Поверхностные волны от начальных возмущений в случае изменения глубины дна По линейному закону Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 551.466

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В СЛУЧАЕ ИЗМЕНЕНИЯ ГЛУБИНЫ ДНА ПО ЛИНЕЙНОМУ ЗАКОНУ

© 2004 г. А.И. Сухинов, В.Н. Зуев, В.В. Семенистый

This paper has been devoted to waves on free surface of shallow water basins. Some analytic solution is obtained and numerically realized.

В рамках теории мелкой воды [1] волны на свободной поверхности жидкости переменной глубины описываются решением задачи Коши

д2^/дг2 = gд{h(x)дZ/дх)/дx, -да < x < да, t > 0 (1)

С(X, о) = Фо (х), С\ (X, о) = ф (х), где д( х, t) - отклонение свободной поверхности жидкости от равновесного состояния; х - горизонтальная координата; г - время; g - ускорение силы тяжести;

^х) - глубина жидкости. Для ^х) = ^ (1 - х / хо), х < хо уравнение (1) имеет вид

а~2д2С / дг2 -(1 - х / х0 ))^ / дх2 + х-1д^/ дх = 0,

а2 = ghо . (2)

Решение поставленной задачи найдем методом Римана [2]. Для этого уравнение (2) с помощью замены <^ = ах-1/2 г + 2^хо - х , п = ах-1/2 г - 2^хо - х приводим к канонической форме д2С/(д&п) + о,5 (£ - п)-1 (/д^-дС/ дп) = о . (3)

Прямая г = о перейдет в п = -% . Начальные условия в новых переменных примут вид

Ап=~е, =Фо + п)), дя/ дп\п=-| = °.

Функцию £ = С(%,п) заменим на и = -п . То-

гда £ = и Ц %-п и уравнение (3) преобразуем к виду д2и /(д^дц)- о,25 и(^-п)-2 = о или Ьи = и^п + аи^+ Ъип+ си = о, (4)

-2

где а = Ъ = о; с = -о,25(^ - п) . Решение уравнения

(4) выражается формулой Римана [2] и(М) = о,5(и(РМ Р) + и(0и(0)-

- о,5 | (ио^-ии^ - 2Ъии)ё% + (м^ - иОп + 2аии^п ,

ра

в которой приняты следующие обозначения: Р, М, 0 -вершины характеристического треугольника (рис. 1), и(^,п) - решение уравнения (4); и(£,п) - функция

Римана, решение задачи Гурса

Ь*и = и>п-аи|-ЪОп+ си = о, (5)

и1;(£,по,£о,по) = о на М0 , ип(^о,п,^о,по) = о на МР ,

и(#о,По,#о,По) = 1 в точке М .

Частное решение уравнения (5) на характеристиках равно единице, т. е.

^Ло^оЛо) = 1 на МЯ , и(^оЛ^оЛо) = 1 на МР ,

^оЛо^оЛо) = 1 в точке М .

С помощью подстановки

в = (# - #о)(п - По)(#о - По)_1(# - П)-1 получаем

и(йлЛоПо) = w(в),

в(1 - в)™"@) + (1 - 2в)^'(в) - о,25м>{в) = о . (6)

Уравнение (6) является частным случаем гипер-геометрического уравнения Гаусса (при а = в = о,5 и

у = 1) х(1 - х) у” (х) + [у- (1+а + в) х]у'(х) - аву(х) = о, решение которого можно представить в виде степенного ряда [3]

х ск • ск

у(х) = ¥(а,в,у,х) = 1 +^ а+к~\—• хк, |х| < 1, к=1 С^+к-1

или в виде интеграла 1

у(х) = ^_11гв-1(1 - гу-в-1 (1 - гх)~аёг. о

Здесь Б(а, в,у, х) - гипергеометрическая функция. В нашем случае а = в = о,5, у = 1. Поэтому

\ AÍJ *,, 'Т„>

X *

; \ ? Но,-fol

\

Рис. 1. Характеристический треугольник задачи Гурса

решение уравнения (6) будет иметь вид w(0) = р(0,5, 0,5,1, в), |0|< 1

или

w(e) = п 1J-

dt

вв<

^ 1(1 - !)(1 - <в) '

Условия на характеристиках преобразуются к виДУ и(#,По,#о,По) = и(#0,П,#о,По) = ™(0) = 1- Таким об-

разом, u(,,n,,o,no) = w(e) = w

Z (#-#o)(n-no)Л (,o - no)(# - n)

- функ-

ция Римана. Найдем теперь решение задачи (1). Так как и(Р) = и(0) = 1 и ц = -% на PQ , то

«(#о,По) = 0,5(( Р) + и(0)) +

,0 ( ди ди ] ( ди ди ,

+ 0,5 J u \— + —Щ-u\— + —\d,.

-no

д, дn

д, дn

(7)

Далее находим и(Р) = ^2^о <Ро(хо - 0,25 ^2),

í(Q) = V- 2,o po( xo ^)

дu дu

д, д-q

дu дu

д, дn

= yß,^y[x0/

ap1

n=-,

n=-Ç

Z ,2 л

x0 -7

(

#o + no dw

2(,o -no), de

n=-Ç

'n=-Ç

-=42tPo(xo -0,25 ,2)

и подставляем значения этих величин в (7)

u(,o,no) = 0,5

^ToPo(xo -0,25 ,o2)+

+ V- 2n0 po (xo - 0,25no2 )ч

(# -,o)(n - no) (,o -no)(,-n)

\Щрх {(Po(x

,o Z

J T

-no (

J Í ißrpo (xo -,2 / 4) ,0 +no-----—

-n ' 7 (,o-no)• 2, de

-,2 /4 ) +

л л

d,

- = n )

Возвращаясь к старым переменным и учитывая произвольность выбора точки М(#о,По)> окончательное решение задачи (1) получаем в следующей форме:

С(х,/) = 0,5(о - х) 1/4 ^-^х"о - х - 0,5«//хо х хр0^хо - (хо - х - 0,5а//д/хо)) =

= 0,5(о - х) 1/4 ^/->/*0 - х + 0,5а//^/х0 х х ^о ^хо - (хо - х + 0,5а//д/хд")2 + 0,5(хо - х) 1/4 ^0,5 х0 / а х

2V xo- x+at /Vx0 z і, л

x J FJV^lC^) ,

2yj xo - x - at/4x0 + 0,25(xo - x) 3/4 ^/0,5at/xo x

2^1 xo - x + at / ^/x0"

x J

2^1 xo - x - at/jx

? t / xo - (2д^xo - x - ,)

, 52 = x0 - 0,25

4д/ х0 - х -£

Вычисления выполнены для

Гаоео80,5ях/ ё, | х |< ё,

р0(х) =10 | | и р1(х) =0.

[0, | х |> ё,

Графики полученных зависимостей при ао = ё = 1, хо = 10 , ко = 0,1 представлены на рис. 2. Амплитуда правой волны со временем растет, а левой - уменьшается, тогда как скорость распространения правой волны уменьшается, а левой - увеличивается. Получены зависимости от времени амплитуды дт и скорости распространения дд/ д/ правой и левой волн (индексы 1 и 2 соответственно):

m1,2

, + л/gV x0t

2(x0 - 0-5V gho/ x0 )

д^і,2 / дt = Co (x0 m 0,5^gh01~x0ot ).

1,2 / д/ = со\л1 хо + 0,^Яко /хо<

Графики этих зависимостей представлены на рис. 3, 4. Характер зависимости амплитуды и скорости распространения волн от времени одинаков. Но если в начальный момент времени они изменяются примерно линейно, то в дальнейшем наблюдается стабилизация левой и более быстрый рост правой волны. На рис. 5 представлены графики зависимости

, . і —' ’ л 1 1

Í1 1 1 f-0 ! 1 1 1 1 1 1 l 1 і і* IV

1 Í І і ? ij І S-j !

- t S

vIO Л ä l

- А \ 1 1

-/ \ n ¡1

Í 11 1 i

І \ t і і ■ ' ¡ ! í

. 1 1 • 1 .I — i — l j L- i Lj—1 .

Рис. 2. Форма поверхностной волны, нормированная относительно амплитуды ао

2

+

+

Рис. 3. Зависимость от времени максимального значения левой и правой волн

0 4 И 12 16 I

Рис. 5. Зависимость от времени скорости распространения левой и правой волн

іК

Рис. 4. Зависимость от времени ширины левой и правой волн

Таганрогский радиотехнический университет____________

от времени ширины Дд (на уровне д = 0) правой и левой волн (индексы 1 и 2 соответственно), построенные с помощью формул:

Дд1,2 = (х0 + 1 + 0,5V8к0 / х0 *)2 -

- (>/хо -1 + °-5л/8ко / хо ^)2 .

Зависимость перечисленных параметров волн от тангенса угла наклона дна (ко/хо) примерно такая же, как и от времени, что следует из приведенных выше выражений.

Литература

1. Овсяников Л.В. // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1973. Вып. 15. С. 104 - 125.

2. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики. М., 1962.

3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1965.

________________________________________27 января 2004 г