(o)p(o )]2
yjsowP(o )
1 - Uo®e(o)p(o)
[U o +eowe(o )p(o V ], Vo -eo®e(o)p(o)Uo ].
= N - iM,
(17)
1 + [еоае(о)р(о)]2
Мы видим, что данная задача обладает особенностью. Здесь начальные условия (15) зависят от С/о и Уо, которые необходимо найти! Для решения такой задачи с особенностью, мы использовали следующий метод. Сначала задаются пробные начальные значения в виде
U' = V' =
Po
. По ним находят N и M , затем F и D, и окончательно Uo и Vo. Если но-
2PH
вые значения Uo и Vo не совпали с первоначально заданными U' и V', то новым U' и V' задаются значения найденных Uo и Vo, и все повторяется. Предложенный метод обладает быстрой сходимостью.
5. Компьютерная реализация
Численный метод решения самосогласованной задачи реализован для градиентных сред со следующими функциональными зависимостями: а) линейной f (z) = f3(1 + az); б) параболической f (z) = f э (1 + az)2; в) экспоненциальной f (z) = foeaz; периодической f (z ) = fo (1 + asinkz). Программа написана на языке программирования Visual Basic for Applications и функционирует в среде Excel. Программа обеспечивает ввод данных, выбор градиентной среды, расчет приведенного поверхностного импеданса в широком частотном диапазоне, вывод результатов в табличном и графическом виде. На рис. 2 и 3 представлены два рабочих листа программы.
P^Bisliя v |Щ Шге■ | ■
Anal Суг - 10 - ¡К К Ч ^-¿¿¿S^.jj
*»■».« ЦЩ"» ■ Л.
1 % ООО 'i8 Л £g £g - - А -
ИМПЕДАНС ГРАДИЕНТНЫХ ПОЛУПРОВОДЯЩИХ СРЕД
ооооо зоооо
40000 50000
з0000
IZZ!
Зависимость p от z
Зависимость e от z
p(z)=p0(1+ctz2) r параболическая
e(z)=e0(1+pz2) параболическая
экспоненциальная
экспоненциальная
p(z)=p0(1+ctsin(kz)) - периодическая ct=l О.эД k=|| 0,0628321
s(z)=s0(1+a.sin(kz))
•И
периодическая
• н \ данные / результат / инструкция /
„■- IS I.„офигувы- .\ 4DOI40BB »•¿•4.1
.Г
Рис. 2. Рабочий лист программы расчета импеданса градиентных полупроводящих сред, содержащий исходные данные.
Рис. 3. Рабочий лист с результатами работы программы.
Для однородной и параболической зависимостей существуют точные решения уравнения (8). Тестирование показало удовлетворительное согласие численного решения с точным.
Программа может найти широкое применение при решении различных задач электромагнитной диагностики неоднородных сред (на акватории, в зонах многолетней мерзлоты, при учете сезонных изменений электрических свойств среды и др.).
Работа частично поддержана грантами РФФИ № 08-01-98005, 08-01-98006, 08-0298007.
Библиография
1. Башкуев Ю.Б. Электрические свойства природных слоистых сред. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1996. 196 с.
2. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Основы теории метода поверхностного импеданса. Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2005. 100 с.
3. Ангархаева Л.Х., Балханов В.К. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2008610235. Импеданс градиентных полупроводящих сред. М.: РОСПАТЕНТ, 09.01.2008.
The bibliography
1. Bashkuev Yu. B. Electrical Properties of Natural Stratified Media. Novosibirsk: SB RAS, 1996. 196 pp.
2. Balkhanov V.K., Bashkuev Yu.B. Foundations of the Theory of a Surface Impedance Method. Ulan-Ude: BSC SB RAS, 2005. 100 pp.
3. Angarkhaeva L.Kh., Balkhanov V.K. The certificate on official registration of the computer program № 2008610235. An Impedance of Gradient Semiconducting Media. М: ROSPATENT, 09.01.2008.
